Arama

Topoloji Nedir?

Güncelleme: 19 Ağustos 2015 Gösterim: 15.464 Cevap: 3
NihLe - avatarı
NihLe
Ziyaretçi
19 Ekim 2006       Mesaj #1
NihLe - avatarı
Ziyaretçi
Topoloji, Yunanca'da yüzey veya uzay anlamına gelen topos ve bilim anlamına gelen logos kelimelerinden türetilmiştir. Dolayısıyla, topoloji, uzaylar veya yüzeyler bilimidir.

Sponsorlu Bağlantılar
Topolojide amaç, nesneleri yırtmadan ve koparmadan, eğip bükerek bir başka nesneye dönüştürebilmektir. Bunun için de "homeomorfizma" adındaki denklik bağıntısı tanımlanmıştır. Homeomorfizma, topolojik denkliktir ve uzayları denklik sınıflarına ayırır. Başka bir deyişle X ve Y uzayları homeomorf ise X ile Y aynı topolojik özelliklere sahiptir, diyebiliriz.

Homeomorfizmaya örnek olarak, bir üçgenin bir çembere ya da bir çay bardağının, çay tabağına dönüşümünü alabiliriz. Bunu geometrik olarak görmek çok kolaydır. Gerçekten çay bardağı ya da tabağından birinin kauçuktan yapıldığını düşünürsek, o cismi yırtmadan, kesip koparmadan sadece çekip uzatarak ve eğip bükerek diğer cisme dönüştürebileceğimizi görürüz. Benzer şekilde kulplu bardak ve simidin birbirlerine aynı yöntemle dönüştürülebileceğini de görebiliriz.
NihLe - avatarı
NihLe
Ziyaretçi
19 Ekim 2006       Mesaj #2
NihLe - avatarı
Ziyaretçi
Bildiğimiz anlamda limit, türev, integral Öklid uzayında incelenir. Bize de bu şekilde öğretilmiştir. Ama Öklid uzayı dışında uzaylar da vardır. Riemann uzayı, Banach uzayı, Sorgenfery uzayı.vs. Genel anlamda bildiğimiz limit, türev, integral bu uzaylarda nasıl tanımlı olacak sorusuna cevap aranır. Tabii bunların yanında geometrik şekillerde de değişiklikler olur.

Sponsorlu Bağlantılar
Öklid uzayında bildiğimiz doğru parçası Riemann uzayında farklı bir şekilde olur. İşte bu tür sorulara cevap arayan bilim dalı "TOPOLOJİ" dir. Tabii bunun yanında topolojiyi sadece teorik bir dal, uygulaması yoktur diye algılamamak gerekir. Çünkü "Fuzzy Mathematics" diye bir alan var. Bu alanla topoloji ile uğraşanlar çok ilgileniyor. Türkçe karşılığı (tam olmasa da) “Bulanık Mantıktır” veya “Bulanık Matematik” tir. Şöyle açıklayabilirim bunu: Bildiğimiz gibi önermeler mantığında 1 doğru ve 0 yanlış kabul edilir. ancak 1-0 arasında sonsuz tane sayı vardır. İşin içine bu sayıları da kattığımız zaman ne olacak? Yani doğrular ne kadar doğru, yanlışlar ne kadar yanlış olacak? İşte bulanık mantıkta bununla ilgilenir. Daha da ileriye yönelik düşündüğümüzde, düşünen makineler yapmamıza olanak sağlayan (tabii şimdilik teoride) bir temeldir adeta. Şimdiki makinelerde bu 1-0 mantığı ile çalışıyor çünkü. Aslında bunun örnekleri karşımıza şimdiden çıkıyor bile diyebiliriz. Bazı beyaz eşya firmalarının çamaşır makinesi reklamlarında "Fuzzy Logic sistemi ile çalışıyor" deniliyor.

Ayrıca siz bilgisayarcıları ilgilendiren bir şey daha ekleyeyim. Bilindiği gibi algoritma yazarken girişler "input" çıktılar ise "output" ile gösteriliyor. İşte burada Fuzzy Logic sayesinde bazı değişiklikler var. Yani deyimler değişecek. Ne olacağını bilmiyorum ama hala şu an çalışmalar devam ediyor bu konuda.

Ben bu topoloji dalını biraz da kuantum fiziğine benzetiyorum. Orada bir kedi var, yanlış hatırlamıyorsam SCHRÖDİNGERİN KEDİSİ diye adlandırılıyordu problem. Burada bu kedi aynı anda hem ölüydü hem de canlıydı. Nasıl oluyor o kadar detayını bilmiyorum ama aslında oldukça ilginç bir fikir. İşte topolojide de böyle. Öklid uzayında bir doğru parçası başka bir uzayda farklı şekilde ifade ediliyor. Bunun yanında limit,türev,integral...vs de her bir uzayda farklı farklı tanımlanıyor.

Size somut bir örnek vereyim arkadaşlar. Bilindiği gibi Öklid uzayında dizilerin yakınsaklığı limit dediğimiz bir kavram ile açıklanır. Ancak bu olay uzay değiştikçe değişir. Mesela trivial topoloji dediğimiz en dar topolojide her dizi yakınsaktır. Ayrık topoloji ve bütünleyeni sayılabilir kümelerin oluşturduğu topolojide ise belli bir sayısından sonra terimleri aynı olan diziler yakınsaktır. Bu son dediğime bir örnek vereyim:
xn={1,1/2,2,3,4,4,4,4....} şeklindeki dizi diskret topoloji ve bütünleyenleri sayılabilir olan kümelerin ürettiği topoloji de yakınsaktır.

Topoloji yardımı ile şekilleri birbirine dönüştürebiliriz. Tabii teorik olarak. Hani çizgi filmlerde olur ya adamların elleri kolları uzar... Ben bunu oradaki olaylara benzetiyorum aslında.

Arkadaşlar şimdiye kadar topoloji ile ilgili kesin örnekler verdim. Buna biraz da (haddimi aşarak) kendi yorumları katmak istiyorum. Matematik bölümü okuyan arkadaşlarımız bilirler. Bizlere ilk sene tek değişkenli fonksiyonlar ile ilgili bilgi verildi. Bu bilgileri analiz (calculus) dersinde gördük. Sonra ikinci sene bu tek değişkenli fonksiyonlarla ilgili olan bilgileri iki, üç, dört... değişkenli fonksiyonlar üzerinde gördük. Tabii bunu yaparken aslında hep Öklid uzayı üzerinde gördük. Biz biliyoruz ki Öklid uzayı dışında uzaylarda vardır. Şimdi topolojinin katkısı burada başlıyor işte. Bizim limit olarak gördüğümüz kavram aslında topolojide verilen "yakınsaklık" kavramının özel bir halidir, bence. Aynı şekilde süreklilik öyle, aynı şekilde adına uzaklık dediğimiz mutlak değer topolojide "metrik" dediğimiz bir kavram ile genişletiliyor. Tabiiki amaç bu "makinelerin" (limit, türev, integral, süreklilik, uzaklık…) başka uzaylarda nasıl çalıştığını görmek.

Ben topolojiye "tüm analizlerin analizi" veya "analizlerin babası" diye hitap ederim. Çünkü dediğim gibi ilk sene ve ikinci sene adına "analiz" dediğimiz derste gördüklerimizi topoloji sayesinde başka başka uzaylara da aktarabiliyoruz.

Son bir şey daha: aslında hepimiz Öklid uzayı içerisindeyiz. Çünkü doğada adına doğru, çember, elips dediğimiz geometrik şekillerle Öklid uzayındaki bu şekiller bir biri ile örtüşüyor.


Erdem Altuntaç
Kaynak:
netmatematik.com

asla_asla_deme - avatarı
asla_asla_deme
VIP Never Say Never Agaın
13 Nisan 2009       Mesaj #3
asla_asla_deme - avatarı
VIP Never Say Never Agaın
Topoloji

Matematiğin ana dallarından biri olan Topoloji, Yunanca'da yer, yüzey veya uzay anlamına gelen topos ve bilim anlamına gelen logos sözcüklerinden türetilmiştir. Topoloji biliminin kuruluş aşamalarında yani 19. yüzyılın ortalarında, bu sözcük yerine aynı dalı ifade eden Latince analysis situs (konumun analizi) deyimi kullanılıyordu.

Topoloji sözcüğü bir topolojik uzayı tanımlamak için inşa edilen ve belli koşulları sağlayan kümeler ailesi için de kullanılır. Aşağıdaki matematiksel tanımda bu koşullar sıralanmıştır. Topolojik yapı, geometri bağlamında bir kümenin üzerine konabilecek en basit yapı olarak görülebilir. Başka bir deyişle, topoloji, geometri yapmak için atılan ilk adımdır.

Üzerine topoloji konmuş iki küme arasındaki geçiş, ancak topolojileri gözeten ve sürekli denen gönderimlerle olasıdır. İki topolojik uzayın denkliği, aralarında topolojiyi koruyan ve homeomorfizma denen sürekli bir gönderimin varlığıyla ortaya çıkar. Kabaca, bu tür gönderimler topolojik nesneleri yırtmadan ve koparmadan, eğip bükerek sürekli bir biçimde bir başka nesneye dönüştürür.

Bir homeomorfizmaya örnek olarak, bir üçgenin (içi boş) bir çembere ya da bir çay bardağının, çay tabağına dönüşümü verilebilir. Bunu geometrik olarak görmek çok kolaydır. Gerçekten çay bardağı ya da tabağından birinin kauçuktan yapıldığını düşünürsek, o cismi yırtmadan, kesip koparmadan sadece çekip uzatarak ve eğip bükerek diğer cisme dönüştürebileceğimizi görürüz. Benzer şekilde kulplu bardak ve simidin birbirlerine aynı yöntemle dönüştürülebileceğini de görebiliriz.

Özellikle 19. yüzyılın sonlarına doğru Henri Poincaré'nin çalışmalarıyla kesin temellerine oturtulan topoloji, 20. yüzyıl boyunca gelişmiş ve çeşitli altdallara ayrılmıştır. En temel altdal olan nokta-küme topolojisi, topolojiyi kümeler teorisi düzeyinde inceler; tıkızlık, bağlantılılık, ayrılabilirlik, sayılabilirlik gibi temel kavramlarla ilgilenir. Cebirsel topoloji altdalı, homotopi, homoloji gibi cebirsel-topolojik kuramlar aracılığıyla topolojik uzayları inceler. Düşük boyutlu topoloji, 2,3,4 boyutlu çokkatlıları inceler. Kısacası, topoloji sözcüğünün başına gelen sözcük, altdalın hangi matematiksel yapıları kullanarak topolojik uzayları incelediğini belirtir; örneğin geometrik topoloji, simplektik topoloji, kontakt topoloji vs.

Matematiksel Tanım

X herhangi bir küme, T ise X kümesinin altkümelerinin bir kısmından oluşan bir küme olsun. Eğer T aşağıdaki koşulları sağlıyorsa T'ye X'in üzerinde bir topoloji denir:

1. Boşküme ve X, T'nin elemanları olmalıdır.
2. T'nin herhangi sayıda elemanının (X'in altkümesi olarak) birleşimi yine T'nin elemanı olmalıdır.
3. T'nin sonlu sayıda elemanının kesişimi yine T'nin elemanı olmalıdır.

Bu koşulların sağlanması durumunda T ile donatılmış X kümesine bir topolojik uzay denir.

T'ye dahil olan her bir altkümeye açık (ya da X'te açık) denir. Tanım gereği, boşküme, X, herhangi sayıda altkümenin birleşimi, sonlu altkümenin kesişimi açık altkümelerdir. Bir altkümenin tümleyeni T'nin içindeyse o altkümeye kapalı denir. Dolayısıyla, boşküme ve X aynı zamanda kapalı altkümelerdir. Tüm bu tanımlardan yola çıkarak bir topolojik uzayda herhangi sayıda kapalı altkümenin kesişimi ve sonlu sayıda kapalı altkümenin birleşiminin kapalı olduğu kolaylıkla gösterilebilir.

T topolojisine dahil olan altkümelere açık denmesi, çok daha eski bir geleneğe dayanmaktadır. Gerçel sayılar çizgisi, üzerindeki uzaklık (metrik) kavramıyla birlikte düşünüldüğünde standart bir topolojik uzay örneğidir: bu uzayda bir noktaya olan uzaklıkları belli bir sayıdan küçük olan noktaların kümesine geleneksel olarak açık aralık denir. Bu tür açık aralıklar (ve herhangi sayıda birleşimleri) gerçel sayılar çizgisinin standart topolojisinin içinde yer alır. Benzer biçimde, bir düzlemin üzerine açık yuvarlar aracılığıyla kurulacak topoloji, geleneksel Öklit düzlemini verecektir. 'Gerçel sayılar topolojik uzayı'ndan kendisine herhangi bir fonksiyonun sürekli olması, analizdeki (calculus) geleneksel süreklilik tanımıyla tamamen aynıdır.

Bir topolojik uzayın X bir altkümesi üzerinde, uzayın topolojisi sayesinde bir topoloji kurulabilir. X'te açık herhangi bir kümenin A ile kesişimine A'da açık diyerek oluşturulan topolojiye altuzay topolojisi (tetiklenen topoloji) denir. Örneğin, Öklid düzleminde yatan bir üçgen, tetiklenen topoloji sayesinde sezgisel olarak beklediğimiz topolojik uzay yapısına kavuşur: üçgenin üzerine çizilen açık bir aralık, üçgende açık olacaktır.

X ve Y adlı iki topolojik uzay ve X'ten Y'ye giden bir f gönderimi için, Y'deki herhangi bir açık altkümenin f altında ters görüntüsünün X'te açık olması durumunda f gönderimine sürekli gönderim denir. İki topolojik uzay arasında birebir, örten, tersi ve kendisi sürekli bir gönderime homeomorfizma, bu uzaylaraysa homeomorfik denir. Örneğin, düzlemde yatan bir üçgenle bir çember ya da 3 boyutlu Öklit uzayında yatan bir simitle bir kulplu bardak (bulundukları uzaydan tetiklenen topolojileriyle) birbirlerine homeomorfiktir.

Topoloji; uzaysal yapı kavramı için verilen özel tanımlarla ilgilenen, değişik tanımları karşılaştıran ve küme üzerinde tanımlanan yapı ile ilgili özellikler arasındaki bağıntıları araştıran bir matematik bilim dalıdır.

Vikipedi
Son düzenleyen nötrino; 2 Ekim 2015 09:14 Sebep: Kırık link!
Şeytan Yaşamak İçin Her Şeyi Yapar....
Safi - avatarı
Safi
SMD MiSiM
19 Ağustos 2015       Mesaj #4
Safi - avatarı
SMD MiSiM
TOPOLOJİ a. (fr. topologıe)
1. Başlangıçta analysis situs (konum çözümlemesi) denen, Riemann'a göre sürekli karşılıklı birebir dönüşümlerin etkisinde değişmez özellikleri inceleyen, daha sonra tümüyle özerk olan matematik dalı
2. Bir E kümesinin parçalarından oluşmuş bu parçalara Tnin açıkları denir- aşağıdaki üç özelliği bulanan T? kümesi:1.0 e T) ve E e G;2. £ nin sonlu sayıdaki elemanlarının kesişimi yine £ nin bir elemanıdır;
3. V nin herhangi sayıdaki elemanlarının birleşimi yine '6 nin bir elemanıdır. (Herhangi bir E kümesi için besbelli daima iki topoloji vardır; biricik açıkları 0 ve E olan kaba topoloji ile, açıklar kümesi E nintF parçalar kümesi olan ince ya da ayrışmış topoloji).
4. Bir topolojinin bir f uygulamasıyla elde edilen görüntüsü, I no varış uzayının en ince topolojisi: (E,G)-> F, f yı sürekli duruma getirir (fCG)biçiminde gösterilen bu topolojiye, £ nin f ile elde edilen görüntü topolojisi denir.)

—ANSİKL. Çok geniş bir anlamda alınan topoloji, geometrik şekillerin, dolayları dolaylara dönüştürüp, karşılıklı birebir eşlemeyle, yani eşyapı uygulamasıyla değişmeyen özelliklerini inceler, ilkönce sezgisel olan, dolay kavramı ile limit ve süreklilik bağımlı kavramlarını kesin matematiksel bir temele oturtmak genel topoloji’nin konusudur. Bu kavramlar, Abel, Cauchy ve Bolzano'nun, bir serinin limitini ve bir fonksiyonun sürekliliğini tanımlamak gerekliliğinin bilincine vardıkları XIX. yy. başına kadar kavram haline getirilmeden kullanıldı. O zamandan beri, limit kavramının tarihini kapayan süzgeçlerin, 1940’ ta H. Cartan tarafından tanımına kadar bu kavramların genelleştirilmeleri sürdürüldü. Bu gelişmeler topolojiyi ayırt eden bir soyutlama eğilimine tanık oldular. XIX. yy. ortasında B. Riemann, Geometriye temel oluşturan varsayımlar adlı ünlü muhtırasında, fonksiyon kümelerini, örneğin bir Eukleides uzayının noktaları kümesiyle aynı nitelikte uzaylar olarak göz önüne almanın olanaklı oluşunu sezdi. Ama Riemannın “görüş’’ü ancak, gerçek doğrunun (daha sonra düzlemin ve uzayın) altkümele- rin özelliklerinin incelenmesinden sonra (G. Cantor tarafından) gerçekleşmeye ilk adımı atabildi. Riemann’ın çalışmalarında Cantor'unkilerde olduğu gibi, topolojik düşünceler, temelde çözümlemenin, özellikle gerçek değişkenli fonksiyonlar kuramının koymuş olduğu problemlere verilen yanıtlardan oluşmuştur, ilk önemli genelleştirmeyi Maurice Frechet’ye borçluyuz. Uzaklık kavramı üzerinde düşünerek metrik’ uzaylar kavramını o getirdi Bu uzaylar içinde, örneğin Eukleides düzleminde, bir P noktasının dolayları kendi limit ve süreklilik kavramlarını belitleme girişiminde D. Hılbert tarafından getirilmiş kavram- P ye s dan daha küçük bir uzaklıkta bulunan bütün noktalar göz önüne alınarak, ama aynı zamanda kimi nokta altküme- leri (metrikten yararlanmadan) özellikle belirtilerek tanımlanabilmiştir. Bu durumda o uzayların topolojik yapıyla donatıldığından söz edilir. Felix Hausdorff (1914) bunları, hemen hemen bugün kullanılanlara özdeş belitlerle tanımladı. O tarihten sonra genel topolo|inin konusu açık, kapalı, tıkız vb. temel kavramlarını tanımlamak ve topolojik uzaylar, metriklenebilir uzaylar vb. arasındaki bağları incelemek olacaktır.
Geometrik şekilleri en küçük eleman katıçmaçları olarak göz önüne alan (cebirsel) devşirim topolojisi’nin kökeninin, Leibnız (1679) tarafından pek belirsiz dille ifade edilmiş, analysis situs’ta bulunduğuna ilişkin bir düşünce vardır: "Bize cebirin, magmtudınemi (büyüklüğü) ifade ettiği gibi doğrudan situm'u (konumu) ifade eden, tümüyle geometrik ya da doğrusal olan bir başka çözümleme de gerekli olduğuna, inanıyorum.” Şimdi, Grassman'ın (1846'da) gösterdiği gibi, Leibniz' in düşünceleri topolojiden çok vektör hesabına varmaktadır. Euler, tasarıyı daha bilinçli bir biçimde ele alıyor ve (1735'te Petersburg'da Königsberg köprüleri problemi'ni bir konum geometrisi (geometrinin, yalnızca konum belirlemekle ve bu konumdan çıkan özellikleri araştırmakla uğraşan bölümü) örneği olarak ortaya atı yor. Görünüm şekildeki gibi olduğuna göre, sorulan soçu şöyleydi: bir kişi her köprüden bir kez, ama yalnızca bir kez geçebilir mi? Euler, problemlemin çözümü olmadığını gösteriyor. 1750'de Berlin Bilimler akademisi ne Euler, ifadesi belirsiz olmakla birlikte konum çözümlemesi’ ne varan bir teorem sunuyor; bu ünlü K+Y=A+2 bağıntısıdır, burada K bir çok yüzlünün köşe açılarının sayısını, A ayrıtların sayısını, F de yüzlerin sayısını göstermektedir, Euler çokyüzlüleri sınıflamak için bu sayılardan yararlanmıştır. XIX. yy. ortasına kadar topolojinin tarihi, pratik bakımdan Euler teoreminin tarihiyle, onun art arda yaptığı açıklamalarıyla ve çok sayıda tanıtlamalarıyla iç içe girer. İlk kez "topoloji" sözcüğüne J. B. Listing”de rastlanır (1836). O topoloji "geometrik yer bağıntılarının nitel yasalarının incelenmesi" olarak göstermiştir. F. Möbius şekilleri oluşturan elemanlar arasında bir eşleme kurarak onları karşılaştırır. O tarihten sonra topoloji, birbiri içinde biçim değiştirebilmesi (fizik bakımından) zorunlu olmayan soyut kümelere uygulanabiliyor. Möbius "temel bağımlama” adıyla eşyapı uygulaması getirdi ve çizgiler ile yüzeylerin (iki yanlı) bundan çıkan sınıflamasını inceledi.
XIX. yy.’ın ortasına doğru, yakın zamana kadar matematikçilerin uğraşmayı bırakmadıkları bir problem ortaya çıktı; bu Francis Guthrie’nin De Morgan’a sorduğu dört renk problemidir: bunda, düzlem üzerinde (ya da küre üzerinde) çizilmiş gelişigüzel alınan bir haritayı, iki komşu ülke aynı renkten olmama koşuluyla boyamak için, dört rengin yeterli olduğunu tanıtlamak sözkonusudur (1976’da amerikalı iki araştırıcı, bilgisayar kullanarak bu sanıyı ortaya koymayı başardılar. ( RENK LENDİRME.]) Riemann’ın çalışmaları, XIX. yy.’ın topolojideki araştırmalarına kuvvetli bir itme verdi. Bir yüzeyi iki farklı parçaya ayırmak için gerekli kapalı eğri sayısı 2p+1 olduğuna göre, yüzeyin p türünden yararlanarak o, kapalı yüzeyleri sınıfladı. Riemann için, topolojik bakımdan eşdeğer iki yüzeyin (kapalı) türleri besbelli aynıdır. E. Betti, bağlantılılığı bütün genelliğiyle ayırt etmeye çalışarak, her boyut için, Betti sayısı denen (boyut olarak 2p+1 e eşit) bir bağlantılılık sayısı getirdi. XIX. yy. sonuna doğru, gerçekten incelenen yüzeyler, yalnızca kapalı yüzeyler idi. Genel ve sistemli bir ilk kuramın yazarı Henri Poincare, atılımını XX. yy. başlarında yapan, o tarihten beri gelişmesi etkin olarak sona ermemiş cebirsel topolojinin gerçek kurucusu olarak düşünülebilir. Topolojinin bugünkü başlıca uzantıları (denklemler kuramında çok sayıda uygulamaları bulunan cebirsel ya da devşirim- sel topoloji) ve diferansiyel topolojidir.


Kaynak: Büyük Larousse

Benzer Konular

11 Kasım 2009 / Misafirugur Soru-Cevap