Matematik sorularının çözümü nasıldır? - Sayfa 21

8 ve 10 sayılarının EKOK'u => (2)3.5=40 olur!

1 saat=3600 saniye dir.. buna göre

36000 mtre/ 3600 saniye = 10 m/s olur...

Soru Çözme ve Başarma Yolları
Öğrencilerin ve matematikle ilişkisi olan herkesin ortak görüşü Matematik dersinin genel olarak zor olduğudur. Doğrusu Matematik dersi kolay da değildir. Ancak sınıfını hak ederek geçen ve herhangi bir destek olmaksızın lise müfredatını başarıyla tamamlamış bir öğrenci için diğer dersler gibi matematik dersi de zor olmasa gerekir.

Burada konu matematik dersinin zor veya kolay olmasından ziyade, matematik sorularının çözümünde nelere dikkat edilmeli ve nasıl davranmalıdır. İşte esas olarak üzerinde duracağımız konu budur.

Bu çerçeve içerisinde Matematiğin konularına göre düşünme yöntemleri ve uygulamalar üzerinde durulacaktır. Buna rağmen ayrıntılara girmeden önce genel olarak soru çözebilmenin ana hatları ve bu konuyla ilgili oalarak yapılan hatalar üzerinde duralım.
Matematik sorularının çözümü hayatın diğer problemlerini çözmekle eş değerdedir. Günlük hayatta karşılaştığımız bir problemi çözerken nelere dikkat ediyorsak matematik problemi çözerken de aynı şekilde davranılmalıdır. Problem çözmenin aşamaları vardır.
Bu aşamaları sırası ile şöyle özetleyebiliriz.

• Üzerinde çalışılan problemle ilgili iyi bir bilgi sahibi olmak gelir.
• Problem anlaşılmalıdır.
• Problem analiz edilmelidir. Problemle ilgili kullanılacak bilgilerin dökümü yapılmalıdır.
• Hangi bilginin kullanılacağına karar verildikten sonra uygulamaya geçilmelidir.

Şurası unutulmamalıdır ki bir konu problem çözülerek öğrenilmez. Bu bilimsel çalışmaların temelidir. Soru çözmek konunun pekişmesini ve daha iyi kavranmasını sağlar. Kesinlikle konunun öğrenilmesini sağlamaz. Bu unutulmamalıdır.
Başarmak isteyen bir kişi öncelikle üzerinde çalışacağı problemle ilgili konuyu iyi öğrenmeli sonra soru çözmelidir.
Bu günümüz şartlarında öğrencilerde ve matematikle ilişkisi olanlardaki genel kanaat şudur; konuyla ilgili bazı temel kuralları ezberlemek ve daha sonra da bunların pekişmesini sağlayacak alıştırmalar üzerinde çalışmak. Sınavlar ve günümüz öğretim anlayışı da maalesef bu yönde şekillenmektedir.

Oldukça sakıncalı olan bu yöntemle tamamen ezberci, öğrendiğini yorumlamaktan ve izah etmekten uzak, değerlendiremeyen ve çözüm üretemeyen bir nesille karşı karşıyayız. Bunu aşabilmenin yolları araştırmacılar ve eğitimciler tarafından ortaya konulmuştur. Öncelikle yapılması gereken şey ezberlemekten çok ispatlayarak öğrenen, öğrendiğini yorumlatan insanlar yetiştirmektir.

Esas olan budur.
Bir öğrenci ham yetenekleriyle basit aritmetik hesaplamaları yapabilir. Zihinden fazla işlem içermeyen soruları çözebilir. Ezberlediği kuralların uygulaması olan soruları zahmetsizce ve hatta başkalarını hayran bırakacak derecede pratik çözebilir. Ancak bunun matematik bilmek anlamına gelmediğini kabullenmek zorundayız.

Matematiksel düşüncenin temelinde ispatlamak vardır. Zira matematikte ikna yoktur. İspat vardır. Problem çözen bir kişinin bu ispatı öncelikle kendisine yapması gerekir. Her problem çözümünde ayrı bir ispat gerekir. İşte matematiğin zor olan fakat zor olduğu kadar insanı hayran bıraktıran tarafı budur. Matematik bunun için bütün bilimlerin kraliçesidir. “Benim söylediğim şey doğrudur” değil, “ispatı yapılan şey” doğrudur. Bu düşünce sistemi yalnız matematikte vardır.
İşte bunun için matematiğe hayranım ve öğrenmek istiyorum.

Şimdi yukarıda sözünü ettiğimiz genel problem çözme sırası üzerinde duralım.

• KONULARLA İLGİLİ YETERLİ BİLGİ SAHBİ OLMA

Bu prensip genel olarak bütün bilim dallarında problem çözebilmenin esas anahtarıdır. Konu ile ilgili bilgisi olmayan insanların, o konuyla ilgili soru çözmeleri mümkün değildir. Matematiğin hangi konusuyla ilgili soru çözülecekse önce konu öğrenilmelidir.
Örneğin; Bir sayı problemi çözerken sayı kavramından tutun da sayı kümelerinin özelliklerine kadar bilinmesi gerekir. Şimdi basit bir örneği ele alalım:

Bu iki örnekten şunu anlatmak istiyoruz. Sayılar kümesinin özelliklerini bilmeyen ve salt denklem çözmeye odaklanmış birisinin bulacağı sayısal değerlerin, sayı kümelerinin özelliklerine uymadığını düşünememesi soruyu çözmesi anlamına gelmemektedir.

Örmek: “4 sayısının karekökü kaçtır?” sorusuna cevap veren çok kişi “2 ya da – 2” cevabını verir. Ancak kareköklerin sonucunu mutlak değer olduğunu bilen bir kişinin vereceği tek doğru cevap vardır. Bu da hepimizin bildiği gibi 2 olmalıdır.
Bu örnekleri çoğaltabiliriz. Ancak daha sonraki bölümlerde ele alacağımız için bu kadarının anlatılmak isteneni ifade edebilmesi açısından yeterli görüyorum.

• PROBLEMİ ANLAMAK

Problemi anlamak tamamen konuyu iyi bilmekle ilgilidir. Hep söylenen şudur; “Problemi anlamak çözmenin yarısıdır.” ve bu görüş doğrudur. Sorunun ne istediğini tespit etmek, nasıl başlayıp nereye varacağına karar vermek için önemlidir. Bunu da örneklerle açıklamaya çalışalım:

Örnek: Bir üçgenin iç açıları sırasıyla 2, 3 ve 5 sayılarıyla orantılıdır. Bu üçgenin iç açılarının ölçülerini hesaplayınız?
Sorunun orantı kavramı ile üçgenin iç açılarının toplamının uygulaması olduğunu anlamak gereklidir. Aksi takdirde hangi sayıların bulunması gerektiği boşa yapılan bir çalışma olacaktır.

Örnek: Denklemi y=x2 olan fonksiyonun x=1 noktasındaki teğetinin denklemi nedir?
Bu soruyu çözerken fonksiyonun teğeti kavramının daha önceden iyi anlaşılmış olması gerekir. Bir noktadan geçen doğru denklemi yazılırken nelerin bilinmesi gerektiğinin üzerinde düşünülmelidir. Bu soruda anlaşılması gereken fonksiyonun teğetinin denkleminin bulunmasıdır.

Yukarıda verilen örneklerde istenen şeyler açıktır. Ancak aşağıdaki sorularda daha dikkatli davranılması gerekmektedir.

Örnek: 2x + y – 3 = 0 doğrusuna paralel olan ve x + 4y – 8 = 0 doğrusu ile y ekseni üzerinde kesişen doğrunun denklemi nedir? Sorusunu düşünelim.

Burada anlaşılması gereken, verilen iki doğru ile y eksenin aynı noktada kesişmesidir. Bu anlaşılırsa yapılacak şey x + 4y – 8 = 0 doğrusu ile y ekseninin kesişme noktasının bulunması ve daha sonra sorunun çözümüdür.

Örnek: f(x) = - x2 + 4 fonksiyonunun Ox ekseni ile sınırladığı bölgenin alanı nedir? Sorusunu anlayabilmek için bu alanı görmek gereklidir. Bunun için de şekil çizilmelidir. Aksi takdirde tamamen tahmine dayalı veya ezbere bir çözüm yapılmış olur ki sonuç tamamen tesadüflere bağlıdır.

Örnek. x2 + y2 – 6x – 4y – 3 = 0 fonksiyonu ile x2 + y2 – 6x – 4y + 1 = 0 eğrilerinin sınırladığı bölgenin alanının bulunması sorusu çözülürken öncelikle olarak alanın nasıl bir bölgenin alanı olduğunun bilinmesi gereklidir. Konuya hakim olanların anlayabileceği gibi bu iki eğri aynı merkezli iki çemberdir. İstenense bu iki çemberin sınırlandırdığı halkanın alanıdır.
Örnekleri çoğaltabiliriz. Ancak kesin olan şudur ki bir soruya cevap verebilmenin yolu sorunun istediğini anlamaktan geçmektedir.

• PROBLEMİN ANALİZİ

Problem analizi yapılırken aslında söylenmek istenen şey problemin çözümü için uygun bir yöntem aramaktır.
Eski bir deyimle “bir problemin n + 1 tane çözüm yolu vardır”. Tabiidir ki doğru hazırlanmış bir problem için.

Örnek alarak :” a = 2 , b = 3 olan bir ABC üçgeninin c kenarının uzunluğu nedir” sorusunu cevaplamak söz konusu olmaz. Çünkü bilgi eksikliği vardır. Bir üçgeni çözebilmek için en az bir tanesi uzunluk olmak üzere üç elemanının verilmiş olması gereklidir. Oysa burada iki tane bilgi verilmiştir.

Bir problem doğru hazırlanmışsa kesinlikle en az bir çözümü vardır. Bu çözüm yolunu bulmak problemi çözmek demektir. Yapacağımız çalışmalarda bu yolların bulunması için ipuçları vermeye çalışacağız.
xy = 2 seçeneğine göre x = 1, y = 2 ve z = 3 veya x = 2, y = 1 ve z = 3
xy = 3 seçeneğine göre x = 1, y = 3 ve z = 2 veya x = 2, y = 1 ve z = 2
xy = 6 seçeneğine göre x = 2, y = 3 ve z = 1 veya x = 3, y = 2 ve z = 1 çözümleri gerçekleşecektir.

Soru çözümünde çok yönlü düşünmek oldukça önemlidir. Örneğin bir geometri sorusu çözülürken soru ile ilgili konunun bütün kurallarının göz önünde bulundurulması gerekir.

Örnek : “Bir üçgenin iç açılarının toplamının 180 derecedir.” Önermesi ispatlanırken bir doğruya paralel bir ışın çizme, yöndeş açıların eşitliği ve doğrusal açının ölçüsünün 180 olduğunun bilinmesi gerekir.

Basit bir ispatta bile görüldüğü gibi birden çok argümanın düşünülmesi ve uygulanması gerektiğini görüyoruz.

Soru çözümü için yukarıdaki yorumlamaları yaptıktan sonra artık yapılması gereken uygulama yapıp soruyu çözmektir. Ancak bu yapılırken unutulmaması gereken en önemli şey bir matematik sorusunun kesinlikle zihinden çözülemeyeceğidir.
Zihinden soru çözmek, ilköğretimin ilk sınıflarında, öğrencilerin zihinsel fonksiyonlarını artırmak amacıyla uygulanan bir yöntemdir. Ancak bu uygulamanın özellikle yedinci sınıftan sonra terk edilmesi ve öğrencinin soruları çözerken kalem kullanma alışkanlığının artırılması ve bunun için ısrarcı olunması gerekir. Zira matematik soruları kalemle ve kâğıt üzerinde çözülmelidir.

Bir dört işlem problemi zihinden çözülebilir. Basit bir geometri sorusu zihinden çözülebilir. Ancak bir türev sorusu, bir integral sorusu, bir ikinci dereceden denklem sorusu kısacası matematik olarak nitelendireceğimiz sorularda zihinden yapabileceğimiz tek şey, çözüm yollarını tespit etmektir. Uygulama mutlaka kalemle yapılmalıdır.

Unutulmaması gereken en önemli hususlardan birisi de Matematik sorularının çözümünde belirli bir şablonun olmamasıdır. Gerektiğinde her matematik sorusunda, ifade yerinde ise, tekerleğin yeniden keşfedilmesi gereklidir. Matematiğe bu bakış açısıyla bakılır ve çalışmalara bu bakış açısıyla başlanırsa başarı gelecektir