Cevap Yaz Önceki Konu Sonraki Konu

Ağırlıklı Ortalama

2
  • 2 Gönderen HipHopRocK
HipHopRocK
20 Nisan 2009 12:52   |   Mesaj #1   |   
Avatarı yok
Ziyaretçi
Ağırlıklı Ortalama

İstatistik bilim dalında ağırlıklı ortalama betimsel istatistik alanında, genellikle örneklem, veri dizisini özetlemek için bir merkezsel konum ölçüsüdür. En çok kullanan ağırlıklı ortalama tipi ağırlıklı aritmetik ortalamadır. Burada genel olarak bir örneğinle bu kavram açıklanmaktadır. Değişik özel tipli ağırlıklar alan özel ağırlıklı aritmetik ortalamalar bulunmaktadır. Diğer ağırlıklı ortalamalar ağırlıklı geometrik ortalama ve ağırlıklı harmonik ortalamadir. Ağırlıklı ortalama kavramı ile ilişkili teorik açıklamalar son kısımda ele alınacakdır.

Ağırlıklı aritmetik ortalama

Boş-olmayan bir veri-seti olarak



ve her bir eleman icin ağırlık fonksiyonu



olarak verilirse, ağırlıklı aritmetik ortalama için formül şu olur:



Daha açık bir şekilde (toplama operatörü olan Σ kullanılmadan) bu formül



olur.
Ağırlıklar negatif olmamalıdır. Ağırlıkların bazıları sıfır olabilir; ancak hepsi sıfır olamazlar çünkü bu halde p matematikte sıfırla bölme tanımlanmaz.
Eğer bütün ağırlıklar birbirlerine eşitlerse sonuç aritmetik ortalamanın aynısıdır. Genel olarak ağırlıklı ortalamalar özellikleri bakimdan aritmetik ortalamaya benzemektedir. Ancak ağırlıklı ortalamalar bazan sezgiyile kabul edilemiyecek sonuçlar doğurur; örneğin Simpson'un paradoksu ortaya çıkabilir.
Ağırlıklı ortalamalar bazı matematik alanlarda rol oynarlar. Ayrıca betimsel istatistik alanında ağırlıklı ortalamalar pratikte kullanılır.

Normalize edilmiş ağırlıklı aritmetik ortalama

Pratikte çok görülebilen bir özel ağırlıklı aritmetik aortalama hali, ağırlık fonksiyonun normalize edilmiş şekli ile ortaya çıkan özel normalize ağırlıklı aritmetik ortalamadır. Normalizasyon işlemi ağırlıkların toplamını 1e eşit yapılması ile başarılır. Bu halde ağırlıklı aritmetik ortalama formulünün paydası 1e eşit olur. Böylece payda



olduğu için bu bir koşul olarak şu normalize edilmiş ağırlıklı aritmetik ortalama bulunur:




Uzunluk ağırlıklı aritmetik ortalama

Eğer x bir uzunluk değişkeni ise uzunluk ağırlıklı aritmetik ortalama şu olur:




Ağırlıklı aritmetik ortalama için pratik örneğin

Aynı bir istatistik imtihanı fakultede bulunan 30 öğrencili gündüz dersleri şubesine ve 20 öğrencili gece dersleri şubesine uygulanmıştır. Sonuç veri dizileri şöyledir:
Gündüz dersleri = 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 87, 88, 88, 89, 89, 89, 90, 90, 90, 90, 91, 91, 91, 92, 92, 93, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99 Gece dersleri = 62, 67, 71, 74, 76, 77, 78, 79, 79, 80, 80, 81, 81, 82, 83, 84, 86, 89, 93, 98 Gunduz dersleri şubesi için (ağırlıksız) aritmetik ortalama sonuc 90% ve gece dersleri şubesi için 80% olarak hesaplanır. Eğer bu ikisinin basit bir ortalaması alirsa bu ortalama 85% olarak bulunur. Bu tüm öğrenciler için bir basit aritmetik ortalama değildir. Çünkü aritmetik ortalama tüm notların toplanmasını ve bütün toplam öğrenci sayısı ile bölünmesini gerektirir; yani



Aynı sonuç daha kolay bir şekilde iki şube basit aritmetik ortalamalarını ve ağırlık olarak şube büyüklüklerini kullanarak bir ağırlıklı ortalama bulunması yoluyla da elde edilebilir:



Böylece, eğer bireysel notlar elde bulunmuyorsa fakat şube ortalama notları ve şube büyüklükleri biliniyorsa, tüm öğrenciler için ortalama not yine de hesaplanabilir.

Conveks kombinasyon

Incelenen sorunda sadece oransal olarak verilen ağırlıklar bulkunuyorsa, herhangi bir ağırlıklı ortalamanın ağırlıklarının toplamı 1e eşit olan özel bir ağırlıklı ortalama olarak ifade edilebilir. Bu çeşit lineer toplama dönüşümüne bir konveks birleşim adı verilir.
Verilen sayısal örneğinde ağırlıklar oransal yüzde iken bu şöyle gosterilebilir:





Bu şöyle basitleştirilebilir:



Varyans ağırlıklı aritmetik ortalama
Eğer her bir veri elemanı nin herbiri bilinen varyansli değişik olasılık dağılımından geldiği bilinmekte ise, bir özel bir ağırlıklı aritmetik ortalama kurulabilir. Bu tür ağırlıklı aritmetik ortalama için ağırlıklar bilinen varyans değerleri, yani



olarak seçilir. Eğer bu seçim yapilirsa, ortaya çıkan varyans ağırlıklı aritmetik ortalama şöyle ifade edililir:



Bu özel tip ağırlıklı ortalama için varyans şöyle hesaplanabilir:



Eğer herbir varyans sabit ise, yani ise, bu ifade daha da basit olarak şöyle yazılabilir:

.

Çıkarımsal istatistik alanı içinde bu tür varyans ağırlıklı aritmetik ortalamanın önemi, bu tür ortalamanın bağımsız ve aynı ortalama ile normal dağılım gösteren olasılık dağılımlarının ortalaması için maksimum olabilirlik kestirimi olduğundadır.

Ağırlıklı geometrik ortalama

Genellikle bir örneklem veri serisi şöyle verilirse
X = { x1, x2, ..., xn} ve her bir veriye verilen ağırlıklar yani ağırlık fonksiyonu' şu ise:
W = { w1, w2, ..., wn} Bu halde ağırlıklı geometrik ortalama şöyle hesaplanır:



Bundan çıkartılabilecek bir diğer sonuç, geoemetrik ortalamanın logaritmasının bireysel değerlerin logaritmalarının ağırlıklı aritmetik ortalaması olduklarıdır.

Ağırlıklı harmonik ortalama

Genellikle bir örneklem veri serisi şöyle verilsin:
X = { x1, x2, ..., xn} Her bir veriye verilen ağırlıklar şunlar olsun:
W = { w1, w2, ..., wn} Bu halde ağırlıklı harmonik ortalama şöyle hesaplanır:



Dikkat edilirse, eğer butun ağırlıklar aynı ağırlık sayısı ise, sonuç bir harmonik ortalamanın aynısıdır.

Genel ağırlıklı ortalama kavramı

Genel kavramsal yaklaşım

Bir ağırlıklı ortalama M çoklu bir pozitif sayılar dizisini bir pozitif sayı olan

(). ifadesine tasarımlayan bir fonksiyondur.
  • Sabit nokta:
  • Homojenlik:
(Vektör notasyonu kullanarak: )
  • Monotonik fonksiyon:
Sonuç olarak:
  • Üst sınırlılık:
  • Devamlılık:
Bir isbat eskizi:



ve



olduğu için sonuç olarak

.
  • Türevi alınamayan ortalamalar bulunmaktadır. Örneğin, çok sayılı bir dizinin maksimum sayısı bir tür konum merkezi olduğu kabul edilebilir (ya bir güç ortalamasının uçsal hali olarak veya bir medyan olarak) ama bunun türevi alınamaz.
  • Hemen hemen her ortalama (genelleştirilmiş f-ortalama hariç) bu verilen özellikleri taşımaktadır.
Ağırlıklı ortalamaya dönüşüm

Elemanları tekrarlıyarak herhangi bir ağırlıksız ortalama bir ağırlıklı ortalamaya dönüştürülebilir. Bu özellik herhangi bir ortalamanın, ağirlıklı ortalamaların bir ağırlıklı şeklinin ortalaması olduğu önerilebilir. Bu öneri şöyle biraz daha açıklığa kavuşabilir: Diyelim ki ağırlıkı ortalama M ve doğal sayılardan oluşan şu ağırlıklar
verilmiş bulunsun. Bu halde buna karşıt olan ağırlıklı ortalama A şöyle elde edilebilir:




Anakütle ve örneklem ortalamaları

Normal dağılım gösteren bir anakütleden gelen bir rastgele örneklem için örneklem ortalamasının beklenen değeri, μ, yani anakütle ortalamasıdır. Böylece örneklem ortalaması, [yansızlık] nokta tahmin kriterine göre anakütle ortalamasının iyi bir tahminidir. Örneklem ortalaması bu halde, kendine ait bir olasılık dağılımı bulunan bir rassal değişken olarak görülmektedir. Normal dağılım gösteren bir anakütleden rastgele bir örneklem yöntemi ile seçilmiş n büyüklükte bir örneklemin ortalamasının örneklem ortalama dağılımı şudur:



Çok kere anakütle varyansı bilinmeyen bir parametredir ve ortalama toplam kareler tahiminden yaklaşık olarak elde edilmiştir. Bu halde örneklem ortalamasının dağılımı, normal dağılım olmaktan çıkıp, n − 1 serbestlik dereceli bir Student'in t dağılımı olur.


sanar ve ThinkerBeLL bu mesajı beğendi.
Cevap Yaz
Hızlı Cevap
İsim:
Mesaj:
Önceki Konu Sonraki Konu

Ağırlıklı Ortalama Konusuna Benzer Konular

Yabancı dil ağırlıklı liseler nerede var?
Gönderen: Chelsea_Eny Forum: Soru-Cevap
Cevap: 1
Son Mesaj: 1 Nisan 2015 14:48
Bir bisikletin saatteki ortalama hızı ortalama ne kadardır?
Gönderen: Ziyaretçi Forum: Soru-Cevap
Cevap: 36
Son Mesaj: 9 Nisan 2013 22:03
Cevap: 0
Son Mesaj: 13 Şubat 2012 09:12
Sözel puan ağırlıklı mesleklerin geliri ne kadardır?
Gönderen: VELYİKEMIN Forum: Soru-Cevap
Cevap: 4
Son Mesaj: 7 Mart 2010 19:42
Sitede oyun ağırlıklı bölümler olabilir mi?
Gönderen: onurakyol Forum: Soru-Cevap
Cevap: 1
Son Mesaj: 14 Ocak 2009 15:17
Sayfa 0.183 saniyede (78.92% PHP - 21.08% MySQL) 11 sorgu ile oluşturuldu