Aritmetiğin Tarihsel Gelişimi

Aritmetik Yasaları
Aritmetiğin temel işlemleri toplama, çıkar­ma, çarpma ve bölmedir. Bu "dört işlem" ansiklopedinizde ayn birer madde olarak ele alınmıştır. Aritmetiğin temel kavramlarını ve hesaplama yöntemlerinin bazı özelliklerini bu maddede, konuyla ilgili öbür bilgileri de kesirler, matematik ve Ondalik Sayilar mad­delerinde bulabilirsiniz.
Dört işlem birbirinden ne kadar ayrı gibi gözükse de aralarında çeşitli bağlantılar var­dır. Hesap yaparken ya da hesapların doğru­luğunu sınarken bu bağlantılardan yararlanı­labilir. Nitekim toplama ve çıkarma işlemleri birbirinin "karşıtı" ya da tersi olduğundan, bu iki işlem arasında çok açık bir bağlantı söz konusudur. Örneğin 12 ile 5'i toplayınca 17, 17'den 5'i çıkarınca gene 12 bulunur. Bu işlemler şöyle gösterilebilir:


Bu işlemde rakamların yeri değişse bile sonuç değişmez. 5 ile 12'nin toplamı gene 17, 17'den 12 çıkarıldığında sonuç gene 5'tir. Demek ki bu ilişkiyi gösteren iki "aritmetik cümlesi" daha yazılabilir: 5+12=17 17-12=5

Çarpma ile bölme işlemleri arasında da aynı bağlantı vardır. Örneğin aşağıdaki dört aritmetik cümlesinde görüldüğü gibi bu iki işlem de birbirinin tersidir ve rakamlar yer değiştirdiğinde sonuç değişmez: 4X3=12 12+3= 4 3X4=12 12+4= 3

Aslında bir bölme işlemi yaparken bu problemi bir çarpma işlemine dönüştürmek herkese daha kolay gelir. Sözgelimi 24-5-3'ün kaç ettiğini bulmak için genellikle içimizden "Kaç kere üç 24 eder?" diye soranz. Bu sorunun sayılarla yazılışı ?x3=24 olduğuna göre, demek ki 24-5-3=? sorusu da aynı sonuca götürür. Çarpım tablosu'na. eğitimde çok önem ve­rilmesinin nedenlerinden biri, bu tablonun yalnız çarpma değil bölme işlemlerinde de kulianılabilmesidir. Üstelik bu tablodaki çar­pımların hepsini tek tek ezberlemek gerek­mez. Çünkü 7x8=56 olduğunu biliyorsanız
olduğunu da biliyorsunuz demektir. Buna çarpma işleminin değişme özelliği denir. Bu özellik nedeniyle, çarpılan iki sayı (çarpanlar) yer değiştirdiğinde sonuç (çarpım) aynıdır.

Diyelim ki 7 kere 8'in kaç ettiğini bilmiyor­sunuz, ama 7x4=28 olduğunu biliyorsunuz. Bu bilgiden yararlanarak 7 x 8'in kaç ettiğini nasıl bulursunuz? Elbette 28'in iki katını alarak. Neden böyle yapıldığını açıklamanın bir yolu, aynı işlemi aşağıdaki gibi yazmaktır:
7x8=7x(4x2) Bu durumda eşitliğin sağ yanındaki gösterimi (7x4)x2 biçimine dönüştürebiliriz. Çünkü üç sayıyı birbiriyle çarparken işleme ister ilk iki çar­panla, ister son iki çarpanla başlansın sonuç değişmez. Buna çarpmanın birleşme özelliği denir. Bu terimin seçilmesindeki neden, 7x4x2 gibi üç çarpanlı bir işlemde ortadaki 4 çarpanının 7 ya da 2 ile birleşerek işlemi başlatabilmesidir. (Toplama işlemi de tıpkı çarpma işlemi gibi hem değişme, hem birleş­me özelliği taşır. Buna karşılık çıkarma ve bölme işlemlerinde bu özelliklerin ikisi de yoktur.)
Çarpma işleminin başka bir özelliği de toplama üzerine dağılma özelliğidir.

Örneğin 3x14 işleminde bu özellikten nasıl yararlanı­lacağını inceleyelim. 14 sayısı 10+4 biçiminde de yazılabileceğine göre, 3x10 ile 3x4'ü ayn ayn hesaplayıp sonuçlannı toplayabiliriz: 3xl4=3x(10+4) =(3xl0)+(3x4) =30+12=42 Akıldan hesap yapmayı kolaylaştıran bu yöntem, kâğıt ve kalemle çarpma yaparken uygulanan çeşitli yöntemlerin de temelidir.
Sayılann birçok ilginç özelliği vardır ve he­sap yaparken çoğu işe yarar.

Örneğin aşağıda­ki bütün toplama işlemlerinin sonucu 85'tir: 36+49, 37+48, 38+47, 39+46, 40+45... Demek ki 99+67 yerine 100+66 işleminin sonucunu arayarak bu toplamayı kolayca yapabiliriz.

Aynı biçimde aşağıdaki çıkarma işlemlerin­de de sonuç hep 34'tür: 77-43, 76-42, 75-41, 74-40,..
Öyleyse 99-36 yerine 100-37 işlemini çöze­rek, aranan sonucun 63 olduğunu daha kolay bulabiliriz.

Sayılar arasındaki ilişkilerin bilinmesine dayanan bu "hesap oyunları" akıldan hesap yapmayı çok kolaylaştırır.

Çinli bir matematikçi ile bir imparator arasın­da geçen ilginç bir öykü anlatılır. Bu matema­tikçi, yaptığı bir hizmete karşılık kendisini ödüllendirmek isteyen imparatorundan bir satranç tahtasının karelerini dolduracak ka­dar pirinç ister. Ama bir koşulu vardır. Satranç tahtasının ilk karesine 1, ikincisine 2, üçüncüsüne 4, dördüncüsüne 8 pirinç tanesi konacak ve böylece son kare doluncaya kadar her seferinde pirinçlerin sayısı iki katına çıkarılacaktır.
64. kareye kaç pirinç tanesi koymak gerek­tiğini hesaplamak ister misiniz? (İmparator bu dileği hemen kabul etmiş, ama Çin gibi bir pirinç ülkesinde bile matematikçinin istediği kadar pirinç bulunamamış!)
Ama bu kadar sayıyı art arda yazmak çok zaman ve yer aldığından, daha kısa bir göster­me yöntemi benimsenmiştir:

1x2x2x2x2 =2" Sözgelimi en alttaki 24 kısaltması "ikinin dördüncü kuvveti" ya da "iki üssü dört" ola­rak okunur. Bunu izleyenlerin okunuşu da ay­nıdır. Yalnız "ikinin karesi" biçiminde oku­nan 22 ile "ikinin küpü" biçiminde okunan 23 bu okuma kuralının dışındadır. (Genellikle 2"i, yani "ikinin birinci kuweti"ni gösterme­ye gerek duyulmaz.) Gene Çinli matematikçi­nin isteğine dönersek, satranç tahtasının 64. karesine 263'e eşit sayıda pirinç tanesi koymak
Bütün bu örneklerdeki gibi 2\ 25, ... 263 bi­çiminde yazılan sayılara üslü sayılar, sağ üst köşeye yazılan sayılara ise 2'nin kuvvetleri ya da üsleri denir. Doğal olarak bütün sayıların "kuwet"i alınabilir. Örneğin, kullandığımız "onlu" ya da "on tabanına göre sayma siste-mi"ndeki tamsayıların birler, onlar, yüzler, binler basamakları 10'un kuvvetleridir ve 1 = 10° 100= 102 10=10' 1.000=105 biçiminde gösterilebilir.

Kenan 5 cm olan bir karenin alanı 5x5=25 cm2'dir {bak. Alan ve Hacim). 5x5'in kısaca 52 biçiminde yazıldığında "beşin karesi" diye okunması bundan kaynaklanır. Aynı biçimde, kenan 5 cm olan bir küpün hacmi 5x5x5 cm3 ya da kısaca 5' olduğundan bu sayıyı da "beşin küpü" olarak okuruz.

Bazen alanı bilinen bir karenin kenar uzun­luğunu bulmak gerekir. Bu işlemin sonucu o sayının karekök'üdür {bak. matematik). Aynı biçimde, hacmi bilinen bir küpün kenar uzun­luğunu bulmak için de o sayının küpkök'ünü alırız. Sayıların daha yüksek kuvvetlerini ya da köklerini bulmanın en kolay yolu ise bu tür özel fonksiyonlan olan hesap makineleri kul­lanmaktır.
Matematikçilerin gözünde aritmetik yalnız­ca sayılarla hesap yapmak değildir. Onlara göre aritmetik, sayılann ilginç yanlannı orta­ya çıkararak düşünme yeteneğimizi de gelişti­ren önemli bir matematik dalıdır.