[asla_asla_deme]

OLASILIK TEORİSİ

Fiziksel ve sosyal bir olgunun kesin olarak belirlenmesi olanaksız da olsa, bu tür olgular yeterince gözlendiklerinde belirli bir düzenleri oldukları saptanabilir. Bu düzenin matematiksel ifadesini elde etmek, olguların gerçekleşmesine ilişkin yargılarımızı, önermelerimizi sayılaştırmak olasılık teorisinin sunduğu araçlarla olanaklıdır. Basitçe ifade edersek olasılık, rastlantısal bir olguya ilişkin bir önermenin kesine yada olanaksıza ne kadar yakın olduğunu gösteren bir sayıdır.

‘’0’’ olanaksızı ‘’1’’ ise kesini simgeler. Olasılık, objektif yöntemlerle ve/veya sübjektif süreçte hesaplanabilir. Bu büyük ölçüde ilgilenilen olayın niteliğine ve dolayısıyla baş vuracağımız olasılık tanımına bağlı olacaktır. Olasılığın 3 temel tanımını görmeden önce, bu tanımlarda ortak kullanılan temel kavramları ele alalım.

TEMEL KAVRAMLAR
Rastlantısal Deney ve Rastlantısal Deneme:
Raslantısal deney ya da kısaca deney, sonucu kesin olarak bilinmeyen olgulara ilişkin gözlem yapma ya da veri toplama süreci olarak tanımlanabilir. Örneğin hilesiz bir para 3 kez atılırsa kaç kez tura geleceğini, bir fabrikada üretilen makine parçalarının defoluluk yüzdesini tahmin etmek amacıyla çekilecek 40 adet makine parçasının kaç tanesinin defolu olacağını önceden bilemeyiz. Öyleyse madeni para 3 kez atılıp, kaç kez tura geldiği sayıldığında ya da 40 adet makine parçası kontrol edildiğinde birer rastlantısal deney yapılmış olur.

Raslantısal deney raslantısal denemelerden oluşur. Paranın 3 kez atılması rastlantısal deney ise, her bir atış bir raslantısal denemedir. Rastlantısal deney 40 adet makine parçasının incelenmesi ise, her parçanın kontrolü bir rastlantısal denemedir. Süphesiz rastlantısal deney tek bir denemeden oluşuyorsa deney – deneme kavramları denk olur.
Sonuç:

Her bir denemede elde edilen durum denemenin sonucu olarak adlandırılır. Örneğin para ikinci atışta tura gelmişse ya da kontrol edilen 17. Parça defolu ise bu durumda para atışı deneyinin 2. Denemesinde sonucu ‘’Tura’’, parçaların kontrolü deneyinin 17. Denemesinin sonucu ‘’Defolu’’ olarak gerçekleşmiş denilecektir.

Örnek Uzay:

Bir rastlantısal deneyde gerçekleşebilecek tüm mümkün farklı sonuçların oluşturduğu küme örnek uzay olarak adlandırılır.

Örneğin rastlantısal deney hilesiz bir zarın bir kez atılması ise, deney 6 farklı biçimde sonuçlanabileceği için örnek uzay S= {1,2,3,4,5,6} olacaktır. Zar iki kez atılıyorsa, bu deney 36 farklı şekilde sonuçlanabilir : S= {(1, 1) , (1, 2) , (1, 3) , ...., (4, 6) , (5, 6) , (6, 6) }. Rastlantısal deney bir makine parçasının kontrolü ise, iki farklı sonuç mümkündür; parça defoludur ya da değildir. Öyleyse örnek uzay S={Defolu, Defosuz} olacaktır.
Örnek uzay kesikli veya sürekli olabilir. S= { 1,2,3,4,5,6} gibi sonlu ya da S= {2,4,6,8,...} gibi sayılabilir sonsuz değerlerden oluşan örnek uzaylar kesikli olarak nitelendirilirken, bir doğru parçası üzerindeki ya da bir düzlem içindeki noktalar gibi sayılamayan sonsuz sayıda elemandan oluşan, dolayısıyla tek tek değerler yerine S= { X| a< x < b } gibi bir aralıkta ifade edilen örnek uzaylar ise sürekli olarak düşünülecektir.

Örnek uzayın kesikli ya da sürekli oluşu rastlantısal deneyi belirleyen değişkene ve bazen de bizim ölçme ya da kriterimize bağlıdır. Örneğin dayanma süresini test etmek amacıyla, bir ampulün teli yanana kadar açık bırakıldığını düşünelim. Ampulün teli hemen yanabileceği gibi, sonsuza kadar da bozulmadan (teorik olarak) kalabilir. Öte yandan zaman sürekli bir değişken olduğu için ampulün ömrü bizim ölçme hassaslığımıza (saat, dakika, saniye vs.) bağlı olarak her değeri alabilir. Öyleyse bu deneyin örnek uzayı S= { X | 0 < X < ¥ } olacaktır. Aralık olarak ifade edilen bu örnek uzay süreklidir. Ancak var sayalım ki, pratik nedenlerle ampulün dayanma süresi tam sayı olarak ifade edilmek istensin. Örneğin 2 saat 46 dakika olan bir değer en yakın tam değer olan 3 ile gösterilsin. Bu durumda örnek uzay negatif olmayan tam sayılardan S={0,1,2,3,...,¥} oluşan sayılabilir sonsuz yani kesikli örnek uzay olacaktır.

Olay:

Örnek uzayın herhangi bir alt kümesine olay denir. Örneğin
bir zarın atılması deneyinin örnek uzayı S= {1,2,3,4,5,6}’ in
alt kümeleri olan A1 = { 1,3,5 } , A2 = { 2,4,6 } , A3 = { 1,2 }
kümeleri birer olayı gösterebilir. Sözlerle ifade edilirse A1
olayı zarın tek gelmesi , A2 olayı zarın çift gelmesi, A3 olayı
ise zarın 3’ ten küçük bir sayı gelmesi olabilir.





Yukarıda verilen ampul örneğinde ise ampulüm ömrünün 120 saatten az olması B1={x | x<120} ya da 75 ile 1200 saat arasında olması B2={x | x 75 < x < 1200 }, 250 fazla olması B3={ x|x >250} alt kümeleri birer olayı simgeler.

Uygulama: Hilesiz bir para üç kere atılsın. Örnek uzayı en az tura gelmesi olayının kümesini oluşturduğumuzda.

En az 2 tura gelmesi olayını A ile gösterelim. S ve A;

S = { TTT, TTY, TYT, TYY, YTT, YTY, YYT, YYY} A={ TTT, TTY, YTY,YTT} olacaktır.


Olayların çeşitli kombinasyonları da aynı örnek uzayda yeni olayların tanımlanmasını sağlar. Aşağıda bunların temel olanları, Venn şemalarıyla birlikte verilmiştir.

A1 ÈA2 : A1’ in veya A2’ nin veya her ikisinin
De gerçekleşmesi olayıdır.



A1A2 : A1 ve A2 olaylarının her ikisinin de
Gerçekleşme olayıdır.







At1: A1’ in tümleyeni olarak adlandırılacak
Bu olay A1’ in gerçekleşmemesi olayıdır.







A1 \ A2 : A1’ in gerçekleşmesi ve A2 ‘ nin
Gerçekleşmemesi olayıdır.












Aynı anda gerçekleşmeleri mümkün olmayan diğer bir deyişle kesişmeleri boş küme olan olaylara ayrık olaylar denir. Örneğin olay kavramını tanımlarken örnek verilen A1 ve A2 olayları aynı anda gerçekleşmeleri olanaksız olduğu (zar hem tek hem de çift sayı gelemez), dolayısıyla A1A2 = Æ olduğu için ayrıktırlar. Ancak aynı şeyi A1 ve A3 ile A2 ve A3 olayları için söyleyemeyiz. Benzer şekilde B1 ve B2 ile B2 ve B3 olayları da kesişimleri boş küme olmadığı için ayrık değilken, B1 ve B3 olayları için ayrıktır.










Uygulama : A, B, C olayları aşağıdaki gibi tanımlansın.
A= {a, b, c, d} B= {d, e, f} C= {c, d, f, g}

A U B, AC, BC, AB, A U C, B U C, ABC, ve A\B olaylarını yazınız.

Çözüm:

A U B= {a, b, c, d, e, f} AC= {c, d} BC= {d, f} AB= {d}

A U C= {a, b, c, d, f, g} B U C= {c, d, e, f, g} ABC= {d} A\B= {a, b, c}

OLASILI

ĞIN TANIMLARI

Olasılığın hesaplanmasında ya da tanımlanmasında başlıca üç temel yaklaşım olduğunu söyleyebiliriz. Bu yaklaşımlarını kısaca ele alalım.
KLASİK YAKLAŞIM

S, gerçekleşme şansları eşit (eş olasılıklı) sonuçlarından oluşan bir örnek uzayı ve A ise bu örnek uzayda tanımlı bir olayı göstersin. A olayının gerçekleşme olasılığı P ( A ), bu yaklaşımda

P ( A ) = n( A ) / n ( S )

Olarak tanımlanır.
Uygulama: Hilesiz bir zar bir kez atılırsa 4’ ten büyük bir sayı gelme olasılığı nedir?
Çözüm :
Zarın hilesiz olduğunun belirtilmesi ile zarın yüzlerinin eşit gerçekleşme şansına sahip olması, dolayısıyla klasik tanıma başvurarak olasılığın hesaplanabileceği anlaşılmalıdır. S={1, 2, 3, 4, 5, 6} ve A={5, 6} olduğuna göre

P ( A ) = 2 / 6

Olacaktır.

Örnek uzayının sonsuz olduğu durumda payda sonsuz olacağı için klasik tanımın kullanılmayacağı açıktır. Bir diğer zayıf nokta ise örnek uzayı oluşturan tüm mümkün sonuçların eş olasılıklı (eşit sansa sahip) olması gerektiği koşuludur. Bu varsayım aslında rastlantısal deneye ve deneyin nesnesine ilişkin yapılan soyutlamadır.

Bu yüzden şans oyunlarına ilişkin olasılık problemlerinde zarın, madeni paranın hilesiz ya da homojen olduğu, iskambil destesinin iyi karıştırıldığı belirtilir. Aslında matematiksel nesneler de fiziksel açıdan soyutlanmıştır. Doğruların kalınlığı düzlemlerin yüksekliği yoktur. Bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların geometrik olarak tanımlanan çemberler pürüzsüzdür. Oysa bir kağıdın üzerine çizdiğiniz doğru, düzlem ya da çember matematiksel ifadelerine tam olarak uymazlar. Kağıdın dokusu, mürekkebin kalınlığı nedeniyle aslında hepsi fiziksel olarak 3 boyutludur. Ancak matematiksel nesneleri salt matematiksel düşünen, onlara fiziksel bir anlam katmayan matematikçiler (işlerini iyi yapmaları için bu şarttır.) için bu durum sakınca yaratmaz. Klasik tanımda yapılan soyutlama da bu anlamda matematiksel açıdan idealdir ve olasılık hesabına kolaylık sağlar. Ancak olasılık yaşama ilişkindir ve tüm mümkün sonuçların her zaman eşit şansa sahip olduğunu iddia etmek gerçekçi olmaz. Örneğin yarın yağmur yağma olasılığı ile ilgileniyorsak, örnek uzayın iki elemanı vardır. S={Yağmur yağar,Yağmur yağmaz}; klasik tanıma göre bu iki mümkün durumu eş olasılıklı kabul etmemiz, dolayısıyla her koşulda, her mevsimde yağmur yağma olasılığını ½ olarak vermemiz gerekir. Benzer şekilde kuzey anadolu fay hattında 2005 yılına kadar deprem olma olasılığı ile ilgileniyorsak yine iki mümkün durum vardır: S={Deprem olur, Deprem olmaz} . Hiçbir jeolojik inceleme yapmaksızın, deprem tarihi incelenmeksizin bu iki durumun eşit şansa sahip olduğunu iddia etmek şüphesiz gerçekçi olmayacaktır.


FREKANS TANIMIKlasik yaklaşımda rastlantısal deney soyut bir kavramdır. Yani deneyin fiziksel olarak gerçekleştirilmesi gerekmez. Diğer bir deyişle olasılıklar önsel (a priori) verilir. Paranın hilesiz olduğu var sayılır ve tura gelme olasılığı 0,50 olarak hesaplanır. Hilesiz olduğuna emin olmadığımız bir madeni paranın tura gelme olasılığı ile ilgileniyorsak, bu olasılığı bulmanın bir yolu söz konusu parayı yeterince atmak olabilir. Para n kez atılırsa ve n ( A ) kez tura gelirse n( A )/n oranını yani tura sayılarının frekans oranını tura gelme olasılığı kabul edebiliriz. Sezginsel olarak para ne kadar çok atılırsa n ( A )/n oranının gerçek olasılığa o kadar çok yaklaşacağını söyleyebiliriz.

Öyleyse olasılığın istatistiksel tanımı da denilen bu yaklaşımda, bir A olayının olasılığı

P ( A ) = lim n( A )/ n

n®¥
olarak tanımlanabilir. Burada n, rastlantısal deneyin tekrarlanma sayısını, n ( A ) ise, bu denemelerde A olayının gerçekleşme sayısını (frekansını) göstermektedir. Öyleyse bu tanımda olasılıklar klasik tanımın tersine sonsal (a posteiori) verilmektedir.

Zar hilesiz olduğu için klasik tanıma göre, herhangi bir yüzün gerçekleşme olasılığı

P ( A ) = 1/6

@ 0,1667

Olacaktır.
Doğada ve toplumda bir çok olayın olasılığını hesaplamada, bu olayların geçmişteki tekrar sayılarına (frekansına) başvururuz. Bu yüzden frekans tanımı geniş bir uygulama alanına sahiptir. Örneğin sigorta şirketleri belirli bir yaş grubundaki bir kişini ölme olasılığını hesaplamada daha çok ölüm istatistiğine başvururlar. Çünkü belirli bir yaş grubundaki ölümlerin toplam ölümlere oranı (frekans oranı) yıldan yıla büyük değişiklik göstermez. Geçmiş verilere bakıldığında bu oranın belirli bir değere yakınsadığı ve güvenebileceği anlaşılır.

Her ne kadar klasik tanımın kısıtlamaları (sonlu örnek uzayı ve örnek uzayın elemanlarının eş olasılıklı olması varsayımları) bu tanımda yoksa da, frekans oranı tanımının da zayıflıkları vardır. Birincisi, tanımda yer alan sonsuz kavramının pratikte neyi temsil ettiğine, gerçek olasılığa yakınsamanın gerçekleşmesi için kaç denemeye ihtiyaç olduğuna ilişkin kesin bir yanıt vermek olanaksızdır. İkincisi, bir dizi denemede belli bir değere yakınsamanın gerçekleşeceğini varsaysak bile; başka bir dizi denemede aynı değere yakınsamanın gerçekleşeceğine ilişkin teorik bir garanti yoktur.


SÜBJEKTİF TANIM


Bir olayın sübjektif olasılığı, daha önceki iki tanım da olduğu gibi yalnızca objektif yöntemlerle değil, sübjektif yargılarının da hesaba katıldığı ve söz konusu olayın geçerliliğine ya da olabilirliğine ilişkin verilen ve veren kişinin olayın gerçekleşmesine ilişkin kişisel güveninin derecesini gösteren [0, 1] aralığında reel bir sayıdır. Burada 0 olanaksızlığı, 1 ise kesinliği simgeler.

Sübjektif tanım, piyasaya ilk kez sürülecek olan bir ürünün % 25’ lik Pazar payı alması, 2015 yılında bir meteorun dünyaya çarpması ya da 20 yıl içerisinde Kuzey anadolu fay hattı üzerinde merkez üssü İstanbul’ un güneyi ve 7 büyüklüğünde bir deprem olması gibi gelecekte gerçekleşecek olayların olasılığını hesaplamada kullanılabilir. Olasılıklar tayin edilirken objektif veriye ve / veya sübjektif yargıya başvurulur. Örneğin deprem olasılığını hesaplayacak uzmanlar, son depremdeki fay deformasyonunun boyutunu, fayın ne kadar kırıldığını incelemek ve riskli fayın 3 boyutlu görüntüsünü çıkarmak suretiyle gelecek depreme ilişkin sübjektif yargıda bulunabilirler.

Bunun yanı sıra geçmişteki düzenli levha hareketlerini, daha önceki tarihte, hangi noktalarda, ne büyüklükte depremlerin olduğuna ilişkin objektif veriyi de sübjektif yargıyla birleştirerek olasılıkları tayin edebilirler. Ancak başvurdukları kriterlere, bilgi birikimlerine ve yeteneklerine göre farklı uzmanların farklı olasılıklar verebileceğini de sübjektif tanımda doğallıkla kabul etmemiz gerekir. Bir A olayının olasılığı bu yaklaşımda şu şekilde verilebilir. Örneğin deprem olma şansını, olmama sansının 3 katı görüyorsak,

P ( A ) / 1-P ( A ) = 3 / 1

Eşitliğini yazabiliriz. Buradan P ( A )

P ( A ) = 3 – 3P ( A )

&THORN; P( A ) = ¾

Olur. Öyleyse A’ ya verilen şans x, verilmeyen şans y ise,

P ( A ) / 1 – P ( A ) = X / Y

Eşitliğinden A olayının gerçekleşme olasılığı

P ( A ) = X / X+Y

Olarak elde edilebilir. Başka bir deyişle ifade edilirse, bir A olayının gerçekleşmesine ilişkin sübjektif olasılık:

P ( A ) = A’ ya verilen

şans / Toplam şans

Olarak tanımlanabilir. verilen şanslar ise genellikle kısaca x : y notasyonu ile belirtilir. Öyleyse yukarıdaki örnekte verilen şanslar 3 : 1 olarak ifade edilebilir.




OLASILIK TEORİSİNİN AKSİYOMATİK YAPISI

Matematiğin aksiyomatik yapısının 3 temel unsuru vardır:

Tanımsız terimler (Örn: Öklit geometrisinde nokta, doğru yada küme teorisinde küme, eleman)
Tanımsız ilişkiler (Örn: doğru üzerinde bir nokta, X kümesinin elemanı)
Aksiyomlar (Örn: iki noktadan bir doğru geçer). Aksiyomların sezgisel olarak doğrulukları açıktır ve ispatlamadan doğru olarak kabul edilirler.

Bu üç temel unsurdan yararlanarak, teoremler, yardımcı teoremler, sonuçlar vs. ile matematiksel yapı oluşturulur. Olasılık teorisi de aksiyomatik bir yapı olarak ele alınırken, olasılığın kendisi tanımsız bir terim olarak düşünülür. Yani olasılık teorisinde olasılığın ne olduğu sorusunun değil, nasıl hesaplanacağı sorusunun anlamı vardır.

Olasılık Teorisinin Aksiyomları:

S bir rastlantısal deneye ilişkin örnek uzay olsun. Olasılık teorisinde olasılığın ölçümünü sağlayacak aşağıdaki 3 aksiyoma başvurulur:

P( A ) ³ 0
P( S ) = 1
S örnek uzayı A1, A2,.....An,...... ayrık olaylarından oluşuyor ise;

P ( A1 U A2 U.....U An,...) = P (A1)+P (A2)+......+P (An)+...

Eşitliği yazılabilir. A olayının olasılığı P ( A ) daha önce tartışılan 3 tanımdan herhangi biriyle hesaplanabilir. Ancak hesaplanan bu olasılığın yukarıda verilen 3 aksiyomuda sağlaması gerekir.

Uygulama:
A1, A2, A3, A4 bir örneklem uzayını oluşturan ayrık olaylar ise, aşağıda bu olaylara ilişkin verilen olasılıkların uygunluğunu tartışalım.
(a) P (A1)=2 / 3 P (A2)=1 / 6 P (A3)= 1 / 12 P (A4)= 1/ 12
(b) P (A1)=1 / 4 P (A2)=2 / 4 P (A3)= 2 / 4 P (A4)= 1/ 4
(c) P (A1)=1 / 2 P (A2)=3 / 5 P (A3)= 1 / 5 P (A4)= 2/ 5
Verilen olasılıklar olasılık teorisinin 3 aksiyomu ile tutarlı olmak zorundadır.
Olasılıkları hepsi pozitif olduğu için birinci aksiyomu (P (A1) ³ 0) sağlanır. Toplamlar 1’ i verdiği için ikinci aksiyom ( P ( S )= 1)sağlanır. Üçüncü aksiyom (P ( A1 U A2 U A3 U A4)=P(A1)+P (A2)+P (A3)+ P (A4)) olayların tanımından dolayı sağlanır. Öyleyse bu şıkta verilen olasılıklar tutarlıdır.

Birinci aksiyom sağlanıyorsa da toplam olasılık (6 / 4) 1’ den büyüktür; dolayısıyla ikinci aksiyom sağlamaz. Bu yüzden olasılıklar geçerli değildir.

P (A3) < 0 olduğu için birinci aksiyom sağlamaz. Bu yüzden olasılıklar geçersizdir.

Bazı Önemli Teoremler:

Ai, S örnek uzayında tanımlı bir olay olsun. P (Ai) olasılığının hesaplanmasında daha önce söz edilen 3 tanımdan da faydalanılabilir ve üç aksiyom kullanılarak çeşitli teorem ve sonuçlar elde edilebilir. Aşağıda bunlardan bazılarına yer verilmiştir.


Teorem 1: At, A olayının tümleyeni ise P (At ) = 1 – P ( A )
Teorem 2: P ( Æ ) = 0

Teorem 3: A1 Ì A2 ise P (A1) £ P (A2)

Teorem 4: P (A1 U A2) = P(A1) + P(A2) – P (A1A2)

3 olayda söz konusu ise;

P( A1 U A2 U A3)= P(A1) + P(A2) + P(A3) – P(A1A2) – P(A1A3) – P(A2A3) + P(A1A2A3)

Olacaktır.

(Boole eşitsizliği): P(A1 U A2) £ P(A1) + P(A2)
teoremin bir sonucu olan Boole eşitsizliğinin genel hali ise

n n

P

(UAi)= åP(Ai)

i=1 i=1

Olarak yazılabilir.
Teorem 5: 0 £ P ( A )£ 1
Teorem 6: P ( A ) = P (AB) + P (ABt)

[sedat sencan]

Olasılık hesaplarını sınamak için 6 çeşit uygulama gerçekleştirdim.
Bu uygulamalarda araç olarak kullandığım zarları,5 yeni kuruştan biraz daha küçük minyatür plastik tavla pullarını,zarları içine koyduğum bardağı ve pulları içine koyduğum torba ile zarları üzerine fırlattığım masayı hiç değiştirmedim.
Zar atışlarında zarları bardak içine koyarken hiç bakmadım ve her seferinde bardağı hep çalkaladım.
Zarları masanın üzerine fırlatırken ilk önce karton bir duvara çarptırdım.
Pul çekilişlerinde 44 adet pul kullandım ve çektiğim pulları tekrar torbaya koymayı hiç unutmadım,her defasında torbayı iyice salladım.
Zar atılışlarında her iki zar aynı anda atıldığı için öncelik sıralaması yapmadım.Örneğin 2-3 ile 3-2 sonucunu aynı kabul ettim.
Her uygulamada 1 seans,50 zar atılışı veya pul çekilişinden oluştu.
Her bir uygulama 25 seanstan oluştu.Böylece her bir uygulama için ayrı ayrı 1250 zar atılışı ve pul çekilişi gerçekleştirdim.
Uygulama 10.5.2008 tarihinde başladı,17.6.2008 tarihinde bitti.
UYGULAMALAR
6-6 gelmesi için atılan zarlar
Ø Amaç:Zarların 6-6 gelmesi.
Ø Yöntem:1 seans 50 zar atılışı olmak üzere 25 seansta toplam 1250 atış.
Ø Sonuçlar:Toplam 35 kez 6-6 geldi.
Detay:
Seans sayısı Kaçar kez 6-6 geldiği
7----------------0
6----------------1
7----------------2
5----------------3
Toplam :25 seans,35 kez 6-6
Çift gelen zarlar
Ø Amaç:Atılan zarların 1-1, 2-2, 3-3, 4-4, 5-5, 6-6 gelmesi.
Ø Yöntem: 1 seans 50 zar atılışı olmak üzere 25 seansta toplam 1250 atış.
Ø Sonuçlar:Toplam 200 kez çift zar geldi.
Seans sayısı Kaçar kez çift zar geldiği
1----------------3
1----------------4
5----------------5
1----------------6
5----------------7
1----------------8
2----------------9
1----------------10
6----------------11
1----------------12
1----------------13
Toplam 25 seans,200 kez çift zar.
Detay:
1-1 :36 kez geldi.
2-2 :30 kez geldi.
3-3 :32 kez geldi.
4-4 :32 kez geldi.
5-5 :43 kez geldi.
6-6 :27 kez geldi.
Gelmesi istenen zarlar
Ø Amaç:Aklımdan geçen zarları atmak.
Ø Yöntem: 1 seans 50 zar atılışı olmak üzere 25 seansta toplam 1250 atış.
Her seansta 1-1, 1-2 ile başlayıp 6-6 ile sona eren 21 ihtimali 2 kez rastgele sıraladım.8 ihtimali de rastgele ilave ettim.
Ø Sonuçlar: Toplam olarak 59 kez aklımdan geçen zarlar geldi.
Detay:
Aklımdan geçen zarlar Kaç kez geldiği
1-1--------------------------2
1-2 (veya 2-1)------------4
1-3 (veya 3-1 )-----------5
1-4 (veya 4-1)------------1
1-5 (veya 5-1)------------5
1-6 (veya 6-1)------------4
2-2--------------------------1
2-3 (veya 3-2)------------3
2-4 (veya 4-2)------------3
2-5 (veya 5-2)------------5
2-6 (veya )6-2------------1
3-3--------------------------3
3-4 (veya 4-3)------------2
3-5 (veya 5-3)------------5
3-6 (veya 6-3)------------3
4-4--------------------------2
4-5 (veya 5-4)------------1
4-6 (veya 6-4)------------3
5-5--------------------------2
5-6 (veya 6-5)------------2
6-6--------------------------2
Toplam 25 seans,59 kez gelmesi istenen zar.
Gelen zarlar
Ø Amaç:Atılan zarların ne olduğunu gözlemlemek.
Ø Yöntem: 1 seans 50 zar atılışı olmak üzere 25 seansta toplam 1250 atış.
Ø Sonuçlar:
Gelen zarlar….. Kaç kez geldiği
1-1------------------39
1-2 (Veya 2-1)----61
1-3 (Veya 3-1)----76
1-4 (Veya 4-1)----68
1-5 (Veya 5-1)----62
1-6 (Veya 6-1)----62
2-2------------------27
2-3 (Veya 3-2)----67
2-4 (Veya 4-2)----75
2-5 (Veya 5-2)----77
2-6 (Veya 6-2)----80
3-3------------------37
3-4 (Veya 4-3)----56
3-5 (Veya 5-3)----75
3-6 (Veya 6-3)----70
4-4------------------40
4-5 (Veya 5-4)----76
4-6 (Veya 6-4)----73
5-5------------------43
5-6 (Veya 6-5)----61
6-6------------------25
Toplam:25 seans,1250 sonuç.
Belirli bir pulun gelmesi
Ø Amaç:İşaretli pulun gelmesi.
Ø Yöntem: 1 seans 50 çekiliş olmak üzere 25 seansta toplam 1250 çekiliş.
44 puldan birisinin işaretlenmesi.
Ø Sonuçlar:Toplam 1250 çekilişte 31 kez işaretli taş bulundu.
Detay:
Çekiliş sayısı Kaçar kez işaretli taş çekildiği
7----------------0
9----------------1
6----------------2
2----------------3
1----------------4
Toplam 25 seans,31 kez işaretli taş
Ø Yorum:Toplam 1250 kredi puanı ile oyuna başladığımı,bulunan herbir işaretli taş için 50 puan kazanacağımı düşünürsek 300 puan kazançlı çıkmış olurum.
Çekilen pulların renk sıralaması.
Ø Amaç:Birbiri peşisıra çekilen pulların kırmızı mı sarı mı geldiği.
Ø Yöntem : 1 seans 50 çekiliş olmak üzere 25 seansta toplam 1250 çekiliş.
22 adet kırmızı 22 adet sarı pul kullanıldı.
Ø Sonuçlar: 635 kez kırmızı, 615 kez sarı taş çekildi.
Detay:
Seans sırası Kaçar kez kırmızı ve sarı çekildiği
1----------------24,26
2----------------26,24
3----------------27,23
4----------------32,18
5----------------22,28
6----------------22,28
7----------------23,27
8----------------26,24
9----------------29,21
10--------------26,24
11--------------20,30
12--------------27,23
13--------------26,24
14--------------30,20
15--------------26,24
16--------------29,21
17--------------19,31
18--------------26,24
19--------------19,31
20--------------30,20
21--------------25,25
22--------------19,31
23--------------31,19
24--------------26,24
25--------------25,25
Toplam:25 seans,1250 taş çekilişi.
Ø Yorum:Eşit şans oranı (1/2) hemen hemen gerçekleşmiş oldu.

[asla_asla_deme]

Matematikte olasılık, herhangi bir şeyin gerçekleşme şansı, yani bir olaya hangi sıklıkla rastlanabileceğinin ya da bir olayın olabilirlik derecesinin ölçüsüdür. Olasılık kuramını iki Fransız matematikçi, Pierre Fermat (1601-65) ve Blaise Pascal (1623-62) ortaya koymuştur
Havaya bir madeni para atacak olursanız ya yazı ya da tura gelebilir. Her ikisi için de şans eşittir; bir başka deyişle, yazı gelme şansı ne kadarsa, tura gelme şansı da o kadardır. Demek ki. burada iki eşit olasılık vardır; bunlardan biri tura gelme olasılığıdır ve bu olasılık 2'de l'dir ya da bir başka gösterim biçimiyle Vz'dir.
Tek bir zar atıldığında, gelebilecek altı sayı vardır. Altı, bu sayılardan yalnızca biridir ve ilk atışta gelme olasılığı 6'da 1 ya da aynı şey demek olan Vfe'dır.
52'lik bir oyun kâğıdı destesinden birli çekme olasılığı 52'de 4'tür (çünkü 52 kâğıt içinde dört adet birli vardır); bu da 4/52 biçiminde gösterilebilir. Bu kesri sadeleştire-rek olasılığın V13 olduğunu da söyleyebiliriz (bak. kesirler).
Diyelim ki, üst üste iki kez para atışı yapıldı; bu iki atışta en az bir kez tura gelme olasılığı nedir? Burada karşılaşılabilecek du­rumlar sayılırken biraz daha dikkatli olmak gerekir. Örneğin, Fransız matematikçi Jean Le Rond d'Alembert (1717-83) üç farklı durumla karşılaşılabileceğini ileri sürme ya­nılgısına düşmüştü. D'Alembert'e göre, (i) ilk atışta tura gelebilirdi, (ii) ikinci atışta tura gelebilirdi, (iii) her iki atışta da tura gelmeye­bilirdi.
Bu üç durumdan ikisi turanın gelebilirliğini içerdiği için de olasılık 3'te 2 ya da bir başka gösterim biçimiyle 2/Vtü. Oysa şekilde de görüldüğü gibi, karşılaşılabilecek dört durum vardır:
Bu dört durumdan üçünde en az bir tura olduğuna göre, en az bir kez tura gelme olasılığı 3/4'tür. Demek ki, bu deney 100 kez yinelense bunların kabaca 75'inde en az bir kez tura gelir.
Çift zar atılırsa altı-altı (düşeş) gelme olası­lığı nedir? Bu iki yoldan bulunabilir:
1. Her zarın gelebileceği altı konum vardır.
Birinci zarın gelebileceği altı konumun her biri, ikinci zarın gelebileceği altı konumun her biriyle birer kez eşleştirilir. Bu yapıldığında, ikinci şekilde de görüldüğü gibi ortaya 36 durum çıkar. Bunlardan yalnızca biri altı-altıdır. Öyleyse olasılık 36'da l'dir ya da aynı şey demek olan '/36'dır.
2. Birinci zarda altı gelme olasılığı Vfc'dır; ikincide altı gelme olasılığı da yine aynıdır. İki zarda birden altı gelme olasılığı bulunmak istendiğinde, her bir zar için geçerli olan olasılıklar birbiriyle çarpılır: 14 x'/6='/%
Bu çarpma kuralı, birbirinden bağımsız iki olayın aynı ana rastlaması olasılığının kaçta kaç olduğunu bulmak için kullanılabilir. Di­yelim ki, bir oyun kâğıdı destesinden art arda iki kupa çekmek istiyoruz. Çekeceğimiz ilk kartın kupa olma olasılığı l3/v'dir ya da bir başka deyişle, oyun kâğıtlarının dörtte biri kupa olduğundan '/4'tür (her iki kesir eşdeğer­dedir). Ama ikinci kartı çekerken, geriye yalnızca 12 kupa ve toplam 51 kart kaldığı için, kupa gelme olasılığı l2/sı'dir. Her iki kartın birden kupa olması olasılığı ise, çarpma kuralı uygulanarak bulunabilir:

1/4XI%1 = I2/2(I4 = %1=I/17

Bu kesirleri ondalık sayılara çevirerek ola­sılıkları karşılaştırmak bazen daha kolay olur. Bir kupa çekme olasılığı, 1/4=0,25;

art arda iki kupa çekme olasılığı ise

V\ ı=0,0588

dolayındadır ve görüldüğü gibi ikincisi çok daha küçüktür. Çarpma kuralını kulla­narak, peş peşe 13 kupa çekme olasılığının kaçta kaç olduğunu da kolayca bulabiliriz:
13/52X 12/51 X U/5()X 10/49X9/48X8/47X7/46X6/45X 5/44 X 4/43 X 3/42 X 2/41 X VİO
Bu yaklaşık olarak 0,0000000000015'e eşit­tir ve gerçekten çok düşük bir olasılığı gös­terir.
Bir şey olanaksızsa, buna rastlama olasılığı da O'dır. Örneğin iki zarla toplam 1 atma ya da bir canlının sonsuza değin yaşama olasılığı O'dır. Öte yandan bir şeyin olacağı kesinse, buna her zaman (6 durum varsa 6'sında da, 100 durum varsa 100'ünde de) rastlanacaktır; bu gibi durumlarda olasılık l'dir. Örneğin bir canlının bir gün ölme olasılığı l'dir. Demek ki, olanaksızlık ve kesinlik dışındaki bütün öbür olasılıklar 0 ile 1 arasında yer alır. Eğer bir şeyin olasılığı Vi'den ya da bunun eşdeğeri olan 0,5'ten büyükse, bu durum o olayın olma olasılığının, olmama olasılığından daha yük­sek olduğu anlamına gelir.

Olasılıkları gösterdiğimiz biçimde hesapla­mak her zaman olanaklı olmaz. Örneğin, doğacak bebeğin kız olma olasılığını kuramsal olarak bilemeyiz. Ama son birkaç yıldaki doğumları gözden geçirerek, doğan kız sayısı­nın erkek sayısından biraz daha düşük oldu­ğunu görür ve bebeğin kız olma olasılığının 0,5'in biraz altında olduğunu söyleyebiliriz. Benzer biçimde, art arda iki kez para atıldı­ğında en az bir kez tura gelmesi olasılığının kaçta kaç olduğunu, bu çifte atışları 100 kez yineleyip kaçında en az bir kez tura geldiğini saptayarak da bulabilir ve saptadığımız sayı 75'se, olasılığın yaklaşık 75/ıoo (3/4 ya da 0,75) olduğunu söyleyebilirdik.
Benzer bir teknik örneklemede de kullanı­lır. Eğer bir gölde kaç tür balık yaşadığını ve bunların oranlarını öğrenmek isteseydik, bel­ki 100 balık tutar ve topladığımız bu örnekler içinde her türden kaç balık olduğunu sayabi­lirdik. Bu da bize göldeki değişik balıkların olası oranlarını verirdi. İzlediğimiz yöntemin ne ölçüde doğru sonuç verdiğini öğrenmek için olasılık kuramının daha ileri yöntemlerin­den de yararlanabilirdik.
Aynı yöntem kamuoyu yoklamalarında da kullanılır; Örneğin, örneklem olarak alınan 1.000 kişiye, siyasi partiler konusundaki dü­şünceleri ve hangi yönde oy kullanacakları sorulabilir. Bu yoklama ülke geneli için ol­dukça sağlıklı bir fikir verebilir.
Olasılık kuramı kumara ve şans oyunlarına olan ilgiyle başladı. Ünlü kumarbaz Chevalier de Mere bir gün Blaise Pascal'dan, bir oyun bitmeden önce durdurulmak zorunda kalınır­sa olası kazancın bölüştürülebilmesi için bir yöntem geliştirmesini istemişti.
Olasılık günümüzde istatistikte, kuram­sal fizikte, hava durumu tahminlerinde, mal­ların kalite kontrolünde ve sigortacılıkta da kullanılmaktadır.

MsxLabs & TemelBritannica

[ahmedugur]

s.a.kardes ben internette gezerken kendimi bu sitede buldum olasılık ve olasılık dağılımları ile alakalı bilgi arıyodum sende biseyler eklemissin oraya mumkunse daha genis bi bilgi bulucam bi yer varsa vede senin verdigin bilgilerin kaynagınıda verirsen sevinirim..sağlıcakla kal..

[smetcan]

Arkadaşlar merhaba. Benim sizlerden bir ricam olacak. Elimde bir şifre cihazı var. Bu cihaz 0 ile 9 arasında sayılardan oluşan toplamda 6 hanali şifreler üretmekte. örn: 048785 gibi. yani bir tek 6 haneli şifreler üretiliyor benim öğrenmek istediğim bu cihaz 6 haneli kaç tane şifre üretebilir? Yardımcı olursanız çok sevinirim.

[Majeste]

smetcan adlı kullanıcıdan alıntı

Arkadaşlar merhaba. Benim sizlerden bir ricam olacak. Elimde bir şifre cihazı var. Bu cihaz 0 ile 9 arasında sayılardan oluşan toplamda 6 hanali şifreler üretmekte. örn: 048785 gibi. yani bir tek 6 haneli şifreler üretiliyor benim öğrenmek istediğim bu cihaz 6 haneli kaç tane şifre üretebilir? Yardımcı olursanız çok sevinirim.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 rakamlarımız. 6 haneli şifremiz bu rakamlardan oluşacak.

10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 1000000 (1 milyon) şifre üretebilir.

[Hawk]

Adam Fawer'ın Olasılıksız isimli kitabını okuduktan sonra bu teorilerle baya yakından ilgilenmeye başladım.. Aralarında en çok kafamı karıştırdan Laplace'ın Şeytanı ile Olasılık teorisiydi. Teşekkürler.