Hoş geldiniz sayın ziyaretçi Neredeyim ben?!

Web sitemiz; forum, günlük, video ve sohbet bölümlerinin yanı sıra; Skype ile ilgili Türkçe teknik destek makaleleri, resim galerileri, geniş içerikli ansiklopedik bilgiler ve çeşitli soru-cevap konuları sunmaktadır. Daima faydalı olmayı ilke edinmiş sitemize sizin de katkıda bulunmanız bizi son derece memnun eder :) Üye olmak için tıklayınız...


Forumda Ara

Ağırlıklı Ortalama

Bu konu Matematik forumunda HipHopRocK tarafından 20 Nisan 2009 (12:52) tarihinde açılmıştır.
2208 kez görüntülenmiş, 0 cevap yazılmış ve son mesaj 20 Nisan 2009 (12:52) tarihinde gönderilmiştir.
Cevap Yaz Yeni Konu Aç
Eski 20 Nisan 2009, 12:52

Ağırlıklı Ortalama

#1 (link)
HipHopRocK
Ziyaretçi
HipHopRocK - avatarı
Sponsorlu Bağlantılar
Ağırlıklı Ortalama

İstatistik bilim dalında ağırlıklı ortalama betimsel istatistik alanında, genellikle örneklem, veri dizisini özetlemek için bir merkezsel konum ölçüsüdür. En çok kullanan ağırlıklı ortalama tipi ağırlıklı aritmetik ortalamadır. Burada genel olarak bir örneğinle bu kavram açıklanmaktadır. Değişik özel tipli ağırlıklar alan özel ağırlıklı aritmetik ortalamalar bulunmaktadır. Diğer ağırlıklı ortalamalar ağırlıklı geometrik ortalama ve ağırlıklı harmonik ortalamadir. Ağırlıklı ortalama kavramı ile ilişkili teorik açıklamalar son kısımda ele alınacakdır.

Ağırlıklı aritmetik ortalama

Boş-olmayan bir veri-seti olarak

aec1ac4e26566609cad393c26626ff88

ve her bir eleman icin ağırlık fonksiyonu

bd78f665a266b74fd304373d44309386

olarak verilirse, ağırlıklı aritmetik ortalama için formül şu olur:

13d572ad5f05b5f6bc9d80c3b603657c

Daha açık bir şekilde (toplama operatörü olan Σ kullanılmadan) bu formül

75c5cdcd4fd787649fe5cd279de40ef2

olur.
Ağırlıklar negatif olmamalıdır. Ağırlıkların bazıları sıfır olabilir; ancak hepsi sıfır olamazlar çünkü bu halde p matematikte sıfırla bölme tanımlanmaz.
Eğer bütün ağırlıklar birbirlerine eşitlerse sonuç aritmetik ortalamanın aynısıdır. Genel olarak ağırlıklı ortalamalar özellikleri bakimdan aritmetik ortalamaya benzemektedir. Ancak ağırlıklı ortalamalar bazan sezgiyile kabul edilemiyecek sonuçlar doğurur; örneğin Simpson'un paradoksu ortaya çıkabilir.
Ağırlıklı ortalamalar bazı matematik alanlarda rol oynarlar. Ayrıca betimsel istatistik alanında ağırlıklı ortalamalar pratikte kullanılır.

Normalize edilmiş ağırlıklı aritmetik ortalama

Pratikte çok görülebilen bir özel ağırlıklı aritmetik aortalama hali, ağırlık fonksiyonun normalize edilmiş şekli ile ortaya çıkan özel normalize ağırlıklı aritmetik ortalamadır. Normalizasyon işlemi ağırlıkların toplamını 1e eşit yapılması ile başarılır. Bu halde ağırlıklı aritmetik ortalama formulünün paydası 1e eşit olur. Böylece payda

f8f320656f5b1ea55039c16fe6f19e43

olduğu için bu bir koşul olarak şu normalize edilmiş ağırlıklı aritmetik ortalama bulunur:

5367f385be8d004c7b8ff9897ea713d9


Uzunluk ağırlıklı aritmetik ortalama

Eğer x bir uzunluk değişkeni ise uzunluk ağırlıklı aritmetik ortalama şu olur:

42321855f7d48479096d353e575e2ea1


Ağırlıklı aritmetik ortalama için pratik örneğin

Aynı bir istatistik imtihanı fakultede bulunan 30 öğrencili gündüz dersleri şubesine ve 20 öğrencili gece dersleri şubesine uygulanmıştır. Sonuç veri dizileri şöyledir:
Gündüz dersleri = 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 87, 88, 88, 89, 89, 89, 90, 90, 90, 90, 91, 91, 91, 92, 92, 93, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99 Gece dersleri = 62, 67, 71, 74, 76, 77, 78, 79, 79, 80, 80, 81, 81, 82, 83, 84, 86, 89, 93, 98 Gunduz dersleri şubesi için (ağırlıksız) aritmetik ortalama sonuc 90% ve gece dersleri şubesi için 80% olarak hesaplanır. Eğer bu ikisinin basit bir ortalaması alirsa bu ortalama 85% olarak bulunur. Bu tüm öğrenciler için bir basit aritmetik ortalama değildir. Çünkü aritmetik ortalama tüm notların toplanmasını ve bütün toplam öğrenci sayısı ile bölünmesini gerektirir; yani

4bb49ab166210ffec2a1984ec6a92331

Aynı sonuç daha kolay bir şekilde iki şube basit aritmetik ortalamalarını ve ağırlık olarak şube büyüklüklerini kullanarak bir ağırlıklı ortalama bulunması yoluyla da elde edilebilir:

fb58b82535ff240634db1245b42dfce2

Böylece, eğer bireysel notlar elde bulunmuyorsa fakat şube ortalama notları ve şube büyüklükleri biliniyorsa, tüm öğrenciler için ortalama not yine de hesaplanabilir.

Conveks kombinasyon

Incelenen sorunda sadece oransal olarak verilen ağırlıklar bulkunuyorsa, herhangi bir ağırlıklı ortalamanın ağırlıklarının toplamı 1e eşit olan özel bir ağırlıklı ortalama olarak ifade edilebilir. Bu çeşit lineer toplama dönüşümüne bir konveks birleşim adı verilir.
Verilen sayısal örneğinde ağırlıklar oransal yüzde iken bu şöyle gosterilebilir:

d43c6cf44b2214babeffb0230c3c8203

a195407c002ee0720e3080576f7db4b0 db298d5e0e8ec505b166e60cde10e48b

Bu şöyle basitleştirilebilir:

5ccd4d273d315d3cb7c34960b6a66041

Varyans ağırlıklı aritmetik ortalama
Eğer her bir veri elemanı 6ed2bc3df66dd893aefb0808148ec57enin herbiri bilinen 56cda30dbae4e428ef1049ba709bc7cc varyansli değişik olasılık dağılımından geldiği bilinmekte ise, bir özel bir ağırlıklı aritmetik ortalama kurulabilir. Bu tür ağırlıklı aritmetik ortalama için ağırlıklar bilinen varyans değerleri, yani

50fbd8d05e899640116bcc5752805cf2

olarak seçilir. Eğer bu seçim yapilirsa, ortaya çıkan varyans ağırlıklı aritmetik ortalama şöyle ifade edililir:

03162c580e8274c9173d776cd71f1e24

Bu özel tip ağırlıklı ortalama için varyans şöyle hesaplanabilir:

eb5a21114b66cfcc3c4b8a7587215186

Eğer herbir varyans sabit ise, yani f57530116ee9a0beaf3d395490346138ise, bu ifade daha da basit olarak şöyle yazılabilir:

0d8c0b11d46ef9dc4dfd4137ea3ef32b.

Çıkarımsal istatistik alanı içinde bu tür varyans ağırlıklı aritmetik ortalamanın önemi, bu tür ortalamanın bağımsız ve aynı ortalama ile normal dağılım gösteren olasılık dağılımlarının ortalaması için maksimum olabilirlik kestirimi olduğundadır.

Ağırlıklı geometrik ortalama

Genellikle bir örneklem veri serisi şöyle verilirse
X = { x1, x2, ..., xn} ve her bir veriye verilen ağırlıklar yani ağırlık fonksiyonu' şu ise:
W = { w1, w2, ..., wn} Bu halde ağırlıklı geometrik ortalama şöyle hesaplanır:

6fd250abf2ba2cf985396e8c9f276e4e

Bundan çıkartılabilecek bir diğer sonuç, geoemetrik ortalamanın logaritmasının bireysel değerlerin logaritmalarının ağırlıklı aritmetik ortalaması olduklarıdır.

Ağırlıklı harmonik ortalama

Genellikle bir örneklem veri serisi şöyle verilsin:
X = { x1, x2, ..., xn} Her bir veriye verilen ağırlıklar şunlar olsun:
W = { w1, w2, ..., wn} Bu halde ağırlıklı harmonik ortalama şöyle hesaplanır:

aaeb4579ae3111c80c8419224659a820

Dikkat edilirse, eğer butun ağırlıklar aynı ağırlık sayısı ise, sonuç bir harmonik ortalamanın aynısıdır.

Genel ağırlıklı ortalama kavramı

Genel kavramsal yaklaşım

Bir ağırlıklı ortalama M çoklu bir pozitif sayılar dizisini bir pozitif sayı olan

(1120bb6b2d94930264d6220e318b2d9c). ifadesine tasarımlayan bir fonksiyondur.
  • Sabit nokta: c7321565112c39c8dc04d7a9916d4fdd
  • Homojenlik: be303e35593392be19cca446c26946a5
(Vektör notasyonu kullanarak: d3fce060424bd35a3fd854155a14c7cb)
  • Monotonik fonksiyon: 0eca853da9a00977aa6dfe2a52c61210
Sonuç olarak:
  • Üst sınırlılık: a820e28f1bd2bcdeee3ae9d5301d9547
  • Devamlılık: 5736c1ce06b5b2499addc3641c35156d
Bir isbat eskizi:

354a2e0d50b330aa99a618fd89567ab1

ve

b2218193f7818dd170085b142c40d3cc

olduğu için sonuç olarak

14f568dcb52c55810a97e03f8b7c2822.
  • Türevi alınamayan ortalamalar bulunmaktadır. Örneğin, çok sayılı bir dizinin maksimum sayısı bir tür konum merkezi olduğu kabul edilebilir (ya bir güç ortalamasının uçsal hali olarak veya bir medyan olarak) ama bunun türevi alınamaz.
  • Hemen hemen her ortalama (genelleştirilmiş f-ortalama hariç) bu verilen özellikleri taşımaktadır.
Ağırlıklı ortalamaya dönüşüm

Elemanları tekrarlıyarak herhangi bir ağırlıksız ortalama bir ağırlıklı ortalamaya dönüştürülebilir. Bu özellik herhangi bir ortalamanın, ağirlıklı ortalamaların bir ağırlıklı şeklinin ortalaması olduğu önerilebilir. Bu öneri şöyle biraz daha açıklığa kavuşabilir: Diyelim ki ağırlıkı ortalama M ve doğal sayılardan oluşan şu ağırlıklar
eccee193f2457c0dfd1438307aa90c80 verilmiş bulunsun. Bu halde buna karşıt olan ağırlıklı ortalama A şöyle elde edilebilir:

363e695c28bf40f3b99d4e158e55144a


Anakütle ve örneklem ortalamaları

Normal dağılım gösteren bir anakütleden gelen bir rastgele örneklem için örneklem ortalamasının beklenen değeri, μ, yani anakütle ortalamasıdır. Böylece örneklem ortalaması, [yansızlık] nokta tahmin kriterine göre anakütle ortalamasının iyi bir tahminidir. Örneklem ortalaması bu halde, kendine ait bir olasılık dağılımı bulunan bir rassal değişken olarak görülmektedir. Normal dağılım gösteren bir anakütleden rastgele bir örneklem yöntemi ile seçilmiş n büyüklükte bir örneklemin ortalamasının örneklem ortalama dağılımı şudur:

2e74ec58e63b30debf6b6d32a587a181

Çok kere anakütle varyansı bilinmeyen bir parametredir ve ortalama toplam kareler tahiminden yaklaşık olarak elde edilmiştir. Bu halde örneklem ortalamasının dağılımı, normal dağılım olmaktan çıkıp, n − 1 serbestlik dereceli bir Student'in t dağılımı olur.


Sponsorlu Bağlantılar
Rapor Et
Cevap Yaz Yeni Konu Aç
Hızlı Cevap
Kullanıcı Adı:
Önce bu soruyu cevaplayın
Mesaj:








Yeni Soru
Sayfa 0.192 saniyede (71.58% PHP - 28.42% MySQL) 16 sorgu ile oluşturuldu
Şimdi ücretsiz üye olun!
Saat Dilimi: GMT +2 - Saat: 13:16
  • YASAL BİLGİ

  • İçerik sağlayıcı paylaşım sitelerinden biri olan MsXLabs.org forum adresimizde T.C.K 20.ci Madde ve 5651 Sayılı Kanun'un 4.cü maddesinin (2).ci fıkrasına göre tüm kullanıcılarımız yaptıkları paylaşımlardan sorumludur. MsXLabs.org hakkında yapılacak tüm hukuksal şikayetler buradan iletişime geçilmesi halinde ilgili kanunlar ve yönetmelikler çerçevesinde en geç 3 (üç) iş günü içerisinde MsXLabs.org yönetimi olarak tarafımızdan gerekli işlemler yapıldıktan sonra size dönüş yapılacaktır.
  • » Site ve Forum Kuralları
  • » Gizlilik Sözleşmesi