[virtuecat]

A. BÖLME

A, B, C, K birer doğal sayı ve B ¹ 0 olmak üzere,

bölme işleminde,

• A ya bölünen, B ye bölen, C ye bölüm, K ya kalan denir.
• A = B . C + K dır.
• Kalan, bölenden küçüktür. (K < B)
• Kalan, bölümden (C den) küçük ise, bölen (B) ile bölümün (C) yeri değiştirilebilir.
• K = 0 ise, A sayısı B ile tam bölünebiliyor denir.

B. BÖLÜNEBİLME KURALLARI

1. 2 İle Bölünebilme
Birler basamağındaki rakamı çift olan sayılar 2 ile tam bölünür.
Tek sayıların 2 ile bölümünden kalan 1 dir.
2. 3 İle Bölünebilme
Rakamlarının sayısal değerleri toplamı 3 ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünür.
Bir sayının 3 ile bölümünden kalan, rakamlarının toplamının 3 ile bölümünden kalana eşittir.
3. 4 İle Bölünebilme
Bir sayının onlar basamağındaki rakam ile birler basamağındaki rakamın (son iki basamak) belirttiği sayı, 4 ün katı olan sayılar 4 ile tam bölünür.

... abc sayısının 4 ile bölümünden kalan bc nin (son iki basamak) 4 ile bölümünden kalana eşittir.
l... abc sayısının 4 ile bölümünden kalan
c + 2 . b nin 4 ile bölümünden kalana eşittir.

4. 5 İle Bölünebilme
Birler basamağındaki rakam 0 veya 5 olan sayılar 5 ile tam bölünür.
Bir sayının 5 ile bölümünden kalan, o sayının birler basamağındaki rakamın 5 ile bölümünden kalana eşittir.
5. 7 İle Bölünebilme
(n + 1) basamaklı anan-1 ... a4a3a2a1a0 sayısının 7 ile tam bölünebilmesi için,
k Î Z olmak üzere,
(a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) + ... = 7k
olmalıdır.

Ü Birler basamağı a0, onlar basamağı a1, yüzler basamağı a2, ... olan sayının 7 ile bölümünden kalan (a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) + ... işleminin sonucunun 7 ile bölümünden kalana eşittir.

6. 8 İle Bölünebilme
Yüzler basamağındaki, onlar basamağındaki ve birler basamağındaki rakamların (son üç rakamın) belirttiği sayı 8 in katı olan sayılar 8 ile tam bölünür.
3000, 3432, 65104 sayıları 8 ile tam bölünür.

Ü Birler basamağı c, onlar basamağı b, yüzler basamağı a, ... olan sayının 8 ile bölümünden kalan c + 2 . b + 4 . a toplamının 8 ile bölü-münden kalana eşittir.

7. 9 İle Bölünebilme
Rakamlarının toplamı 9 un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür.
Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, o sayının rakamlarının toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir.
8. 10 İle Bölünebilme
Birler basamağındaki rakamı 0 (sıfır) olan sayılar 10 ile tam bölünebilir. Bir sayının birler basamağındaki rakam o sayının 10 ile bölümünden kalandır.
9. 11 İle Bölünebilme
(n + 1) basamaklı anan–1 ... a4a3a2a1a0 sayısının 11 ile tam bölünebilmesi için
(a0 + a2 + a4 + ...) – (a1 + a3 + a5 + ...)... = 11 . k
ve k Î Z olmalıdır.
® (n + 1) basamaklı anan–1 ... a4a3a2a1a0 sayı-sının 11 ile bölümünden kalan
(a0 + a2 + a4 + ...) – (a1 + a3 + a5 + ...)... işleminin sonucunun 11 ile bölümünden kalana eşittir.
Aralarında asal iki sayıya bölünebilen bir sayı, bu iki sayının çarpımına da tam bölünür.

• 2 ve 3 ile tam bölünen sayılar 6 ile de bölünür.
• 3 ve 4 ile tam bölünen sayılar 12 ile de bölünür.

C. BÖLEN KALAN İLİŞKİSİ

A, B, C, D, E, K1, K2 uygun koşullarda birer doğal sayı olmak üzere,
A nın C ile bölümünden kalan K1 ve
B nin C ile bölümünden kalan K2 olsun.
Buna göre,

• A . B nin C ile bölümünden kalan K1 . K2 dir.
• A ± B nin C ile bölümünden kalan K1 ± K2 dir.
• D . A nın C ile bölümünden kalan D . K1 dir.
• AE nin C ile bölümünden kalan K1E dir.

Burada kalan değerler bölenden (C den) büyük ise, tekrar C ile bölünerek kalan bulunur.
D. ÇARPANLAR İLE BÖLÜM

Bir A doğal sayısı B . C ile tam bölünüyorsa A sayısı B ve C doğal sayılarıyla da bölünebilir. Fakat bu ifadenin karşıtı (A sayısı B ile ve C ile tam bölünüyorsa A sayısı B . C ile tam bölünür.) her zaman doğru değildir.

• 144 sayısı 2 . 6 = 12 ile tam bölünür ve 144 sayısı 2 ile ve 6 ile de tam bölünür.
• 6 sayısı 2 ile ve 6 ile tam bölünür. Fakat 6 sayısı 2 . 6 = 12 ile tam bölünemez.

E. BİR TAM SAYININ TAM BÖLENLERİ

Bir tam sayının, asal sayıların çarpımı biçiminde yazıl-masına bu sayının asal çarpanlarına ayrılması denir.
a, b, c birbirinden farklı asal sayılar ve m, n, k pozitif tam sayılar olmak üzere,

A = ** . bn . ck olsun.

• A yı tam bölen asal sayılar a, b, c dir.
• A sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı: (m + 1) . (n + 1) . (k + 1) dir.
• A sayısının pozitif tam bölenlerinin ters işaret-lileri de negatif tam bölenidir.
• A sayısının tam sayı bölenleri sayısı:

2 . (m + 1) . (n + 1) . (k + 1) dir.

• A sayısının tam sayı bölenleri toplamı 0 (sıfır) dır.
• A sayısının pozitif tam bölenlerinin toplamı :

• A sayısının asal olmayan tam sayı bölenlerinin sayısı, A nın tam sayı bölenlerinin sayısından A nın asal bölenlerinin sayısı çıkarılarak bulunur.
• A nın asal olmayan tam sayı bölenleri toplamı – (a + b + c) dir.
• A sayısından küçük A ile aralarında asal olan sayıların sayısı:

• A sayısını pozitif tam sayı bölenlerinin çarpımı:

kaynak : matematikci.org

[ThinkerBeLL]

Bölme
MsXLabs.org & Temel Britannica

Bir doğal sayıyı başka bir doğal sayıya bölerek çözülebilen değişik problem türleri vardır. Bir paylaştırma sonucundaki payları bulmak için bölme işlemi kullanılabi­lir. Eğer 20 elmanız varsa ve bunları 4 kişi arasında paylaştırmak istiyorsanız her birinin payına 5 elma düşer.
Bunu şöyle yazabiliriz:

20 elma / 4 = 5 elma

Öte yandan, eğer 20 elmanız varsa ve elinizdeki kutulardan her birine 4 elma koy­mak isterseniz, o zaman içlerinde 4'er elma bulunan 5 kutunuz olur.
Burada sorulan soru şudur:
20 elmadan 4 elmalık kaç küme elde edebilirim?
Bunu şöyle yazabiliriz:

20 elma / 4 elma = 5

İlk örnekte, gerçekte 20'nin dörtte birini buluyor, bir başka deyişle 20'yi 4'e bölüyor­duk. İkinci örnekte ise, 20'de kaç tane 4'lü küme olduğunu ya da 20'den 4'ü kaç kez çıkarabileceğimizi soruyoruz. Bu iki durumda farklı şeyler yaptığımız görülüyor. Ama yal­nızca rakamlarla gösterdiğimiz zaman her iki durumda da

20 / 4 = 5

yazıyoruz. Yaptığımız işi şekillerle gösterirsek aralarındaki fark açıkça görülecektir.İlk örnekte 20 elemanlı bir kümeyi 4 kümeye bölüyor ya da paylaştırıyoruz ve her kümede kaç eleman bulunduğunu soruyoruz.

b_1.JPG

Oysa ikinci örnekte, 20 elemanlı bir kümeyi 4 elemanlı kümelere bölüyor ve kaç tane 4 elemanlı küme elde edeceğimizi soruyoruz.

b_2.JPG

Birinci örnekte bulduğumuz 5 sayısı bir kü­medeki eleman sayısını gösterirken, ikinci örnekte bulunan 5 sayısı kaç tane küme olduğunu gösteriyor.
Konuyu başka bir örnekle inceleyebiliriz. Eğer 20 cm uzunluğunda bir kurdelemiz varsa, bunu 4 eşit parçaya ayırdığımızda hangi uzunlukta parçalar elde edeceğimizi sorabi­liriz:

------------------------ 20 cm ----------------------------- ► 5 cm

Şekilde gösterilen işlemi

20 cm / 4 = 5 cm

biçiminde yazabiliriz.

Ama öte yandan, 20 santimetrelik bu kur­deleyi her biri 4 santimetrelik kaç parçaya ayırabileceğimizi de sorabiliriz:

------------------------ - 20cm ---------------------------- ► 4 cm

Bu şekilde gösterilen işlemi de

20 cm / 4 cm = 5

biçiminde yazabiliriz.

Birinci durumda yanıt 5 santimetredir; oysa ikincide yanıt 5 parçadır. Her iki durumda da işlemi yalnızca rakamlarla gösterirsek aynı şe­yi yazarız:

20 / 4 = 5

Bölme, çarpmanın tersi olarak da ele alına­bilir. Eğer biz,

4 x 5 = 20

ya da (aynı sonucu veren)

5x 4 = 20

olduğunu biliyorsak,

20 / 4 = 5

ya da

20 / 5 = 4

olduğunu da biliriz.
Eğer 4'le çarpmayı bir şeyi 4 katma çıkar­mak ya da bir şeyi 4 kez büyütmek olarak düşünürsek, bölmenin çarpmanın "tersi" ol­duğu daha açıkça görülebilir. Öyleyse, bir şeyi 4 kez küçültmek için 4'e böleriz diye düşünebiliriz.
4'ü beş kez büyütürsek 20 elde ederiz: x 5

4 ------------------------- * 20

20'yi beş kez küçültürsek, yeniden 4 elde ederiz:

H- 5
4 *-------------------------- 20

Bölenler
Eğer bir doğal sayı başka bir doğal sayıya tam olarak bölünüyorsa yanıt her zaman bir doğal sayıdır. Bir doğal sayıyı tam olarak bölen doğal sayılara o sayının bölenleri denir. Örneğin, 6'nın bölenleri 1, 2, 3 ve 6'dır. Do­ğal sayıların her biri için o sayının bölenleri­nin oluşturduğu kümeleri yazabiliriz:

b_3.JPG

ve bu böylece sürüp gider. Bazı sayıların çok sayıda böleni vardır:

24'ün bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

Birçok sayının ise yalnızca iki böleni bulunur:

37'nin bölenleri: 1, 37.

Yalnızca iki böleni olan doğal sayılara asal sayılar denir.
Bölenleri arasında 2'nin de bulunduğu do­ğal sayılara çift sayılar denir. Çift sayıların dışında kalan doğal sayılar ise tek sayılardır. Öyleyse çift sayılar, 2'nin katlan olan ve 2, 4, 6, 8, 10, 12 diye sürüp giden sayıları kap­sar.

Kalanlar
Bölmenin sonucu bir tam sayı değilse yanıtı yazmanın çeşitli yolları vardır. Eğer 21 elmayı 4 kişi arasında paylaştırmak isterseniz onların her birine 5 elma verebilirsiniz, ama kalan 1 elmayı kesmeden paylaştıramazsınız. Elinizde kalan bir elmaya kalan denir.
Bu genellikle aşağıdaki gibi yazılır:

21 + 4 = 5, kalan 1.

Eğer 21 cm uzunluğundaki bir kurdeleyi 4 eşit parçaya ayırmak istiyorsanız durum bu kez farklıdır. Çünkü geriye 1 cm kurdele bırak­manın hiçbir anlamı yoktur:

--------------------- 21cm --------------------------------- ►
5cm......... 5cm.......... 5cm......... 5cm......... 1cm

b_4.JPG

Artakalan 1 santimetrelik kurdele de 4 eşit parçaya ayrılarak ötekilere eklenebilir ya da kurdele daha başlangıçta 4 eşit parçaya bölü­nebilir:

■«----------------------- 21 cm ----------------------------- -

Böylece her biri 5 lA santimetrelik kurdele parçaları elde edilebilir:

21 + 4 = 5 lA

Ondalık sayıları kullanarak bunu şöyle yazarız:

21 -i- 4 = 5,25.

21 santimetrelik kurdeleden kaç tane 4 santimetrelik parça kesebiliriz?
5 parça kese­riz, geriye de 1 cm uzunluğunda bir parça kalır. Kalan bu 1 cm fazlalık istenen uzunluk­taki parçanın dörtte birine eşittir. Bu durum­da elimizde 5 Va parça kurdele olacaktır:

------------------------- 21cm ------------------------------- »

ı------------ 1----------- 1----------- 1----------- 1----------- n t-1-!

Çarpanlar
Bölmeyle ilgili bir başka işlem de çarpanlara ayırma'du; yani bir sayıyı çarpanlara cinsin­den yazmaktır. İşte iki örnek: 6 = 2x3 12 = 2 x 2 x 3 Daha büyük sayıları çarpanlarına ayırmak için işlemin aşamalarını gösteren bir şekil kul­lanabiliriz. Örneğin 24'ü çarpanlarına ayıra­lım. Önce iki çarpanına ayırabiliriz:
3'ü ne yapabiliriz? Bütün yapabileceğimiz

3 = 3x1

demektir; çünkü 3 asal sayıdır. Aynı biçimde, yeni bulduğumuz 3'ü de çarpanlarına ayı­rırsak

3 = 3x1x1

buluruz. Yeni bulunan 3'ü de çarpanlarına ayırarak

3 = 3x1x1x1

bulunur ve bu sürüp gittikçe l'lerin sayısı artar. Pek anlamlı olmayan bu 1 çarpanlarını dikkate almazsak sonuç değişmez. Bu neden­le, çarpanlara ayırma işlemi sırasında asal sayılarla karşılaşınca artık o asal sayıyı çar­panlarına ayırmayız.
Ama 4'ü çarpanlarına ayırarak şekli aşağı­da görüldüğü gibi tamamlayabiliriz:

b_5.JPG

Elde ettiğimiz sayıların hiçbiri artık yeniden çarpanlarına ayrılamaz. Bu "dalların" ucun­daki bütün sayıları bir araya getirirsek

24 = 2x2x2x3

elde ederiz.

24'ü çarpanlarına ayırırken ilk aşamada
8x3 yerine 6x4 olarak ayırsaydık ne olurdu?
O zaman aşağıdaki şekli elde ederdik:

b_6.JPG

Bu durumda,

24 = 3x2x2x2

yazabiliriz. Sonucun öncekinin aynı olduğu, yalnızca çarpanların sırasının değiştiği açık­ça görülüyor. Gerçekten de bir sayıyı çarpan­larına nasıl ayırırsanız ayırın, sonunda her za­man aynı asal çarpanlar kümesi ortaya çı­kar.

Sayılar büyüdükçe çarpanlarının sayısının da arttığı düşünülebilir, ama bunun doğru olmadığı bir örnekle kolayca anlaşılır. 60 ve 61'i çarpanlarına ayıralım:

60 = 2x2x3x5
61 = 61