Cevap Yaz Önceki Konu Sonraki Konu

Gerçel (Reel) Sayılar

  • gercel sayi
  • reel sayi nedir
  • reel sayilar
3
  • 1 Gönderen Blue Blood
  • 2 Gönderen virtuecat
Blue Blood
31 Mart 2007 15:36   |   Mesaj #1   |   
Avatarı yok
Ziyaretçi
Gerçel sayılar (veya Reel sayılar), Rasyonel sayılar kümesinin standart metriğe göre bütünlenmesiyle elde edilen kümedir. Reel sayılar kümesi sembolüyle gösterilir.

Basit aritmetik teknikleriyle kolayca ispatlanabileceği üzere, tüm rasyonel sayıların tekrar eden birer ondalık açılımı vardır. Mesela



veya



eşitliklerinde olduğu gibi. Burada dikkat edilmesi gereken, ondalık basamaklardaki rakamların bir süre sonra bloklar halinde periyodik tekrar etme özelliğidir. Rasyonel sayılardan reel sayıları elde etme işlemini ise rasyonel sayılara ondalık açılımındaki rakamların periyodik tekrar etmediği sayıların eklenmesi olarak düşünülebilir. Bu tür sonradan elde ettiğimiz reel sayılara irrasyonel sayılar denir.

İrrasyonel Sayılara Örnekler



Bazı Yan Bilgiler:
  • Tam kare olmayan hiçbir doğal sayının karekökü rasyonel değildir.
  • Rasyonel sayılar kümesi'nin sayılabilir olmasına karşılık Reel sayılar kümesi sayılamazdır.
  • İrrasyonel sayılar da kendi içlerinde "cebirsel sayılar" ve "aşkın sayılar" olarak ikiye ayrılırlar.
  • İrrasyonel sayıların varlığının ilk Yunan matematikçi Pisagor tarafından anlaşılmış olduğu görüşü yaygındır. Fakat Pisagor bu sayıların evrenin düzenine aykırı olduğunu düşünmüş ve öğrencilerine bu sayıların varlığını açıklamayı yasaklamıştır.
  • Arşimet Özelliği: x ve y birer reel sayı olsun ve x sıfırdan büyük olsun. Bu durumdanx > y özelliğini sağlayan bir n doğal sayısı vardır.


Vikipedi, özgür ansiklopedi
SEDEPH bu mesajı beğendi.
virtuecat
4 Aralık 2008 11:05   |   Mesaj #2   |   
Avatarı yok
Ziyaretçi
Matematikte Gerçel sayılar (veya reel sayılar) kümesi, oranlı sayılar (rasyonel sayılar) kümesinin standart metriğe göre bütünlenmesiyle elde edilen kümedir. Reel sayılar kümesi sembolüyle gösterilir. Daha basit söyleyişle, bir gerçel sayı, ondalık gösteriminde virgülden sonra sonsuz basamağı olan bir sayıdır.
Her oranlı sayı (rasyonel sayı) bir gerçel sayıdır; virgülden sonra tekrar eden ondalık açılımı vardır (0 dahil). Örneğin:
veya
veya
eşitliklerinde olduğu gibi. Burada dikkat edilmesi gereken, ondalık basamaklardaki rakamların bir süre sonra bloklar halinde periyodik tekrar etme özelliğidir. Bu şöyle ispatlanabilir: m, n iki tamsayı (n pozitif) olsun. m/n oranlı sayısı ondalık ifade edilmek istendiğinde, m 'yi n 'ye bölerken (bölme algoritmasını uygularken) ilk adımda kalan 0 ile n arasında olacaktır. Kalanın yanına sıfırlar ekleyip bölmeye devam edilecek ve bir sonraki adımda kalan yine 0 ile n arasında olacaktır. Sonsuz adımda sonlu sayıda değer alabilen kalanlar, bir süre sonra aynı değeri alacak ve kendini tekrar edecektir.
Oranlı sayılardan gerçel sayıları elde etme işlemiyse oranlı sayılara ondalık açılımındaki rakamların devirsel tekrar etmediği sayıların eklenmesi olarak düşünülebilir. Bu tür sonradan elde ettiğimiz gerçel sayılara irrasyonel sayılar denir.


İrrasyonel sayıların varlığı

Düzlemde herhangi bir doğru parçası alıp buna birim uzunluk diyelim. Tamsayılarla bu doğru parçasının katları birebir eşlensin. Alınan bir doğrunun üzerinde bu tamsayı uzunlukları ve olası tüm oranları (oranlı sayılar) işaretlensin. Gösterilebilir ki, herhangi iki oranlı sayı arasında sonsuz çoklukta oranlı sayı vardır. Demek oluyor ki, alınan doğru üzerinde birbirlerine istenildiği kadar yakın ve oranlı sayıları temsil eden iki nokta (oranlı nokta) arasında , sonsuz çoklukta oranlı nokta vardır.
Bu tür noktaların, dolayısıyla uzunlukların varlığını ispatlamak için, kenar uzunluğu 1 birim olan bir karenin köşegen uzunluğunu (x) sayı doğrusu üzerinde işaretleyelim. x uzunluğu, oranlı bir sayı değildir, yani p ve q birer tamsayı olmak üzere p/q şeklinde gösterilemeyen bir sayıdır; bu sayı olarak gösterilecektir.
Kabul edelim ki x=p/q olsun. Bundan başka, bu kesrin artık kısaltılamayan bir kesir olduğunu farz edelim, yani p ve q aralarında asal olsunlar. Başka bir deyişle, bunların 1'den başka ortak bölenleri bulunmasın. Pisagor teoremi sayesinde x2=2=p2/q2 elde edilir. Dolayısıyla 2q2=p2 olur. p ve q aralarında asal olduğu için 2, p 'yi bölmek zorundadır. Böylece eşitliğin sağ tarafı 4'e bölünür. Sol tarafının da dörde bölünmesi gerekeceğinden q da 2'ye bölünmek zorunda kalır. Hem p hem de q sayıları 2'ye bölünebiliyorsa, aralarında asallık kabulüyle çelişkili bir sonuç bulunmuş olur. O halde x 'in oranlı bir sayı olduğu kabulünden vazgeçmek gerekecektir.
Bu ispat, bir Pisagorcu olan Hippasus'a atfedilmektedir (İ.Ö: 5. yüzyıl). İrrasyonel sayıların varlığının ilk antik Yunan matematikçi Pisagor'un okulu tarafından anlaşılmış olduğu görüşü yaygındır. Fakat Pisagor bu sayıların evrenin düzenine aykırı olduğunu düşünmüş ve öğrencilerine bu sayıların varlığını açıklamayı yasaklamıştır. Rivayete göre Hippasus'u o öldürtmüştür.

İrrasyonel Sayılara Örnekler

, , , π , e, birer irrasyonel sayıdır. İki irrasyonel sayının toplamı, çarpımı, yine bir irrasyonel sayı olmak zorunda değildir

Gerçek sayıların kurulması


Belitlerle inşa

Aşağıdaki belitler aracılığıyla kurulan gerçel sayılar sistemi, bütün sıralı bir cisimdir. Kümeler kuramının Zermelo-Fraenkel belitleri ile inşası kabul edilerek, aşağıdaki belitleri sağlayan bir modelin varlığı ve bunları sağlayan herhangi iki modelin birbirine izomorfik olduğu gösterilebilir.
Gerçel sayılar sistemi bir R kümesi, içinde 0 ve 1 adlı iki öğe (eleman), + ve x ile gösterilen iki tane ikili işlem ve ≤ olarak gösterilen bir ikili bağıntıdan oluşuktur. Bunlar aşağıdaki belitleri sağlar:
1. (R, +, x) bir cisimdir.
2. (R, ≤) tamamen sıralı bir kümedir.
3. ≤ bağıntısı + ve x işlemleri altında korunur:
  • a, b ve c R 'de, ve a ≤ b olmak üzere a + c ≤ b + c olmalıdır.
  • a, b R 'de, ve 0 ≤ a, 0 ≤ b olmak üzere 0 ≤ a x b olmalıdır.
4. ≤ sıralaması bütündür: R'nin boşküme olmayan ve yukarıdan sınırlı her alt kümesi, en küçük bir üst sınıra sahiptir.
Aşağıda gerçel sayı sistemi için kimi model inşaları bulunmaktadır. Bunların her biri bir diğeriyle, yukarıda sözü edilen anlamda aynıdır.

Cauchy dizileriyle inşa


Dedekind kesimleriyle inşa


Tamsayılar grubunu kullanarak inşa


Bazı Yan Bilgiler

  • Tam kare olmayan hiçbir doğal sayının karekökü oranlı değildir.
  • Oranlı sayılar kümesi sayılabilir olmasına karşılık gerçel sayılar kümesi sayılamazdır.
  • Gerçel sayılar "cebirsel sayılar" ve "aşkın sayılar" (transcendental) olarak ikiye ayrılırlar. Cebirsel bir gerçel sayı, tamsayı katsayılı bir polinomun kökü olabilen bir sayıdır; örneğin: x2 - 2 polinomunu 0 yapan değerlerden biri (kök) 'dir. x - 2 polinomunun kökü 2'dir. Dolayısıyla ve 2 cebirsel sayılardır. Ancak π ve e sayıları herhangi bir polinomun kökü olamazlar; bunlar aşkın sayılardır.

İspat

Doğal sayıları için nx≤y dir. Bu durumda y/x, N doğal sayılar kümesi için bir üst sınırdır. Böylece N, R nin boş olmayan bir altkümesi olup üstten sınırlıdır ve en küçük üst sınır özelliğinden bir s supremuma (e.k.ü.s.'e) sahiptir. s-1< s olduğundan s-1, N için bir üst sınır olamaz. Bu yüzden, N 'nin s-1 den büyük olan bir n elemanı var olmalıdır. Ancak eğer n>s-1 ise n+1>solur. Bu da s 'nin N nin supremumu olması ile çelişir. Bu da bizi varsayımımızın karşıtına götürür. Yani her bir n için n<=x olamaz.


SEDEPH ve MaRCeLLCaT bu mesajı beğendi.
Daisy-BT
24 Ağustos 2011 23:23   |   Mesaj #3   |   
Avatarı yok
Ziyaretçi

Gerçel Sayı ve Gerçel Sayı Kümesi

Rasyonel ve irrasyonel sayıların genel adı ve tüm bu sayıların oluşturduğu küme (simgesi R).

Reel sayı ve reel sayılar kümesi de denir. Bir başka yaklaşıma göre de, cebirsel ve transandant sayı kümelerinin birleşimi, gerçel sayılar kümesini verir. Rasyonel sayılar kümesi, gerçel sayılar kümesinin bir öz alt kümesidir. Q harfiyle gösterilir ve p ile q tamsayılar, q sıfırdan farklı olmak üzere p/q biçiminde yazılabilen sayılardan oluşur. Her rasyonel sayının devirli ondalık açılımı (1/6 = 0,1666... gibi) olduğu kanıtlanabilir. Rasyonel sayılar kümesi ile sayı doğrusu arasında, her rasyonel sayıya bu doğru üzerinde bir nokta karşılık gelmek üzere bir eşleme kurulabilir.

Ayrıca, herhangi iki rasyonel sayı arasında üçüncü bir rasyonel sayının var olduğu da kanıtlanabilir. Ancak sayı doğrusu üzerinde, rasyonel bir sayıyla eşlenemeyen noktalar da vardır. Bir başka deyişle, sayı doğrusu rasyonel sayılarla doldurulamaz. Örneğin, karesi 2 olan bir rasyonel sayı yoktur. Bunun gibi, ¹=3,14159265358979323... sayısı bir devirli ondalık açılım değildir. İşte, sayı doğrusu üzerindeki rasyonel olmayan noktalarla eşlenen ya da devirli ondalık açılımı olmayan gerçel sayıların oluşturduğu kümeye irrasyonel sayılar kümesi denir. Rasyonel ve irrasyonel sayı kümelerinin arakesiti boş, birleşimi ise gerçel sayılar kümesidir. Gerçel sayılar kümesi, içinde sıralama özelliği bulunan en geniş sistemdir ve bir cisim yapısındadır.

MsXLabs.org & Morpa Genel Kültür Ansiklopedisi


Misafir
26 Aralık 2013 17:52   |   Mesaj #4   |   
Avatarı yok
Ziyaretçi
Gerçek Sayılar | Vitamin Ortaokul sitesinde de güzel bir anlatım yer almaktadır.
misafir
4 Nisan 2015 21:18
Avatarı yok
Ziyaretçi
Bu mesaj nötrino tarafından silindi.
 
 
Cevap Yaz
Hızlı Cevap
İsim:
Mesaj:
Önceki Konu Sonraki Konu

Gerçel (Reel) Sayılar Konusuna Benzer Konular

Cevap: 4
Son Mesaj: 20 Kasım 2014 15:38
Reel sayılar hakkında bilgi verir misiniz?
Gönderen: Misafir Forum: Soru-Cevap
Cevap: 2
Son Mesaj: 5 Ekim 2012 14:18
Cevap: 1
Son Mesaj: 20 Aralık 2010 21:23
Gerçel Analiz (Reel Analiz)
Gönderen: ThinkerBeLL Forum: Matematik
Cevap: 0
Son Mesaj: 16 Mart 2009 13:44
Karmaşık Sayılar - Gerçel Kısım
Gönderen: virtuecat Forum: Matematik
Cevap: 0
Son Mesaj: 4 Aralık 2008 11:24
Sayfa 0.206 saniyede 12 sorgu ile oluşturuldu