Normal Da��l�m (Gauss Tipi Da��l�m)

Normal da��l�m

Normal da��l�m, ayn� zamanda Gauss tipi da��l�m olarak isimlendirilen bir�ok alanda pratik uygulamas� olan �ok �nemli bir s�rekli olas�l�k da��l�m ailesinden biridir. Bu da��l�m ailesinin her bir �yesi sadece iki parametre ile, tam olarak tan�mlanabilir: Bunlar konum g�steren ortalama (μ aritmetik ortalama) ve �l�ek g�steren varyans (σ2 "yay�l�m")d�r.
Standart normal da��l�m ortalama de�eri 0 ve varyans de�eri 1 olan normal da��l�m ailesinin tek bir eleman�d�r. Carl Friedrich Gauss bu da��l�mlar grubu ile, astronomik verileri analiz etmekte iken, ilgilenmi� ve bu da��l�m i�in olas�l�k yo�unluk fonksiyonunu ilk defa tan�mlam��t�r [1]. Bu olas�l�k fonksiyonunun grafik �ekli bir �an gibi g�r�nt� verdi�i i�in �o�u kez �an e�risi olarak da an�l�r.
Do�a ve davran�� bilimleri i�inde bulunan bir�ok fenomenin niceliksel modeli yap�lmas�nda normal da��l�m�n kullan�lmas�na neden merkezsel limit teoreminin uygulanmas�ndan do�maktad�r. Bir�ok psikolojik �l��mler ve fiziksel fenomen normal da��l�m kullan�larak �ok iyi yakla��k olarak a��klanmaktad�r. Bu fenomenlerin alt�nda yatan mekanizmalar �o�u zaman bilinmemekte fakat normal da��l�m modelinin a��klamada uygulanmaktad�r. Bunun pratik yakla��m�n teorik olarak savunmas� ise her bir reel g�zlemin olu�mas� i�in geri planda �ok say�da birbirinden ba��ms�z etkilerin ayr� ayr� toplam olarak katk�da bulunduklar� varsay�m�d�r.
Normal da��l�m istatistik biliminin bir�ok alan�nda kullan�lmaktad�r. �rne�in �rneklem ortalamas� i�in �rnek da��l�m�, �rne�in kayna�� olan anak�tle i�in da��l�m�n normal olmad�� gayet a��k olsa bile, yakla��k olarak normal da��l�m g�stermektedir. Bunun yan�nda, de�erleri bilinen ortalamas� ve varyans� olan b�t�n da��l�mlar i�inde enformasyon entropisini maksimum yapan da��l�m�n normal oldu�u ispat edilmi�tir. B�ylece �rnek ortalamas� ve varyans� ile �zetlenen her veri i�in bilinmeyen kaynak da��l�m� olarak normal da��l�m� kullanmak gayet do�al bir yakla��m olmas� �ok uygun bir davran��t�r. �statistikte kullan�lan da��l�mlar aileleri aras�nda normal da��l�m pratikte en �ok kullan�lan�d�r ve bir�ok istatistiksel test, normal da��l�m�n varoldu�u varsay�m�na dayan�larak geli�tirilmi�tir ve kullan�lmaktad�r. Olas�l�k kuram� i�inde birka� s�rekli olas�l�k da��l�mlar� ve ayr�k olas�l�k da��l�mlar�n�n limite giden da��l�mlar� yani rassal de�i�kenlerin yak�nsama analizinde kullan�lmaktad�r.

Tarih�e

�statistik ve olas�l��n �nemli da��l�mlar�ndan biri olan normal da��l�m, ilk olarak 1733'te Abraham de Moivre taraf�ndan yay�nlanan bir yaz�da ilk ortaya ��kart�lm��t�r ve 1738'de yay�nlanan The Doctrine of Chances (�anslar Doktrini) adl� kitab�n�n ikinci bask�s�nda p de�i�memek ko�uluyla n de�erinin art�s�yla binom da��l�m�n�n limit �ekli yakla��m olarak g�sterilmi�tir. de Moivre'in bu sonucu Laplace taraf�ndan 1812'de bast�r�lan Analytical Theory of Probabilities (Olas�l�klar ��in Analitik Teori) geli�tirilmi�tir ve bu sonu� �imdi de Moivre-Laplace teoremi olarak isimlendirilmektedir.
Laplace normal da��l�m� incelemkte oldu�u deneylemelerde hatalar�n analizi konusunda uygulam��t�r. 1805'de Legendre �ok �nemli olan en k��k kareler y�ntemini ortaya atm��t�r. Gauss, bu y�ntemi 1794'ten beri kulland��n� iddia etmi�tir ama en kesin surette hatalar�n normal da��l�m� varsay�m� ile birlikte yay�nlad�� eser 1809'dad�r.
�an e�risi teriminin ilk kullan�l�� Jouffret taraf�ndan 1875'te bir ba��ms�z par�alardan olu�an ikide�i�irli normal hakk�nda yaz�da �an y�zeyi teriminin kullanmas�na kadar g�t�r�lebilir. Normal da��l�m s�zc�� ise Charles S. Peirce, Francis Galton ve Wilhelm Lexis taraf�ndan ayr� ayr� 1875 civarlar�nda ortaya at�lm��t�r.
Bu da��l�ma normal ad� vermek bazen hatal� g�r�lmektedir; ��nk� baz� hallerde di�er da��l�mlar prati�e �ok daha uygunluk g�stermektedirler.

Karakteristikler

Bir olas�l�k da��l�m�n� �e�itli �ekilde matematiksel ifadelerle karakterize etmek m�mk�nd�r. Bunlar aras�nda g�ze en iyi hitap edeni olas�l�k yo�unluk fonksiyonu ile olur. Ayn� ger�eklerin di�er t�rlerde karakterize edilmeleri y��mal� da��l�m fonksiyonu, momentler, k�m�lantlar, karakteristik fonksiyon, moment �reten fonksiyon, k�m�lant �reten fonksiyon ve Maxwell'in teoremi vas�tas�yla da karakterize edilebilir. Bu kavramlar�n ayr�nt�lar� i�in olas�l�k da��l�mlar� maddesine bak�n�z.
Matematiksel notasyon kullan�lmas� ile, X rassal de�eri i�in ortalama de�eri μ ve varyans� σ� ≥ 0, olan bir normal da��l�m�n bulundu�u ��yle ifade edilir:

http://upload.wikimedia.org/math/3/a/5/3a53382a03360033edc63fb08a592d9a.png

Normal da��l�m i�in fazla kullan�lmayan bir de�i�ik parametreleme �ekli de bulunmaktad�r. Bu (bir �ss� varyans yani 1/ σ�), de�erine e�it olan kesinlik parametresi τ kullan�larak yap�l�r. Bunun avantaj� s�f�r de�erine �ok yakin varyans (σ�) de�erlerinin b�ler olmalar�ndan do�an limit problemlerinden ayr�lma imk�n� sa�lamas� ve normal da��l�m� bir �stel ailesi bireyi olarak kullan�lmas� gerekti�i halde ortaya ��kar.
Baz� merkezsel limit teoremleri i�in (�rne�in kestirimlerin asimtotik normalli�i) ve Gauss tipi s�recler teorisi kullan��l� olmakla beraber, t�m olas�l�� μ etraf�nda konsantre eden ve bir normal da��l�ma benzer olarak ortalama μ ve varyans σ� = 0 de�erleri bulunan Dirac �l��m� bir normal da��l�m olarak kabul edilmemektedir; buna matematiksel a��klama bu �l��mde Lebesque �l��m� kurallar�na g�re gereken yo�unlu�un bulunmamas�d�r.

Olas�l�k yo�unluk fonksiyonu

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1b/Normal_distribution_pdf.png/325px-Normal_distribution_pdf.png

Normal da��l�m i�in s�rekli olas�l�k yo�unluk fonksiyonu �u Gauss-tipi fonksiyondur:

http://upload.wikimedia.org/math/e/8/c/e8cf730ec1a7587ee84403dbc1c64008.png

Burada σ > 0 standart sapmad�r; bir reel parametre olan μ beklenen de�erdir; ve

http://upload.wikimedia.org/math/2/9/d/29dee61e6dcb70f30216631d8c97890b.png

ifadesi standart normal da��l�m i�in yo�unluk fonksiyonudur. Standart normal da��l�m μ = 0 ve σ = 1 parametreleri olan bir normal da��l�md�r.
http://upload.wikimedia.org/math/d/c/9/dc9632c51d1d882c947182e4bae14b72.png ifadesinin reel do�ru �zerindeki entegral de�eridir. (Ayr�t�lar� i�in Gauss-tipi entegral maddesine bak�n�z.)

Olas�l�k yo�unluk fonksiyonunun �zellikleri aras�nda �unlar ba�ta gelenlerdir:

ortalama de�er μ etraf�nda simetrik olma;
hem modun hem de medyan�n ortalama μ de�erine e�it olmas�;
yo�unluk e�risinin �zerindeki, ortalamadan birer standart sapma alt�nda ve �st�ndeki noktalar aras�nda (yani μ − σ ve μ + σ noktalar�nda) bir [[enfleksyon nokta]]s� bulunmas�.

Y��mal� da��l�m fonksiyonu

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/19/Normal_distribution_cdf.png/325px-Normal_distribution_cdf.png

Bir olas�l�k da��l�m� i�in y��mal� da��l�m fonksiyonu, bir rassal de�i�ken X i�in olay olas�l��n�n da��l�m�n�n x say�s�na e�it veya daha d��k olmas�na kadar de�erlendirilmesiden ortaya ��kar. Normal da��l�m i�in y��mal� da��l�m fonksiyonu (yo�unluk fonksiyonunda kullan�lan ayn terimlerle) ��yle ifade edilir:

http://upload.wikimedia.org/math/f/2/6/f26a8934f9cfafa33024e7ade8201463.png

Burada, parametreleri μ = 0 ve σ = 1 olan standart normal da��l�m� i�in y��mal� da��l�m fonksiyonu, Φ, ile ifade edilmi�tir ve bu fonksiyon �udur:

http://upload.wikimedia.org/math/e/e/6/ee6afc55216c30d88141b7036ac08fc1.png

Standart normal y��mal� da��l�m fonksiyonu ayni zamanda hata fonksiyonu ad� verilen bir �zel fonksiyon ifade edilebilir. Hata fonksiyonu ��yle ifade edilir:

http://upload.wikimedia.org/math/0/0/3/003dabb870f6a1fc0521a85000ea8090.png

B�ylece hata fonksiyonu terimleri ile standart normal da��l�m� i�in y��mal� da��l�m fonksiyonu ��yle yaz�l�r:

http://upload.wikimedia.org/math/3/5/3/3537f96b6dfa850f2e6fcb765a03c28c.png

Standart normal da��l�m i�in y��mal� da��l�m fonksiyonunun tamlay�c� fonksiyonu (yani Q(x) = 1 − Φ(x)), �ok kere Q-fonksiyonu olarak isimlendirilir ve �zellikle bu kavram m�hendislik kitaplar�nda b�y�k �nemle yer almaktad�r.
Standart normal y��mal� da��l�m fonksiyonunun tersine kuantil fonksiyonu ad� verilir. Bunun form�l�n� ifade i�in �nce �u ters hata fonksiyonu bulunur:

http://upload.wikimedia.org/math/2/1/6/216bd2d30bee874f23df5025501fc11a.png

ve bu fonksiyon kullan�larak �u ters y��mal� da��l�m fonksiyonu ortaya ��kart�l�r:

http://upload.wikimedia.org/math/8/7/6/8760685b66c896427f92e5252c13f4fe.png

Bu kuantil fonksiyonuna bazan probit fonksiyonu ad� da verilir. Bir probit fonksiyonu i�in bir elemanter basit entegral bulunamayaca�� matematiksel olarak ispat edilmi�tir. Normal da��l�m i�in �ok iyi sonu�lar verdi�i anla��lan yakla��k fonksiyonlar ve y�ntemler ortaya ��kar�lm��t�r. Bunlar aras�nda say�sal entegrasyon, Taylor serileri, asimtotik seriler ve devam eden kesirler y�ntemlerinin kullan�lmas� an�labilir.

Y��mal� da��l�m fonksiyonu i�in kesin alt ve �st s�n�rlar

B�y�k de�erde bir x say�s� i�in standart normal da��l�m y��mal� da��l�m fonksiyonun http://upload.wikimedia.org/math/c/c/5/cc57e4f204394489bae179e29e37342e.png de�erinin bire, 1, yak�nsaland�� ve http://upload.wikimedia.org/math/7/1/8/718022d3a4e16e2cc9bcb0fa4af44b76.png�n ise s�f�ra,0, yak�nsalad�� a�ikard�r. Yo�unluk http://upload.wikimedia.org/math/4/5/5/455136e0a43e7634fcc7d2904c0612d9.png terimleri kullan�larak, �u basit �st s�n�r

http://upload.wikimedia.org/math/e/7/8/e78b5da834658b5e515529f0dc9f1d2e.png

ifadesi yeterlidir.
Yerine koymak suretiyle entegresyon y�ntemi kullanarak, �st s�n�r ��yle ortaya ��kart�labilir:

http://upload.wikimedia.org/math/f/9/3/f935cea14742da939222bbafe1276d3a.png

Ayn� �ekilde http://upload.wikimedia.org/math/4/c/4/4c477cf2ebb1709861de34160880d771.png ifadesini ve b�l�m kural�n� kullanarak

http://upload.wikimedia.org/math/3/b/2/3b20ea237bc27a24b461d75d45e9b79a.png

ifadesi ortaya ��kart�l�r. Bunun http://upload.wikimedia.org/math/7/2/d/72d8d9eac77ab922c98663247b1f5ee3.png terimleri ile ��z�mlenmes� yukar�da ifade edilen �st s�n�r� verir.

�reten fonksiyonlar

Moment �reten fonksiyon

Genel olarak moment �reten fonksiyon, exp(tX) i�in beklenti olarak tan�mlan�r. Bir normal da��l�m i�in moment �reten fonksiyonu �u olur:

http://upload.wikimedia.org/math/e/c/3/ec3e32bd3a987126f3c3b40e239fa768.png

Bu ifade, tan�mda verilen �ssel de�erin, karesini tamamlamak y�ntemi d�n��t�r�lmesi ile elde edilmi�tir.

K�m�lant �reten fonksiyon

K�m�lant �reten fonksiyon, moment �reten fonksiyonun logaritmasidir:
g(t) = μt + σ�t�/2. Bu t terimleri ile bir kuadratik polinom oldu�u i�in yaln�z ilk iki k�m�lant i�in s�f�r olmayan de�er bulunabilinir.

Karakteristik fonksiyon

Karakteristik fonksiyon, i sanal birim ile g�sterilen exp(itX) ifadesinin beklentisi olarak tan�mlanm��t�r. Bu nedenle karakteristik fonksiyon, moment �reten fonksiyon i�indeki t teriminin it ile de�i�tirilmesi ile elde edilir.
Bir normal da��l�m� i�in karakteristik fonksiyonu �udur:

http://upload.wikimedia.org/math/3/7/e/37e8462c5cc0193558226a94aa4f2a03.png

�zellikleri

Normal da��l�m�n �u �zellikleri vard�r:

E�er X˜N(μ,σ2) ve a ile b reel say�lar ise, o zaman aX + b˜N(aμ + b,(aσ)2) (Beklenti ve varyans maddelerine bak�n�z.).
E�er http://upload.wikimedia.org/math/e/a/c/eac9f1d639c15276cf22d85ff11a7b6a.png ve http://upload.wikimedia.org/math/2/e/2/2e26b49dbd44bb0b4650744a65f83097.png ifadeleri ba��ms�z normal rassal de�i�kenler ise, o halde -
- Bunlar�n toplam� http://upload.wikimedia.org/math/8/1/f/81fcbdfdcfb20f9af35db82829da43b0.png normal da��l�m g�sterir (proof). Daha ilgi �ekici olarak bunun tersi de ge�erlidir: E�er iki ba��ms�z rassal de�i�kenlerin toplam� normal da��l�m g�steriyorsa, her iki de�i�ken de ayr� ayr� normal da��l�m g�sterirler. Bu Cramer'in teoremi olarak isimlendirilmi�tir.
- Bunlar�n aras�ndaki fark �u �ekilde normal da��l�m g�sterir: Yani http://upload.wikimedia.org/math/8/b/2/8b22e1778fd0e4548eda237bad71aa44.png.
- E�er X ve Y rassal de�i�kenlerinin varyanslar� birbirine e�itse, U (toplam i�in rassal de�i�ken) ve V (fark i�in rassal de�i�ken) birbirinden ba��ms�zd�rlar.
- Kullback-Leibler ay�r�m� ��yle ifade edilir http://upload.wikimedia.org/math/3/3/4/3343df5d9bc94fa8ced3d0f921566c57.png
E�er http://upload.wikimedia.org/math/1/a/3/1a368150e2171639da10166086a11bd3.png ve http://upload.wikimedia.org/math/9/d/4/9d49cf31b33111492ae2884c760231e9.png birbirinden ba��ms�z normal rassal de�i�kenler ise; o zaman
- Bunlar�n �arp�m�, yani XY, p ile ��yle ifade edilen yo�unluk fonksiyonu olan �zel bir da��l�m g�sterir http://upload.wikimedia.org/math/b/0/0/b009e9a11285d981783c4467debe66e0.png burada K0 bir de�i�tirilmi� ikinci derecede Bessel fonksiyonudur.
- Bunlar�n birbirine oran� X / Y˜Cauchy(0,σX / σY) �ekilde Cauchy da��l�m� g�sterir. B�ylece bu Cauchy da��l�m� �zel bir tip orant� da��l�m� olur.
E�er http://upload.wikimedia.org/math/e/8/e/e8eacc087b64e56391a3b8ddf4216d77.png bir seri ba��ms�z standart normal de�i�kenler ise, o zaman bunlar�n toplam�, yani http://upload.wikimedia.org/math/4/b/8/4b82e42397459f7359433c6673601109.png n serbestlik dereceli bir ki-kare da��l�m� g�sterir.

Normal rassal de�i�kenlerin standart forma d�n��mleri

Yukar�da verilen 1. �zellik sonucu olarak t�m normal rassal de�i�kenleri standart normale d�n��t�rmek imk�n� vard�r: E�er X ~ N(μ,σ2) ise, bu halde

http://upload.wikimedia.org/math/f/7/a/f7aa6c4c6f1dc137bb57a719ca20edb0.png

bir standart normal rassal de�i�ken olur; yani Z ~ N(0,1).
Bunun bir �nemli sonucu y��mal� olas�l�k fonksiyonun bir genel normal da��l�m� olmas�d�r:

http://upload.wikimedia.org/math/7/b/0/7b0e968a9422be89bc5054772359a82a.png

Tersini ele al�rsak, e�er Z bir standart normal da��l�m ise, yani Z ~ N(0,1) ise o halde
X = σZ + μ ifadesi de beklenen de�eri μ ve varyans� σ2 olan bir normal rassal de�i�kendir.
Standart normal da��l�m i�in �e�itli tablolar bulunmaktad�r. �ok kere bu tablolar y��mal� da��l�m fonksiyonu, Φ �eklindedirler. Di�er normal da��l�mlar basit bir d�n��m ile standart normal da��l�ma d�n��t�r�l�p bu tablolardan biri kullan�labilir.

Momentler

Normal da��l�m i�in ilk birka� momentleri �unlard�r:
Say� Ham moment Merkezsel moment K�m�lant 0 1 1
1 μ 0 μ 2 μ2 + σ2 σ2 σ2 3 μ3 + 3μσ2 0 0 4 μ4 + 6μ2σ2 + 3σ4 3σ4 0 5 μ5 + 10μ3σ2 + 15μσ4 0 0 6 μ6 + 15μ4σ2 + 45μ2σ4 + 15σ6 15σ6 0 7 μ7 + 21μ5σ2 + 105μ3σ4 + 105μσ6 0 0 8 μ8 + 28μ6σ2 + 210μ4σ4 + 420μ2σ6 + 105σ8 105σ8 0 Normal da��l�m i�in ilk iki k�m�lant d��ndaki k�m�lant de�erler hep s�f�ra e�ittir.
Daha b�y�k say�ya ba�l� (2k derecede ve μ = 0) merkezsel momenti �u form�l kullan�larak elde edilebilir:

http://upload.wikimedia.org/math/8/7/b/87be2f8cfc6b14cb59d6b1988c6a5014.png

Normal rassal de�i�irler i�in �retici de�erler

Bilgisayarla simulasyon yap�lmakta iken, �ok kere bir normal da��l�m i�in de�erlerin �retilmesi gerekir. Bunun i�in birka� de�i�ik y�ntem kullan�labilir. En basit �ekilde bir standart normal da��l�m y��mal� olas�l�k fonksiyonunun tersini almak suretiyle elde edilir. Daha etkin y�ntemler de geli�tirilmi�tir.
�ok pop�ler olarak kullan�lan y�ntem Box-Muller d�n��m�d�r. Box-Muller algoritmas� kullan�lmas�, [0,1] aras�nda bulunan s�rekli tekd�ze da��l�m g�steren iki say� a ve b ile ba�lar; bunlardan �u form�llere g�re iki standart normal da��l�m g�steren c ve d say�lar� ��yle elde edilir:

http://upload.wikimedia.org/math/e/6/1/e612616fbcba1c6bb0ee280654d03c18.png http://upload.wikimedia.org/math/b/7/3/b73902a901286a4b9840b89ce6ad87ff.png

Bunlar�n elde edilmesi, d�n��m�n baz�nda (yukar�da 4. �zellikte g�sterilen) 2 serbestlik derecesi olan bir ki-kare da��l�m�n�n kolayca �retilebilinen bir �stel rassal de�i�ken olmas� ger�e�ine dayand�r�l�r.
Halen en etkin �ekilde normal da��l�m� simulasyonu i�in, ziggurat algoritmas� kullan�lmaktad�r.

Merkezsel limit teoremi

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9f/Normal_approximation_to_binomial.svg/325px-Normal_approximation_to_binomial.svg.png

n=48 ve p=1/4 parametreleri olan bir binom da��l�m�n�n olas�l�k k�tle fonksiyonun yakla��m� olarak μ = 12 ve σ = 3 parametreli bir normal da��l�m�n olas�l�k yo�unluk fonksiyonunun g�sterinimi.

Sonlu varyanslar� olan ba��ms�z ve ayn� da��l�ml� rassal de�i�kenler ve benzeri ko�ullar alt�nda, b�y�k say�da rassal de�i�kenlerin toplam� yakla��k olarak normal da��l�m g�sterir. Bu merkezsel limit teoremidir.
Merkezsel limit teoreminin pratik �nemi normal y��mal� da��l�m fonksiyonunun baz� di�er y��mal� da��l�m fonksiyonunun yakla��k� olarak kullanabilmesindedir. �rne�in

Parametreleri n ve p olan bir binom da��l�m i�in, e�er b�y�k de�erlerde, ama 0 veya 1e �ok yak�n olmayan n ve p bulunursa bir normal da��l�m�na yakla�m�� olduklar� kabul edilebilir. (Baz� istatistik kitaplar� bu yakla��m�n np ve n(1 − p de�erlerinin her ikisi i�in en a�a�� 5 olmas� halinde uygulanmas�n� ve e�er 5 olurlarsa bir devaml�l�k do�rulamas� kullan�lmas�n� tavsiye ederler.)
E�er yakla��k olarak normal da��l�m� kullan�l�rsa bunun parametreleri μ = np ve σ2 = np(1 − p) olarak bulunmas� gerekir.

E�er λ'nin de�eri b�y�k ise, λ parametreli [[Poisson da��l�m�] i�in yakla��k olarak normal da��l�m kullan�labilir ve bu halde yakla��k normal da��l�m�n parametreleri μ = σ2 = λ olarak bulunur.

Bu yakla��mlar�n yeter derecede do�ru olup olmayaca��, sonu�lar�n ne maksatlarla kullanacaklar�na ve normal da��l�m�n yak�nsalama oran�na ba�l�d�r. Bu tip yakla��mlar da��l�m�n kuyruk de�erlerine yakla�t�k�a gittikce daha �ok hatal� olacaklard�r. Berry-Essen teoremi y��mal� da��l�m fonksiyonu i�in yakla��m hatas� i�in genel �st s�n�rlar� g�sterir.

Sonsuz olarak b�l�nebilme

Normal da��l�mlar sonsuz olarak b�l�nebilen olas�l�k da��l�mlar�d�r: Bir ortalama de�eri μ, bir varyans de�eri σ 2 ≥ 0, ve bir do�al say� de�eri n verildi�i zaman, n ba��ms�z rassal de�i�kenlerin toplam� olan 'X1 + . . . + Xn' �u normal da��l�m� g�sterir:

http://upload.wikimedia.org/math/0/9/b/09be8f8bffbfafdaaa5618c76ad0ed9b.png

(Daha fazla ayr�nt� i�in matematik t�mevar�m ile normal da��l�m g�steren rassal de�i�kenlerin toplam� maddelerine bak�n�z.)

Dengelilik

Normal da��l�mlar kesinlikle dengelilik g�steren olas�l�k da��l�mlar�d�r.

Standart sapma ve g�venme a��kl�klar�

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8c/Standard_deviation_diagram.svg/325px-Standard_deviation_diagram.svg.png

Koyu mavi ortalamadan bir standart sapma daha k��kt�r. Bir normal da��l�m i�in bu (koyu mavi) e�rinin alt�nda kalan alan, toplam alan�n %68'ini kapsar. Ortalamadan iki standart sapma aral��nda noktalar i�in e�rinin alt�nda kalan alan (a��k, orta ve koyu mavi alan) toplam alan�n %99.7sini kapsar.

Bir normal da��l�mdan se�ilmi� de�erlerin %68i ortalama olan μ'in bir standart sapma σ > 0 uzakl��ndaki noktalar aras�ndad�r; de�erlerin neredeye %97si μ'den iki standart sapma uzakl�klar aral��nda; ve %99,7 �� standart sapma uzakl�klar aral�g�nda bulunur. Buna empirik kural veya 68-55-99.7 kural� ad� da verilir.
Daha do�ru bir kesin ifadeyle μ − nσ ve μ + nσ aras�ndaki �an e�risinin alt�nda kalan alan�n y��mal� normal da��l�m fonksiyonu ��yle verilir:

http://upload.wikimedia.org/math/e/d/a/eda145b29049a270ea9ac8a93852f66c.png

Burada erf [[hata fonsiyonu] dur. Ondal�k say�larla 12 basamak kullanilarak 1-, 2- .. 6- sigma noktalar�na kadar de�erler soyle verilir:

http://upload.wikimedia.org/math/a/9/5/a957404c96e59f1746f97ab668c8e1f8.png http://upload.wikimedia.org/math/f/9/b/f9be6bb9366eb6957592702f1aeb8852.png
1 0.682689492137
2 0.954499736104
3 0.997300203937
4 0.999936657516
5 0.999999426697
6 0.999999998027

�kinci tablo �an e�risinin alt�ndaki alan i�in de�erlerin bulunmas�n� sa�lamak �zere, �ok zaman kullan�lan katsay� de�erlerindeki, sigma �arpanlarinin ters ili�kisini g�sterir. Normal da��l�m g�steren veya asimtotda normal olan kestirimler i�in belirtilmi� olan seviyelerde (asimtotik) g�venlik aral��n� saptamak i�in bu de�erler �ok kullan��l�d�r:

http://upload.wikimedia.org/math/f/a/6/fa67ac81cc20ebe494d103dbaf82aa86.png http://upload.wikimedia.org/math/a/9/5/a957404c96e59f1746f97ab668c8e1f8.png

0.80 1.28155
0.90 1.64485
0.95 1.95996
0.98 2.32635
0.99 2.57583
0.995 2.80703
0.998 3.09023
0.999 3.29052

Bu tabloda sol taraftaki s�tun bilinen bir aral��a d��ecek de�erlerin oran� verilmekte ve soldaki n s�tunu ise aral��n geni�li�inin ka� tane standart sapma birimini ihtiva etti�ini g�stermektedir.

�stel ailesi �ekli

Normal da��l�m bir iki parametreli �stel ailesi eleman�d�r. �ki tane do�al parametresi μ ve 1/σ2

olur ve do�al istatistikleri X ve X2 dir. Kanonik �eklinin parametreleri http://upload.wikimedia.org/math/6/6/d/66df9aac994e6a8ea9cc06b1cc0c776f.png ve http://upload.wikimedia.org/math/3/f/e/3fe28694087012d2ba28ab97f4a6b418.png olup yeterli
istatistikleri http://upload.wikimedia.org/math/3/5/0/350173c119b3d463b62e0b4652b236d4.png ve http://upload.wikimedia.org/math/5/f/8/5f833f90ae9d575818f9fa4aed61234e.png olur.

�li�kili da��l�mlar

E�er http://upload.wikimedia.org/math/8/2/3/82394d64f910992fbd59654ae09d1016.png ise ve burada X˜N(0,σ2) aveY˜N(0,σ2) iki ba��ms�z normal da��l�mlarsa, o halde R˜Rayleigh(σ2) bir Rayleigh da��l�m� olur.

E�er http://upload.wikimedia.org/math/f/8/6/f866c1f5f0db1418fb7c8adae6043808.png ise ve burada http://upload.wikimedia.org/math/3/2/6/3266063c0c346f762ca500127846e0fa.png i�in Xk˜N(0,1) ise ve bunlarin hepsi
ba��ms�zlarsa; o zaman http://upload.wikimedia.org/math/2/6/3/263b03672200fc829ba95f4651f1607d.png serbestlik derecesi ν olan bir ki-kare da��l�m� olur.
E�er iki ba��ms�z normal da��l�ml� X1˜N(0,1) ve X2˜N(0,1)

i�in Y = X1 / X2 ise, o zaman Y˜Cauchy(μ = 0,θ = 1) bir Cauchy da��l�m�d�r.

E�er Y = eX ve X˜N(μ,σ2) ise, o zamanY˜Log-N(μ,σ2) bir log-normal da��l�m�d�r.
L�vy �arp�k alpha-dura�an da��l�m�na ili�ki : E�er
http://upload.wikimedia.org/math/6/a/3/6a3dd2cce762e7581ae9d1e652943699.png ise o halde X˜N(μ,σ2).
Kesilmi� normal da��l�m�. E�er http://upload.wikimedia.org/math/4/b/5/4b5014ecb9e82cc8fcb1fe51d29a3b1b.png o halde Xi alttan A'da ve �stten B'de kesmek suretiyle, ortalamas� http://upload.wikimedia.org/math/3/3/8/338ea5f5da32ea4e8c66715f472d014d.png olan bir rassal de�i�ken ortaya ��kar�l�r.

Burada

http://upload.wikimedia.org/math/d/5/8/d585042effa2995bbdde4f98076d6e4f.png

olur ve http://upload.wikimedia.org/math/3/5/3/3538eb9c84efdcbd130c4c953781cfdb.png bir standart normal rassal de�i�ken i�in bir olas�l�k yo�unluk fonksiyonu olur.

E�er X normal da��l�m g�steren bir rassal de�i�ken ise ve Y = | X | ise, o halde Y bir katlanm�� normal da��l�m g�sterir.

Betimsel ve ��kar�msal istatistikler

Puanlar

Puan verme �e�itlerinin �o�u normal da��l�ma ba�l� olarak ortaya ��kar�lm��t�r. De�i�ik puanlama y�ntemleri aras�nda y�zbirliklerle s�ralamalar, normal e�ri e�itliklikleri, staninler, z puan� ve T-puanlamas� vb. say�labilir. Davran��sal bilimlerde kullan�lan bir�ok istatistiksel yordamlar puanlarin normal da��l�m g�sterdi�i varsay�m�na dayan�larak geli�tirilmi�tir. �rne�in �ok ki�iye uygulanan imtihan veya zeka testleri i�in bir �an e�risine dayanan not verilip imtihan veya test sonu�lar�n�n gruplanmas� veya s�ralanmas� imtihan veya test notlar�n�n normal da��l�m g�sterdi�i varsay�m�na dayand�r�l�r.

Normallik s�namalar�

Normallik s�namalar�, verilmi� bir veri dizisinin normal da��l�ma benzerli�inin incelenmesidir. Bu s�namalarda s�f�r hipoztez veri dizisinin normal da��l�ma benzer olmas�d�r. Bu nedenle normal olmayan veri i�in yeter derecede k��k bir p-de�eri (yani genellikle %0,05den veya 0,01den k��k) ortaya ��kacak ve s�f�r hipotez olan veri dizisinin normal da��l�ma benzerli�i hipotezinin ret edilmesine neden olacakt�r.

Kolmogorov-Smirnov s�namas�
Lilliefors s�namas�
Anderson-Darling s�namas�
Ryan-Joiner s�namas�
Shapiro-Wilk s�namas�
Normal olas�l�k g�sterimi (rankit g�sterimi)
Jarque-Bera s�namas�

Parametrelerin kestirimi

Parametrelerin maksimum olabilirlik kestirimi

Bir d��nce denemesi olarak, bir seri normal da��l�m i�in
http://upload.wikimedia.org/math/e/8/e/e8eacc087b64e56391a3b8ddf4216d77.png ifadesinin herbiri di�erinden ba��ms�z oldu�u d��n�ls�n. Herbir ifade beklentisi μ ve varyans� σ2>0 olan normal da��l�mlar g�stermektedir. �statistik�iler bu n rassal de�i�kenin g�z�mlenen de�erlerinin normal da��l�m g�steren bir anak�tleden ortaya ��kan bir n b�y�kl��de bir �rneklem oldu�unu kabul etmektedirler. Bu �rneklemden g�zlenen de�erlere dayanarak "anak�tle ortalamas�" μ ve "anak�tle standart sapmas�" kestirimcilerini bulmak arzu edilmektedir. Bu n say�daki ba��ms�z rassal de�i�ken i�in s�rekli ortak olas�l�k yo�unluk fonksiyonu ��yle verilir:

http://upload.wikimedia.org/math/1/e/f/1ef5fd09c4942300b6edf89167412ab6.png
μ ve σ fonksiyonlari olarak, X1, ..., Xn g�zlemlerine dayanan olabilirlilik fonksiyonu �udur:

http://upload.wikimedia.org/math/9/6/6/9661f489fcefc8c08551fadfa03f1108.png

Burada C>0 herhangi bir sabittir. Bunun genellikle X1,...,Xn de�i�kenlerine bile dayanarak ba�land�� kabul edilmektedir; ama hesaplanan parametrelere g�re log-olabilirlilik fonksiyonlarin k�sm� t�revleri bulundu�u zaman sabit olduklar� i�in elimine edilmektedirler.
Maksimum olabilirlilik y�ntemine g�re olabilirlilik fonksiyonu maksimize eden μ ve σ de�erleri, teorik anak�tle parametreleri olan μ ve σ i�in kestirim olduklar� kabul edilmektedir. Genel olarak iki de�i�kenli bir fonksiyonun maksimum de�erini hesaplanmaktayken k�sm� t�revler kullan�l�r. Ancak burada maksimum hesaplama daha kolayla�maktad�r ��nk� olabilirlilik fonksiyonunu maksimize eden μ de�eri bulunmakta iken σ anak�tle parametresi olan σya ba��ml� olmayan bir sabittir. Bundan dolay� ilk olarak μ de�eri bulunur; bu de�er olabilirlilik fonsiyonundaki μ de�i�keni yerine konulur ve bu yeni tek de�i�kenli fonksiyonu maksimize eden σ de�eri bulunur.
Olabilirlilik fonksiyonunun �u toplam ifadesinin bir azalan fonksiyonu oldu�u bilinmektedir:

http://upload.wikimedia.org/math/d/c/d/dcdb239464bff0c2e7116c297542fd6f.png

Bu toplam ifadeyi minimize edecek μ de�erini bulmak istenmektedir. �u ifade

http://upload.wikimedia.org/math/0/9/9/099f51351a0745068723b888b290803c.png

n g�zleme dayanan bir "�rneklem ortalamas�d�r. B�ylece

http://upload.wikimedia.org/math/0/e/3/0e373807170105a24cfaaa4742d92c46.png
Bu ifadede so terim μ de�i�kenine ba�l�d�r ve bu terimin minimum de�eri ��yle bulunur:

http://upload.wikimedia.org/math/c/7/d/c7d6e35b614f7bd59400bddb5dbc7c5a.png ��te bu ifade n say�da X1,....,Xn g�zlem kullanarak μnun maksimum olabilirlilik
kestirimidir. Sonu� olarak

http://upload.wikimedia.org/math/1/8/5/185f223ff69fcf06c2d9a472cfcb8d32.png

elde edilir. Olabilirlilik fonksiyonunun logaritmasi olan log-olabilirlilik fonksiyonu matematik notasyona g�re k��k harflerle (yani http://upload.wikimedia.org/math/3/3/4/334ce9eb79df1178b0380461c9eaa09e.png, yaz�lmas� al��lagelmi�tir.

http://upload.wikimedia.org/math/c/a/0/ca0731f310bc4a80c60ae04c46bf97df.png

Sonra

http://upload.wikimedia.org/math/3/b/3/3b349f10f4c462a40cc60c7020090276.png

olur. Bu t�rev, σ2 de�eri 0 ile

http://upload.wikimedia.org/math/f/6/1/f6162edb59042594e6066c09affff7bb.png

de�eri aras�nda ise pozitif olur; bu de�ere e�itse t�rev s�f�ra e�ittir; bu de�erden b�y�kse t�rev negatif olur.
Bu analizin sonucu olarak bu bulunan art�klar n g�zlemli �rneklem i�in σ2 bir maksimum olabilirlilik kestirimidir ve bunun kare k�k� σ i�in maksimum olabilirlilik kestirimdir. Bu kestirim yani http://upload.wikimedia.org/math/8/d/e/8dea9ba052f2685db2327ec200daa5b8.png bir yanl� kestirimdir. Al��lagelen yans�z kestirim n/(n − 1) �arp� bu kestirimdir. Ancak yanl� maksimum olabilirlik kestirimi i�in ortalama hata karesi yans�z kestirimden daha k��kt�r.

Parametrelerin yans�z kestirimi

Bir �rneklemden elde edilen anak�tle ortalamas�n�n maksimum olabilirlilik kestirimcisi, anak�tle ortalamas�n�n yans�z kestirimcisi olarak bilinir. Ayn� �ekilde anak�tle ortalamas� �nsel olarak bilinirse, varyans i�in maksimum olabilirlilik kestrimcisi de yans�z kestirimcidir. Ancak e�er elimizde bir �rneklem bulunuyorsa ama bu �rneklemin geldi�i anak�tlenin ne ortalamas�n�n ne de varyans�n�n de�erlerin bilmiyorsak, anak�tle varyans�n�n yans�z kestrimicisi, σ2, ��yle ifade edilir:

http://upload.wikimedia.org/math/0/d/e/0debce5d084f617b4cd82f2278eef7fd.png

E�er t�m Xi birbirinden ba��ms�z ve ayn� �ekilde da��l�m g�sterirlerse, bu "�rneklem varyans�" bir Gamma da��l�m� g�sterir:

http://upload.wikimedia.org/math/9/b/a/9ba72155ecbf48109d97b91641e07dd7.png

Kaynak