Ki-kare Dağılımı Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında ki-kare dağılım (χ2 dağılımı) özellikle çıkarımsal istatistik analizde çok geniş bir pratik kullanım alanı bulmuştur. Bu dağılım, gamma dağılımından elde edilir. x, λ ve n parametreleri ile gamma dağılımına sahip olsun: http://upload.wikimedia.org/math/f/3/5/f35a08ce1d52d9b2ca49f75f206226a9.png olur. Burada λ = 2 ve n = ν / 2 alınırsa, elde edilen yeni dağılıma, ν serbestlik derecesiyle ki-kare dağılımı denir ve http://upload.wikimedia.org/math/4/a/f/4affc9c74501a2f1a8bc82c557b051f4.png ile gösterilir. x, ν serbestlik derecesiyle ki-kare dağılımına sahip ise: ki-kare 1 n(0.1)'e eşittir http://upload.wikimedia.org/math/6/7/e/67eebf0e8594d253591cca19c4377a55.png olur. Teorem 1 http://upload.wikimedia.org/math/9/3/5/935657d01c89c0fd9e8829d901b69ca4.png ise http://upload.wikimedia.org/math/7/d/e/7de778102ce8e9f52d16865995d55645.png olur. Teorem 2 http://upload.wikimedia.org/math/d/4/8/d4870ca1399b0960f2b9a9c448701c04.png rassal değişkenler N(0,1) dağılımına sahip olsun. http://upload.wikimedia.org/math/7/a/a/7aa4df7d31b6221aba8271d6c83c520f.png ise http://upload.wikimedia.org/math/d/e/9/de9a90d38d49061bf0f5e1eaefddf443.png olur. Teorem 3 σ2 varyansı bilinen, N(μ,σ2) dağılımına sahip rasgele örneklem http://upload.wikimedia.org/math/d/4/8/d4870ca1399b0960f2b9a9c448701c04.png ve s2 örneklem varyansı olmak üzere: http://upload.wikimedia.org/math/8/a/7/8a78e43586214e4d911fd443389baa74.png olur. Ki-kare dağılım için olasılık yoğunluk fonksiyonu şu olur: http://upload.wikimedia.org/math/b/f/3/bf38887f7d409425ebcdf9e1a0bcc434.png Burada Γ bir Gamma fonksiyonu bulunduğunu gösterir ve bu yarım-tamsayılar için özel değerler gösterir. Yığmalı dağılım fonksiyonu Ki-kare dağılımının yığmalı dağılım fonksiyonu şudur: http://upload.wikimedia.org/math/c/e/2/ce27f2b887b29201ae8e4c4d86aa0da3.png burada γ(k,z) aşağı kısmı tamamlanmamış Gamma fonksiyonu ve P(k,z) ise tanzim edilmiş Gamma fonksiyonu olur. Ki-karenin için verilen tablolar (biri aşağıda verilmiştir) yığmalı dağılim fonksiyonundan elde edilmektedir. Bu tablolar birçok değişik kaynaklardan bulunabilir. Örneğin bu fonksiyon için tablolar spreadsheet ve istatistik program paketlerinde bulunmaktadır. Karakteristik fonksiyonu Ki-kare dağılımının karakteristik fonksiyonu şöyle yazılır: http://upload.wikimedia.org/math/1/d/d/1dd659d8838578914432d1a77f0ca820.png Özellikleri
Normal yaklaşım Eğer http://upload.wikimedia.org/math/9/c/2/9c2164202534f2b40307c3eae12bf48d.png ise, limitte k sonsuzluğa yaklaştıkca X normal dağılıma yaklaşır. Ancak bu eğilim (çarpıklık http://upload.wikimedia.org/math/7/1/d/71da431197351c47fd485a6edee4f8fb.png ve basıklık fazlalığı 12 / k olduğundan dolayı) yavaş gelişmektedir. Ki-kare dağılımının iki değişik dönüşüm fonksiyonu normalliğe çok daha hızla yaklaşma göstermektedir: Fisher isbat etmiştir ki http://upload.wikimedia.org/math/9/2/7/9273635040991fcc9f79f6d882915ed6.png ifadesi, yaklaşık olarak ortalaması http://upload.wikimedia.org/math/b/9/b/b9b0c4c6371f84a6a97bb3b993c9b4e7.png olan ve varyans değeri 1 olan bir normal dağılım gösterir. Aynı normal yaklaşım sonucuna moment karşılastırması yapılarak da erişilebilir. Bunu görmek için ki-dağılım gösteren rassal değişken http://upload.wikimedia.org/math/e/0/d/e0d79b8e11a19bf21eca603578ed7e53.pngin ortalaması ve varyansı izlensin. Bunlar sırasıyla şöyle verilir: http://upload.wikimedia.org/math/5/f/1/5f174c75cfe93c24f98dbd2fd44b439b.png ve http://upload.wikimedia.org/math/f/d/5/fd58ad1ad2236e9341bde2f6db50b7a5.png Burada http://upload.wikimedia.org/math/1/1/e/11ee491fb6e261ad0b4f721d59ea7318.png bir Gamma fonksiyonudur. μz ifadeli gamma fonksiyonunun özel oranı (particular ratio) şu seri halinde açılabilir : http://upload.wikimedia.org/math/5/1/a/51ab2d6d49189f7e4edf750f411558f7.png http://upload.wikimedia.org/math/3/5/0/350e1622be265583f8005f3a0a433731.png olduğu halde bu oran için şöyle yaklaşım bulunur: http://upload.wikimedia.org/math/9/3/2/93291550bf3415fc18ab114beb277b1b.png Sonra basitleşen moment karşılaştırılmasi sonuçları şu yaklaşık z dağılımı verirler; http://upload.wikimedia.org/math/5/4/8/5483fabf4496509925ba6b4f443d97dd.png, Bundan da şu ifade hemen çıkartılabilir\: http://upload.wikimedia.org/math/9/e/8/9e8cc20f41a8bef62d85c4129324df41.png. Wilson ve Hilferty [1931] göstermiştir ki http://upload.wikimedia.org/math/c/c/f/ccfd20697974afc563a4a0c8c9362a38.png ifadesi, ortalaması 1 − 2 / (9k) ve varyansı 2 / (9k) olan bir normal dağılıma yaklaşıktır. k serbestlik derecesi olan bir ki-kare dağılımı gösteren bir rassal değişken için beklenen değer k olur. Aynı dağılımın medyan değeri yaklaşık olarak şu ifade ile verilir: http://upload.wikimedia.org/math/3/a/1/3a157f03a30ff76fd9fe4b20cbe27dfc.png Eğer serbestlik derecesi 2 ise üstel dağılım ile aynı dağılımdır. Enformasyon entropisi Enformasyon entropisi ifadesi şöyle verilir: http://upload.wikimedia.org/math/3/2/e/32ef86a6f3421ac89534432f9a93dfd6.png Burada ψ(x) bir Digamma fonksiyonudur. İlişkili dağılımlar
Çeşitli ki ve ki-kare dağılımları İsim İstatistik Ki-kare dağılımı http://upload.wikimedia.org/math/c/c/c/cccebc4ae03f764b4d748d541e2e7a21.png Merkezsel olmayan ki-kare dağılımı http://upload.wikimedia.org/math/c/f/5/cf5a4179baaaab60a26a30aac6e1e93e.png Ki dağılımı http://upload.wikimedia.org/math/d/6/6/d6624a2515a015566e49fe5120945a6e.png Merkezsel olmayan ki dağılımı http://upload.wikimedia.org/math/e/0/a/e0a313a5b45e33f7fa6397496e7b17b6.png Ki kare kritik değerler tablosu g serbestlik derecesi için yukarı kuyruk alanının (olasılığın) α olmasına karşıt olan ki2 kritik değeri Kod: +-----+-----------------------------------------------------------------------+ Serbestlik derecesi g>30 olursa kritik değerleri bulmak için şu ifadeyi kullanmak yeterli olacaktır. χ²α,g = 1/2 ( zα + √(2g-1) )² Burada zα Standart Normal N(0,1) için kritik değerdir (örneğin z0,95 = 1,645 olur.) |
Saat: 14:02 |
©2005 - 2024, MsXLabs - MaviKaranlık