[Mystic@L]

Türevin Uygulamaları

• f fonksiyonunun a noktasında türevi, f'nin grafiğine a noktasında çizilen teğetin eğimini verdiğinden bir fonksiyonun birinci ve ikinci türevlerine bakarak o fonksiyonun grafiğinin davranışları hakkında grafiği kaba taslak çizmemize yetecek kadar bilgi edinmemiz mümkündür.

• Hesabın Temel Teoremi'ne göre türev almakla integral almak, birbirlerinin tersi olan iki operasyondur.

• Taylor Açılımları, bir fonksiyonun bir noktadaki ilk birkaç dereceden türevini kullanarak o fonksiyona yakın bir polinom ifadeli fonksiyon bulmamıza yararlar. Çoğu zaman polinom ifadeli olmayan bir fonksiyonun bir noktadaki tam değerini bulmak sonsuz sayıda işlem gerektirdiğinden buna karşılık polinom değerli fonksiyonların deşerini hesaplamak sonlu bir işlem olduğundan bu açılımlar ve türev kavramı vazgeçilmezdir.

• Yaygın doğa felsefesi görüşüne göre, doğada gerçekleşen fiziksel olayların tümü sürekli yumşak geçişlidir. Tıpkı buzluktan çıkardığımız bir buzun aniden değil de yavaş yavaş erimesinde olduğu gibi. Dolayısıyla fiziksel olayları tarif etmekte kullanılan fonksiyonların hemen hepsinin türevlenebilir olması beklenir. Matematiğin Diferensiyel Denklemler dalı, doğada gözlenen verilerden bu tür fonksiyonlar çıkartma yöntemleri bulmak amacıyla geliştirilmiştir.

• Matematiğin Diferensiyel Geometri ve Diferensiyel Topoloji alanları öncelikle türevlenebilir fonksiyonlar aracılığıyla tarif edilebilen geometrik yapılarla ilgilenirler.

[Mystic@L]

Çarpma kuralı

Çarpma kuralı iki veya daha fazla fonksiyonun çarpımının türevinin hesaplanmasında kullanılan bir yöntemdir. Kuralı Gottfried Leibniz türettiği için bu kural Leibniz kuralı olarak da geçer. Kuralın matematiksel ifadesi f ve g sırasıyla f(x) ve g(x) ifadelerinin kapalı formu olmak üzere şöyle verilir:

İspat

Türevin tanımı kullanılarak iki fonksiyonun çarpımının türevine bakılırsa


Genelleme

F fonksiyonu N tane birbirinden farklı ancak aynı değişkene bağlı fonksiyonun çarpımı olsun.

Bu ifadenin türevi yukarda yapılan ispata dayanılarak şu şekilde gösterilir:

Çarpımın ifadesindeki i, 1 'den N 'ye kadar k hariç her değeri alır.

[Mystic@L]

Bölme kuralı, iki fonksiyonun bölümünün türevinin hesaplanmasında kullanılır. Daha genel olan çarpma kuralının özel bir durumudur. f(x) ve g(x) fonksiyonlarının kapalı temsili olan f ve g ifadeleri için bölüm kuralı şu şekildedir.



İspat

Çarpma kuralı kullanılarak aynı ifade yeniden yazılıp çözüme geçilirse,

ispatı yapılır. Burada dikkat edilmesi gereken bir husus türevi hesaplanırken zincir kuralı kullanılmış olduğudur.

[Mystic@L]

Zincir kuralı bir değişkene bağlı bir fonksiyonun değişkeninin başka bir değişkene bağlı olması durumunda türevinin:
şeklinde yazılabilmesidir [u = u(x)]. Diğer gösterimleri ise
ve
şeklindedir.


Örnek A

f(x) = sin(x3) ifadesi f(x) = h(g(x)) olarak yazılabilir. Burada h(x) = sin(x) ve g(x) = x3 olarak tanımlıdır. Zincir kuralı uygulanırsa f fonksiyonunun türevi:
olarak yazılabilir. Türevler yerine koyulursa
sonucu bulunur.

Örnek B

f(u) = ln(u) ve u = sin(x) olarak verilsin. f fonksiyonunun x' e göre değişimi zincir kuralı ile
olarak bulunur.