Hoş geldiniz sayın ziyaretçi Neredeyim ben?!

Web sitemiz; forum, günlük, video ve sohbet bölümlerinin yanı sıra; Skype ile ilgili Türkçe teknik destek makaleleri, resim galerileri, geniş içerikli ansiklopedik bilgiler ve çeşitli soru-cevap konuları sunmaktadır. Daima faydalı olmayı ilke edinmiş sitemize sizin de katkıda bulunmanız bizi son derece memnun eder :) Üye olmak için tıklayınız...


Forumda Ara

Gerçel (Reel) Sayılar

Bu konu Matematik forumunda Blue Blood tarafından 31 Mart 2007 (15:36) tarihinde açılmıştır.
159312 kez görüntülenmiş, 3 cevap yazılmış ve son mesaj 26 Aralık 2013 (17:52) tarihinde gönderilmiştir.
Cevap Yaz Yeni Konu Aç
Eski 31 Mart 2007, 15:36

Gerçel (Reel) Sayılar

#1 (link)
Blue Blood
Ziyaretçi
Blue Blood - avatarı
Sponsorlu Bağlantılar
Gerçel sayılar (veya Reel sayılar), Rasyonel sayılar kümesinin standart metriğe göre bütünlenmesiyle elde edilen kümedir. Reel sayılar kümesi 69a45f1e602cd2b2c2e67e41811fd226 sembolüyle gösterilir.

Basit aritmetik teknikleriyle kolayca ispatlanabileceği üzere, tüm rasyonel sayıların tekrar eden birer ondalık açılımı vardır. Mesela

93486733009586effa169f91bad53c59

veya

e31159a9d2b92f056e52129daeeb1ebe

eşitliklerinde olduğu gibi. Burada dikkat edilmesi gereken, ondalık basamaklardaki rakamların bir süre sonra bloklar halinde periyodik tekrar etme özelliğidir. Rasyonel sayılardan reel sayıları elde etme işlemini ise rasyonel sayılara ondalık açılımındaki rakamların periyodik tekrar etmediği sayıların eklenmesi olarak düşünülebilir. Bu tür sonradan elde ettiğimiz reel sayılara irrasyonel sayılar denir.

İrrasyonel Sayılara Örnekler

ef5590434a387b3c4427e09d5b08baaf

Bazı Yan Bilgiler:
  • Tam kare olmayan hiçbir doğal sayının karekökü rasyonel değildir.
  • Rasyonel sayılar kümesi'nin sayılabilir olmasına karşılık Reel sayılar kümesi sayılamazdır.
  • İrrasyonel sayılar da kendi içlerinde "cebirsel sayılar" ve "aşkın sayılar" olarak ikiye ayrılırlar.
  • İrrasyonel sayıların varlığının ilk Yunan matematikçi Pisagor tarafından anlaşılmış olduğu görüşü yaygındır. Fakat Pisagor bu sayıların evrenin düzenine aykırı olduğunu düşünmüş ve öğrencilerine bu sayıların varlığını açıklamayı yasaklamıştır.
  • Arşimet Özelliği: x ve y birer reel sayı olsun ve x sıfırdan büyük olsun. Bu durumdanx > y özelliğini sağlayan bir n doğal sayısı vardır.


Vikipedi, özgür ansiklopedi
Sponsorlu Bağlantılar
Rapor Et
Eski 4 Aralık 2008, 11:05

Gerçel Sayılar

#2 (link)
virtuecat
Ziyaretçi
virtuecat - avatarı
Matematikte Gerçel sayılar (veya reel sayılar) kümesi, oranlı sayılar (rasyonel sayılar) kümesinin standart metriğe göre bütünlenmesiyle elde edilen kümedir. Reel sayılar kümesi 69a45f1e602cd2b2c2e67e41811fd226 sembolüyle gösterilir. Daha basit söyleyişle, bir gerçel sayı, ondalık gösteriminde virgülden sonra sonsuz basamağı olan bir sayıdır.
Her oranlı sayı (rasyonel sayı) bir gerçel sayıdır; virgülden sonra tekrar eden ondalık açılımı vardır (0 dahil). Örneğin:
31f85b7d9d2d0645efd5f063d9ed2c0c veya
93486733009586effa169f91bad53c59 veya
e31159a9d2b92f056e52129daeeb1ebe eşitliklerinde olduğu gibi. Burada dikkat edilmesi gereken, ondalık basamaklardaki rakamların bir süre sonra bloklar halinde periyodik tekrar etme özelliğidir. Bu şöyle ispatlanabilir: m, n iki tamsayı (n pozitif) olsun. m/n oranlı sayısı ondalık ifade edilmek istendiğinde, m 'yi n 'ye bölerken (bölme algoritmasını uygularken) ilk adımda kalan 0 ile n arasında olacaktır. Kalanın yanına sıfırlar ekleyip bölmeye devam edilecek ve bir sonraki adımda kalan yine 0 ile n arasında olacaktır. Sonsuz adımda sonlu sayıda değer alabilen kalanlar, bir süre sonra aynı değeri alacak ve kendini tekrar edecektir.
Oranlı sayılardan gerçel sayıları elde etme işlemiyse oranlı sayılara ondalık açılımındaki rakamların devirsel tekrar etmediği sayıların eklenmesi olarak düşünülebilir. Bu tür sonradan elde ettiğimiz gerçel sayılara irrasyonel sayılar denir.


İrrasyonel sayıların varlığı

Düzlemde herhangi bir doğru parçası alıp buna birim uzunluk diyelim. Tamsayılarla bu doğru parçasının katları birebir eşlensin. Alınan bir doğrunun üzerinde bu tamsayı uzunlukları ve olası tüm oranları (oranlı sayılar) işaretlensin. Gösterilebilir ki, herhangi iki oranlı sayı arasında sonsuz çoklukta oranlı sayı vardır. Demek oluyor ki, alınan doğru üzerinde birbirlerine istenildiği kadar yakın ve oranlı sayıları temsil eden iki nokta (oranlı nokta) arasında , sonsuz çoklukta oranlı nokta vardır.
Bu tür noktaların, dolayısıyla uzunlukların varlığını ispatlamak için, kenar uzunluğu 1 birim olan bir karenin köşegen uzunluğunu (x) sayı doğrusu üzerinde işaretleyelim. x uzunluğu, oranlı bir sayı değildir, yani p ve q birer tamsayı olmak üzere p/q şeklinde gösterilemeyen bir sayıdır; bu sayı ef5590434a387b3c4427e09d5b08baaf olarak gösterilecektir.
Kabul edelim ki x=p/q olsun. Bundan başka, bu kesrin artık kısaltılamayan bir kesir olduğunu farz edelim, yani p ve q aralarında asal olsunlar. Başka bir deyişle, bunların 1'den başka ortak bölenleri bulunmasın. Pisagor teoremi sayesinde x2=2=p2/q2 elde edilir. Dolayısıyla 2q2=p2 olur. p ve q aralarında asal olduğu için 2, p 'yi bölmek zorundadır. Böylece eşitliğin sağ tarafı 4'e bölünür. Sol tarafının da dörde bölünmesi gerekeceğinden q da 2'ye bölünmek zorunda kalır. Hem p hem de q sayıları 2'ye bölünebiliyorsa, aralarında asallık kabulüyle çelişkili bir sonuç bulunmuş olur. O halde x 'in oranlı bir sayı olduğu kabulünden vazgeçmek gerekecektir.
Bu ispat, bir Pisagorcu olan Hippasus'a atfedilmektedir (İ.Ö: 5. yüzyıl). İrrasyonel sayıların varlığının ilk antik Yunan matematikçi Pisagor'un okulu tarafından anlaşılmış olduğu görüşü yaygındır. Fakat Pisagor bu sayıların evrenin düzenine aykırı olduğunu düşünmüş ve öğrencilerine bu sayıların varlığını açıklamayı yasaklamıştır. Rivayete göre Hippasus'u o öldürtmüştür.

İrrasyonel Sayılara Örnekler

ef5590434a387b3c4427e09d5b08baaf , 20cc78eed9b05759cbd1213bbef9d10b, 7d2db2b2c90be143cb85c105105317da, π , e, 1b617f10629a1ca486bfecc14db42209 birer irrasyonel sayıdır. İki irrasyonel sayının toplamı, çarpımı, yine bir irrasyonel sayı olmak zorunda değildir

Gerçek sayıların kurulması


Belitlerle inşa

Aşağıdaki belitler aracılığıyla kurulan gerçel sayılar sistemi, bütün sıralı bir cisimdir. Kümeler kuramının Zermelo-Fraenkel belitleri ile inşası kabul edilerek, aşağıdaki belitleri sağlayan bir modelin varlığı ve bunları sağlayan herhangi iki modelin birbirine izomorfik olduğu gösterilebilir.
Gerçel sayılar sistemi bir R kümesi, içinde 0 ve 1 adlı iki öğe (eleman), + ve x ile gösterilen iki tane ikili işlem ve ≤ olarak gösterilen bir ikili bağıntıdan oluşuktur. Bunlar aşağıdaki belitleri sağlar:
1. (R, +, x) bir cisimdir.
2. (R, ≤) tamamen sıralı bir kümedir.
3. ≤ bağıntısı + ve x işlemleri altında korunur:
  • a, b ve c R 'de, ve a ≤ b olmak üzere a + c ≤ b + c olmalıdır.
  • a, b R 'de, ve 0 ≤ a, 0 ≤ b olmak üzere 0 ≤ a x b olmalıdır.
4. ≤ sıralaması bütündür: R'nin boşküme olmayan ve yukarıdan sınırlı her alt kümesi, en küçük bir üst sınıra sahiptir.
Aşağıda gerçel sayı sistemi için kimi model inşaları bulunmaktadır. Bunların her biri bir diğeriyle, yukarıda sözü edilen anlamda aynıdır.

Cauchy dizileriyle inşa


Dedekind kesimleriyle inşa


Tamsayılar grubunu kullanarak inşa


Bazı Yan Bilgiler

  • Tam kare olmayan hiçbir doğal sayının karekökü oranlı değildir.
  • Oranlı sayılar kümesi sayılabilir olmasına karşılık gerçel sayılar kümesi sayılamazdır.
  • Gerçel sayılar "cebirsel sayılar" ve "aşkın sayılar" (transcendental) olarak ikiye ayrılırlar. Cebirsel bir gerçel sayı, tamsayı katsayılı bir polinomun kökü olabilen bir sayıdır; örneğin: x2 - 2 polinomunu 0 yapan değerlerden biri (kök) ef5590434a387b3c4427e09d5b08baaf'dir. x - 2 polinomunun kökü 2'dir. Dolayısıyla ef5590434a387b3c4427e09d5b08baaf ve 2 cebirsel sayılardır. Ancak π ve e sayıları herhangi bir polinomun kökü olamazlar; bunlar aşkın sayılardır.

İspat

Doğal sayıları için nx≤y dir. Bu durumda y/x, N doğal sayılar kümesi için bir üst sınırdır. Böylece N, R nin boş olmayan bir altkümesi olup üstten sınırlıdır ve en küçük üst sınır özelliğinden bir s supremuma (e.k.ü.s.'e) sahiptir. s-1< s olduğundan s-1, N için bir üst sınır olamaz. Bu yüzden, N 'nin s-1 den büyük olan bir n elemanı var olmalıdır. Ancak eğer n>s-1 ise n+1>solur. Bu da s 'nin N nin supremumu olması ile çelişir. Bu da bizi varsayımımızın karşıtına götürür. Yani her bir n için n<=x olamaz.


Rapor Et
Eski 24 Ağustos 2011, 23:23

Gerçel Sayı ve Gerçel Sayı Kümesi

#3 (link)
Daisy-BT
Ziyaretçi
Daisy-BT - avatarı

Gerçel Sayı ve Gerçel Sayı Kümesi

Rasyonel ve irrasyonel sayıların genel adı ve tüm bu sayıların oluşturduğu küme (simgesi R).

Reel sayı ve reel sayılar kümesi de denir. Bir başka yaklaşıma göre de, cebirsel ve transandant sayı kümelerinin birleşimi, gerçel sayılar kümesini verir. Rasyonel sayılar kümesi, gerçel sayılar kümesinin bir öz alt kümesidir. Q harfiyle gösterilir ve p ile q tamsayılar, q sıfırdan farklı olmak üzere p/q biçiminde yazılabilen sayılardan oluşur. Her rasyonel sayının devirli ondalık açılımı (1/6 = 0,1666... gibi) olduğu kanıtlanabilir. Rasyonel sayılar kümesi ile sayı doğrusu arasında, her rasyonel sayıya bu doğru üzerinde bir nokta karşılık gelmek üzere bir eşleme kurulabilir.

Ayrıca, herhangi iki rasyonel sayı arasında üçüncü bir rasyonel sayının var olduğu da kanıtlanabilir. Ancak sayı doğrusu üzerinde, rasyonel bir sayıyla eşlenemeyen noktalar da vardır. Bir başka deyişle, sayı doğrusu rasyonel sayılarla doldurulamaz. Örneğin, karesi 2 olan bir rasyonel sayı yoktur. Bunun gibi, ¹=3,14159265358979323... sayısı bir devirli ondalık açılım değildir. İşte, sayı doğrusu üzerindeki rasyonel olmayan noktalarla eşlenen ya da devirli ondalık açılımı olmayan gerçel sayıların oluşturduğu kümeye irrasyonel sayılar kümesi denir. Rasyonel ve irrasyonel sayı kümelerinin arakesiti boş, birleşimi ise gerçel sayılar kümesidir. Gerçel sayılar kümesi, içinde sıralama özelliği bulunan en geniş sistemdir ve bir cisim yapısındadır.

MsXLabs.org & Morpa Genel Kültür Ansiklopedisi


Rapor Et
Eski 26 Aralık 2013, 17:52

Gerçel (Reel) Sayılar

#4 (link)
Misafir
Ziyaretçi
Misafir - avatarı
Gerçek Sayılar | Vitamin Ortaokul sitesinde de güzel bir anlatım yer almaktadır.
Sponsorlu Bağlantılar
Rapor Et
Cevap Yaz Yeni Konu Aç
Hızlı Cevap
Kullanıcı Adı:
Önce bu soruyu cevaplayın
Mesaj:








Yeni Soru
Sayfa 0.205 saniyede (77.91% PHP - 22.09% MySQL) 16 sorgu ile oluşturuldu
Şimdi ücretsiz üye olun!
Saat Dilimi: GMT +2 - Saat: 19:53
  • YASAL BİLGİ

  • İçerik sağlayıcı paylaşım sitelerinden biri olan MsXLabs.org forum adresimizde T.C.K 20.ci Madde ve 5651 Sayılı Kanun'un 4.cü maddesinin (2).ci fıkrasına göre tüm kullanıcılarımız yaptıkları paylaşımlardan sorumludur. MsXLabs.org hakkında yapılacak tüm hukuksal şikayetler buradan iletişime geçilmesi halinde ilgili kanunlar ve yönetmelikler çerçevesinde en geç 3 (üç) iş günü içerisinde MsXLabs.org yönetimi olarak tarafımızdan gerekli işlemler yapıldıktan sonra size dönüş yapılacaktır.
  • » Site ve Forum Kuralları
  • » Gizlilik Sözleşmesi