Masaüstü Görünümü Üye Ol
Forum Ana Sayfa
Matematik > Vektörel Çarpım
«Önceki KonuSonraki Konu»
_Yağmur_16:23, 16 Haziran 2011 
Vektörel Çarpım ::.

Başlangıç noktaları aynı olan iki vektörün, büyüklüğü her ikisinin büyüklükleriyle aralarındaki açının sinüs değerinin çarpımına eşit, doğrultusu da kendilerine dik olan üçüncü bir vektör verecek biçimde çarpılması. Aralarında a açısı olan u ve v vektörlerinin vektörel çarpımı w=uxv biçiminde gösterilir ve çarpımın sonucu olan w vektörünün büyüklüğü, w = |u| |v| sin_'dır. Vektörel çarpımda vektörlerin yazılış sırası önemlidir.

Çünkü uxv ile vxu çarpımları, büyüklükleri aynı ama yönleri zıt olan iki vektör verirler (yani uxv=-vxu). w=uxv vektörel çarpımında w vektörünün yönü, pratik olarak şöyle bulunur: Sağ el u vektörünü, aradaki açıyı süpürecek biçimde v vektörünün üzerine kapatırken, öteki parmaklara dik tutulan başparmak, w vektörünün yönünü gösterir.


İki vektörün vektörel çarpımı, bu iki vektörün normlarıyla, vektörlerin arasındaki açının sinüsünün (<180) çarpımı kadar brim vektör olarak tanımlanabilir. Yani, vektörel çarpımı ,"e" brim vektör olmak üzere, aşağıdaki gibi ifade edilebiliriz;

vcarpt

Dikkat edilirse iki vektörün vektörel çarpımı sonucunda yine bir vektör elde etmekteyiz. Yani vektörel çarpım iki vektörü yeni bir vektöre götürür. Bu vektörün özelliği ise vektörel çarpıma giren her iki vektöre de dik olan vektör olmasıdır.

Ancak burada dikkat edilmesi gereken diğer bir husus ise vektörel çarpımın değişme özelliğinin olmadığıdır. Vektörel çarpımda bileşenlerin çarpıma girme sıraları arasında vcardeg ilişkisi bulunmaktadır. Öyleyse A vektörü ile B vektörünün, vektörel çarpımından elde edilen vektör ile, B vektörü ile A vektörünün, vektörel çarpımından elde edilen vektörler aynı doğrultuda ve zıt yönlü vektörler olurlar. İki vektörün vektörel çarpımıyla elde edilecek olan vektörün (her iki vektöre de dik olan vektörün) yönünün belirlenmesinde bazı yöntemler kullanılmaktadır. Bunlardan (bana göre) en hoş olanını aşağıda vermeye çalışalım;

vekadam

Vektörlerin, vektörel çarpıma girme sıralarına göre ilk bileşenin yönünde sağ elimizi (şekilde ilk bileşen A), ikinci bileşen yönünde de sol elimizi uzattığımızda (şekilde B), başımızın gösterdiği yön, elde edeceğimiz vektörün yönü olur.

Vektörel çarpımın bir diğer özelliği de, normunun bu iki vektör üzerine kurulan paralel kenarın alanına eşit olmasıdır. Yani vektörel çarpım sonucunda elde ettiğimiz vektörün normu, vektörel çarpıma giren A ve B vektörlerinin üzerine kurulan paralel kenarın alanına eşittir de diyebiliriz. Bunun ispatını şu şekilde yapabiliriz;

İspat:
vcipsp

A ve B vektörleri üzerine kurulu paralel kenar şekildeki gibi olsun
anorm , bnorm ve "e" brim vektör olmak üzere, paralel kenarın alanını;

paral .....(
*) olarak ifade etmekteyiz. Ayrıca yukarıdaki şekilden iki vektör arası açı olan sinüs ifadesinin de sintet olduğunu görüyoruz. Öyleyse vektörel çarpım ifadesini yazarsak;

islmispt

Böylece vektörel çarpım sonucunda elde ettiğimiz vektörün normunun, vektörel çarpıma giren A ve B vektörlerinin üzerine kurulan paralel kenarın alanına eşit olduğunu göstermiş oluyoruz.

Vektörel Çarpımın Determinant Olarak İfadesi

Vektörler X,Y ve Z eksenleri doğrultusundaki i, j ve k brim vektörleri bileşenleriyle verilmiş ise, vektörel çarpım ifadesi aşağıdaki gibi olur;

det1a

Bu ifade biraz karışık gibi görünmekle beraber dikkat edilirse basit bir determinant açılımıdır. Öyleyse A ve B vektörlerinin vektörel çarpımını aşağıdaki determinant formuyla da verebiliriz;
det2a

MsXLabs & Morpa Genel Kültür Ansiklopedisi & kaynak

Cevap
«Önceki KonuSonraki Konu»
Tüm Matematik Konuları
Benzer Konular
Eşit vektörel nedir?
Vektörel büyüklükler nelerdir?
Vektörel ve Skaler Büyüklük
Çarpım tablosu nedir?
Çarpım Sembolü