MsXLabs

MsXLabs (https://www.msxlabs.org/forum/)
-   Matematik (https://www.msxlabs.org/forum/matematik/)
-   -   Ki-kare Dağılımı (https://www.msxlabs.org/forum/matematik/254312-ki-kare-dagilimi.html)

HipHopRocK 13 Mart 2009 18:44

Ki-kare Dağılımı


Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında ki-kare dağılım (χ2 dağılımı) özellikle çıkarımsal istatistik analizde çok geniş bir pratik kullanım alanı bulmuştur.
Bu dağılım, gamma dağılımından elde edilir.
x, λ ve n parametreleri ile gamma dağılımına sahip olsun:

http://upload.wikimedia.org/math/f/3/5/f35a08ce1d52d9b2ca49f75f206226a9.png

olur.
Burada λ = 2 ve n = ν / 2 alınırsa, elde edilen yeni dağılıma, ν serbestlik derecesiyle ki-kare

dağılımı denir ve http://upload.wikimedia.org/math/4/a/f/4affc9c74501a2f1a8bc82c557b051f4.png ile gösterilir.
x, ν serbestlik derecesiyle ki-kare dağılımına sahip ise:
ki-kare 1 n(0.1)'e eşittir

http://upload.wikimedia.org/math/6/7/e/67eebf0e8594d253591cca19c4377a55.png

olur.

Teorem 1


http://upload.wikimedia.org/math/9/3/5/935657d01c89c0fd9e8829d901b69ca4.png ise http://upload.wikimedia.org/math/7/d/e/7de778102ce8e9f52d16865995d55645.png olur.

Teorem 2

http://upload.wikimedia.org/math/d/4/8/d4870ca1399b0960f2b9a9c448701c04.png rassal değişkenler N(0,1) dağılımına sahip olsun.

http://upload.wikimedia.org/math/7/a/a/7aa4df7d31b6221aba8271d6c83c520f.png ise http://upload.wikimedia.org/math/d/e/9/de9a90d38d49061bf0f5e1eaefddf443.png olur.

Teorem 3
σ2 varyansı bilinen, N(μ,σ2) dağılımına sahip rasgele örneklem http://upload.wikimedia.org/math/d/4/8/d4870ca1399b0960f2b9a9c448701c04.png ve s2 örneklem varyansı olmak üzere:

http://upload.wikimedia.org/math/8/a/7/8a78e43586214e4d911fd443389baa74.png olur.

Ki-kare dağılım için olasılık yoğunluk fonksiyonu şu olur:

http://upload.wikimedia.org/math/b/f/3/bf38887f7d409425ebcdf9e1a0bcc434.png

Burada Γ bir Gamma fonksiyonu bulunduğunu gösterir ve bu yarım-tamsayılar için özel değerler gösterir.

Yığmalı dağılım fonksiyonu

Ki-kare dağılımının yığmalı dağılım fonksiyonu şudur:

http://upload.wikimedia.org/math/c/e/2/ce27f2b887b29201ae8e4c4d86aa0da3.png

burada γ(k,z) aşağı kısmı tamamlanmamış Gamma fonksiyonu ve P(k,z) ise tanzim edilmiş Gamma fonksiyonu olur.
Ki-karenin için verilen tablolar (biri aşağıda verilmiştir) yığmalı dağılim fonksiyonundan elde edilmektedir. Bu tablolar birçok değişik kaynaklardan bulunabilir. Örneğin bu fonksiyon için tablolar spreadsheet ve istatistik program paketlerinde bulunmaktadır.

Karakteristik fonksiyonu
Ki-kare dağılımının karakteristik fonksiyonu şöyle yazılır:

http://upload.wikimedia.org/math/1/d/d/1dd659d8838578914432d1a77f0ca820.png

Özellikleri
  • Ki-kare dagilimi cikarimsal istatistik analizde epeyce kullanış alanı bulmuştur. Parametrik istatistik olarak varyans degeri guvenlik araligi ve hipotez testi, parametrik olamayan uygunluk iyiliği testi, olumsalik tablosu uzerinde bagimsizlik testi ve ki-kareye bagli ortaklilik katsayilari, uzaklik olculeri vb.
  • Varyanslar analizinde F-dagiliminin iki ki-kare dagiliminin oranindan ortaya cikmasi dolayisyla onemli rol oynamaktadir.

Normal yaklaşım

Eğer http://upload.wikimedia.org/math/9/c/2/9c2164202534f2b40307c3eae12bf48d.png ise, limitte k sonsuzluğa yaklaştıkca X normal dağılıma yaklaşır. Ancak bu

eğilim (çarpıklık http://upload.wikimedia.org/math/7/1/d/71da431197351c47fd485a6edee4f8fb.png ve basıklık fazlalığı 12 / k olduğundan dolayı) yavaş gelişmektedir. Ki-kare dağılımının iki değişik dönüşüm fonksiyonu normalliğe çok daha hızla yaklaşma göstermektedir:
Fisher isbat etmiştir ki http://upload.wikimedia.org/math/9/2/7/9273635040991fcc9f79f6d882915ed6.png ifadesi, yaklaşık olarak ortalaması http://upload.wikimedia.org/math/b/9/b/b9b0c4c6371f84a6a97bb3b993c9b4e7.png olan ve varyans değeri 1 olan bir normal dağılım gösterir.
Aynı normal yaklaşım sonucuna moment karşılastırması yapılarak da erişilebilir. Bunu görmek

için ki-dağılım gösteren rassal değişken http://upload.wikimedia.org/math/e/0/d/e0d79b8e11a19bf21eca603578ed7e53.pngin ortalaması ve varyansı izlensin. Bunlar
sırasıyla şöyle verilir:

http://upload.wikimedia.org/math/5/f/1/5f174c75cfe93c24f98dbd2fd44b439b.png

ve

http://upload.wikimedia.org/math/f/d/5/fd58ad1ad2236e9341bde2f6db50b7a5.png Burada http://upload.wikimedia.org/math/1/1/e/11ee491fb6e261ad0b4f721d59ea7318.png bir Gamma fonksiyonudur. μz ifadeli gamma fonksiyonunun özel

oranı (particular ratio) şu seri halinde açılabilir :

http://upload.wikimedia.org/math/5/1/a/51ab2d6d49189f7e4edf750f411558f7.png

http://upload.wikimedia.org/math/3/5/0/350e1622be265583f8005f3a0a433731.png olduğu halde bu oran için şöyle yaklaşım bulunur:

http://upload.wikimedia.org/math/9/3/2/93291550bf3415fc18ab114beb277b1b.png

Sonra basitleşen moment karşılaştırılmasi sonuçları şu yaklaşık z dağılımı verirler;

http://upload.wikimedia.org/math/5/4/8/5483fabf4496509925ba6b4f443d97dd.png, Bundan da şu ifade hemen çıkartılabilir\:

http://upload.wikimedia.org/math/9/e/8/9e8cc20f41a8bef62d85c4129324df41.png.
Wilson ve Hilferty [1931] göstermiştir ki http://upload.wikimedia.org/math/c/c/f/ccfd20697974afc563a4a0c8c9362a38.png ifadesi, ortalaması 1 − 2 / (9k) ve varyansı 2 / (9k) olan bir normal dağılıma yaklaşıktır.
k serbestlik derecesi olan bir ki-kare dağılımı gösteren bir rassal değişken için beklenen değer k olur. Aynı dağılımın medyan değeri yaklaşık olarak şu ifade ile verilir:

http://upload.wikimedia.org/math/3/a/1/3a157f03a30ff76fd9fe4b20cbe27dfc.png Eğer serbestlik derecesi 2 ise üstel dağılım ile aynı dağılımdır.

Enformasyon entropisi

Enformasyon entropisi ifadesi şöyle verilir:

http://upload.wikimedia.org/math/3/2/e/32ef86a6f3421ac89534432f9a93dfd6.png
Burada ψ(x) bir Digamma fonksiyonudur.

İlişkili dağılımlar
http://upload.wikimedia.org/math/9/7/6/97604542a60c97b249c01871040f3100.png olur; burada http://upload.wikimedia.org/math/f/e/d/fedd49eca20bcd439a668f155709a951.png dir.



Çeşitli ki ve ki-kare dağılımları İsim İstatistik Ki-kare dağılımı http://upload.wikimedia.org/math/c/c/c/cccebc4ae03f764b4d748d541e2e7a21.png Merkezsel

olmayan ki-kare dağılımı http://upload.wikimedia.org/math/c/f/5/cf5a4179baaaab60a26a30aac6e1e93e.png Ki dağılımı http://upload.wikimedia.org/math/d/6/6/d6624a2515a015566e49fe5120945a6e.png Merkezsel olmayan ki

dağılımı http://upload.wikimedia.org/math/e/0/a/e0a313a5b45e33f7fa6397496e7b17b6.png

Ki kare kritik değerler tablosu

g serbestlik derecesi için yukarı kuyruk alanının (olasılığın) α olmasına karşıt olan ki2 kritik değeri


Kod:

+-----+-----------------------------------------------------------------------+
| \  α|                                                                      |
|  \  | 0.995  0.91  0.925  0.95  0.90  0.10  0.05  0.025  0.01  0.005  |
|g  \ |                                                                      |
+-----+-----------------------------------------------------------------------+
|  1  |  0.00  0.00  0.00  0.00  0.02  2.71  3.84  5.02  6.63  7.88  |
|  2  |  0.01  0.02  0.05  0.10  0.21  4.61  5.99  7.38  9.21  10.60  |
|  3  |  0.07  0.11  0.22  0.35  0.58  6.25  7.81  9.35  11.34  12.84  |
|  4  |  0.21  0.30  0.48  0.71  1.06  7.78  9.49  11.14  13.28  14.86  |
|  5  |  0.41  0.55  0.83  1.15  1.61  9.24  11.07  12.83  15.09  16.75  |
|  6  |  0.68  0.87  1.24  1.64  2.20  10.64  12.59  14.45  16.81  18.55  |
|  7  |  0.99  1.24  1.69  2.17  2.83  12.02  14.07  16.01  18.48  20.28  |
|  8  |  1.34  1.65  2.18  2.73  3.49  13.36  15.51  17.53  20.09  21.95  |
|  9  |  1.73  2.09  2.70  3.33  4.17  14.68  16.92  19.02  21.67  23.59  |
| 10  |  2.16  2.56  3.25  3.94  4.87  15.99  18.31  20.48  23.21  25.19  |
| 11  |  2.60  3.05  3.82  4.57  5.58  17.28  19.68  21.92  24.72  26.76  |
| 12  |  3.07  3.57  4.40  5.23  6.30  18.55  21.03  23.34  26.22  28.30  |
| 13  |  3.57  4.11  5.01  5.89  7.04  19.81  22.36  24.74  27.69  29.82  |
| 14  |  4.07  4.66  5.63  6.57  7.79  21.06  23.68  26.12  29.14  31.32  |
| 15  |  4.60  5.23  6.26  7.26  8.55  22.31  25.00  27.49  30.58  32.80  |
| 16  |  5.14  5.81  6.91  7.96  9.31  23.54  26.30  28.85  32.00  34.27  |
| 17  |  5.70  6.41  7.56  8.67  10.09  24.77  27.59  30.19  33.41  35.72  |
| 18  |  6.26  7.01  8.23  9.39  10.86  25.99  28.87  31.53  34.81  37.16  |
| 19  |  6.84  7.63  8.91  10.12  11.65  27.20  30.14  32.85  36.19  38.58  |
| 20  |  7.43  8.26  9.59  10.85  12.44  28.41  31.41  34.17  37.57  40.00  |
| 21  |  8.03  8.90  10.28  11.59  13.24  29.62  32.67  35.48  38.93  41.40  |
| 22  |  8.64  9.54  10.98  12.34  14.04  30.81  33.92  36.78  40.29  42.80  |
| 23  |  9.26  10.20  11.69  13.09  14.85  32.01  35.17  38.08  41.64  44.18  |
| 24  |  9.89  10.86  12.40  13.85  15.66  33.20  36.42  39.36  42.98  45.56  |
| 25  | 10.52  11.52  13.12  14.61  16.47  34.38  37.65  40.65  44.31  46.93  |
| 26  | 11.16  12.20  13.84  15.38  17.29  35.56  38.89  41.92  45.64  48.29  |
| 27  | 11.81  12.88  14.57  16.15  18.11  36.74  40.11  43.19  46.96  49.64  |
| 28  | 12.46  13.56  15.31  16.93  18.94  37.92  41.34  44.46  48.28  50.99  |
| 29  | 13.12  14.26  16.05  17.71  19.77  39.09  42.56  45.72  49.59  52.34  |
| 30  | 13.79  14.95  16.79  18.49  20.60  40.26  43.77  46.98  50.89  53.67  |
+-----+-----------------------------------------------------------------------+

Kaynak: Kritik değerler Italyanca Wikipedia için R (software) serbest programının qchisq( ,1:30) fonksiyonu kullanılarak bulunmuştur.
Serbestlik derecesi g>30 olursa kritik değerleri bulmak için şu ifadeyi kullanmak yeterli olacaktır.
χ²α,g = 1/2 ( zα + √(2g-1) )² Burada zα Standart Normal N(0,1) için kritik değerdir (örneğin z0,95 = 1,645 olur.)




Saat: 14:02

©2005 - 2024, MsXLabs - MaviKaranlık