Arama

Arıların petekleri neden altıgen şeklindedir? - Sayfa 3

En İyi Cevap Var Güncelleme: 1 Ocak 2014 Gösterim: 83.593 Cevap: 48
Misafir - avatarı
Misafir
Ziyaretçi
3 Ocak 2010       Mesaj #21
Misafir - avatarı
Ziyaretçi
altıgen ve altıgenin özellikleri nelerdir?
Sponsorlu Bağlantılar
_KleopatrA_ - avatarı
_KleopatrA_
Ziyaretçi
3 Ocak 2010       Mesaj #22
_KleopatrA_ - avatarı
Ziyaretçi
Alıntı
Misafir adlı kullanıcıdan alıntı

altıgen ve altıgenin özellikleri nelerdir?

Altıgen altı köşesi,altı açısı ve altı kenarı olan bir çokgendir. Dış açıları toplamı 360 derecedir. Düzgün altıgen tüm açıları eş ve tüm kenar uzunlukları birbirine eş olan çokgendir. Düzgün altıgen birbirine eş 6 adet eşkenar üçgenden oluşur. Düzgün altıgenin bir iç açısı 120 derece olup, bir dış açısı da 60 derecedir.
Sponsorlu Bağlantılar
Misafir - avatarı
Misafir
Ziyaretçi
4 Ocak 2010       Mesaj #23
Misafir - avatarı
Ziyaretçi
Alıntı

ari petegi kare olsa ne olurdu

ari petegi kare olsaydı ne olurdu
Misafir - avatarı
Misafir
Ziyaretçi
4 Ocak 2010       Mesaj #24
Misafir - avatarı
Ziyaretçi
arkadaşlar arılar 4-5gen kullanmamalarınınnedeni arasında boşluk kalmayacak şekide olabilir arılarda düz görür altıgen falan değil.en az balmumu gereken şekinn altıgendir.
Misafir - avatarı
Misafir
Ziyaretçi
20 Ocak 2010       Mesaj #25
Misafir - avatarı
Ziyaretçi
arilar ve cokgenler
_KleopatrA_ - avatarı
_KleopatrA_
Ziyaretçi
20 Ocak 2010       Mesaj #26
_KleopatrA_ - avatarı
Ziyaretçi
Alıntı
Blue Blood adlı kullanıcıdan alıntı

Bilindiği gibi balarıları ihtiyaçlarından kat kat fazla bal üretirler ve bunları peteklerde saklarlar Peteğin altıgen oluşu da herkes tarafından bilinen bir özelliktir Peki arıların neden sekizgen, veya beşgen gibi geometrik şekillerde petekler değil de özellikle altıgen petekler inşa ettiğini hiç düşündünüz mü?


Bu sorunun cevabını araştıran matematikçiler ilginç bir sonuca vardılar: "Bir alanın maksimum kullanımı için en uygun geometrik şekil altıgendir" Altıgen hücre, en çok miktarda bal depolarken, inşası için en az balmumu gerektiren şekildir Yani arı, olabilecek en uygun şekli kullanmaktadır



Peteğin inşasında kullanılan yöntem ise çok şaşırtıcıdır: Arılar petek inşaatına iki-üç ayrı yerden başlarlar ve aynı anda iki-üç dizi şeklinde peteği örerler Yani çok sayıda arı, değişik yerlerden başlayarak, aynı ölçülerde altıgenler yapıp, bunları birbirine ekleyerek peteği örer ve en sonunda ortada buluşurlar Altıgenlerin birleşme yerleri o kadar ustaca yapılmıştır ki görünürde sonradan eklendiklerine dair hiçbir iz yoktur

ALINTIDIR

Alıntı
SEDEPH adlı kullanıcıdan alıntı

Bal Peteğindeki Matematik

bal

* Altıgenin, eşkenar üçgen ve kareye nazaran avantajlı tarafları'


* Altıgen bir prizma şeklinde olan peteğin, açık ucunu kapatmak için kullanılacak balmumunun israf edilmemesi için, nasıl bir geometri uygulanmalıdır?




Bal peteğinin enteresan mimarisi tarih boyunca insanların ilgisini çekmiştir. Yan yana altıgenlerden oluşan bu yapı, son derece hassas olup ortalama duvar kalınlıkları 0,1 mm'dir. Bu ortalama değerden sapma ise, en fazla 0,002 mm kadardır. Peteklerin inşasında uyulan geometri kaidelerinin ne derece ideal olduğunu anlayabilmek için, matematikî bir bakış açısına sahip olmak gerekir.
Daire, belli bir sabit alanı çevreleyen en kısa kenar uzunluğuna sahip geometrik şekildir. Meselâ alanı 10 cm2 olan kare ve dairenin çevre uzunlukları karşılaştırıldığında, dairenin çevresinin daha kısa olduğu görülür. Ancak bal peteğinin inşasında durum tam olarak böyle değildir. Burada bal peteğinin geniş çerçevesi, eşit ve daha küçük alanlara bölünecektir ve bölme işleminde en az çevre uzunluğuna sahip şekil kullanılacaktır. Çerçeveyi, eşit alanlara sahip küçük daireler şeklindeki peteklere bölmek istersek, yukarıda ifade edildiği gibi en kısa kenar özelliği sağlanacak, fakat dairelerin kenarları arasında kalan boşluklar için daha fazla mum harcanmış olacaktır.
Halbuki bu problemi, en kısa kenar uzunluğu ve en az malzemeyle (mum) çözmek için geometri prensiplerine müracaat ettiğimizde, peteklerin bölünmesinde çokgenlerin kullanılması gerektiği görülecektir. Kenar sayısı n olan aynı alana sahip çokgenler düşünelim. Bunların içerisinde en kısa çevre uzunluğuna sahip olanı düzgün n-gendir. Düzgün ile kastedilen, bütün kenarları ve iç açıları eşit olandır. Bu tip bir çokgen, her zaman bir dairenin içine çizilebilir ve çokgenin köşeleri çemberin çevresi üzerindedir. Böyle bir yapının ideal daire şekline yakın olmasından dolayı çevre uzunluğu en az olmaktadır. Meselâ eşit alanlı üçgenler içerisinde en kısa çevre uzunluğu eşkenar üçgende, dörtgenler arasında en kısa çevre uzunluğu ise karede elde edilir. Benzer şekilde beşgen ve altıgenler kendi aralarında kıyaslanırsa, en kısa çevre uzunluğu düzgün beşgen ve altıgende elde edilebilir.
Akla gelebilecek ilk soru, belli bir alanı bölerken hangi düzgün çokgeni kullanmamız gerektiğidir. Bir daire ve içerisine çizilmiş n kenarlı bir düzgün çokgenin bir kısmı Şekil 1'de gösterilmiştir. Şekilden de görülebileceği gibi çokgenin bir iç açısı 180-360/n derecedir. Verilen bir geniş alanı küçük alanlara bölmek istediğimizde, komşu çokgenlerin birbirlerine tam oturması ve aralarında boşluk kalmaması gerekir. Bunun olabilmesi için birbirine yaslanan komşu çokgen köşelerine ait iç açıları toplamı 360 derece olmalıdır (Şekil 2). Başka bir ifadeyle bir iç açının tam sayı bir katı 360 derece olmalıdır. N komşu iç açıların adedini temsil etmek üzere, bu durumda aşağıdaki denklemi yazabiliriz (N tamsayıdır):
N (180 - 360 / n ) = 360
Buradan N çözülürse
N = 2n / (n-2)= 2 + 4 / (n-2)
ifadesi elde edilir. Bulmak istediğimiz, hangi kenar sayısı n için, N değeri tamsayı olmaktadır. Tamsayı değerleri, sadece n=3, 4 ve 6 için elde edebiliriz ve 6'dan büyük hiçbir rakam için tamsayı elde edilemez. Yani bir alanı boşluksuz bölmek istersek, ya üçgen, ya dörtgen veya altıgen kullanmalıyız. Kenar sayısı 6'dan fazla olan düzgün bir çokgen ile boşluksuz bölme mümkün değildir. Benzer şekilde düzgün beşgenler de uygun bir çözüm değildir. Şekil 3'te üç düzgün beşgenin yan yana getirilmesi ile 36O açılı boş bir alan ortaya çıkmıştır. Halbuki altıgenler boşluksuz yan yana getirilebilirler (Şekil 4).Ayrıca eşit alanlı üçgen, dörtgen ve altıgen birbiri ile karşılaştırıldığında, en az çizgi uzunluğu altıgende olmaktadır. Dolayısı ile en az balmumu sarfiyatı bu şekilde bölme kullanılarak elde edilebilir.
Matematikçiler ayrıca, kenarları doğru olmayan, eğri olan çokgenlerin daha iyi olup olmadığını da araştırdılar. Kenar eğri olunca, bir çokgende dışbükey şekil elde edilirken komşu çokgende ister istemez içbükey şekil elde edilmektedir. Dışbükey eğri ile elde edilen avantajı (daire parçasına daha fazla benzemesinden dolayı) içbükey eğriden gelen daha fazla dezavantaj yok etmekte ve net olarak bir kazanç elde edilememektedir. Michigan Üniversitesi'nden Thomas Hales 1999'da tartışmalara son noktayı koydu ve bir alanı eşit küçük alanlara ayırmak istediğimizde, en ideal şeklin düzgün altıgen olduğunu ispatladı. Her ne kadar altıgen şeklin, ideal bir şekil olduğu uzun zamandır belirtilse de, bunun sağlam bir matematik ispatı yapılamamıştı.
Şimdiye kadar probleme iki boyutlu baktık. Ancak bal peteği üç boyutlu bir cisim olup altıgen prizma şeklindedir. Altıgen prizma şeklindeki petekler iki tabaka hâlinde olup, bir uçları açık, diğer kapalı uçları ise sırt sırta yerleştirilmiştir (Şekil 5). Çerçeve yere dik gelecek şekilde yerleştirildiğinde, prizmalar yatay ile 13O'lik bir eğim açısı yapacak şekilde inşa edilmiş olurlar ve bu açı balın akmaması için yeterli olan en küçük açıdır. Acaba peteğin kapalı ucunda en az balmumu sarfiyatı için nasıl bir geometri olmalıdır? 1964'te matematikçi Fejes Toth, en ideal kapatmanın iki altıgen ve iki kare ile sağlanabileceğini gösterdi (Şekil 6a). Arılar ise biraz farklı olarak üç eşkenar dörtgenle kapatma yapmaktaydılar (Şekil 6b). Eşkenar dörtgenlerin iç açıları 70,5O ve 109,5O olup, üç eşkenar dörtgen çatısı şekli için en ideal matematik çözümü vermektedir. Görünüşte arıların uygulamasında iki altıgen ve iki kareye göre alanda % 0,035'lik çok küçük bir kayıp olmaktaydı. Ancak gözden kaçırılan bir nokta vardı, o da hesaplamalarda duvar kalınlığı son derece ince alınıyordu.
Araştırmacılar, Toth'un matematik modelini tecrübe etmek üzere sıvı hava köpüğü kullandılar. İki cam arasına, iki tabaka olacak şekilde 2 mm çaplı kabarcıklara sahip deterjan çözeltisi pompaladılar. Camlarla temas eden kabarcıklar altıgen yapılara dönüştü. Ortada iki tabakanın sınırında ise Toth'un öne sürdüğü iki altıgen ve iki kare şeklindeki yapı oluştu. Kabarcık duvarları biraz kalınlaştırıldığında ise, enteresan bir durum ortaya çıktı ve yapı birden arılarda olduğu gibi üç eşkenar dörtgen yapısına dönüştü.



Prof.Dr. M.Sami POLATÖZ








ALINTIDIR..

^bakınız
Alıntı

arilar ve cokgenler

Misafir - avatarı
Misafir
Ziyaretçi
31 Ocak 2010       Mesaj #27
Misafir - avatarı
Ziyaretçi
başka bir geometrik şekildeolsa idi ne olurdu
Misafir - avatarı
Misafir
Ziyaretçi
4 Şubat 2010       Mesaj #28
Misafir - avatarı
Ziyaretçi
niye kare değil
ozgun2 - avatarı
ozgun2
Ziyaretçi
6 Şubat 2010       Mesaj #29
ozgun2 - avatarı
Ziyaretçi
arı petekleri 4 kare - 6 eşkenar üçgen ya da 3 altıgen olabilir. bu şekilde aralarında boşluk kalmadan bir alanı kaplar. 1 kare - 1 eşkenar üçgen - 1 altıgende çevreler eşitken alanı en büyük olan altıgen oluyor
ama birleştiklerinde (4 kare 6 elkenar üçgen ve 3 altıgen) çevreleri eşitken alan en fazla karede oluyor.
Bunu anlamadım yardım eder misiniz?
ör:
Ç: 24 olsun
kareler 36
E.Üçgenler 24kök3
D.altıgenler 18kök3 lük
bir alana sahip oluyor
Misafir - avatarı
Misafir
Ziyaretçi
9 Şubat 2010       Mesaj #30
Misafir - avatarı
Ziyaretçi
geometrik olarak petkler kare şeklinde olsaydı bal miktarındaki değişim ne yönde olurdu?

Benzer Konular

29 Haziran 2017 / Mystic@L Zooloji
5 Mayıs 2011 / bahtiyar repçi Soru-Cevap
29 Mart 2015 / AnAn Cevaplanmış
22 Kasım 2010 / Misafir_Ece Taslak Konular
20 Ekim 2008 / Misafir Taslak Konular