[ThinkerBeLL]

Matematik Bilimi

Tarihi

İlk matematikçi belki de, sürüsündeki hayvanları saymaya çalışan bir çobandı. Büyük bir olasılıkla da ilk bulunan sayı "çok" dur. Sonra 2, daha sonra da 1 bulunmuş olabilir. Ama en zor bulunan 0 (sıfır)'dır. 0 sayısı M.S. 7.yy'da kullanılmaya başlanmıştır. Bu belki de insanlığın en büyük buluşudur. Sayma sisteminin ne kadar uzun sürede geliştiği, ilkel toplumlarda nasıl doğduğu, yakın zamanlarda ortaya çıkarılan bir takım ilkel kavimlerde gözlenebilmiştir.
Avustralya'da bir kavim 1,2,3, çok diye dört sayı biliyor, fakat bütün çocuklarını sayabiliyormuş; ilk doğan erkek çocuğun her ailede adı aynıymış, 2 ve 3. için de böyle ve kız çocukları için de aynı şeyi yapıyorlarmış. Böylece bir çocuğun kaçıncı erkek yada kaçıncı kız çocuğu olduğunu anlıyorlarmış. Ama, hayvanlarını sayamıyorlarmış.
Bir başka kavimde, en çok koyunu olan kişi, kavmin reisi olarak seçiliyormuş. Seçimde iki aday varsa yan yana iki ağıldan koyunlar birer birer çıkarılıyor ve ilk tükenen seçimi kaybediyormuş.
Oldukça erken çağlarda, insanlar aynı cins nesneleri karşılaştırarak, büyüklüklerini ölçerek ve aralarında oranlar kurarak matematiğe başlamışlardır. Kemik üzerine, kum üzerine çizerek ya da ipe düğüm atarak bir büyüklüğü belirtmeye çalışmışlardır.
Sümer çobanları her hayvanı kilden bir koni ile gösterip, bu konileri kıldan bir torba ya da kilden bir küp içinde biriktirerek ölüm, doğum, alım, satım hesaplarını tutmuşlar.
Mezopotamya'da küp üzerine benzer şekiller çizilmiş. Böylece M.Ö.3000'e doğru ilk yazılı sayılarla karşılaşmış oluyoruz.
Tarımla uğraşan en ilkel kabileler bile, mevsimlerle ilgili bilgileri edinmek zorundaydılar. Örneğin, Eski Mısır'da Nil taşkınlarının ne zaman olacağını bilmek çok önemliydi.Taşkından sonra kaybolan toprak sınırlarını yeniden hesaplamak gerekiyordu. Böylece geometri ve astronomi gelişti.
Fenikeliler gibi tüccar-denizci toplumların ekonomileri bir muhasebe sistemi gerektirmiştir.Miras bölüşümü ve denizcilik zanaatı için aritmetiğin,geometri ve astronominin bilinmesine gereksinim vardı.
Böylece, toplumsal yaşamın gerektirdiği matematiksel gelişme belirli bir düzeye erişti. Daha sonra matematik sadece uzmanların anlayabildiği bir meta haline geldi;İnsanlar olgularla yetinmeyip ispata yöneldiler. Bu durum,en belirgin bir biçimde eski Yunanistan da ortaya çıktı. İspat etmenin ön plana çıkması ile matematik günümüzdeki gelişmişlik düzeyine ulaştı.
Eski Mısır'da Pitagor (Pisagor) teoremi biliniyordu.Ancak ispatı önemliydi ve ilk olarak Eski Yunanistan'da ispat edildi.
Hindistan'da tüccar bir toplum vardı ve teoriden çok pratiğe önem veriliyordu. Ancak ticarette borç problemlerinin çözümü için negatif sayılara gereksinim vardı.Böylece,bildiğimiz sayı sistemi gelişti. Dolayısıyla Analiz ve Cebir gelişti. Bu kavramlar daha sonra Araplar aracılığıyla Avrupa'ya geçti.
Oldukça erken çağlarda başlayan ve Babil, Asur, Mısır, Yunan uygarlıklarında genel toplumsal yaşamın gerektirdiği ölçüde gelişen matematik Avrupa’ya oldukça geç ulaşabildi. Ancak belirli bir gelişmişlik düzeyinde Avrupa’ya ulaşan matematik, 15. yy'a kadar sadece az sayıda din adamı ya da filozofun elinde birer eğlence ya da güç gösterisi olmaktan öteye gidemedi.15.yy tam sayılarla toplama ve çıkarma, Avrupa’nın ancak birkaç üniversitesinde öğretilebiliyordu. Çarpmayı öğrenmek için İtalya’nın önemli bir kaç üniversitesinden birine gitmek gerekiyordu. Geometri olarak,Öklid geometrisinin basit konuları, sadece büyük filozofların tartışma konusuydu. Bölme işlemi ise 16.yy getirdiği bir yenilikti.
Matematikte bilim kavramı ancak 17.yy'da kullanılmaya başlandı. 20.yy başlarında Analiz, Cebir ve Geometri belirli bir düzeye erişebildi ; Kümeler Teorisi kuruldu, böylece matematik büyük bir gelişme hızı kazandı ve ilerlemeğe devam ediyor.
Matematikle ilgili eserler incelendiğinde;

• Birinci grup olarak;

Eski Yunan matematikçilerinden
Tales (Thales M.Ö. 624-547),
Pisagor (Pythagoras M.Ö. 569-500),
Zeno (M.Ö. 495-435),
Eudexus (M.Ö. 408-355),
Öklid (Euclides M.Ö. 330?-275?),
Arşimet (Archimedes M.Ö. 287-212),
Apollonius (M.Ö. 260?-200?),
Hipparchos (M.Ö. 160-125),
Menaleas (doğumu, M.Ö. 80)
İskenderiyeli Heron (? -M.S.80)antanus, adıyla da tanınır),

• İkinci grup ise;
  

Cardano (1501-1596),
René Descartes (1596-1650),
Pierre de Fermat (1601-1665),
Blaise Pascal (1623-1662),
Isaac Newton (1642-1727),
Leibniz (1646-1716),
Mac Loren (1698-1748),
Bernoulli'ler (Bu aileden sekiz ünlü matematikçi vardır. Bunlar; Jean BernoulliJacques Bernoulli 1654-1705, Daniel Bernoulli 1700-1782...), EulerGespard Monge (1746-1818), Lagrange (1776-1813), Joseph FourierPoncolet (1788-1867), Gauss (1777-1855), Cauchy (1789-1857), Lobatchewsky (1793-1856), Abel (1802-1829), Boole (1815-1864), RiemannDedekind (1831-1916), Henri Poincaré (1854-1912) ve Cantor l667-1748, (1707-1783), (1768-1830), (1826-1866), (1845-1918) ile bunların çağdaşlarının adları belirtilir.
Yukarıda; birinci grup olarak belirttiğimiz; Eski Yunan (Antik çağ, Grek) matematikçileri; M.Ö. 8. yüzyıl ile M.S. 2. yüzyıl arasında, ikinci grup olarak belirttiğimiz Batı Dünyası matematikçileri ise, 16. ile 20. yüzyıl arasında yaşamışlardır: Burada akla şöyle bir soru gelmektedir. 16. yüzyıldan önceki zaman içerisinde matematik konularında hiç bir araştırma ve çalışma olmamış mıdır? Özellikle, islamiyetin ilk yılları olan 7. yüzyıl ile 16. yüzyıl arasında yaşamış olan Türk-İslam Dünyası matematik bilginlerinin varlığı ve çalışmaları görmezlikten gelinmiştir. Ortaçağ Avrupası'nda ne ve niçin soruları sorulamazdı, din adamları bilimle uğraşan insanları çeşitli şekillerde cezalandırırlardı.Bu nedenle ortaçağda bilim avrupada gelişmemiştir. Bilim daha çok islam dünyasında gelişmiştir. Coğrafi keşifler başladığı vakit avrupalı halkın papaya inancı kalmamıştır. Çünkü papa dünyanın düz bir tepsi olduğunu savunuyordu. Coğrafi keşifler başladığında ise bunun yalan olduğu ortaya çıktı. Halk okullar açmaya başladı, bilim Avrupa'da gelişmeye başladı.
Gerçek olan şu ki; Türk-İslam Dünyası matematikçileri, yukarıda birinci grup olarak adlarını belirttiğimiz Eski Yunan bilginlerinin ortaya koyup, yeterli çözüm getiremedikleri, matematik sorunlarına yeni çözümler getirdikleri gibi, bu bilime yeni sistem, kavram ve teorem kazandırmışlardır. Bu başarılarının sonucu bugünkü ileri matematiğin temelini atmışlardır. Her ne kadar, Batı'lı bazı bilim tarihçileri, Eski Yunan matematiğini geliştirmiş olmakla vasıflandırıyorlarsa da, son yüzyıl içinde yapılan araştırmalar, bu hükmün temelinden yanlış olduğunu ortaya koymuşlardır.
Ülkemizde, evrensel nitelikteki kendi alimlerimizin bilimsel yönlerine gereken ve yeterli önem verilmezken; Batı'da, özellikle son yüzyıl içerisinde, bilginlerimize ait yüzlerce cilt eser ve makalelerin yayınlandığı, hatta bu bilginlerimiz için, yaşadığı yüzyıllara adlar verildiği ve anma törenleri düzenlendiğini görmek mümkündür. Bunlardan birkaç örnek vermek gerekirse; dünyada ilk cebir kitabı yazanın Harezmi (Harezm 780-Bağdat 850), trigonometrinin temel bilginlerinden olan sinüs ve cosinüs tanımlarını ilk açıklayan el-Battani (Harran 858-Samarra 929), tanjant ve cotanjant tanımları ile ilgili temel bilgileri Ebu'l Vefa (Buzcan 940-Bağdat 998), Blaise Pascal'a (1623-1662) izafe edilen ve cebirde önemli kuralları ihtiva eden "Binom Formülünün" Ömer Hayyam'a (1038-Nişabur 1132) ait ve Johannes Kepler'in (1570-1630) araştırmalarına rehberlik edenin İbn-i Heysem (Basra 965-Kahire 1039). olduğunu belirtebiliriz. Ayrıca Sabit bin Kurra (Harran-826-Bağdat 901) için "Türk Öklid'i" bilim dünyasının en büyük alimi, Beyruni (Bruni) (Ket 973-Gazne 1052) için "Onuncu Yüzyıl Bilgini", ünlü Türk hükümdarı Uluğ Bey için "On Beşinci Yüzyıl Bilgini" öğrencisi Ali Kuşçu için "On Beşinci Yüzyıl Batlamyos'u" dendiğini de belirtmek mümkündür.
Yukarıda sadece birkaçının adını belirttiğimiz 8. ile 16. yüzyıl Türk-İslam Dünyası alimlerinin eserleri, Batı'da "Tercüme Yüzyılı" olarak adlandırılan 12. yüzyıl başlarından itibaren, önceleri zamanın bilim dili olan Latince'ye, daha sonradan da, öteki Batı dillerine çevrilmiştir. Çevrilen bu eserlerin asılları ise, Doğu Yazma Eserleri ile zengin olan Avrupa kütüphanelerinde muhafaza edilmekte ve hala, ilgili bilim adamlarının elinde, gerektiğinde temel müracaat kitabı ya da kaynak eser olarak değerlendirilmektedir.
Bazı kaynaklar, matematiğin kurucusu ve geliştiricisi olarak, Batı dünyası matematikçilerinin adlarını belirtir. Gerçekte; Avrupa, 8. ile 16. yüzyıl Türk-İslam Dünyası matematikçilerinin hazırlamış oldukları temel eserlerden büyük istifadeler sağlayarak, matematiği, bugünkü ileri seviyesine ulaştırabilmişlerdir. Öyle ki; Türk-İslam Dünyası matematikçileri, Batı dünyasının ilmi düşünce ve araştırma duygularını ateşleyerek harekete geçirip beslediler ve yeni bir canlılık kazandırdılar. Cebir, geometri, aritmetik ve trigonometri konularında Batı'yı kendi görüş ve keşiflerine dayanarak ilerleyebileceği seviyeye getirdiler.
16. yüzyıl sonları için İtalyan matematikçi Cordano'nun (1501-1576) adını belirtebiliriz.
17. yüzyılda; İngiliz (İskoçyalı) Jean Napier (1550-1617), İsviçre matematikçilerinden Gulden (1577-1643); İtalyan matematikçilerinden Cavalieri (1598-1647); Fransız matematikçilerinden René Descartes (1596-1650), Desargues (1593-1662), Blaise Pascal (1623-1662), Pierre Fermat (1601-1663); Hollandalı matematikçi Huygens'in (1629-1695) adlarını belirtebiliriz.
Bu kişilerden Jean Napier logaritmaya ait sistemleri ortaya koymuştur. Descartes de analitik geometriye ait yeni bazı temel esasları ortaya koymuş, mevcut analitik geometri bilgilerini sistemleştirmiştir. Diğer matematikçiler de, matematiğin çeşitli dallarına ait, bazı yeni temel bilgiler kazandırmışlardır.
18. yüzyılda; İsviçre matematikçilerinden; Jacques Bernouilli I (1654-1705), CramerLeonhard Euler (1707-1783), Alman matematikçilerinden Gottfried Wilhelm Leibniz (1146-1716), İngiliz matematikçilerinden Isaac Newton (1642-1727), Mac Loren (1698-1746), İtalyan Matematikçilerinden Ceva (1648-1734), RiccatiClairaut'in (1713-1765) adlarını belirtebiliriz. (1704-1752), (1676-1754), Fransız matematikçilerinden
19. yüzyıl Fransız matematikçilerinden; Joseph Louis Lagrange (1736-1813), Gasport Monge (1746-1818), Pierre Simon De Laplace (1749-1827), Joseph FourierEvariste Galois (1811-1832), Legendre (1752-1833), F. W. BesselJean-Victor Poncolet (1788-1857), Poinsot (1771-1859), Brianchan (1785-1864), Dupin (1784-1873), ChasleyCharles Hermite (1822-1901); İtalyan matematikçilerden CarnotNiels Henrik Abel (1802-1829), Alman matematikçilerden, Jacobi (1804-1851), Carl Friedrich Gauss (1777-1855), Bernhard Riemann (1826-1866), Leopold Kronecker (1823-1891), Ernst Kummer (1810-1893), Weierstrass (1815-1897); Sovyet matematikçilerinden Nicolas Ivanawitch Lobatchewsky (1793-1856), Sonia Kowallewska (1850-1891); İngiliz matematikçilerden George Boole (1815-1864), Cayley (1821-1895), James Joseph Sylvester (1814-1897) ve İrlandalı matematikçi William Rowan Hamilton
(1768-1830), (1784-1846), Augustin Louis Cauchy (1789-1857), (1793-1880), (1753-1823); Norveç matematikçilerinden (1805-1865) adlarını belirtebiliriz. Bu kişilerden; Gasport Monge tasarı geometrinin; Carnot, konum geometrisinin; Newton, sonsuz küçükler geometrisini; pascal, Huygens ve Fermat da, olasılık hesabını ve gök mekaniğini geliştirdiler.
20. yüzyıl başları için; Alman matematikçilerinden Dedekind (1831-1916), Georg Cantor (1845-1918), Fransız matematikçilerinden Henri Poincaré'nin (1854-1912), ülkemizde de, Henri Poincaré'nin öğrencisi Salih Zeki'nin (1864-1921) adlarını belirtebiliriz.
Daha sonra gelen; Alman, İngiliz, Fransız, Amerika Birleşik Devletleri ve Sovyet Sosyalist Cumhuriyelteri Birliği, Japonya ve Hindistan ile Çin'de yetişen matematikçiler, matematiğe kazandırdıkları yeni bilgiler ile, matematiği insan zekasının en yüksek eseri haline getirmeyi başardılar.
Yapılacak kısa açıklamalardan sonra, şu gerçek ortaya çıkacaktır. Bugünkü ileri matematik ve bunun uygulama alanı olan astronomi (gökbilim) ve fiziğin temel bilgileri, uygulamaları ile birlikte, başlangıçta, Eski Mısır ve Mezopotamya'da vardı. Daha sonraları bu bilgiler, Eski Yunan, Eski Hint ve 8. ile 16. yüzyıl Türk-İslam Dünyasında ileri seviyeye gelmiştir. Bilahare 17. yüzyıl sonrası, Batı Dünyasında yapılan çalışmalar sonucunda, bugünkü Saadet Devri'ne ulaşabilmiştir. Bu gelişimde, 17. yüzyıl öncesi medeniyetlerin şeref payları inkar edilemeyecek kadar açıktır.

[ThinkerBeLL]

Matematik Bir Oyundur...

Matematik kelimesi, Yunanca, bilim, bilgi ve öğrenme anlamına gelen matema sözcüğünden türemiş olan ve öğrenmekten hoşlanan anlamına gelen, matematikos kelimesinden gelmektedir. Sanılanın aksine, matematiği, muhasebe, dört işlem, hesaplama ya da "sayıları çalışan bilim" olarak tanımlamak doğru değildir. Matematik bu disiplinleri bünyesinde barındırsa da sadece bunlardan ibaret değildir.
Aslında matematik, kağıt ve kalemle oynadığımız bir oyundur. Bu oyunun en önemli kuralı, kuramın başında belirlenmiş tanımlara ve belitlere (aksiyomlar) sadık kalmaktır. Belitler, doğruluğu tartışılmadan kabul edilen cümlelerdir. Oyunun amacı, başlangıçta verilen bu temel bilgilerle tamamen tutarlı yeni bilgiler, yani teoremler üretmektir. Tutarlılıktan kasıt, mantık kuralları çerçevesinde hareket etmektir.
Bu oyununun oyuncuları, aralarındaki iletişimi, matematiğin kendine özgü diliyle sağlar. Bu dilin günlük dillerden farkı, sınırlarının belirli, yoruma açık cümlelerden uzak oluşu ve anlam karmaşasına müsade etmeyişidir. Dilin elemanlarını, çeşitli semboller, sayılar ve özellikle harfler oluşturur.
Matematikçiye göre matematik, bu zevkli oyunu oynayıp yeni teoremler ve teoriler üretmektir. Bilim adamları ve mühendislere göreyse, kendi çalışma alanlarına uyguladıkları işlemler dizisidir. Öğrenciler için kimi zaman geçilmesi gereken zor bir ders, kimi zaman başarısını ispatlama fırsatı bulduğu müthiş bir alandır. Matematiği diğer bilimlerden ayıran çok önemli bir farksa, toplumda hemen herkesin ona karşı kayıtsız kalmasıdır, matematik hakkında hepimizin iyi ya da kötü bir yorumu vardır. Matematik köşemizin, kafanızdaki kötü ya da zor gibi yorumları değiştirebilmesini umut ediyoruz.

Nilüfer Karadağ

Matematiğin Sınıflandırılması

sinif1.gif

Matematiğin alt dallarını kesin bir biçimde ayırmak zordur. Belki de en kolay sınıflandırma, temelde içerik değil de daha çok motivasyon ve vurgu farkından kaynaklanan uygulamalı ve pür matematik şeklinde yapılan sınıflandırmadır. Pür matematik, matematiğin kendisi için yapılan matematiktir. Diğer bir deyişle "acaba bu ne işe yarayacak" kaygısı gütmeden yapılan matematik. Uygulamalı matematikse üretilen pür matematiği gerçek hayata uygulama zamanı geldiğinde yapılan matematiğin genel adıdır. 100'den fazla alt dalı olan matematiği, ki bu dalların sayısı her geçen vakit artmaktadır, içerik bakımından genel hatlarıyla sınıflandırdık. Burada sadece popüler olan birkaç ana dalı ele alabildik.

sinif2.gif

Kaynak: biltek.tubitak.gov.tr

[ThinkerBeLL]

Matematiksel İspat Teknikleri
Özellikle öğrencilerin, gereksiz gördüğü ya da zor bulduğu için es geçtiği ispatlar aslında matematiğin en gerekli, çoğu zaman zevkli ve matematikçileri en çok uğraştıran kısmıdır. Ne de olsa ispatlar, matematiksel ifadelerin geçerliliğinin teminatıdır. Bugün cevabı bulunmamış pek çok matematik sorusu ispatlanması istenen ifadelerden ibarettir. İspat yapmanın çok çeşitli yolları vardır. Bu nedenle sık sorulan bir soru, bir teoremi ispatlamak için hangi tekniği seçmek gerektiğini nasıl bileceğimizdir? İşte bu, ancak pek çok ispatı incelemek ve çalışmakla kendinden gelişecek bir özelliktir. Kimi zamansa şanstır. Ama unutmayın şans ancak hazırlıklı kafalara güler! Hazırlıklı olmak için de, tekniklerden haberdar olmak gereklidir.

Doğrudan İspat Yöntemi
Olmayana Ergi Yöntemi
Tümevarım Yöntemi
Konstrüktif İspat Yöntemi
Kontrapozitif Teknik

Doğrudan İspat Yöntemi

En temel ve basit ispat şeklidir. Doğru olduğu gösterilmek istenen ifade, direk olarak, doğruluğu kanıtlanmış başka ifadelerle veya aksiyomlarla türetilir. Türetmek için, bu ifadeleri mantık kuralları çerçevesinde doğrudan birleştirme yapabilirsiniz. Bu birleştirmeyi örneklendirmek için felsefede oldukça sık kullanılan bir örneği verebiliriz:

Tüm insanlar ölümlüdür.
Sokrat bir insandır.

Verilen bu iki ifadeyi birleştirerek şu çıkarımı elde ederiz:

Sokrat bir ölümlüdür.

Matematikte "iki çift sayının toplamı çifttir"; "iki rasyonel sayının çarpımı da bir rasyonel sayıdır."şeklindeki ifadeleri doğrudan tanım kullanarak ispatlayabilirsiniz. Sadece tanımlar değil önceden ispatladığınız teoremler de ispat basamaklarında yer alabilir.

olduğunu gösterin.

Doğrudan ispat: Bu, trigonometri kuramı kapsamında kalan bir konu. Kuramın bir önceki basamaklarında ispatlanmış olan

eşitliğini kullanarak doğrudan ispat yapabiliriz:

ispat tamamlanmıştır.

Olmayana Ergi Yöntemi

Bu yöntemde doğruluğunu göstermeyi planladığınız ifadenin yanlış olduğunu kabul ederek işe başlıyorsunuz. Yanlışlığı ispatlama yolunda bir çelişkiye varıyorsunuz. Sonuç olarak başta yanlış olduğunu kabul ettiğiniz ifadenin aslında doğru bir ifade olduğunu ispatlamış oluyorsunuz. Bu yöntemle ispatlanan çok ünlü teoremler var.

Teorem: Sonsuz tane asal sayı vardır.

İspat (Öklid): Varsayalım ki sonlu tane asal sayı olsun:

2,3,5,7,11,.,P

Şimdi bu asal sayıların hepsini çarpıp 1 ekleyelim ve yeni bir sayı tanımlayalım:

K = 2.3.5.7.11.P + 1

Bu sayı tüm asal sayılardan büyüktür, çünkü hepsini birbiriyle çarptık ve bu da yetmezmiş gibi bir de ekleme yaptık. Öyleyse K bir asal sayı değildir. Bu durumda K nın kendinden ve 1'den farklı bir asal çarpanı vardır çünkü bileşik (asal olmayan) sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ama K sayısını, hangi asal sayıya bölersek bölelim 1 kalanını elde ederiz ki bu da tam bölünmediğinin yani asal bir çarpanının olmadığının bir göstergesidir. Öyleyse K asal bir sayıdır . Daha önce bunun tam tersi olduğunu göstermiştik. Sonuç olarak bir çelişkiye vardık. Yani sonlu tane asal sayı vardır ifadesi yanlıştır. Sonsuz tane asal sayı vardır.

Teorem2 : irasyoneldir.

İspat (Pisagor ve Öklid): Yine ifadenin tersini kabul etmekle işe başlıyoruz. Varsayalım ki rasyonel öyleyse tanım gereği , a/b şeklinde yazılabilir
ve a ve b'nin ortak çarpanları olmadığını kabul edebiliriz.

Burada a2 'nin 2b2 'ye eşit olması onun bir çift sayı olduğunu gösterir. Öyleyse a da bir çift sayıdır. Bu durumda çift sayı tanımından

diyebiliriz. Şimdi yerine yerleştirelim:

işte bu sonuç b2 'nin ve dolayısıyla b nin bir çift sayı olduğunu söylüyor. Başta ortak çarpanları olmadığını kabul ettiğimiz a ve b nin birer çift sayı olduğu sonucuna varıyoruz ki bu ikisinin de en az "2" çarpanını bünyelerinde barındırdığı anlamına gelir ve çelişkiye ulaşmış oluruz. Öyleyse başta kabul ettiğimiz ifade yanlıştır ve irrasyoneldir.

Tümevarım Yöntemi

Verilen bir ifadenin tüm doğal sayılar için doğru olduğunu ispatlamakta kullanılan oldukça pratik bir yöntemdir. Bu yönteme ifadenin önce 1 için (daha doğrusu, ifadenin doğruluğunun başladığı doğal sayı için) doğru olduğu gösterilir. Daha sonra n doğal sayısı için doğru olduğu farz edilir ve n+1 doğal sayısı için doğru olduğu gösterilir. Bu da herhangi bir doğal sayı için doğruysa sonraki için de doğru olacağını ispatladığından bütün doğal sayılar için geçerli bir ifade olduğu anlamına gelecektir. Bu yöntem genelde sonsuz sayıda domino taşlarının dizilmesine benzetilir. n. taşın devrilmesi bir sonraki yani n+1. taşın da devrilmesi anlamına geleceğinden taşların tamamı devrilecektir. Tabi ki yine n=1 için doğruluğunu söylemek lazım. Bunun için de ilk taşı devirmeniz yeterli olacaktır.

Teorem:

İspat1 (Tümevarım): Önce ifadenin n=1 için doğru olduğunu göstermeliyiz:

ki bu 1'den 1'e kadar olan sayıların toplamı demektir ve doğrudur.

Kabul:

ifadesi doğru olsun. Aynı ifadenin (n+1) için doğru olduğunu gösterelim yani

Doğru olduğunu kabul ettiğimiz ifadenin her tarafına ( n +1) ekleyelim:

n için doğru iken n +1 için de doğrudur. İspat tamamlanmıştır.

İspat2 (Doğrudan): Johann Carl Friedrich Gauss 10 yaşında küçük bir çocukken (yıl 1787) matematik öğretmeni öğrencilerinden 1'den 100'e kadar olan sayıları toplamalarını istedi. Öğrenciler daha 20'ye kadar toplamadan Gauss hocasını yanına çağırdı, amacı sonucunun doğru olup olmadığını sormaktı. Öğretmen defterdeki işlemleri görünce normal üstü bir zekayla karşı karşıya olduğunu anladı:

ispat tamamlanmıştır.

Konstrüktif İspat Yöntemi

Bu teknik, özellikle varoluş teoremlerinin ispatlanmasında kullanılır. Örneğin "her rasyonel sayı çiftinin arasında bir rasyonel sayı vardır" ifadesini ispatlarken iki rasyonel sayı alınır ve aralarında bulunduğu bahsedilen sayı, bu sayılar üzerinden inşaa edilir. Böylelikle gerçekten bir rasyonel sayının varolduğu ispatlanır:

birbirinden farklı iki rasyonel sayı olsun.

İddia:

ifadesi verilen rasyonel sayılar arasında bir rasyonel sayılardır. (inşaa edilen sayı).İş, inşaa ettiğimiz bu sayının iki sayı arasında ve rasyonel bir sayı olduğunu göstermemize kalıyor. Sayılar birbirinden farklı olduğu ve rasyonel sayılarda bir sıralama sözkonusu oldunu bildiğimizden birini diğerinden küçük kabul edebiliriz:

Son olarak inşaa ettiğimiz sayının, rasyonel olduğunu göstermeliyiz.

Öyleyse sayı rasyoneldir. İspat tamamlanmıştır.

Kontrapozitif Teknik

P ise Q ifadesi, değil Q ise değil P ifadesine denktir:

Bu ispat tekniğine teoremin bildirdiği sonucun, tersini doğru kabul ederek başlıyoruz. Sonuda ise hipotezin yanlış olduğu ifadesine ulaşıyoruz.

Teorem: n2 tek tamsayı ise, n de tek tam sayıdır.

İspat: Varsayalım ki n tek tamsayı olmasın, öyleyse n çift bir tamsayıdır. Göstermemiz gereken n2 'nin de tek olmadığı yani çift olduğu.

n2 çiftse n=2s, s N şeklinde yazılabilir.

Bu durumda bu sayının karesi:

Bu durumda ( 2s2 tam sayı olduğundan) n 2 bir çift sayıdır. İspat tamamlanmıştır.

Kaynak: biltek.tubitak.gov.tr

[ThinkerBeLL]

Matematiğin İmkansızları

Burada matematiğin, imkansız olduğunu ispatladığı ifadeleri bulacaksınız. Bir şeyin varolduğunu ispatlamak çoğu zaman zorlamaz, çünkü hedef bellidir, varolduğunu iddia ettiğiniz varsayımın peşinde koşarsınız. Peki ya bir şeyin var olmadığını ya da bir işin yapılmasının imkansız olduğunu göstermek? Birkaç denemede başarısız olup da, yapamıyoruz ya da bulamıyoruz demek yeterli olur mu? Olmaz.Bunun, hiçbir şekilde mümkün olmadığını ispatlamak gerekir. Her zaman olmasa da, bu tarz ispatlar matematikçileri çok zorlayabiliyor ve çözüme kavuşması yüzyılları bulabiliyor.

Antik Çağın İmkansız Problemleri
Doğal Sayılar ile Gerçel Sayılar Arasında Birebir Eşleme
Süreklilik Hipotezi
Fermat'ın Son Teoremi

Antik Çağın İmkansız Problemleri
Bir pergel ve (ölçüsüz) bir cetvel kullanarak;

Verilen herhangi bir açıyı 3 e bölemeyiz!
Verilen Bir küpün hacminin iki katına eşit hacimli bir küp çizemeyiz!
Verilen bir çemberinin alanına eşit alanlı bir kare çizemeyiz!

MÖ.500 civarı, Yunan tarihininden çıkma bu 3 problemin imkansızlığı, onlar ortaya çıktıktan yaklaşık 2000 yıl sonra bulunmuştur. Çözümü, cebirde, grup kuramının içinde yeralan Galois Kuramı kullanılarak yapılmaktadır. Bu çizimleri gerçekleştirdiğini düşünen pek çok insanın içine düştüğü iki önemli hata vardır:

1. Çizimler yapılırken, pergeli çember çizmek için (açıyı hiç bozmadan pergeli tekrar kullanabilirsiniz), cetveli de (ölçü kullanmadan) sadece düz çizgi çizmek için kullanıyoruz. Bunun aksine hareket edenler açıyı üçe bölmeyi başarabilir ama bu gerçek bir başarı olmaz.
2. Kimileri bu kuralları kullanarak bazı açıları gerçekten 3e bölmeyi başarabiliyor. Sözkonusu olan açılarsa 90-180 gibi açılar. Oysa ki eldeki teorem verilen herhangi bir açının üçe bölünemeyeceğinden bahsediyor. Bu, "hiçbir açıyı üçe bölümeyiz" den ziyade "her açıyı üçe bölünemeyiz" anlamına geliyor. Aradaki farka dikkat edin.

Açının üçe bölünemeyeceğinin ispatı yapılırken, sadece bir açının örneğin 60°'nin üçe bölünmeyeceğinin ispatının yapılması yeterli oluyor. Bu imkansız problemler 1837'de Fransız matematikçi, Pierre Laurent Wantzel tarafından ispatlandı.
Doğal Sayılar ile Gerçel sayılar arasında birebir eşleme yapmak mümkün değil!
Bu problemi anlamak için, önce, birebir eşleme yapmanın ne anlama geldiğini anlamak lazım. Birebir eşleme, iki küme arasında kurulan bir ilişkidir. İki küme birebir eşlenebilir, yalnız ve ancak kümelerdeki her elemana diğer kümeden karşılık gelecek bir eleman varsa. Buradan çıkacak ilk sonuç, her kümenin kendisi ile birebir eşlenebileceğidir. Bunu ispatlamak için, her elemanı kendine gönderen bağıntıyı seçmek yeterli olacaktır. Sınırlı kümeler için de bu iş oldukça kolaydır. Ama sınırsız sayıda elemanı olan kümeler işi biraz zorlaştırabilir. Örneğin doğal sayılar kendisinin bir alt kümesi olan çift sayılar kümesiyle birebir eşlenebilir:

imk1.gif

Benzer bir eşleme, rasyonel sayılarla doğal sayılar arasında da yapılabilir. Uzunca bir süre kimse gerçel sayılarla, doğal (ya da rasyonel) sayılar arasında bu tarz bir eşleme yapamamıştır. Kimsenin böyle bir eşlemeyi bulamaması onun varolmadığı anlamına gelmiyor çünkü var değilse bile bunu da ispatlamak gerekiyor. Bu ispat 1874 de George Cantor tarafında yapılmış:

Cantor Teoremi

Bir küme ile kendisinin kuvvet kümesi arasında birebir eşleme yapılamaz Aslında bir önceki ifade bu ifadenin özel bir durumu. Çünkü Gerçel sayılar kümesi doğal sayıların kuvvet kümesi.
Biz ispatı elimizdeki özel durum için yapalım. Doğal sayılar kümesini N, kuvvet kümesini de K ile gösterelim. Varsayalım ki N kümesi K'ye birebir eşlenebilsin. Bu eşlemeyi sağlayan bağıntıya da b diyelim. Amacımız b bağıntısının örten olmadığını göstermek, diğer bir deyişle Kuvvet kümesindeki bir elemanın (yani N kümesinin bir alt kümesinin) b bağıntısı altında N kümesinde bir elemanla eşleşemediğini göstereceğiz. b eşlemesi, sözgelimi, şu tarz bir eşleşme olacak.

imk2.gif

Bazı sayılar kendisinin içinde olmadığı alt kümelerle eşleşebiliyor. Burada, 2 ve 4 bu elemanlara örnek.

imk3.gif

Şimdi biz bu tarz elemanları alıp bir alt kümeye koyalım.
Açıkca A, doğal sayılar kümesinin bir alt kümesi. Bu özelliğinden dolayı A kümesi kuvvet kümesinin bir elemanı olmalı. (Çünkü, zaten kuvvet kümesi, sözkonusu kümenin bütün alt kümelerin kümesi demek) Öyleyse N kümesinde öyle bir eleman olmalı ki bu A kümesine eşlenmeli:

imk4.gif

? yerine geçecek eleman hangisi? Bu eleman, A kümesinden olamaz çünkü öyle olsa o eleman zaten kendinin içinde olduğu bir kümeye eşlenmiş olurdu ve bu A kümesinin elemanı olmasına engel teşkil ederdi. Öte yandan A kümesi dışından bir eleman olsa, kendinin içinde olmadığı bir kümeye eşlendiği için A kümesinin bir elemanı olmaya hak kazanacaktı, bu durum da yine bir çelişkiye yol açacaktı. (Unutmayın A kümesi ile dışı, bütün doğal sayılar kümesini oluşturuyor) Öyleyse yapılan bu sözde birebir eşlemede A kümesine eşlenen bir eleman yok yani kuvvet kümesinde en az bir eleman açıkta. Sonuç olarak başlangıçtaki kabulümüz yanlıştır. Doğal sayılar kümesi kuvvet kümesi ile birebir eşlenemez. Kuvvet kümesi de Gerçel sayılar kümesi ile birebir eşlenebildiğinden, doğal sayılar kümesi gerçel sayılar kümesiyle birebir eşlenemez diyoruz.

Doğru ya da yanlış olduğunun kanıtlanması asla mümkün olmayan varsayım:
Süreklilik Hipotezi
Alman Matematikçi George Cantor sonsuzları hiyerarşik bir sıraya sokan bir çalışma yapmıştır. Buna göre, sonsuz kavramı şöyle tanımlanmıştır: Eğer bir koleksiyon (kendisine eşit olmayan) bir alt koleksiyonu ile birebir eşitlenebiliyorsa o koleksiyon sonsuzdur ya da sonsuz sayıda eleman içerir denir. Matematikte önce saymaya başladığımızdan aklımıza gelen ilk sonsuzluk doğal sayıların sınırsız olduğudur. Doğal sayıların bir alt kümesi olan çift sayılar da sonsuz tanedir. Bu iki küme, birbiri ile eşlenebilir. Örneğin 1 ile 2; 2 ile 4; 3 ile 6; 4 ile 8 gibi. Benzer bir eşleme, gerçel sayılarla doğal (ya da rasyonel) sayılar arasında yapılamıyor (bkz. Cantor'un ispatı) Bu da reel sayıların başka bir sonsuz olduğunu akıllara getiriyor.

sureklilik.jpg

Sözü geçen hiyerarşide doğal sayılar ilk sonsuzluk ve reel sayılar da ikinci sonsuzluk olarak yerini alıyor. Bu sonsuzluklar İbranice olan Alef () harfi ile ifade edilir. Doğal sayılar 0 iken gerçel sayılar 1dir. Burada akla gelen soru şudur: Sonsuz sayıda eleman içeren bir küme var mıdır ki eleman sayısı (kardinalitesi) 0dan büyük, 1 den küçük olsun. Süreklilik Hipotezi böyle bir kümenin varolmadığını söyler. 1963'de matematikçi Paul Cohen'in hem bu ifadenin hem de tersinin küme kuramı aksiyomları ile tutarlı olduğunu ispatlaması şu anlama geldi: bu ifade, küme kuramı yazılırken başta doğru ya da yanlışlığı tartışılmadan kabul edilen ifadeler yani aksiyomlar gibidir. Varlığı mevcut aksiyomlar ya da onlardan çıkan teoremler kullanılarak ispatlanamaz!
Fermat'ın Son Teoremi
Fermat gerçekte bir avukattı ama matematiğe müthiş bir ilgisi vardı. Matematik dünyasında adı amatör matematikçi olarak anılır. Amatör sözcüğü basite alınmasın, günümüzdeki pek çok sayı kuramcı, onun kendisinden iyi olduğunu itiraf eder. Fermat, üzerinde çalıştığı kitap olan, Diaphontus'un Aritmetika'sının kenarına pek çok not almış ve teorem ispatlamıştı. Hatta öyle ki, ondan sonra kitap, bu yeni bilgiler eklenerek basılmıştı. Bu notlardan birinin, matematik dünyasının 350 yıl kadar gündeminde kalacağını kim bilebilirdi?

Fermat'ın Son Teoremi:
xn + yn = zn ifadesindeki (x,y,z) üçlüsünün n > 2 ve n N olarak tanımlanan hiçbir n için (önemsiz) tam sayı çözümü yoktur.

Teoremdeki önemsiz sözcüğü ilginizi çekebilir. Örneğin (0,0,0); (1,0,1) ya da (0,1,1) bu ifade için 3 farklı çözümdür ama Fermat bu tarz basit çözümlerle ilgilenmiyor.
Fermat bu hipotezin altına bir de not iliştirmiş:

"Çok güzel bir ispat buldum ama buraya yazmak için yeterli yok!"

* Yine az öncekilere benzer bir durumla karşı karşıyayız. Elimizde sonsuz tane denklem var, deniyoruz ama bir türlü ifadeyi sağlayan (x,y,z) üçlüsü bulamıyoruz. Öyleyse gerçekten Fermat doğru söylüyor, deyip son noktayı koyamıyoruz. Bu çözümsüzlüğün ispatlanması gerekir. Tarihsel sıralamada önce belli değerler için ifadenin doğruluğu ispatlanıyor. n=3,4,5.İspatın her doğal sayı için doğruluğu ancak Fermat'ın ölümünden 328 yıl sonra, 1993'te İngiliz matematikçi Andrew Wiles tarafından yapılabildi. İspat üzerinde çalışmaya 10 yaşında başlayan bu matematik aşığı insan olmasa, belki hipotez, bugün hala bir çözüm bekleyenler arasında olacaktı!

Kaynak: biltek.tubitak.gov.tr

harika okuyup üzerinde düşünülürse matematikte insan bir yerlere vara bilir teşekürler.