Polinomlar - MsXLabs

Polinomlar
MsXLabs.org

A. TANIM n bir do�al say� ve a0, a1, a2, ... , an – 1, an birer ger�el say� olmak �zere,

P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + an – 1xn – 1+anxn

bi�imindeki ifadelere x de�i�kenine ba�l�, ger�el (reel) katsay�l� n. dereceden polinom (�ok terimli) denir.

B. TEMEL KAVRAMLAR
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + an – 1xn – 1+anxn
olmak �zere,

� a0, a1, a2, ... , an–1, an in her birine polinomun terimlerinin katsay�lar� denir.
� a0, a1x, a2x2, ... , an–1xn – 1, anxn in her birine polinomun terimleri denir.
� Polinomun terimlerinden biri olan a2x2 teriminde x in kuvveti olan 2 ye bu terimin derecesi denir.

� Polinomu olu�turan terimler i�erisinde derecesi en b�y�k olan terimin katsay�s�na polinomun ba� katsay�s�, bu terimin derecesine de polinomun derecesi denir ve der [p(x)] ile g�sterilir.

� De�i�kene ba�l� olmayan terime polinomun sabit terimi denir.

� a0 = a1 = a2 = ... = an = an–1 = 0 ise, P(x) polinomuna s�f�r polinomu denir. S�f�r polinomunun derecesi tan�ms�zd�r.

� a0 � 0 ve a1 = a2 = a3 = ... an – 1 = an = 0 ise, P(x) polinomuna sabit polinom denir. Sabit polinomunun derecesi s�f�rd�r.

http://imageshack.us/a/img18/5134/rxm8.jpg

C. �OK DE��KENL� POL�NOMLAR
P(x, y) = 3xy2 – 2x2y – x + 1
bi�imindeki ifadelere iki de�i�kenli polinomlar denir. Bu polinomda ayn� terimdeki de�i�kenlerin �sleri toplam�ndan en b�y�k olan�na polinomun derecesi denir.

D. POL�NOMLARDA E��TL�K
Ayn� dereceli en az iki polinomun e�it dereceli terimlerinin katsay�lar� birbirine e�it ise bu polinomlara e�it polinomlar denir.
� P(x) polinomunun katsay�lar� toplam� P(1) dir.
� P(x) polinomunda sabit terim P(0) d�r.

http://imageshack.us/a/img6/2802/ka3x.jpg

� P(x) polinomunun;
�ift dereceli terimlerinin katsay�lar� toplam�:

http://www.matematikci.org/oss/cebir/19c_dosyalar/matka1901.gif

Tek dereceli terimlerinin katsay�lar� toplam�:
http://www.matematikci.org/oss/cebir/19c_dosyalar/matka1902.gif

E. POL�NOMLARDA ��LEMLER

1. Toplama ve ��karma
P(x) = anxn + an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 + ...

Q(x) = bnxn + bn – 1xn – 1 + bn – 2xn – 2 + ...
olmak �zere,

P(x) + Q(x) = (an + bn)xn + (an – 1 + bn–1)xn – 1 + ...

P(x) – Q(x) = (an – bn)xn + (an – 1 – bn–1)xn – 1 + ...
olur.

2. �arpma
�ki polinomun �arp�m�, birisinin her bir teriminin di�erinin her bir terimi ile ayr� ayr� �arp�mlar�ndan elde edilen terimlerin toplam�na e�ittir.

3. B�lme
der [P(x)] � der [Q(x)] ve Q(x) � 0 olmak �zere,

http://www.matematikci.org/oss/cebir/19c_dosyalar/cep_mat214.gif

P(x) : B�l�nen polinom
Q(x) : B�len polinom
B(x) : B�l�m polinom
K(x) : Kalan polinomdur.

� P(x) = Q(x) . B(x) + K(x)
� der [K(x)] < der [Q(x)]
� K(x) = 0 ise, P(x) polinomu Q(x) polinomuna tam b�l�n�r.
� der [P(x)] = der [Q(x)] + der [B(x)]
Polinomlarda b�lme i�lemi, say�larda b�lme i�lemine benzer bi�imde yap�l�r.

Bunun i�in;

B�l�nen ve b�len polinomlar x in azalan kuvvetlerine g�re s�ralan�r.
B�l�nen polinom soldan ilk terimi, b�len polinomun ilk terimine b�l�n�r.
Bulunan bu b�l�m, b�len polinomun b�t�n te-rimleri ile �arp�larak, ayn� dereceli terimler alt alta gelecek bi�imde b�l�nen polinomun alt�na yaz�l�r.
Bulunan sonu�, b�l�nen polinomdan ��kar�l�r. Fark polinomuna da ayn� i�lem uygulan�r.
Yukar�daki i�lemlere, kalan polinomun derecesi b�len polinomun derecesinden k��k oluncaya kadar devam edilir.

F. KALAN POL�NOMUN BULUNMASI
Kalan polinomu, klasik b�lme i�lemiyle ya da a�a��daki 3 y�ntemden biri ile bulabiliriz.

1. B�len Birinci Dereceden �se
Bir polinomun ax + b ile b�l�m�nden kalan� bulmak i�in, polinomda de�i�ken yerine http://www.matematikci.org/oss/cebir/19c_dosyalar/cep_ma215.gif yaz�l�r.

P(x) in x – b ile b�l�m�nden kalan P(b) dir.
P(mx + n) nin ax + b ile b�l�m�nden kalan

http://www.matematikci.org/oss/cebir/19c_dosyalar/cep_ma216.gif

2. B�len �arpanlara Ayr�l�yorsa
B�len �arpanlara ayr�l�yorsa, her �arpan s�f�ra e�itlenir. Bulunan k�kler polinomda yaz�larak kalan bulunur.

P(x) polinomunun a(x – b) . (x – c) ye b�l�m�nden kalan mx + n ve b�l�m polinom Q(x) ise,

P(x) = a(x – b) . (x – c) . Q(x) + mx + n olur.

P(b) = mb + n ... (1)

P(c) = mc + n ... (2)

(1) e�itli�i ile (2) e�itli�inin ortak ��z�m�nden m ve n bulunur.

http://img191.imageshack.us/img191/1254/8agb.jpg

3. B�len �arpanlar�na Ayr�lam�yorsa
B�len �arpanlar�na ayr�lam�yorsa a�a��daki 2 y�ntem s�ras�yla uygulanarak kalan polinom bulunur.

1) B�len polinom s�f�ra e�itlenerek en b�y�k dereceli de�i�kenin e�iti bulunur.

2) Bulunan ifade b�l�nen polinomda yaz�l�r.

P(x) polinomunun ax2 + bx + c ile b�l�-m�nden kalan� bulmak i�in P(x) polinomunda x2 yerine yaz�l�r.

4. P(x) Polinomu (ax + b)n �le Tam B�l�n�yorsa, (n � N+)
http://www.matematikci.org/oss/cebir/19c_dosyalar/cep_ma217.gif
http://img194.imageshack.us/img194/5813/7yk9.jpg

G. BAS�T KES�RLERE AYIRMA
a, b, c, d, e, f A, B birer reel (ger�el) say� olmak �zere,

http://www.matematikci.org/oss/cebir/19c_dosyalar/cep_ma218.gif

e�itli�inde A y� bulmak i�in, A n�n paydas�n�n k�k� bulunur.

http://www.matematikci.org/oss/cebir/19c_dosyalar/cep_ma219.gif
Bulunan bu de�er e�itli�in sol yan�nda A n�n paydas� at�larak elde edilen
http://www.matematikci.org/oss/cebir/19c_dosyalar/cep_ma220.gif de yaz�l�r.

Ayn� i�lemler B i�in de yap�l�r.

http://www.matematikci.org/oss/cebir/19c_dosyalar/cep_ma221.gif

H. DERECE �LE �LG�L� ��LEMLER
m > n olmak �zere,
der[P(x)] = m
der[Q(x)] = n olsun.

Buna g�re,

der[P(x) � Q(x)] = m tir.
der[P(x) . Q(x)] = m + n dir.
P(x) in Q(x) ile b�l�m�nden elde edilen b�l�m B(x) ise, der[B(x)] = m – n dir.
k � N+ i�in der[Pk(x)] = k . m dir.
der[P(kx)] = m, k � 0 d�r.

kaynak