Hoş geldiniz sayın ziyaretçi Neredeyim ben?!

Web sitemiz; forum, günlük, video ve sohbet bölümlerinin yanı sıra; Skype ile ilgili Türkçe teknik destek makaleleri, resim galerileri, geniş içerikli ansiklopedik bilgiler ve çeşitli soru-cevap konuları sunmaktadır. Daima faydalı olmayı ilke edinmiş sitemize sizin de katkıda bulunmanız bizi son derece memnun eder :) Üye olmak için tıklayınız...


Sohbet (Flash Chat) Forumda Ara

Bayes Teoremi

Bu konu Matematik forumunda HipHopRocK tarafından 25 Mart 2009 (02:05) tarihinde açılmıştır.FacebookFacebook'ta Paylaş
7662 kez görüntülenmiş, 1 cevap yazılmış ve son mesaj 3 Haziran 2013 (19:11) tarihinde gönderilmiştir.
  • Bu konuyu beğendiniz mi?   
Cevap Yaz Yeni Konu Aç
Bu konuyu arkadaşlarınızla paylaşın:    « Önceki Konu | Sonraki Konu »      Yazdırılabilir Sürümü GösterYazdırılabilir Sürümü Göster    AramaBu Konuda Ara  
Eski 25 Mart 2009, 02:05

Bayes Teoremi

#1 (link)
HipHopRocK
Ziyaretçi
HipHopRocK - avatarı
Bayes Teoremi

Bayes teoremi olasılık kuramı içinde incelenen önemli bir konudur. Bu teorem bir rassal değişken için olasılık dağılımı içinde koşullu olasılık]lar ile marjinal olasılıklar arasındaki ilişkiyi gösterir. Bu şekli ile Bayes teoremi bütün istatistikçiler için kabul edilir bir ilişkiyi açıklar. Bu kavram için Bayes kuralı veya Bayes kanunu adları da kullanılır. Ancak bazı istatistikçiler için Bayes teoremi özel olarak değişik bir önem de taşır. Felsefi temelde olasılık değerlerinin nesnesel bir özellik değil, gözlemcinin meydana çıkardığı subjektif bir değer olarak kabul eden subjektivist olasılık düşünürlerine göre Bayes teoremi, yeni kanıtlar ışığında olasılık değeri hakkındaki subjektif inanışların güncelleştirilip değiştirilmesini sağlayan temel bir gereçtir; yani sonsal bir yaklaşımın temelidir.
Olasılık teorisi içinde incelenen bir 'olay olarak B olayına koşullu bir A olayı (yani B olayının bilindiği halde A olayı) için olasılık değeri, A olayına koşullu olarak B olayı (yani A olayı bilindiği haldeki B olayı) için olasılık değerinden farklıdır. Ancak bu iki birbirine ters koşulluluk arasında çok belirli bir ilişki vardır ve bu ilişkiye (ilk açıklayan istatistikçi İngiliz Thomas Bayes (1702–1761) adına atfen) Bayes Teoremi denilmektedir.
Formel bir teorem olarak Bayes teoremi, olasılık kavramını inceleyen her türlü değişik felsefi temel fikre bağlı olan her türlü istatisikçi tarafından kabul edilir. Ancak olasılığı objektif bir değer olarak gören ve relatif çokluluk olarak tayin eden çoklulukçu (en:frequentist) ekolüne bağlı olan istatistikçiler ile sübjektivist (veya Bayes tipi) ekoline bağlı olan istatistikçiler arasında bu teoremin pratikte nasıl kullanılabileceği hakkında büyük bir fikir ayrılığı bulunmaktadır. Çoklulukcu ekolüne dahil olanlar olasılık değerlerini rastgele olaylarda meydana çıkma çokluluğuna göre veya anakütlenin altsetlerinin tam anakütleye orantısı olarak saptanması gerekeğini kabul etmektedirler. Bunlara göre yeni kanıtlar karşısında olasılık değerinin değişme imkânı yoktur. Bu nedenle çoklulukcu ekolü için Bayes teoremi sadece koşulluluklar arasında ilişkiyi gösterir ve bunun pratikte kullanılma gücü küçüktür. Halbuki sübjektivist ekolüne göre olasılık gözlemcinin sübjektif belirsizlik ifadesidir. Bu nedenle olasılık değeri sübjektif olup yeni kanıtlar geldikçe değiştirilebileceğine inanmakta ve böylece Bayes teoremini istatistik bir incelemenin temel taşı saymaktadırlar.

Bayes teoreminin ifade edilişi

Bayes teoremi bir stokastik sürec sırasında ortaya çıkan bir rastgele olay A ile bir diğer rastgele olay B (eğer B için kaybolmamış olasılık varsa) için koşullu olasılıkları ve marjinal olasılıkları arasındaki ilişkidir, yani

188019d193258f9ba310da979906d24f

Bayes teoremi formülü içinde bulunan her bir terime özel isimler verilmektedir:
  • P(A) terimine A için önsel olasılık veya marjinal olasılık adı verilir. Bu önseldir, çünkü B olayı hakkında önceden herhangi bir bilgiyi içermemektedir.
  • P(A|B) terimi verilmiş B için Anın koşullu olasılığı adını alır.
  • P(B|A) terimi verilmiş A için Bnin koşullu olasılığı adını taşır.
  • P(B) terimi B olayı için 'önsel' olasılıktır veya Bnin marjinal olasılığıdır ve matematiksel rolü normalize eden bir sabittir.
Bu şekildeki Bayes teoremini, fazla matematiksel olmadan, sezgiye dayanarak şöyle açıklayabiliriz: Bayes teoremi eğer B gözlemlenmis ise, A gözlemi hakkındaki inançların ne şekilde güncelleştirilebileceğini ortaya çıkartır.

Bayes teoreminin olabilirlilik terimleri ile ifadesi

Bayes teoremi olabilirlilik terimleri ile de şöyle ifade edilebilir:

860a2a4aeabda38082d43754ad77d334

Burada L(A|b) terimi verilmiş sabit b için Anin olabilirliğidir ve L(A|B)/P(B) orantısına bazan standardize edilmis olabilirlilik veya normalize edilmiş olabilirlilik adı da verilir. Böylece

66c8f949a7f9eaa7174549a23279010e

ilişkisini kullanarak Bayes teoremi ortaya çıkartılır. Bu sonucu sözcüklerle şöyle de yazabiliriz:

cd14a47100ebabe7b1ba7392b2e381de

Daha uygun sözcüklerle
Sonsal olasılık önsel olasılık ile olabilirlilik çarpımına orantılıdır.

Koşullu olasılıklar kullanılarak matematiksel ispat

Bu teoremi ispat etmek icin koşullu olasılık tanımından başlanır. B olayı bilinirse A olayının olasılığı şöyle verilir:

a6df7814a46fc4c9670cc510b72bb318

Aynı şekilde A olayı verilmiş ise B olayının olasılığı şudur:

8b6c81124815aad54c91c42b3261165d

Bu iki denklem yeniden düzenlenip birbirlerine birleştirilirse,

efaf8fda8a92eeb2d8cf70468c20ed5a

ifadesi bulunur. Bu lemma bazan olasılıklar için çarpım kuralı olarak anılmaktadır. Her iki taraf da P(B) (eğer sıfır değilse) ile bolunurse, ortaya çıkan şu ifade Bayes teoremidir:

f9fdf7c75c7f4ddae1140dd2a9e73714


Bayes teoreminin değişik şekilleri

Bayes teoremi çok kere daha ek kavramlar eklenerek, sanki daha süslü olarak, ifade de edilir. Bunun için önce şu ifade kullanılır:

07cf5446f48e526e1abcdb471e60089a

Burada AC (çok kere A olmayan olarak ifade edilen) A olayının tamamlayıcısı olur. Bu Bayes teoremi formulüne konulunca Bayes teoremi için yeni alternatif bir formül elde edilir:

b337da08b983c9e9c6f741d856b4b72c

Daha genel olarak, {Ai} olay uzayının bir bölüntüsünü oluşturduğu göz önüne alınca, bu bölüntü içinde bulunan herhangi bir Ai için şu ifade elde edilir:

daa4b03e8ea857a6957e4a1d0b8ef6b1

Toplam olasılık yasası maddesine de bakınız.

Bahis oranı ve olabilirlilik orantısı şeklinde Bayes teoremi

Bayes teoremi çok daha düzgünce bir olabilirlik orantısı olan λ ile bahis oranı olan O terimleri ile şöyle ifade edilir:

6aa65315e6ae2da1b417789e43b4eb72

Burada

81be09df6b27e9b3d3ee7c8e4e6ced85

B
verilimişse A olayının bahis oranı;

c4451387126a4c6a51739382cacb9e99

A kendi bahis oranı ve

32146e2a0949cb320bfd837305e6c133

olabilirlik orantısı olur.

Olasılık yoğunluk fonksiyonları ile Bayes teoremi

Bayes teoreminin sürekli olasılık dağılımlarına uygun olan bir şekli de vardır. Olasılık yoğunluk fonksiyonları tıpatıp olasılık olmadıkları için bu şeklin isbatı biraz daha karmaşıktır. Bu şekilde Bayes theoremi bir limit işlemin geliştirilmesi sonucu ile ortaya çıkarlar.

402214a6b5fb1babe545afc206a96d92

Buna benzer olan bir diğer ifade de toplam olasılık yasası için şöyle ortaya çıkartılabilir:

Aynı genel aralıklı hâl gibi bu formülde bulunan parçalara da özel isimler verilmiştir:
  • f(x, y) X ve Y için bileşik dağılımdır;
  • f(x|y) Y=y verilmiş iken X in sonsal dağılımıdır;
  • f(y|x) = L(x|y) (x in bir fonksiyonu olarak) Y=y verilmiş ise Xin olabilirlilik fonksiyonudur;
  • f(x) Xin marjinal dağılımı ve ve Xin önsel dağılımı olur;
  • f(y) Yin marjinal dağılımı olur.
Dikkat edilirse burada biraz alışılmış notasyon karışıklığı kavramına kendimizi kaptırdık. Burada her bir terim icin f notasyonu kullanıldı ama gerçekte bunlarin hepsi değişik birer fonksiyonlardir. Burada verilen hali ile fonksiyonların birbirinden değişik olduklar ancak içlerinde bulunan terimlerin farklı olmaları ile anlaşılabilmektedir.

Soyut Bayes teoremi

Olasılık uzayında verilmiş olan iki mutlak sürekli olasılık ölçümleri P˜Q b9474d45d82accf03434710c10871795 ve bir sigma-

cebiri 6956beed6709f29c47056603dd448e37 olsun. Bu halde 26afd73f8c17f310707120691ccc4a35-ölçülmeli rassal değişken X için soyut Bayes teorem şöyle ifade edilir:

bcb58d4f262347072d35dea4a65977dd.

Bu formulasyon şekli Kalman filtreleme tekniğinde Zekai denklemleri bulmak için kullanılır. Bu şekil ayrıca finansman matematiği içinde numeraire değişmesi tekniklerinde uygulanır.

Bayes teoreminin kapsamının genişletilmesi

Ikiden daha fazla degisken kapsayan problemler icin de Bayes teoremine benzer teoremler olusturulabilir. Örneğin

01b89e228d286117e3f007b0bc3b67c0

Bu Bayes teoreminin ve kosullu olasilik tanimlamasinin uzerine birkac islem yaparak ortaya cikarilabilir:

0000c57867374dbd1b7837882c5f7e5c2203d39e737f922023985141bee96496

Bu calismalar icin uygulanacak genel strateji ortak olasilik icin parcalama ile calismaya baslayip ilgimizi cekmek istemedigimiz degiskenleri entregrasyon ile marginalize etmektir. Uygulanan parcalam sekline gore, bazi entegrallerin 1e esit olup parcalama ifadesinden dusmeleri sagmanma imkâni bulunabilir; eger bu ozellik ve imkân kullanilabilirse gereken hesaplamalar cok onemli sekilde azaltilabilir. Ornegin, bir Bayes tipi sebeke icin verilen spesifikasyon dolayisiyla, (geri kalan degiskenler verilmis olurlarsa) herhangi bir degisken icin kosullu olasilik, birkac degiskenli ortak dagilimin faktorize edilmesi ile belirlenir ve bu nedenle sonucun ozellikle basit bir form almasi saglanmis olur. (Markov battaniyesi maddesine bakiniz.)

Örnekler

Örnek 1: Koşullu olasılıklar

İki tabak dolusu biskui düşünülsün; tabak #1 içinde 10 tane çikolatalı biskui ve 30 tane sade biskui bulunduğu kabul edilsin. Tabak #2 içinde ise her iki tip biskuiden 20şer tane olduğu bilinsin. Evin küçük çocuğu bir tabaği rastgele seçip bu tabaktan rastgele bir biskui seçip alsın. Çocuğun bir tabağı diğerine ve bir tip biskuiyi diğerine tercih etmekte olduğuna dair elimizde hiçbir gösterge bulunmamaktadır. Çocuğun seçtiği biskuinin sade olduğu görülsün. Çocuğun bu sade biskuiyi tabak #1 den seçmiş olmasının olasığının ne olacağı problemi burada incelenmektedir.
Sezgi ile, tabak #1de sade biskui sayısının çikolatali buskui sayısına gore daha fazla olduğu göz önüne alınırsarak incelenen olasılığın %50den daha fazla olacağı hemen algılanır. Bu soruya cevap Bayes teoremi kullanarak kesin olarak verilebilir. Önce soruyu değiştirip Bayes teoremi uygulanabilecek şekle sokmak gerekmektedir: Çocuğun bir sade biskui seçmiş olduğu bilinmektedir; o halde bu koşulla birlikte tabak #1den seçim yapması olasığı ne olacaktır?
Böylece Bayes teoremi formülüne uymak için A olayı çocugun tabak #1den seçim yapması; B olayı ise çocugun bir sade biskui seçmesi olsun. İstenilen olasılık böylece Pr(A|B) olacaktır ve bunu hesaplamak için şu olasılıkların bulunması gerekir:
  • Pr(A) veya hiçbir diğer bilgi olmadan çocuğun tabak #1 den seçim yapması olasığı;
İki tabak arasında tercih olmayıp seçimin eşit olasığı olduğu kabul edilmektedir.
  • Pr(B) veya hiçbir diğer bilgi olmadan çocuğun bir sade biskui seçmesi olasığı: Diğer bir ifade ile, bu çocuğun her bir tabaktan bir sade biskui seçme olasığıdır. Bu olasılık, önce her iki tabaktan ayrı ayrı olarak secilen bir tabaktan bir sade biskui seçme olasıği ile bu tabağı seçme olasığının birbirine çarpılması ve sonra bu iki çarpımın toplanması suretiyle elde edilir. Tabaklarda olan sade biskuinin sayısının toplama orantısından bilinmektedir ki tabak #1den bir sade biskui seçme olasılığı (30/40=) 0,75; tabak #2den sade biskui seçme olasılığı (20/40=) 0,5 olur. Her iki tabaktan seçme olasılığı ise her tabak ayn sekilde uygulama gördüğü için 0,50 olur. Böylece bu problemin tümü için bir sade biskui seçme olasılığı 0.75×0.5 + 0.5×0.5 = 0.625 olarak bulunur.
  • Pr(B|A), veya çocuğun tabak #1den seçim yaptığı bilirken bir sade biskui seçmesi.: Bu 0,75 olarak bilinmektedir çünkü tabak #1deki toplam 40 biskuiden 30u sade biskuidir.
Şimdi bu aciklanan tüm olasılık değerleri Bayes teoremi formüne konulabilir:

3ba2b020b036f8920da08f092979ea9e

Böylece çocuğun tabak #1den seçim yaptığı bilindiğine göre bir sade biskui seçimi yapmasının olasılığı %60dir ve sezgimize göre seçtiğimiz %50den daha büyüktür.

Ortaya çıkma tabloları ve orantısal çokluklar

Koşullu olasılıkları hesaplarken her bir bağımsız değişken için her mümkün sonucun ortaya cikma sayısını veya her sonucun relatif çoklulukunu gösteren basit bir tablo hazırlamak konuyu daha iyi anlamaya yardımcı olabilir. Biskuvi örneği için bu yöntemin kullanışını gösteren tablolar şöyle verilmiştir:

Her tabakta bulunan değişik tip biskui sayısı Her tabakta bulunan değişik tip biskui oranları
(1)
Tabak #1 Tabak #2 Toplamlar
Çikolatalı 10 20 30
Sade 30 20 50
Toplam 40 40 80
(2)
Tabak #1 Tabak #2 Toplamlar
Çikolatalı 0.125 0.250 0.375
Sade 0.375 0.250 0.625
Toplam 0.500 0.500 1.000

Tablo(1), tablo (2) içindeki her bir hücre elemanını toplam biskui sayısı (yani 80) ile bölerek elde edilmiştir.

Örnek 2: Monty Hall problemi

Bir TV oyun programında üç tane (kirmizi, yesil ve mavi boyali) kapali kapi gosterilmekte ve bu kapilardan birinin arkasinda bir armagan bulunmaktadir. Kirmizi kapiyi sectigimizi dusunelim; ama bu kapi program sunucunun bir faaliyet goistermesini bitirmeden acilmamaktadir. Program sunucusu hangi kapi arkasinda armagan bulundugunu bilmektedir; ama ona verilen direktife gore ne arkasinda armagan bulunan kapiyi ne de sectigimiz kapiyi acabilir. Yesil kapiyi acar ve arkasinda bir armagan bulunmadigini gosterir ve su soruyu yarismaciya sorar: "Ilk tercihiniz olan kirmizi kapi hakkinda fikrinizi değistirmek ister misiniz?" Incelenecek sorun armaganin mavi veya kirmizi kapilar arkasinda bulunma olasiliklari nedir?
Yarismanin ana sonuclari olan degisik renkli kapilar arkasinda armagan bulunmasini soyle ifade edelim Ak, Ay ve **. Ilk olarak her bir kapi arkasinda armagan bulunmasi birbirine esit olasigi oldugu kaabul edilir yani

c0ba72240ea13263b184c5c1c011c24f

olur. Yine dusunelim kirmizi kapiyi yarismaci secmis durumdadir. "Sunucunun yesil kapiyi acmasi olayina B olayi adini verelim. Arkasinda armagan bulunan kapiyi bilmeseydi bu olay icin olasilik %50 olacaktir.
  • Eger gercekte armagan kirmizi kapi arkasinda ise, sunucu ya yesil ya da mavi kapiyi acmakta serbest olacaktir. Bu halde P(B | Ak) = 1 / 2
  • Eger gercekte armagan yesil kapi arkasinda ise, sunucu mavi kapiyi acacaktir. Yani P(B | Ay) = 0.
  • Eger gercekte armagan mavi kapi arkasinda ise, sunucu yesil kapiyi acacaktir. Yani P(B | Am) = 1.
Böylece

aa4dfa33d93a88c3979a5ec794c67711

Dikkatle incelenirse bunun PB degerine bagli oldugu gorulecektir. Bir an armaganin kirmizi kapi arkasinda oldugunu farzedelim; o halde sunucunun yesil kapiyi acma olasigi cok yuksek olacaktir - diyelim %90. Bundan dolayi, eger sunucu baska kapi acmaya zorlanmadikca, yesil kapiyi acmayi tercih edecektir. Boylece, B olayi olasigi 1/3 * 1 + 1/3 * 0 + 1/3 * 9/10 = 19/30 olur.

50f9aa4e35274a73d3208081eeae2ee1

Bu nedenle sunucunun yesil kapiyi acmasi bizi cok az bilgi vermektedir - zaten bu secime yapamaga zorundadir. Pr(**) olasigi 1/2in cok az ustundedir.
Buna karsilik, armaganin kirmizi kapi arkasinda oldugunu farzedersek; o halde sunucunun yesil kapi acma olasigi cok kucuk olacaktir - diyelim %10. Bu demektir ki ozellikle zorlanmadikca sunucu nerede ise hic bir halde yesil kapiyi acmiyacaktir.
O halde B olasigi 1/3 * 1 + 1/3 * 0 + 1/3 * 1/10 = 11/30 olur

ff7aa5bb3e658c622dbd2e12919dd672

Bu halde, gercekte sunucunun yesil kapiyi acmasi bize cok onemli bilgi vermektedir. Aramagan nerede ise hic suphesiz mavi kapi arkasinda bulunmaktadir. Eger mavi kapi arkasinda degilse sunucu cok muhtemelen mavi kapiyi acacakti.

Son Düzenleyen asla_asla_deme; 6 Nisan 2012 @ 12:30.
Etiketler:
  • bayes teoremi
  • bayes teoremi cozumlu sorular
  • bayes teoremi nedir
  • bayes teoremi ornek
  • bayes teoremi ornek sorular
Benzer Konular:
Rapor Et
Eski 3 Haziran 2013, 19:11

Bayes Teoremi

#2 (link)
>
AndThe_BlackSky - avatarı
Bayes Teoremi

Bayes teoremi aşağıdaki denklemle ifade edilir;
46b680c10ac90b0782843f4bbd0b4a95P(A|B) ; B olayı gerçekleştiği durumda A olayının meydana gelme olasılığıdır (bakınız koşullu olasılık )P(B|A) ; A olayı gerçekleştiği durumda B olayının meydana gelme olasılığıdırP( A) ve P( B) ; A ve B olaylarının önsel olasılıklarıdır. Burada önsel olasılık Bayes teoreminine öznellik katar. Diğer bir ifadeyle örneğin P( A) henüz elde veri toplanmadan A olayı hakkında sahip olunan bilgidir.

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Rapor Et
Cevap Yaz Yeni Konu Aç
Hızlı Cevap
Kullanıcı Adı:
Önce bu soruyu cevaplayın
Mesaj:








Yeni Soru
Sayfa 0.248 saniyede (81.43% PHP - 18.57% MySQL) 16 sorgu ile oluşturuldu
Şimdi ücretsiz üye olun!
Saat Dilimi: GMT +2 - Saat: 02:30
  • YASAL BİLGİ

  • İçerik sağlayıcı paylaşım sitelerinden biri olan MsXLabs.org forum adresimizde T.C.K 20.ci Madde ve 5651 Sayılı Kanun'un 4.cü maddesinin (2).ci fıkrasına göre tüm kullanıcılarımız yaptıkları paylaşımlardan sorumludur. MsXLabs.org hakkında yapılacak tüm hukuksal şikayetler buradan iletişime geçilmesi halinde ilgili kanunlar ve yönetmelikler çerçevesinde en geç 3 (üç) iş günü içerisinde MsXLabs.org yönetimi olarak tarafımızdan gerekli işlemler yapıldıktan sonra size dönüş yapılacaktır.
  • » Site ve Forum Kuralları
  • » Gizlilik Sözleşmesi