Dört İşlem - Bölme ve Bölünebilme

Bölünebilme kuralları

Vikipedi, özgür ansiklopedi



Bölünme Kuralları, matematikte sayıların 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,12,13,17,19,25 sayılarına kalansız olarak bölünüp bölünemediklerini bölme işlemi yapmadan anlamaya yardımcı olan kurallarıdır.

1'e bölünme kuralı
Her sayı bölünür.
2'ye bölünme kuralı
Son rakamı çift sayı ise bölünür.Bir sayı 2 ile bölünmezse kalan her zaman tek sayı olur.
3'e bölünme kuralı
Rakamların sayı değerleri toplamı 3 veya üçün katlarıysa bölünür.
4'e bölünme kuralı
Bir sayının birler ve onlar basamağı 00 ya da 4'ün katı ise sayı 4 ile bölünür.
5'e bölünme kuralı

Son rakamı 0 veya 5 ise bölünür
6'ya bölünme kuralı

Sayı hem 2'ye hem 3'e kalansız bölünebiliyorsa 6'ya da bölünür.
Ana madde: 7 ile bölünebilme
7'ye bölünme kuralı

Sayının rakamlarının altına birler basamağından başlayarak (sağdan sola doğru) a b c d e f 2 3 1 2 3 1 - + sırasıyla ( 1 3 2 1 3 2 ...) yazılmalı ve şu hesap yapılmalıdır: ( 1.f + 3.e +2.d ) - ( 1.c + 3.b + 2.a ) = 7.k + m ( k, m: tamsayı) Sonuç, 7 veya 7 nin katları ( m = 0 ) olursa, bu sayı 7 ile tam olarak bölünür. Ayrıca bu sayı 10a + b olarak yazıldığında a - 2b sayısı 7'ye bölünüyorsa, asıl sayı 7'ye bölünebilir.
8'e bölünme kuralı

Son üç basamağının oluşturduğu sayı 000 ya da 8 in katı ise bölünür.
9'a bölünme kuralı

Rakamların sayı değerleri toplamı toplamı 9 veya dokuzun katlarıysa bölünür.
10'a bölünme kuralı

Son rakamı 0 ise bölünür
11'e bölünme kuralı

Bir sayının 11 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının rakamlarının altına birler basamağından başlayarak sırasıyla +, -, +, -, ... işaretleri yazılır, artılı gruplar kendi arasında ve eksili gruplar kendi arasında toplanır, genel toplamın da 0, 11 veya 11 e bölümünde kalanı 0 olan bir sayı ise 11'e tam bölünür.
12'ye bölünme kuralı

Bir sayının 12'ye tam bölünmesi için, 3 ve 4'e tam olarak bölünmesi gerekir.
13'e bölünme kuralı

Sayıyı x=abcdefg olsun temel basamak çarpanları ise 1,-3,-4 tür 1*(g-d+a)+(-3)*(f-c)+(-4(e-b)
şeklinde daha uzun basamaklı ise bir eksili bir artılı çıkarıp ve toplayıp hepsini toplarız
çıkan sonuç 13 ile tam bölünüyorsa sayıda bölünür eğer kalan varsa bu kalan x sayısınında 13
ile bölümünden kalanıdır.
örnek: 123456789 olsun bakalım 1*(9-6+3)+(-3)*(8-5+2)+(-4)*(7-4+1)=1*6+(-3)*5+(-4)*5=6-15-20=
-29 sayı negatif çıkarsa pozitif gibi düşünüp kalanı buluruz ve o kalana y dersek gerçek kalan
(13-y) olur.
17'ye bölünme kuralı

Sayıyı X=10a+b şeklinde yazdığımızda a-5b sayısı 17'ye kalansız bölünürse bölünür.
19'a bölünme kuralı

Sayıyı X=10a+b şeklinde yazdığımızda a+2b sayısı 19'a kalansız bölünürsa bölünebilir.
25'e bölünme kuralı

Son iki rakamı 25, 50, 75, veya 00 olmalıdır.
Bu sayılar dışındaki sayılara bölünebilme kuralları; bir sayı, bölüneceği sayının asal çarpanlarına kalansız bölünebiliyorsa o sayıya kalansız bölünür.

Bölme
MsXLabs.org & Temel Britannica

Bir doğal sayıyı başka bir doğal sayıya bölerek çözülebilen değişik problem türleri vardır. Bir paylaştırma sonucundaki payları bulmak için bölme işlemi kullanılabi­lir. Eğer 20 elmanız varsa ve bunları 4 kişi arasında paylaştırmak istiyorsanız her birinin payına 5 elma düşer.
Bunu şöyle yazabiliriz:

20 elma / 4 = 5 elma

Öte yandan, eğer 20 elmanız varsa ve elinizdeki kutulardan her birine 4 elma koy­mak isterseniz, o zaman içlerinde 4'er elma bulunan 5 kutunuz olur.
Burada sorulan soru şudur:
20 elmadan 4 elmalık kaç küme elde edebilirim?
Bunu şöyle yazabiliriz:

20 elma / 4 elma = 5

İlk örnekte, gerçekte 20'nin dörtte birini buluyor, bir başka deyişle 20'yi 4'e bölüyor­duk. İkinci örnekte ise, 20'de kaç tane 4'lü küme olduğunu ya da 20'den 4'ü kaç kez çıkarabileceğimizi soruyoruz. Bu iki durumda farklı şeyler yaptığımız görülüyor. Ama yal­nızca rakamlarla gösterdiğimiz zaman her iki durumda da

20 / 4 = 5

yazıyoruz. Yaptığımız işi şekillerle gösterirsek aralarındaki fark açıkça görülecektir.İlk örnekte 20 elemanlı bir kümeyi 4 kümeye bölüyor ya da paylaştırıyoruz ve her kümede kaç eleman bulunduğunu soruyoruz.

Oysa ikinci örnekte, 20 elemanlı bir kümeyi 4 elemanlı kümelere bölüyor ve kaç tane 4 elemanlı küme elde edeceğimizi soruyoruz.

Birinci örnekte bulduğumuz 5 sayısı bir kü­medeki eleman sayısını gösterirken, ikinci örnekte bulunan 5 sayısı kaç tane küme olduğunu gösteriyor.
Konuyu başka bir örnekle inceleyebiliriz. Eğer 20 cm uzunluğunda bir kurdelemiz varsa, bunu 4 eşit parçaya ayırdığımızda hangi uzunlukta parçalar elde edeceğimizi sorabi­liriz:

------------------------ 20 cm ----------------------------- ► 5 cm

Ama öte yandan, 20 santimetrelik bu kur­deleyi her biri 4 santimetrelik kaç parçaya ayırabileceğimizi de sorabiliriz:

------------------------ - 20cm ---------------------------- ► 4 cm

Birinci durumda yanıt 5 santimetredir; oysa ikincide yanıt 5 parçadır. Her iki durumda da işlemi yalnızca rakamlarla gösterirsek aynı şe­yi yazarız:

20 / 4 = 5

Bölme, çarpmanın tersi olarak da ele alına­bilir. Eğer biz,

4 x 5 = 20

ya da (aynı sonucu veren)

5x 4 = 20

olduğunu biliyorsak,

20 / 4 = 5

20 / 5 = 4

olduğunu da biliriz.
Eğer 4'le çarpmayı bir şeyi 4 katma çıkar­mak ya da bir şeyi 4 kez büyütmek olarak düşünürsek, bölmenin çarpmanın "tersi" ol­duğu daha açıkça görülebilir. Öyleyse, bir şeyi 4 kez küçültmek için 4'e böleriz diye düşünebiliriz.
4'ü beş kez büyütürsek 20 elde ederiz: x 5
20'yi beş kez küçültürsek, yeniden 4 elde ederiz:

H- 5
4 *-------------------------- 20

Bölenler
Eğer bir doğal sayı başka bir doğal sayıya tam olarak bölünüyorsa yanıt her zaman bir doğal sayıdır. Bir doğal sayıyı tam olarak bölen doğal sayılara o sayının bölenleri denir. Örneğin, 6'nın bölenleri 1, 2, 3 ve 6'dır. Do­ğal sayıların her biri için o sayının bölenleri­nin oluşturduğu kümeleri yazabiliriz:

ve bu böylece sürüp gider. Bazı sayıların çok sayıda böleni vardır:

24'ün bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

Birçok sayının ise yalnızca iki böleni bulunur:

37'nin bölenleri: 1, 37.

Yalnızca iki böleni olan doğal sayılara asal sayılar denir.
Bölenleri arasında 2'nin de bulunduğu do­ğal sayılara çift sayılar denir. Çift sayıların dışında kalan doğal sayılar ise tek sayılardır. Öyleyse çift sayılar, 2'nin katlan olan ve 2, 4, 6, 8, 10, 12 diye sürüp giden sayıları kap­sar.

Kalanlar
Bölmenin sonucu bir tam sayı değilse yanıtı yazmanın çeşitli yolları vardır. Eğer 21 elmayı 4 kişi arasında paylaştırmak isterseniz onların her birine 5 elma verebilirsiniz, ama kalan 1 elmayı kesmeden paylaştıramazsınız. Elinizde kalan bir elmaya kalan denir.
Bu genellikle aşağıdaki gibi yazılır:

21 + 4 = 5, kalan 1.

Eğer 21 cm uzunluğundaki bir kurdeleyi 4 eşit parçaya ayırmak istiyorsanız durum bu kez farklıdır. Çünkü geriye 1 cm kurdele bırak­manın hiçbir anlamı yoktur:

--------------------- 21cm --------------------------------- ►
5cm......... 5cm.......... 5cm......... 5cm......... 1cm

Artakalan 1 santimetrelik kurdele de 4 eşit parçaya ayrılarak ötekilere eklenebilir ya da kurdele daha başlangıçta 4 eşit parçaya bölü­nebilir:

■«----------------------- 21 cm ----------------------------- -

Böylece her biri 5 lA santimetrelik kurdele parçaları elde edilebilir:

21 + 4 = 5 lA

Ondalık sayıları kullanarak bunu şöyle yazarız:

21 -i- 4 = 5,25.

21 santimetrelik kurdeleden kaç tane 4 santimetrelik parça kesebiliriz?
5 parça kese­riz, geriye de 1 cm uzunluğunda bir parça kalır. Kalan bu 1 cm fazlalık istenen uzunluk­taki parçanın dörtte birine eşittir. Bu durum­da elimizde 5 Va parça kurdele olacaktır:

------------------------- 21cm ------------------------------- »

ı------------ 1----------- 1----------- 1----------- 1----------- n t-1-!

Çarpanlar
Bölmeyle ilgili bir başka işlem de çarpanlara ayırma'du; yani bir sayıyı çarpanlara cinsin­den yazmaktır. İşte iki örnek: 6 = 2x3 12 = 2 x 2 x 3 Daha büyük sayıları çarpanlarına ayırmak için işlemin aşamalarını gösteren bir şekil kul­lanabiliriz. Örneğin 24'ü çarpanlarına ayıra­lım. Önce iki çarpanına ayırabiliriz:
3'ü ne yapabiliriz? Bütün yapabileceğimiz

3 = 3x1

demektir; çünkü 3 asal sayıdır. Aynı biçimde, yeni bulduğumuz 3'ü de çarpanlarına ayı­rırsak

3 = 3x1x1

buluruz. Yeni bulunan 3'ü de çarpanlarına ayırarak

3 = 3x1x1x1

bulunur ve bu sürüp gittikçe l'lerin sayısı artar. Pek anlamlı olmayan bu 1 çarpanlarını dikkate almazsak sonuç değişmez. Bu neden­le, çarpanlara ayırma işlemi sırasında asal sayılarla karşılaşınca artık o asal sayıyı çar­panlarına ayırmayız.
Ama 4'ü çarpanlarına ayırarak şekli aşağı­da görüldüğü gibi tamamlayabiliriz:

Elde ettiğimiz sayıların hiçbiri artık yeniden çarpanlarına ayrılamaz. Bu "dalların" ucun­daki bütün sayıları bir araya getirirsek
24'ü çarpanlarına ayırırken ilk aşamada
8x3 yerine 6x4 olarak ayırsaydık ne olurdu?
O zaman aşağıdaki şekli elde ederdik:

Bu durumda,
Sayılar büyüdükçe çarpanlarının sayısının da arttığı düşünülebilir, ama bunun doğru olmadığı bir örnekle kolayca anlaşılır. 60 ve 61'i çarpanlarına ayıralım:

60 = 2x2x3x5
61 = 61

12 ile Bölünebilme:

Bir sayının 12 ile bölünebilmesi için, bu sayının hem 3 ile hem de 4 ile tam olarak bölünmesi gerekir.

13'e bölünme kuralı
Sayıyı x=abcdefg olsun temel basamak çarpanları ise 1,-3,-4 tür 1*(g-d+a)+(-3)*(f-c)+(-4(e-b)
şeklinde daha uzun basamaklı ise bir eksili bir artılı çıkarıp ve toplayıp hepsini toplarız
çıkan sonuç 13 ile tam bölünüyorsa sayıda bölünür eğer kalan varsa bu kalan x sayısınında 13
ile bölümünden kalanıdır.
15 ile Bölünebilme:
Bir sayının 15 ile bölünebilmesi için, bu sayının hem 3 ile hem de 5 ile tam olarak bölünmesi gerekir.
17'ye bölünme kuralı
Sayıyı X=10a+b şeklinde yazdığımızda a-5b sayısı 17'ye kalansız bölünürse bölünür.
18 ile Bölünebilme:

Bir sayının 18 ile bölünebilmesi için, bu sayının hem 2 ile hem de 9 ile tam olarak bölünmesi gerekir.

19'a bölünme kuralı
Sayıyı X=10a+b şeklinde yazdığımızda a+2b sayısı 19'a kalansız bölünürse bölünebilir.
24 ile Bölünebilme:

Bir sayının 24 ile bölünebilmesi için, bu sayının hem 3 ile hem de 8 ile tam olarak bölünmesi gerekir.

25 ile Bölünebilme:

Bir sayının 25 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının son iki basamağının

00, 25, 50, 75

olması gerekir.

31 ile Bölünebilme
Sayının son hanesinin 3 katı kalan sayıdan çıkartılması işlemi sayımız 2 haneye düşene kadar yapıldıktan sonra elde edilen sayı 31 ve katlarıysa, asıl sayımız 31 ile kalansız olarak bölünür demektir.
Herhangi bir sayı ile Bölünebilme:

a ve b aralarında asal sayı ve

x = a . b

olsun. Şayet, bir sayı hem a ya hem de b ye bölünüyorsa, bu sayı x e de tam olarak bölünür.
Bu sayılar dışındaki sayılara bölünebilme kuralları; bir sayı, bölüneceği sayının asal çarpanlarına kalansız bölünebiliyorsa o sayıya kalansız bölünür.

Bölünebilme Kuralları



2 ile Bölünebilme:

Bir sayının 2 ile tam olarak bölünebilmesi için, birler basamağının0, 2, 4, 6, 8sayılarından biri olması gerekir. Yani, her çift sayı 2 ile tam olarak bölünür. Bununla birlikte, tüm tek sayılar 2 ile bölündüğünde, kalan 1 olur.

3 ile Bölünebilme:Bir sayının 3 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının rakamları toplamının 3 veya 3 ün katları olması gerekir. Bir sayının 3 e bölümünden kalan, rakamları toplamının 3 e bölümünden kalana eşittir.

4 ile Bölünebilme:Bir sayının 4 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının son iki basamağının00 veya 4 ün katları

olması gerekir. Bir sayının 4 ile bölümündeki kalan, sayının son iki basamağının 4 e bölümündeki kalana eşittir. Diğer taraftan, 4 ile tam olarak bölünebilen yıllar, artık yıl olarak isimlendirilir. Yani, artık yılların Şubat ayı 29 gün çeker. Dolayısıyla, 4 ile Bölünebilme, artık yılların bulunması kullanılabilir.

5 ile Bölünebilme:Bir sayının 5 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının birler basamağının0 veya 5olması gerekir. Bir sayının 5 ile bölümündeki kalan, sayının birler basamağının 5 e bölümündeki kalana eşittir.

6 ile Bölünebilme:Bir sayının 6 ile tam olarak bölünebilmesi için, bu sayının hem 3 ile hem de 2 ile tam olarak bölünmesi gerekir. Yani, 6 ile bölünebilen bir sayının hem çift sayı olması hem de rakamları toplamının 3 veya 3 ün katları olması gerekir.

7 ile Bölünebilme:Bir sayının 7 ile tam olarak bölündüğünü tespit etmek için, sayının rakamlarının altına birler basamağından başlayarak (sağdan sola doğru)

a b c d e f

2 3 1 2 3 1

- +

sırasıyla ( 1 3 2 1 3 2 ...) yazılmalı ve şu hesap yapılmalıdır:

( 1.f + 3.e +2.d ) - ( 1.c + 3.b + 2.a ) = 7.k + m ( k, m: tamsayı)

Sonuç, 7 veya 7 nin katları ( m = 0 ) olursa, bu sayı 7 ile tam olarak bölünür. Şayet, m sıfırdan farklı bir tamsayı olursa, bu sayının 7 ile bölümünden kalan m olur. İşaretler de sağdan başlayarak sırasıyla her üçlü için

+, -, +, -, +, -, +, ...

şeklinde olmalıdır. Bu kurala, (132) kuralı adı verilmektedir.

8 ile Bölünebilme:Bir sayının 8 ile bölünebilmesi için, sayının son üç basamağının 000 veya 8 in katı

olması gerekir. Bir sayının 8 ile bölümündeki kalan, sayının son üç basamağındaki sayının 8 e bölümündeki kalana eşittir.

Bununla ilgili bir başka yol ise;birler basamağı ile,onlar basamağının iki katı ve yüzler basamağının dört katı toplanır.Toplam 8’in katı ise sayı sekize tam bölünebilir.



Örnek; 2543912. 2+1.2+9.4=40 Bu sayı 8’in beş katıdır. Bu yüzden sekize tam bölünür.

9 ile Bölünebilme:Bir sayının 9 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının rakamlarının toplamının 9 veya 9 un katları olması gerekir. Bir sayının 9 a bölümündeki kalan, sayının rakamlarının toplamının 9 a bölümündeki kalana eşittir.

10 ile Bölünebilme:Bir sayının 10 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının birler basamağının sıfır olması gerekir. Bir sayının 10 a bölünmesiyle elde edilen kalan, sayının birler basamağındaki rakama eşittir.

11 ile Bölünebilme:Bir sayının 11 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının rakamlarının altına birler basamağından başlayarak sırasıyla +, -, +, -, ... işaretleri yazılır, artılı gruplar kendi arasında ve eksili gruplar kendi arasında toplanır, genel toplamın da

0, 11 veya 11 in katları

olması gerekir. Bir sayının 11 ile bölümündeki kalan, artılı ve eksili gruplarının toplamının 11 e bölümündeki kalana eşittir.

12 ile Bölünebilme:Bir sayının 12 ile bölünebilmesi için, bu sayının hem 3 ile hem de 4 ile tam olarak bölünmesi gerekir.

13 ile Bölünebilmeayının birler basamağı ‘3’ e bölünür.Bölüm, sayının birler basamağı eksik halinden çıkarılır..Sonuç ‘13’ ün katı ise sayı 13e tam bölünebilir.Sayının birler basamağı ‘3’ e tam olarak bölünemiyorsa onlar basamağından 1 veya 2 alınır.

Örnek:33059 sayısı 13’e bölünebilir mi? Birler basamağı olan ‘9’ u üçe böldüğümüzde ‘3’ buluruz. Bunu sayının kalan kısmından çıkarırız. 3305-3=3302. Bu sayının da bir basamağını ‘3’böleriz.2, üçün katı olmadığı için onlar basamağından 1 alırız. 12:3=4 . 4’ü 3292dan çıkarırız.329-4=325. Birler basamağı ‘5’i üçe tam olarak bölemeyiz. Onlar basamağından 1 aldığımızda 15:3=5 olur.31-5=26. 26, 13’ün katı olduğu için sayı ‘13’ e bölünebilir.

Eğer sayı çok basamaklı ise, sayıyı 3’erli gruplara ayırırız.İlk, üçüncü,beşinci gruplardaki sayıların toplamından ikinci,dördüncü……… gruplardaki sayıların toplamını çıkarırız.Çıkan sayıyı yukarıdaki kuralı uygularız.

Örnek: 82237831 sayısına bakalım..gruplardırmayı sondan başlayarak üçerli olarak yapalım. 82-237-831 şeklinde gruplara ayırırız. (82+831)-237=

913-237=676. 6, üçe bölünür 6:3=2. 67-2=65.bu sayı 13’ün 5 katı olduğuna göre sayının tamamı 13’e tam bölünebilir demektir

15 ile Bölünebilme:Bir sayının 15 ile bölünebilmesi için, bu sayının hem 3 ile hem de 5 ile tam olarak bölünmesi gerekir.

18 ile Bölünebilme:Bir sayının 18 ile bölünebilmesi için, bu sayının hem 2 ile hem de 9 ile tam olarak bölünmesi gerekir.

24 ile Bölünebilme:Bir sayının 24 ile bölünebilmesi için, bu sayının hem 3 ile hem de 8 ile tam olarak bölünmesi gerekir.

25 ile Bölünebilme:Bir sayının 25 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının son iki basamağının 00, 25, 50, 75

olması gerekir.

Herhangi bir sayı ile Bölünebilme:a ve b aralarında asal sayı ve x = a . b

olsun. Şayet, bir sayı hem a ya hem de b ye bölünüyorsa, bu sayı x e de tam olarak bölünür.

ÖRNEKLER

Örnek 1:Rakamları farklı 5 basamaklı 9452X sayısının 2 ile bölünebilmesi için, X değerlerinin toplamı kaç olmalıdır?

Çözüm: 9452X sayısının 2 ile bölünebilmesi için, X in alabileceği değerler 0, 2, 4, 6, 8

olmalıdır. Oysa, bu sayının rakamlarının farklı olması istendiğinden, X rakamı 2 ile 4 olamaz. Dolayısıyla, X in alabileceği değerler 0, 6, 8 dir. Bu değerlerin toplamı 0 + 6 + 8 = 14 olur.

Örnek 2:5 basamaklı 1582A sayısının 3 ile bölünebilmesini sağlayan A değerlerinin toplamı kaçtır?

Çözüm:Bir sayının 3 ile bölünebilmesi için, sayının rakamları toplamının 3 ün katları olması gerektiğinden,

1 + 5 + 8 + 2 + A = 3 . k olmalıdır. Buradan, 16 + A = 3 . k olur. Böylece, A 2, 5, 8 değerlerini alması gerekir. Dolayısıyla, bu değerlerin toplamı 2 + 5 + 8 = 15 olarak bulunur.

Örnek 3:İki basamaklı mn sayısı 3 ile tam olarak bölünebilmektedir. Dört basamaklı 32mn sayısının 3 ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm:mn sayısı 3 ile tam olarak bölünebildiğine göre,m + n = 3 . k olması gerekir. O halde, 32mn sayısının 3 bölümünden kalan şöyle bulunur: 3 + 2 + m + n = 5 + ( m + n )

= 5 + 3 . k

= 3 + 2 + 3 . k

= 2 + 3 . k Kalan = 2 dir.

Örnek 4: Dört basamaklı 152X sayısının 4 e bölümünden kalan 2 olduğuna göre, X in alabileceği değerler toplamı kaçtır?

Çözüm:152X sayısının 4 e tam olarak bölünebilmesi için, sayının son iki basamağının yani 2X in, 4 ün katları olması gerekir. O halde, X,

0, 4, 8 ... (1)

değerlerini alırsa, 152X sayısı 4 e tam olarak bölünür. Kalanın 2 olması için, (1) nolu değerlere 2 ilave edilmelidir. Bu taktirde, X,

2, 6

değerlerini almalıdır. Dolayısıyla, bu değerlerin toplamı2 + 6 = 8olur.

Örnek 5:666 + 5373toplamının 4 e bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm: 666 nın 4 e bölümünden kalan şöyle bulunur: 66 nın 4 e bölümünden kalana eşit olup, kalan 2 dir.

5373 ün 4 e bölümünden kalan şöyle bulunur: 73 ün 4 e bölümünden kalana eşit olup, kalan 1 dir.

Bu kalanlar toplanarak, toplamın kalanı 2 + 1 = 3 bulunur.

Örnek 6: 99999 . 23586 . 793423 . 458 çarpımının 5 e bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm: Bir sayının 5 e bölümünden kalanı bulmak için, birler basamağına bakılması gerekir ve birler basamağındaki rakamın 5 e bölümündeki kalana eşittir. Dolayısıyla,

99999 sayısının 5 e bölümünden kalan 4 dir.

23586 sayısının 5 e bölümünden kalan 1 dir.

793423 sayısının 5 e bölümünden kalan 3 tür.

458 sayısının 5 e bölümünden kalan 3 tür.

Bu kalanların çarpımı, 2 . 1 . 3 . 3 = 18 olur. 18 in 5 e bölümünden kalan ise, 3 tür.

Örnek 7:Rakamları birbirinden farklı dört basamaklı 3m4n sayısı, 6 ile tam olarak bölündüğüne göre, m + n in en büyük değeri kaçtır?

Çözüm: Bir sayının 6 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının hem 2 ile hem de 3 ile tam olarak bölünmesi gerekir. 3m4n sayısının 2 ye tam olarak bölünebilmesi için, n nin 0, 2, 4, 6, 8 olması gerekir. m + n nin en büyük olması için, n = 8 olmalıdır. Böylece, 3m4n sayısı, 3m48 olur. 3m48 sayısının, aynı zamanda, 3 e bölünmesi gerektiğinden, 3 + m + 4 + 8 = m + 3 olur ve böylece m, şu değerleri alabilir: 0, 3, 6, 9

m + n nin en büyük olması için, m = 9 alınmalıdır. Dolayısıyla, m = 9 ve n = 8 için, m + n nin en büyük değeri,

m + n = 9 + 8 = 17 olur.

- 2m + 15 = 7.k Buradan m = 4 olur.

Örnek 9:458028 sayısının 8 e bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm:Bir sayının 8 ile bölümünden kalanı bulmak için, sayının son üç basamağının 8 ile bölümünden kalanına

bakılmalıdır. Dolayısıyla, 28 sayısının 8 ile bölümündeki kalanı bulmalıyız. 28 in 8 ile bölümünden kalan 4 tür.

O halde, 458028 sayısının 8 e bölümünden kalan, 4 tür.

Örnek 10: 10 basamaklı 4444444444 sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm:

Sayının rakamlarının toplamını alıp, 9 un katlarını atmalıyız.

Rakamların toplamı: 4 . 10 = 40 dır. Buradan, 4 + 0 = 4 bulunur.

O halde, 4444444444 sayısının 9 a bölümündün kalan 4 tür.

Örnek 11: Dört basamaklı 268m sayısının 10 ile bölümünden kalan 3 olduğuna göre, m kaç olmalıdır?

Çözüm: Bir sayının 10 a bölümünden kalanı bulmak için, birler basamağına bakılmalıdır. Sayınnı birler basamağındaki rakam kaç ise, kalan odur.

Bu nedenle, 268m sayısının 10 ile bölümünden kalan 3 olduğuna göre, m = 3 olmalıdır.

Örnek 12: Dokuz basamaklı 901288563 sayısının 11 ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm:

9 0 1 2 8 8 5 6 3

+ - + - + - + - +

Kalan = ( 9 + 1 + 8 + 5 + 3 ) - ( 0 + 2 + 8 + 6 )= 26 – 16 = 10 olarak bulunur.

Örnek 13: Beş basamaklı 5m23n sayısının 30 ile tam olarak bölünebilmesi için, m ve n nin hangi değerleri alması gerekir?

Çözüm: Bir sayının 30 ile tam olarak bölünebilmesi için, hem 10 ile hem de 3 ile tam olarak bölünmelidir.

Bir sayının 10 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının birler basamağının 0 olması gerekir. Dolayısıyla, n = 0 olmalıdır. Böylece, verilen sayı 5m230 olur.Bir sayının 3 ile tam olarak bölünebilmesi, sayının rakamları toplamının 3 ün katları olması gerekir. Dolayısıyla, 5 + m + 2 + 3 + 0 = 3.k m + 10 = 3.k m = 2, 5, 8 olur. O halde, m = 2, 5, 8 ve n = 0 olmalıdır.

AŞAĞIDAKİ SORU VE ÇÖZÜMLERİNİ İNCELEYEREK SORULARINIZA YANIT BULABİLİRSİNİZ.

Tanım: Bir a doğal sayısı, b doğal sayısına bölündüğünde kalan 0 (sıfır) ise, “a sayısı b sayısına bölünebilir (tam bölünür)” denir.

Normal bir bölme işleminde;
a = b * c + k
d = b * c
a = b * c
d = a
k = 0



12'nin sayı değerleri toplamı 3 eder. Bu nedenle 3 ile bölünebilme kuralına uyar. Diğer sayılarda aynı durumdadır. Sayı değerleri toplamı sırasıyla 9 ve 21'dir. Yani 3'ün katlarıdır.

4512'nin son iki rakamı (birler ve onlar basamağındaki rakamları) 4'e bölünebildiği için kendisi de dörde bölünebilir. Örnek verilen tüm sayılar 4 ile bölünebilme kuralına uyarlar.

Bu sayıların birler basamağı 0 veya 5 olduğu için hepsi de 5 ile bölünebilme kuralına uygundur. Bu sayıların 5 ile bölümlerinden kalan sıfırdır.

Bu sayılar hem 2 ile bölünebilme hem de 3 ile bölünebilme kurallarına uydukları için 6 ile bölünebilme kuralına da uyarlar.

Bu sayıların rakamları toplamı 9'un katları olduğu için hepsi de 9 ile kalansız bölünebilir. Yani 9 ile bölünebilme kuralına uygundur.

Bu sayıların rakamların birler basamağı sıfır olduğu için hepsi de 10'a kalansız bölünebilir. Sayılar 10 ile bölünebilme kuralına uymaktadır.
Önemli Bölünebilme Kuralları

• Bir doğal sayı bölündüğünde kalanların kümesi, bölenden küçük doğal sayılardan oluşur.
  
• Bir a doğal sayısına bölünen sayı, a nın her çarpanına da ayrı ayrı bölünebilir.
  
  15 e bölünen bir sayı 3 veya 5 e
  22 ye bölünen bir sayı 2 veya 11 e
  45 e bölünen bir sayı 3, 5, 9 veya 15’ e ayrı ayrı bölünebilir.
  
• a ve b aralarında asal iki sayı ise, a ve b ye ayrı ayrı bölünebilen bir sayı, bunların çarpımına yani; a * b' ye de bölünebilir.
  
  3 ve 4 e bölünebilen bir sayı 12 ye
  3 ve 8 e bölünebilen bir sayı 24 e
  3 ve 10 a bölünebilen bir sayı 30 a
  2 ve 9 a bölünebilen bir sayı 18 e
  4 ve 9 a bölünebilen bir sayı 36 ya
  7 ve 11 e bölünebilen bir sayı 77 ye
  ......... vb. bölünebilir.