DÝK ÜÇGEN
DÝK AÇILI ÜÇGEN
Bir açýsýnýn ölçüsü 90° olan üçgene dik üçgen denir. Dik üçgende 90° nin karþýsýndaki kenara hipotenüs, diðer kenarlara dik kenar adý verilir. Hipotenüs üçgenin daima en uzun kenarýdýr. þekilde, m(A) = 90° [BC] kenarý hipotenüs
[AB] ve [AC] kenarlarý dik kenarlardýr.


DÝK ÜÇGENÝN ÇEVRESÝNÝN HESAPLAMASI
ÇEVRE (P)= A+B+C

DÝK ÜÇGENÝN ALANIN HESAPLAMASI

ALAN

BAKINIZ
Dik Üçgen (Vikipedi)
Üçgen

• DÝK ÜÇGEN

Bir açýsýnýn ölçüsü 90° olan üçgene dik üçgen denir. Dik üçgende 90° nin karþýsýndaki kenara hipotenüs, diðer kenarlara dik kenar adý verilir. Hipotenüs üçgenin daima en uzun kenarýdýr. þekilde, m A) = 90°
[BC] kenarý hipotenüs
[AB] ve [AC] kenarlarý dik kenarlardýr.

• PÝSAGOR BAÐINTISI

Dik üçgende dik kenarlarýn uzunluklarýnýn kareleri toplamý hipotenüsün uzunluðunun karesine eþittir. ABC üçgeninde m A)= 90°
a2=b2+c2

• ÖZEL DÝK ÜÇGENLER

1. (3 - 4 - 5) Üçgeni
Kenar uzunluklarý (3 - 4 - 5) sayýlarý veya bunlarýn katý olan bütün üçgenler dik üçgendir. (6 - 8 - 10), (9 - 12 - 15), … gibi


2. (5 - 12 - 13) Üçgeni
Kenar uzunluklarý (5 - 12 - 13) sayýlarý ve bunlarýn katý olan bütün üçgenler dik üçgenlerdir. (10 - 24 - 26), (15 - 36 - 39), … gibi.

• Kenar uzunluklarý 8, 15, 17 sayýlarý ile orantýlý olan üçgenler dik üçgenlerdir.

• Kenar uzunluklarý 7, 24, 25 sayýlarý ile orantýlý olan üçgenler dik üçgenlerdir.

3. Ýkizkenar dik üçgen
ABC dik üçgen |AB| = |BC| = a |AC| = aÖ2
m(A) = m(C) = 45° Ýkizkenar dik üçgende hipotenüs dik kenarlarýn Ö2 katýdýr.

4. (30° – 60° – 90°) Üçgeni
ABC eþkenar üçgeni yükseklikle ikiye bölündüðünde ABH ve ACH (30° - 60° - 90°) üçgenleri elde edilir.
|AB| = |AC| = a
|BH| = |HC| =
pisagordan


(30° - 60° - 90°) dik üçgeninde; 30°'nin karþýsýndaki kenar hipotenüsün yarýsýna eþittir. 60° nin karþýsýndaki kenar,
30° nin karþýsýndaki kenarýn Ö3 katýdýr.


5. (30° - 30° - 120°) Üçgeni
(30° - 30° - 120°) üçgeninde 30° lik açýlarýn karþýlarýndaki kenarlara a dersek 120° lik açýnýn karþýsýndaki kenar aÖ3 olur.


6. (15° - 75° - 90°) Üçgeni
(15° - 75° - 90°) üçgeninde hipotenüse ait yükseklik |AH| = h dersek, hipotenüs
|BC| = 4h olur. Hipotenüs kendisine ait yüksekliðin dört katýdýr.

• ÖKLÝT BAÐINTILARI

Dik üçgenlerde hipotenüse ait yüksekliðin verildiði durumlarda benzerlikten kaynaklanan öklit baðýntýlarý kullanýlýr.


1. Yüksekliðin hipotenüste ayýrdýðý parçalarýn çarpýmý yüksekliðin karesine eþittir.
h2 = p.k 2. b2 = k.a c2 = p.a
3. ABC üçgeninin alanýný iki farklý þekilde yazýp eþitlediðimizde

• Yukarýda anlatýlan öklit baðýntýlarý kullanýlarak elde edilir.
  
  Genellikle bu öklit baðýntýsýný kullanmak yerine, yukarýdaki öklit baðýntýlarý ve pisagor baðýntýsýný kullanarak çözüme gideriz.

• ÝKÝZKENAR ÜÇGEN

Ýkizkenar üçgenin tepe açýsýndan tabanýna çizilen yükseklik, hem açýortay, hem de kenarortaydýr.


1. Bir üçgende, açýortay ayný zamanda yükseklik ise bu üçgen ikizkenar üçgendir.
|AB| = |AC|
|BH| = |HC|
m(B) = m(C)


2. Bir üçgende, açýortay ayný zamanda kenarortay ise bu üçgen ikizkenar üçgendir.
|AB| = |AC|,
[AH] ^ [BC]
m(B) = m(C)


3. Bir üçgende, yükseklik ayný zamanda kenarortay ise bu üçgen ikizkenar üçgendir.
|AB| = |AC|
m(BAH) = m(HAC)
m(B) = m(C)

Ýkizkenar üçgende açýortay, kenarortay ve yüksekliðin ayný olmasý birçok yerde karþýmýza çýktýðýndan çok iyi bilinmesi gereken bir özelliktir.

4. Ýkizkenar üçgende ikizkenara ait yükseklikler eþittir. Bu durumda yüksekliklerin kesim noktasýnýn ayýrdýðý parçalarda eþit olur.


5. Ýkizkenar üçgende ikizkenara ait kenarortaylar ve kenarortaylarýn kesim noktasýnýn ayýrdýðý parçalar da birbirine eþittir.


6. Ýkizkenar üçgende eþit açýlara ait açýortaylar da eþittir. Açýortaylar birbirini ayný oranda bölerler.

7. Ýkizkenar üçgende ikiz olmayan kenar üzerindeki herhangi bir noktadan ikiz kenarlara çizilen dikmelerin toplamý, ikizkenarlara ait yüksekliði verir.
|AB| = |AC| Þ |LC| = |HP| + |KP|


8. Ýkizkenar üçgende tabandan ikiz kenarlara çizilen paralellerin toplamý, ikiz kenarlarýn uzunluðuna eþittir.


EÞKENAR ÜÇGEN
1. Eþkenar üçgende bütün açýortay, kenarortay yükseklikler çakýþýk ve hepsinin uzunluklarý eþittir.
nA = nB = nC = Va = Vb = Vc = ha = hb = hc


2. Eþkenar üçgenin bir kenarýna a dersek yük seklik Bu durumda eþkenar üçgenin alaný

• yükseklik cinsinden alan deðeri

Alan(ABC) =

3. Eþkenar üçgenin içindeki herhangi bir noktadan kenarlara çizilen dik uzunluklarýn toplamý, eþkenar üçgene ait yüksekliði verir. Bir kenarý a olan eþkenar üçgende;



4. Eþkenar üçgenin içindeki herhangi bir noktadan kenarlara çizilen paralellerin toplamý bir kenar uzunluðuna eþittir.


Bir kenarý a olan ABC eþkenar üçgeninde

22,5 67,5 90 üçgeninin ve 15-75-90 üçgeninin özelliklerini
Açýlarýndan ötürü özel dik üçgenlerdir ve özellikleri þöyledir:

1. 22,5-67,5-90 Üçgeni
Bu üçgende ise 22,5°'lik açýnýn karþýsýndaki dik kenar 1 cm ise, 67,5 cm'lik kenarýn karþýsýndaki kenar https://www.msxlabs.org/forum/attachments/21589d1272216763-dik-ucgen-vikipedi-d2bd03008ff3b16980c465b.png cm olur. Ýspatý ise 67,5°'lik açýyý 45° ve 22,5° þeklinde parçalayarak yapýlýr. Bu þekilde altta oluþan ikizkenar dik üçgende alt dik kenar 1 cm olursa hipotenüs https://www.msxlabs.org/forum/attachments/21585d1272216726-dik-ucgen-vikipedi-ef5590434a387b3c4427e09.png cm olur. Yukarýda oluþacak ikizkenar üçgende de parçalanan kenarýn diðer üst tarafý hipotenüse eþit olur. Alt parçasý da ikizkenar dik üçgenden dolayý 1 cm bulunacaðýndan https://www.msxlabs.org/forum/attachment.php?attachmentid=21589&d=1272216763 elde edilir.

2. 15-75-90 Üçgeni
Bu üçgende 15°'lik açýnýn karþýsýndaki kenar 1 cm ise 75°'lik kenarýn karþýsýndaki kenar https://www.msxlabs.org/forum/attachments/21590d1272216773-dik-ucgen-vikipedi-5b94c53425824c1fb88a619.png cm olur. Ýspatý ise 22,5-67,5-90 üçgenindeki gibidir. Tek farký, 75°'lik açýnýn 15° ve 60°'lik açýlara bölünmesidir.
Ayrýca bu üçgende hipotenüse indirilen dikme, hipotenüsün 1/4 katýdýr.
Kenarlara göre özel dik üçgenler genelde okullarda soru yazýlýrken iþlem kolaylýðý saðlamak amacýyla kullanýlýr. Bazý özel üçgenler þunlardýr:

• 3 : 4 : 5
• 6 : 8 : 10
• 5 : 12 : 13
• 8 : 15 : 17
• 7 : 24 : 25

Bu üçgenlerin kenar uzunluklarý ayný oranda artýrýlarak yine uygun dik üçgenler elde edilebilir (örneðin, 3-4-5 ve 6-8-10).

Hipotenüs, 90 derecelik açýnýn karþýsýndaki kenardýr.
Açýlarý 30, 60 ve 90 derece olan bir dik üçgende 30 dereceli açýnýn karþýsýndaki kenar uzunluk olarak hipotenüsün yarýsýna, 60 derecelik açýnýn karþýsýndaki kenar ise: http://upload.wikimedia.org/math/3/e/2/3e2d46af3fb8754624504f3a68ba92f6.png katýna eþittir
http://upload.wikimedia.org/math/d/c/2/dc2c1c55d1fd18bc0084c64f61dfbbb4.png http://upload.wikimedia.org/math/4/e/c/4ecedcb707937bcd8b4726451e46308b.png

Pisagor Teoremi ve Dik Üçgen
 

Kenar uzunluklarý a, b ve c olan bir dik üçgenden farklý açýlarla döndürülerek elde edilen benzer üç dik üçgenin birleþtirilmesiyle oluþan þekil bir karedir.Bu karenin bir kenar uzunluðu, kareyi oluþturan dik üçgenin en uzun kenarý olan hipotenüse eþittir.Hipotenüs uzunluðu c ise bu karenin alaný (c)2 olmuþ olur.Oluþan karenin toplam alaný 4 dik üçgenin alanlarý ile içte kalan küçük karenin alaný toplamýna eþittir ve dik üçgenlerin birleþtirilmesiyle oluþan küçük karenin bir kenar uzunluðu (b-a) olacaktýr!

(c)2=(b-a)2+4.1/2.ab => denkleminin çözümünden;

(c)2=(b)2 -2ab+(a)2+2ab=> (c)2=(a)2+(b)2 olan pisagor teoremine ulaþýlýr!

*Dik üçgenin a, b ve c uzunluklarýna deðerler vererek yukarýda tarif edilen þekil üzerinde ýspatýn doðruluðunu görebilirsiniz!

Bir açýsý 90 derece, diðer iki açýsý da 90 dereceden küçük olan (dar açý) üçgen dik üçgendir.Dik üçgenin dar açýlarýnýn ölçüleri toplamýnýn 90 dereceye eþit olmasý gerekir!

Örnek=> 15,75,90 => 30,60,90 =>45,45,90 (ikizkenar dik üçgen)...vs gibi!