Z+ : Pozitif Tamsayılar Kümesi

Z- : Negatif Tamsayılar Kümesi

Z : Tamsayılar Kümesi

Z = Z- U {0} U Z+

Z = { ... , -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ... }

TAMSAYILARDA TOPLAMA İŞLEMİ

İşaretleri aynı olan tamsayılar için toplama işlemi yapılır. İşaret olarak ortak işaret ve sayısal sonuç olarak da sayıların işaretsiz toplamı alınır.

Örnek: 2 + 4 + 3 = + 9 = 9

Örnek: - 5 - 7 - 2 - 4 = - 18

TAMSAYILARDA ÇIKARMA İŞLEMİ

İşaretleri farklı olan tamsayılar için çıkarma işlemi yapılır. İşaret olarak büyük sayının işareti alınır ve sayısal değer olarak da büyük sayıdan küçük sayı çıkarılır.

Örnek: 4 - 3 = + 1 = 1

Örnek: 3 - 4 = - 1

İkidan fazla sayı sözkonusu olduğunda, çıkarma işlemi şöyle yapılır:

Aynı işaretli sayılar kendi aralarında toplanır ve daha sonra da çıkarma işlemi uygulanır.

Örnek: 3 - 4 + 5 - 2 - 7 = ( 3 + 5 ) - ( 4 + 2 + 7) = 8 - 13 = - 5

TAMSAYILARDA ÇARPMA İŞLEMİ

İki tamsayının çarpımında şu kurallar geçerlidir:

1. İşaretler aynı ise, sonuç pozitiftir. Yani,

(+) . (+) = (+)

(-) . (-) = (+)

2. İşaretler farklı ise, sonuç negatiftir. Yani,

(-) . (+) = (-)

(+) . (-) = (-)

İki veya ikiden fazla tamsayının çarpımında genel kural:

İşareti belirleyen (-) işaretlerinin sayısıdır:

1. (-) işaretlerinin sayısı, tek sayıda ise, sonuç (-) dir.

2. (-) işaretlerinin sayısı, çift sayıda ise, sonuç (+) dır.

Örnek: 2 . (+4) = + 8 = 8

Örnek: -2 . (-4) = + 8 = 8

Örnek: -2 . (+4) = - 8

Örnek: 2 . (-4) = - 8

Örnek: 2 . (-3) . 5 . (-2) = + 60 = 60

Örnek: -2 . (-3) . (-5) = - 30

TAMSAYILARDA BÖLME İŞLEMİ

Bölme işleminde işaret kuralı, çarpma işlemiyle aynıdır. Farkı ise, sayıların bölümünün alınmasıdır. Bölme işlemi (/), ( __ ) veya ( işaretlerinden biriyle gösterilebilir.

Örnek: 4/2 = 4 : 2 = +2 =2

Örnek: 4/-2 = 4 : -2 = -2

Örnek: -4/2 = -4 : 2 = -2

Örnek: -4/-2 = -4 : -2 = +2 = 2

TAMSAYILARDA ÜS ALMA İŞLEMİ

a > 0 tamsayı ve n bir sayma sayısı olmak üzere,

1. Negatif tamsayıların üssü çift ise, sonuç pozitif olur. Yani,

(-a)2n = (-)2n.a2n = + a2n

2. Negatif tamsayıların üssü tek ise, sonuç negatiftir.

(-a)2n+1 = (-)2n+1 . a2n+1 = - a2n+1

3. Pozitif tamsayıların üssü ne olursa olsun, sonuç pozitiftir.

a2n = a2n , a2n+1 = a2n+1

- a2n = - a2n , - a2n+1 = - a2n+1

Örnek: (-2)4 = (-)4 . 24 = + 24 = + 2.2.2.2 = + 16 = 16

Örnek: (-2)3 = (-)3 . 23 = - 23 = - 2.2.2 = - 8

Örnek: - 24 = - 2.2.2.2 = - 16

Örnek: - 23 = - 2.2.2 = - 8

UYARI: Tamsayılarla aritmetiksel işlemleri yaparken, işaret kurallarından önce işlemlerdeki öncelik sırasını da gözönüne almalıyız. Yani, Konu 1' i tekrar gözden geçiriniz. Konu 1, aritmetiksel işlemlerde öncelik sırasıyla ilgilidir.

ARDIŞIK İŞARETLERLE İŞLEMLER

Ardışık işaretlerle işlem yaparken, ardışık işaretler tek işarete indirgenir. Bu indirgeme işlemini yaparken, işaretlerin çarpım kuralı uygulanır.

Örnek: -(-(-(+5))) = - 5 dir. Çünkü, negatif işaretlerin sayısı tek sayıdadır. Yani, 3 tanedir. Bu nedenle, işaret (-) olmalıdır.

Örnek: +(-(-4)) = + 4 = 4 dür. Çünkü, negatif işaretlerin sayısı çift sayıdadır. Yani, 2 tanedir. Bu nedenle, işaret (+) olmalıdır.

ÖRNEK PROBLEMLER

Örnek 1: [ 3 - ( - 5 - ( - 4))] . [ 10 - ( - 2)3] = ?

Çözüm:

= [ 3-(-5+4)] . [10-(-8)]
= [3-(-1)] . [10+8]
= [3+1] . 18
= 4 . 18
= 72

Örnek 2: (-2)3 -(-2)5 = ?

Çözüm:

(-2)3 -(-2)5 = -23 -(-25) = -8 -(-32) = -8+32 = +24 = 24

Örnek 3: x - [(5x - 4y) - (-2x + 3y)] = ?

Çözüm:

= x-[5x-4y+2x-3y] = x-(7x-7y) = x-7x+7y = -6x+7y

Örnek 4: (-2)2 . (-22) + (-2)4 = ?

Çözüm:

= (-2)2 . (-22) + (-2)4 = 4 . (-4) + 16 = -16+16 = 0

Örnek 5: 10 . [(12.3):-6] - (25-32)2 . 4 = ?

Çözüm:

= 10 . [(12.3):-6] - (25-32)2 . 4 = 10 . [36:-6] - (-7)2 . 4

= 10 . (-6) - 49 . 4 = -60 - 196 = -256

Örnek 6: a4.c = -6, b.c4 = - 9, a.b = 20 ise, (a,b,c) üçlüsünün işaretlerini tespit ediniz.

Çözüm:

a4.c = -6 olduğundan, a4 negatif olamayacağından, c kesinlikle negatiftir. Yani, c < 0 dır.

b.c4 = - 9 olduğundan, c4 negatif olamayacağından, b kesinlikle negatiftir. Yani, b < 0 dır.

a.b = 20 ve b negatif olduğundan, a kesinlikle negatif olmalıdır.

Dolayısıyla, (a,b,c) üçlüsünün işaretleri (-,-,-) olur.

Örnek 7: x2.y9 < 0, (x11.z7)/y4 > 0, x12/z5 < 0 ise, (x,y,z) üçlüsünün işaretlerini tespit ediniz.

Çözüm:

x2.y9 < 0 olduğundan, x2 negatif olamayacağı için, y negatif olmalıdır.

(x11.z7)/y4 > 0 ve y4 pozitif olduğundan, hem x in hem de z nin ya pozitif ya da negatif olması gerekir.

x12/z5 < 0 olduğundan, x12 pozitif olacağından z nin negatif olması gerekir.

O halde, x in de negatif olması gerekir.

Dolayısıyla, (x,y,z) üçlüsünün işaretleri (-,-,-) olur.

Örnek 8: a < b < 0 < c < d olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima negatiftir?
a)a.b b)c.d c)(d-a)/c d)(c-d)/a e)(d-c)/(b-a)

Çözüm:

a) a ve b negatif olduğundan, a.b = (-).(-) = + olur.

b) c ve d pozitif olduğundan, c.d = (+).(+) = + olur.

c) d pozitif, a negatif ve c pozitif olduğundan, (d-a) = (+) - (-) = (+) + (+) = (+) olur. Dolayısıyla, (d-a)/c = (+)/(+) = (+) olur.

d) c ve d, c < d olacak şekilde pozitif sayılar olduğundan, (c-d) = (+) - (+) = (-) olur. Dolayısıyla, (c-d)/a = (-)/(-) = (+) olur.

e) d > c olduğundan, (d-c) = (+) - (+) = (+) dir. b > a olduğundan, (b-a) = (-) - (-) = (-) + (+) = (-) olur. Dolayısıyla, (d-c)/(b-a) = (+)/(-) = (-) olur.

Bu nedenle, cevap (e) şıkkı olmalıdır.

Örnek 9: a, b, c tamsayılar olmak üzere, a.b = -5, b.c = -6 ve a.b.c < 0 ise,

2a -7b -c = ?

Çözüm:

a.b = -5 ve b.c = -6 olduğuna göre, b nin mutlaka -1 olması gerekir. Bu takdirde,

a = 5 ve c= 6 olur ve a.b.c < 0 şartını da sağlar. Dolayısıyla,

2a-7b-c = 2.5-7.(-1)-6 = 10+7-6 = 17-6 = 11 olur.

Örnek 10: x < y < 0 < z ise, aşağıdakilerden hangisi daima negatiftir ?
a) y-x b) z-x c) z-y d) (x-y)2 e) x+y-z

Çözüm:

a) y = -1 ve x = -2 olsun. y-x = -1-(-2) = -1+2 = +1 = 1 olur. Yani, pozitiftir.

b) z = 1 ve x = -2 olsun. z-x = 1-(-2) = 1+2 = 3 olur. Yani, pozitiftir.

c) z = 1 ve y = -2 olsun. z-y = 1-(-2) = 1+2 = 3 olur. Yani, pozitiftir.

d) (x - y)2 ifadesi daima pozitiftir. Çünkü, üssü çifttir.

e) x = -2, y = -1 ve z = 1 olsun. x+y-z = -2+(-1)-1 = -2-1-1 = -4 olur. Daima negatif olur.

Dolayısıyla, doğru seçenek (e) şıkkıdır.