Hoş geldiniz sayın ziyaretçi Neredeyim ben?!

Web sitemiz; forum, günlük, video ve sohbet bölümlerinin yanı sıra; Skype ile ilgili Türkçe teknik destek makaleleri, resim galerileri, geniş içerikli ansiklopedik bilgiler ve çeşitli soru-cevap konuları sunmaktadır. Daima faydalı olmayı ilke edinmiş sitemize sizin de katkıda bulunmanız bizi son derece memnun eder :) Üye olmak için tıklayınız...


Sohbet (Flash Chat) Forumda Ara

Özdeşlik nedir?

Bu konu Soru-Cevap forumunda Ziyaretçi tarafından 22 Aralık 2008 (19:12) tarihinde açılmıştır.FacebookFacebook'ta Paylaş
31753 kez görüntülenmiş, 13 cevap yazılmış ve son mesaj 2 Ocak 2012 (15:06) tarihinde gönderilmiştir.
  • 5 üzerinden 2.60  |  Oy Veren: 5      
Cevap Yaz Yeni Konu Aç
Bu konuyu arkadaşlarınızla paylaşın:    « Önceki Konu | Sonraki Konu »      Yazdırılabilir Sürümü GösterYazdırılabilir Sürümü Göster    AramaBu Konuda Ara  
Eski 22 Aralık 2008, 19:12

Özdeşlik nedir?

#1 (link)
Ziyaretçi
Ziyaretçi
Ziyaretçi - avatarı
Özdeşlik kavramı nedir
En iyi cevap Keten Prenses tarafından gönderildi

Özdeşlikler ve Binom Açılımı
Kısa kenar uzunluğu 2 birim, uzun kenar uzunluğu 5 birim olan bir dikdörtgenin
alanının 10 birim kare; kısa kenar uzunluğu 2,4 birim, uzun kenar uzunluğu 3 birim
olan bir dikdörtgenin alanının ise 7,2 birim kare olduğunu biliyoruz. Burada dik-
dörtgenlerin alanlarını bulmak için kısa kenar uzunlukları ile uzun kenar uzunluk-
larını çarpıyoruz. Neden böyle buluyoruz sorusuna cevap vermek konumuz ve
amacımız dışındadır. Aslında bu sorudan önce alan nedir sorusunu sormamız gere-
kir. Bu soru ise bugün fen fakültelerinin matematik bölümlerinin ancak son sınıfla-
rında öğretilen ve matematiğin bir dalı olan ölçüm kuramının doğmasına neden ol-
muştur. Dikdörtgenin alanının bulunmasıile ilgili "bir dikdörtgenin alanının kaç bi-
rim kare olduğunu bulmak için dikdörtgenin kısa kenar uzunluğu ile uzun kenar
uzunluğunu çarpıyoruz" ifadesini; A alan, x kısa kenar uzunluğu, y uzun kenar
uzunluğu olmak üzere A = x.y şeklinde kısaca ifade edebiliriz. Benzer şekilde yarı-
çapı r birim olan bir dairenin alanını da A = π r
2
şeklinde ifade edebiliriz. Alan
formülleri de dediğimiz bu ifadeler, genellik ve kısalık sağlamanın yanında işlem
yapma imkanı da sağlamaktadır. Örneğin
"bir dikdörtgende karşılıklı iki kenarın uzunlukları 1 birim artırılırsa dikdörtgenin alanı ne
kadar değişir?"
sorusuna kolayca cevap verebiliriz.

Kenar uzunluklarıx ve y birim olan bir dikdörtgenin x birim uzunluğundaki kenar-
larının uzunlukları 1 birim artırılsın. Bu durumda yeni dikdörtgenin kenar uzun-
lukları x +1 ile y birim olduğundan alanı (x + 1). y = x.y + y birim kare olur. Dikdört-
genin alanındaki değişme miktarı, son alan ile ilk alan arasındaki fark olduğundan,
bu fark x.y + y - x.y = y birim karedir. Buna göre bir dikdörtgenin ayrıtlarından biri-
sinin uzunluğu 1 birim artırılırsa dikdörtgenin alanındaki değişme miktarı, diğer
kenarın uzunluğu kadar birim karedir diyebiliriz.
Yukarıdaki soruya x,y gibi harfleri kullanmadan cevap vermeye çalışınız.
Bu tip sorulara kelimelerle, sözlerle cevap vermek genellikle kolay değildir. Keli-
meler, sözler yerine harfleri ve sembolleri kullandığımızda bu tür sorulara daha ko-
lay cevap verebiliriz. Harfler ve semboller içeren ifadelere cebirsel ifadeler diyece-
ğiz.
Örneğin,
xy, πr
2
, 2x + 5 , 3x
2
- 4x +1,
şeklindeki ifadeler birer cebirsel ifadedir. Buna göre, harfler ve sayılarla ilgili topla-
ma, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinin yanında kuvvet alma, kök alma gibi
işlemlerden bazılarını veya hepsini içeren ifadelere cebirsel ifade, ifadelerde bu-
lunan ve herhangi bir gerçel sayıyı temsil eden x,y,r,..,t gibi harflere de değişken
veya bilinmeyen diyoruz. Cebirsel ifadelerde değişkenler yerine sayılar yazılıp
gerekli işlemler yapılarak ifadenin sayısal değeri bulunur. Örneğin 3x
2
- 4x +1 ifade-
sinin x = -2 için sayısal değeri 3(-2)
2
- 4(-2) + 1 = 12 + 8 +1 = 21 dir.
İki cebirsel ifade değişkenlerin her değeri için aynı sayısal değeri alıyorsa bu iki
ifadeye özdeştir diyoruz. Örneğin x
2
- 1 ile (x - 1)(x + 1) ifadesini ele alalım. İkinci
ifadedeki çarpma işlemini ve gerekli kısaltmaları yaparsak,
(x -1)(x + 1)= x.x + x.1 - 1.x -1.1 = x
2
- 1
buluruz. Dolayısıyla her x gerçel sayısı için
x
2
- 1 = (x - 1)(x + 1)
dır. Bu nedenle bu iki ifade özdeştir diyoruz.
Bir problemde bir ifade yerine onun özdeşi alınabilir.
İki ifadenin özdeşliği ≡ işareti ile ifade edilirse de sıkça kullanılan özdeşliklerde bu
işaret yerine = işareti de kullanılmakta hatta tercih edilmektedir.

?
x
2
+ 1,
x + 1
x
2
+ 1
, 3x
2
- y
2
+ 2, x
2
+ y
3
3
,
1
2
gt
2

x + y ifadesinin pozitif tam kuvvetleriyle ilgili özdeşlikler sıkça kullanılmaktadır.
Şimdi bu özdeşlikleri ele alalım.
(x + y)
2
= (x + y) (x + y) = x.x + x.y + y.x + y.y = x
2
+ 2xy + y
2
olduğundan
dir.
x ve y pozitif gerçel sayı olduğunda bu özdeşliğin (eşitliğin) doğruluğunu geomet-
rik olarak da görmek mümkündür. Bunun için (x + y)
2
sayısını, bir kenar uzun-
luğu x + y olan bir karenin, x
2
ile y
2
yi de sırasıyla bir kenar uzunluğu x ve y
olan karelerin alanlarıolarak düşünebiliriz. Buna göre özdeşliğin doğruluğu aşağı-
daki şekilden kolayca görülebilir.
Yukarıdaki özdeşlikte y yerine (- y) yazarsak aşağıdaki özdeşliği elde ederiz.
x > y > 0 için bu eşitliğin doğruluğunu aşağıdaki şekilden görmeye çalışınız.
Ö Z D E Ş L İ K L E R , D E N K L E M L E R V E E Ş İ T S İ Z L İ K L E R
39
Her x , y IR için (x + y)
2
= x
2
+ 2xy + y
2
2
y
x
x
y
x
y
y
x
xy
y
2
xy
x
2
Her x , y IR için (x - y)
2
= x
2
- 2xy + y
2
Page 6
A N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ
Bir diğer özdeşlik,
Bu özdeşliğin doğruluğunu görmek için sağ taraftaki çarpma işlemini yapmak ye-
terlidir. x ve y nin pozitif sayı olması durumunda bu özdeşliğin doğruluğunu geo-
metrik olarak da görmek mümkündür.
Bu özdeşliğin doğruluğunu görmek için
(x + y)
3
= (x + y)
2
(x + y) = (x
2
+ 2xy + y
2
)(x +y)

y
y
y
y
x
xy
xy
x - y
x - y
y
y
x
x
y
2
x
2
Şekil 2.1
Her x , y IR için x
2
- y
2
= (x - y) (x + y)
x
x - y
y
y
A
B
C
D
y
2
x - y
2
2
x
y
x - y
2
2
x + y
A
B
C
D
Şekil 2.2
Her x , y IR için (x + y)
3
= x
3
+ 3x
2
y + 3xy
2
+ y
3

çarpma işlemini yapmak yeterlidir. Bu özdeşliği pozitif x ve y için geometrik olarak
doğrulamak için aşağıdaki şekli inceleyiniz.

Yukarıdaki özdeşlikte y yerine (- y) yazılırsa,
bulunur.
Her zaman karşımıza çıkan,
özdeşliklerini de unutmamalıyız.
Son iki eşitlikte sağtaraftaki çarpma işlemi yapılarak özdeşliğin doğruluğu ispatla-
nabilir. Bunlara benzer şekilde
(x + y)
4
= (x + y)( x + y)
3
= (x + y)(x
3
+ 3x
2
y + 3xy
2
+ y
3
)
= x
4
+3x
3
y +3x
2
y
2
+ xy
3
+ yx
3
+3x
2
y
2
+3xy
3
+ y
4
= x
4
+ 4x
3
y + 6x
2
y
2
+ 4xy
3
+ y
4
dır. O halde,
(x + y)
2
, (x + y)
3
, (x + y)
4
ifadelerinin açılımları , n doğal sayı olmak üzere (x +
y)
n
nin Newton Binom Açılımı’nın (formülünün) özel halleridir. Bu açılım,
şeklindedir. Bu özdeşlik tümevarım yöntemi ile ispatlanabilir.
Burada olduğu gibi k∈ IN olmak üzere 1.2.3.4...k çarpımına k faktöriyel denir
ve k! şeklinde gösterilir. Örneğin 3! = 1.2.3 = 6, 5!=1.2.3.4.5 = 120 dir.
0! = 1 olarak tanımlanır. Faktöriyel tanımından sonra Binom Açılımınışöyle yazabi-
liriz.

Her x , y IR için (x - y)
3
= x
3
- 3x
2
y + 3xy
2
- y
3
Her x, y IR için (x + y)
4
= x
4
+ 4x
3
y + 6x
2
y
2
+ 4xy
3
+ y
4
x + y
n
= x
n
+
n
1
x
n-1
y +
n n - 1
1.2
x
n-2
y
2
+
n n - 1 n - 2
1.2.3
x
n-3
y
3
+ ...
+
n n - 1 n - 2 n -3 ... n - k + 1
1.2.3...k
x
n-k
y
k
+ ... +
n n - 1 ...2.1
1.2.3...n
y
n
Her x , y IR için x
3
+ y
3
= (x + y)(x
2
- xy +y
2
)
Her x , y IR için x
3
- y
3
= (x - y)(x
2
+ xy +y
2
)

Binom formülü biraz karmaşık gibi görünse de uygulaması oldukça kolaydır. For-
mülden de açıkça görüldüğü gibi, bu açılımda;
i) terim sayısı n + 1 dir,
ii) ilk terim x
n
dir ve x in kuvvetleri birer birer azalırken y nin kuvvetleri birer
birer artar ve son terim y
n
olur,
iii) her terimde x ile y nin kuvvetleri toplamı n dir,
iv) baştan k + 1 -inci terim, A katsayı olmak üzere Ax
n-k
y
k
dır ve burada A kat-
sayısının payın den başlayan birer birer azalan k tane tamsayının çarpımı, pay-
dası ise k! dir.
Örnek:
= x
10
+ 10 x
9
y + 45 x
8
y
2
+ 120 x
7
y
3
+ 210 x
6
y
4
+ 252 x
5
y
5
+ 210 x
4
y
6
+ 120 x
3
y
7
+ 45 x
2
y
6
+10 x y
9
+ y
10
.
Örnek :
(2y)
2
= 2
2
y
2
= 4y
2
, (2y)
3
= 2
3
y
3
= 8y
3
, (2y)
4
=2
4
y
4
= 16y
4
olduğundan
(x + 2y)
4
= x
4
+ 8x
3
y + 24x
2
y
2
+ 32xy
3
+ 16y
4
dir. Bu açılımda ikinci terimin 2y olduğuna ve 2y nin kuvvetlerinin alındığına dik-
kat ediniz.

x + y
n
= x
n
+
n
1!
x
n-1
y +
n n - 1
2!
x
n-2
y
2
+
n n - 1 n - 2
3!
x
n-3
y
3
+ ...
+
n n - 1 n - 2 n -3 ... n - k + 1
k!
x
n-k
y
k
+ ... + y
n
x + y
10
= x
10
+
10
1
x
9
y +
10.9
1.2
x
8
y
2
+
10.9.8
1.2.3
x
7
y
3
+
10.9.8.7
1.2.3.4
x
6
y
4
+
10.9.8.7.6
1.2.3.4.5
x
5
y
5
+
10.9.8.7.6.5
1.2.3.4.5.6
x
4
y
6
+
10.9.8.7.6.5.4
1.2.3.4.5.6.7
x
3
y
7
+
10.9.8.7.6.5.4.3
1.2.3.4.5.6.7.8
x
2
y
8
+
10.9.8.7.6.5.4.3.2
1.2.3.4.5.6.7.8.9
xy
9
+ y
10
x + 2y
4
= x
4
+
4
1
x
3
2y +
4.3
1.2
x
2
2y
2
+
4.3.2
1.2.3
x 2y
3
+
4.3.2.1
1.2.3.4
2y
4
= x
4
+ 4x
3
2y + 6x
2
2y
2
+ 4x 2y
3
+ 2y
4
Page 10
A N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ
Örnek :
= 32x
5
– 80 x
4
y + 80x
3
y
2
- 40x
2
y
3
+ 10xy
4
– y
5
.
Burada da birinci terimin 2x, ikinci terimin –y olduğuna ve bunların kuvvetlerinin
alındığına dikkat ediniz.
Örnek:
1002 . 998 = (1000 + 2)(1000 – 2) =1000
2
– 2
2
= 1000 000 – 4 = 999 996 .
Örnek :
47
2
= (50 – 3)
2
= 50
2
- 2.50.3 + 3
2
= 2500 - 300 + 9 =2209 ,
veya
47
2
= (40 + 7)
2
= 40
2
+ 2.40.7 +7
2
= 1600 + 560 + 49 = 2209 .
Örnek:
Toplamaları 50, çarpımları 481 olan iki gerçel sayının kareleri toplamı kaçtır?
Bu sayılardan birincisine x, ikincisine y diyelim. Buna göre x + y = 50 , xy = 481 olur.
Diğer taraftan (x + y)
2
= x
2
+ 2xy + y
2
= (x
2
+ y
2
) + 2xy olduğundan
50
2
= (x
2
+ y
2
) + 2 . 481 olur. Buradan da x
2
+ y
2
= 50
2
- 962 = 2500 - 962 = 1538
bulunur.
Binom açılımında baştan k+1 -inci terimin katsayısının
olduğunu belirtmiştik. Bu sayı kısaca
şeklinde de gösterilir. Buna göre
dir. Özel olarak
alınır. Buna göre örneğin
dir.

2x - y
5
= 2x + -y
5
= 2x
5
+
5
1!
2x
4
-y +
5.4
2!
2x
3
-y
2
+
5.4.3
3!
2x
2
-y
3
+
5.4.3.2
4!
2x -y
4
+ -y
5
n n - 1 n - 2 ..... n - k + 1
1.2.3.4.....k
n
k
n
k
=
n n - 1 n - 2 ... n - k + 1
1.2.3.4.....k
=
n n - 1 n - 2 ... n - k + 1
k!
n
0
= 1
4
0
= 1,
4
1
=
4
1
= 4,
4
2
=
4.3
1.2
= 6,
4
3
=
4.3.2
1.2.3
= 4,
4
4
=
4.3.2.1
1.2.3.4
= 1

yazılabilir. Bu ifadenin sağ tarafında payın 1.2.3.4..... n = n! , paydanın ise
(1.2.3...k)[1.2.3...(n-k)] = k! . (n-k)! olduğu görülebilir. Bu kısaltmalardan sonra,
şu şekilde yazılabilir:
Bu gösterimden sonra Binom formülünü şöyle de ifade edebiliriz.
Örnek:
= x
7
+ 7x
6
y + 21x
5
y
2
+ 35x
4
y
3
+ 35x
3
y
4
+ 21x
2
y
5
+ 7xy
6
+ y
7
.
Örnek:
(x + y)
11
in Binom açılımında x
4
y
7
teriminin katsayısı kaçtır?
Çözüm:
Binom açılımında x
n-k
y
k
teriminin katsayısı
dır. Burada k nın y nin kuvveti
olduğuna dikkat ediniz. Buna göre, x
4
y
7
nin katsayısı
dır.
Şimdi (x + y) nin pozitif tam kuvvetlerinin açılımlarıile bu açılımlardaki katsayılara
birlikte bir göz atalım.

n n - 1 ... n - k + 1
1.2.3.....k
=
n n - 1 n - 2 ... n - k - 1
1.2.3.4.....k
.
n - k n - k + 1 n - k + 2 ... n - n - 2 n - n - 1
n - k n - k + 1 n - k + 2 ... n - n - 2 n - n - 1
n
k
n
k
=
n !
k ! n - k !
, n ∈ IN , k ∈ IN
x + y
7
=
7
0
x
7
+
7
1
x
6
y +
7
2
x
5
y
2
+
7
3
x
4
y
3
+
7
4
x
3
y
4
+
7
5
x
2
y
5
+
7
6
xy
6
+
7
7
y
7
= x
7
+
7!
1!.6!
x
6
y +
7!
2!.5!
x
5
y
2
+
7!
3!.4!
x
4
y
3
+
7!
4!.3!
x
3
y
4
+
7!
5!.2!
x
2
y
5
+
7!
6!.1!
xy
6
+
7!
7!.0!
y
7
n
k
11
7
=
11!
7!.4!
= 330
x + y
n
=
n
0
x
n
+
n
1
x
n-1
y +
n
2
x
n-2
y
2
+ .. +
n
k
x
n-k
y
k
+.. +
n
n
y
n
, n IN , k IN

(x + y) = x + y
1 1
(x + y)
2
= x
2
+ 2xy + y
2
1 2 1
(x + y)
3
= x
3
+ 3x
2
y + 3xy
2
+ y
3
1 3 3 1
(x + y)
4
= x
4
+ 4x
3
y + 6x
2
y
2
+ 4xy
3
+ y
4
1 4 6 4 1
(x + y)
5
= x
5
+ 5x
4
y + 10x
3
y
2
+ 10x
2
y
3
+ 5xy
4
+ y
5
1 5 10 10 5
1
(x + y)
6
= x
6
+ 6x
5
y + 15x
4
y
2
+ 20x
3
y
3
+ 15x
2
y
4
+ 6xy
5
+ y
6
1 6 15 20 15 6 1
. . . . .
. . . . .
Yukarıda katsayıların oluşturduğu üçgen biçimindeki tablodan açılımla ilgili şu
özellikleri görüyoruz. Bu açılımlarda n. satırda ilk katsayı 1, ikinci katsayı n, diğer
katsayılar ise bir üst satırda o katsayının üstündeki sayı ile onun solundaki sayının
toplamıdır. Örneğin üçüncü satırdaki 3, üstündeki 2 ile 2 nin solundaki 1 in toplamı-
na, 6-ıncı satırdaki ikinci 15 de üstündeki 5 ile 5 in solundaki 10 nun toplamına eşit-
tir. Bu kural diğer bütün katsayılar için de geçerlidir. Bunun doğruluğunu tablodan
kolayca görebilirsiniz. Bu üçgende 7-inci satır, x + y nin 7-inci kuvvetinin açılımın-
daki katsayılardan oluşacaktır. 6-ıncısatırdaki katsayılar bilindikten sonra 7-inci sa-
tırdaki katsayılar, yukarıda açıklamaya çalıştığımız kuralla kolayca bulunabilir. Bu
katsayılar, 1,7, 21, 35, 35, 21, 7, 1 dir. Binom açılımında katsayıların bulunmasında ol-
dukça kolaylık sağlayan bu tabloya Pascal Üçgeni denilmektedir. x + y nin n-inci
kuvvetinin açılımındaki katsayılarıPascal üçgeni ile bulabilmek için (n-1)-inci kuv-
vetin açılımındaki katsayıların (yani Pascal Üçgeninde n-1 -inci satırın) bilinmesi
gerekmektedir. Bu n büyüdükçe Pascal üçgeninin uygulanabilirliğini kısıtlayan bir
özelliktir
Son Düzenleyen fadedliver; 25 Aralık 2008 @ 15:59.
Etiketler:
  • ozdeslik
  • ozdeslik kavrami hakkinda aciklama
  • ozdeslik kavrami nedir
  • ozdeslik nedir
  • ozdeslikler nedir
Benzer Konular:
Rapor Et
Reklam
Eski 22 Aralık 2008, 19:23

Özdeşlik nedir?

#2 (link)
MsXLabs Üyesi
Keten Prenses - avatarı
Özdeşlikler ve Binom Açılımı
Kısa kenar uzunluğu 2 birim, uzun kenar uzunluğu 5 birim olan bir dikdörtgenin
alanının 10 birim kare; kısa kenar uzunluğu 2,4 birim, uzun kenar uzunluğu 3 birim
olan bir dikdörtgenin alanının ise 7,2 birim kare olduğunu biliyoruz. Burada dik-
dörtgenlerin alanlarını bulmak için kısa kenar uzunlukları ile uzun kenar uzunluk-
larını çarpıyoruz. Neden böyle buluyoruz sorusuna cevap vermek konumuz ve
amacımız dışındadır. Aslında bu sorudan önce alan nedir sorusunu sormamız gere-
kir. Bu soru ise bugün fen fakültelerinin matematik bölümlerinin ancak son sınıfla-
rında öğretilen ve matematiğin bir dalı olan ölçüm kuramının doğmasına neden ol-
muştur. Dikdörtgenin alanının bulunmasıile ilgili "bir dikdörtgenin alanının kaç bi-
rim kare olduğunu bulmak için dikdörtgenin kısa kenar uzunluğu ile uzun kenar
uzunluğunu çarpıyoruz" ifadesini; A alan, x kısa kenar uzunluğu, y uzun kenar
uzunluğu olmak üzere A = x.y şeklinde kısaca ifade edebiliriz. Benzer şekilde yarı-
çapı r birim olan bir dairenin alanını da A = π r
2
şeklinde ifade edebiliriz. Alan
formülleri de dediğimiz bu ifadeler, genellik ve kısalık sağlamanın yanında işlem
yapma imkanı da sağlamaktadır. Örneğin
"bir dikdörtgende karşılıklı iki kenarın uzunlukları 1 birim artırılırsa dikdörtgenin alanı ne
kadar değişir?"
sorusuna kolayca cevap verebiliriz.

Kenar uzunluklarıx ve y birim olan bir dikdörtgenin x birim uzunluğundaki kenar-
larının uzunlukları 1 birim artırılsın. Bu durumda yeni dikdörtgenin kenar uzun-
lukları x +1 ile y birim olduğundan alanı (x + 1). y = x.y + y birim kare olur. Dikdört-
genin alanındaki değişme miktarı, son alan ile ilk alan arasındaki fark olduğundan,
bu fark x.y + y - x.y = y birim karedir. Buna göre bir dikdörtgenin ayrıtlarından biri-
sinin uzunluğu 1 birim artırılırsa dikdörtgenin alanındaki değişme miktarı, diğer
kenarın uzunluğu kadar birim karedir diyebiliriz.
Yukarıdaki soruya x,y gibi harfleri kullanmadan cevap vermeye çalışınız.
Bu tip sorulara kelimelerle, sözlerle cevap vermek genellikle kolay değildir. Keli-
meler, sözler yerine harfleri ve sembolleri kullandığımızda bu tür sorulara daha ko-
lay cevap verebiliriz. Harfler ve semboller içeren ifadelere cebirsel ifadeler diyece-
ğiz.
Örneğin,
xy, πr
2
, 2x + 5 , 3x
2
- 4x +1,
şeklindeki ifadeler birer cebirsel ifadedir. Buna göre, harfler ve sayılarla ilgili topla-
ma, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinin yanında kuvvet alma, kök alma gibi
işlemlerden bazılarını veya hepsini içeren ifadelere cebirsel ifade, ifadelerde bu-
lunan ve herhangi bir gerçel sayıyı temsil eden x,y,r,..,t gibi harflere de değişken
veya bilinmeyen diyoruz. Cebirsel ifadelerde değişkenler yerine sayılar yazılıp
gerekli işlemler yapılarak ifadenin sayısal değeri bulunur. Örneğin 3x
2
- 4x +1 ifade-
sinin x = -2 için sayısal değeri 3(-2)
2
- 4(-2) + 1 = 12 + 8 +1 = 21 dir.
İki cebirsel ifade değişkenlerin her değeri için aynı sayısal değeri alıyorsa bu iki
ifadeye özdeştir diyoruz. Örneğin x
2
- 1 ile (x - 1)(x + 1) ifadesini ele alalım. İkinci
ifadedeki çarpma işlemini ve gerekli kısaltmaları yaparsak,
(x -1)(x + 1)= x.x + x.1 - 1.x -1.1 = x
2
- 1
buluruz. Dolayısıyla her x gerçel sayısı için
x
2
- 1 = (x - 1)(x + 1)
dır. Bu nedenle bu iki ifade özdeştir diyoruz.
Bir problemde bir ifade yerine onun özdeşi alınabilir.
İki ifadenin özdeşliği ≡ işareti ile ifade edilirse de sıkça kullanılan özdeşliklerde bu
işaret yerine = işareti de kullanılmakta hatta tercih edilmektedir.

?
x
2
+ 1,
x + 1
x
2
+ 1
, 3x
2
- y
2
+ 2, x
2
+ y
3
3
,
1
2
gt
2

x + y ifadesinin pozitif tam kuvvetleriyle ilgili özdeşlikler sıkça kullanılmaktadır.
Şimdi bu özdeşlikleri ele alalım.
(x + y)
2
= (x + y) (x + y) = x.x + x.y + y.x + y.y = x
2
+ 2xy + y
2
olduğundan
dir.
x ve y pozitif gerçel sayı olduğunda bu özdeşliğin (eşitliğin) doğruluğunu geomet-
rik olarak da görmek mümkündür. Bunun için (x + y)
2
sayısını, bir kenar uzun-
luğu x + y olan bir karenin, x
2
ile y
2
yi de sırasıyla bir kenar uzunluğu x ve y
olan karelerin alanlarıolarak düşünebiliriz. Buna göre özdeşliğin doğruluğu aşağı-
daki şekilden kolayca görülebilir.
Yukarıdaki özdeşlikte y yerine (- y) yazarsak aşağıdaki özdeşliği elde ederiz.
x > y > 0 için bu eşitliğin doğruluğunu aşağıdaki şekilden görmeye çalışınız.
Ö Z D E Ş L İ K L E R , D E N K L E M L E R V E E Ş İ T S İ Z L İ K L E R
39
Her x , y IR için (x + y)
2
= x
2
+ 2xy + y
2
2
y
x
x
y
x
y
y
x
xy
y
2
xy
x
2
Her x , y IR için (x - y)
2
= x
2
- 2xy + y
2
Page 6
A N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ
Bir diğer özdeşlik,
Bu özdeşliğin doğruluğunu görmek için sağ taraftaki çarpma işlemini yapmak ye-
terlidir. x ve y nin pozitif sayı olması durumunda bu özdeşliğin doğruluğunu geo-
metrik olarak da görmek mümkündür.
Bu özdeşliğin doğruluğunu görmek için
(x + y)
3
= (x + y)
2
(x + y) = (x
2
+ 2xy + y
2
)(x +y)

y
y
y
y
x
xy
xy
x - y
x - y
y
y
x
x
y
2
x
2
Şekil 2.1
Her x , y IR için x
2
- y
2
= (x - y) (x + y)
x
x - y
y
y
A
B
C
D
y
2
x - y
2
2
x
y
x - y
2
2
x + y
A
B
C
D
Şekil 2.2
Her x , y IR için (x + y)
3
= x
3
+ 3x
2
y + 3xy
2
+ y
3

çarpma işlemini yapmak yeterlidir. Bu özdeşliği pozitif x ve y için geometrik olarak
doğrulamak için aşağıdaki şekli inceleyiniz.

Yukarıdaki özdeşlikte y yerine (- y) yazılırsa,
bulunur.
Her zaman karşımıza çıkan,
özdeşliklerini de unutmamalıyız.
Son iki eşitlikte sağtaraftaki çarpma işlemi yapılarak özdeşliğin doğruluğu ispatla-
nabilir. Bunlara benzer şekilde
(x + y)
4
= (x + y)( x + y)
3
= (x + y)(x
3
+ 3x
2
y + 3xy
2
+ y
3
)
= x
4
+3x
3
y +3x
2
y
2
+ xy
3
+ yx
3
+3x
2
y
2
+3xy
3
+ y
4
= x
4
+ 4x
3
y + 6x
2
y
2
+ 4xy
3
+ y
4
dır. O halde,
(x + y)
2
, (x + y)
3
, (x + y)
4
ifadelerinin açılımları , n doğal sayı olmak üzere (x +
y)
n
nin Newton Binom Açılımı’nın (formülünün) özel halleridir. Bu açılım,
şeklindedir. Bu özdeşlik tümevarım yöntemi ile ispatlanabilir.
Burada olduğu gibi k∈ IN olmak üzere 1.2.3.4...k çarpımına k faktöriyel denir
ve k! şeklinde gösterilir. Örneğin 3! = 1.2.3 = 6, 5!=1.2.3.4.5 = 120 dir.
0! = 1 olarak tanımlanır. Faktöriyel tanımından sonra Binom Açılımınışöyle yazabi-
liriz.

Her x , y IR için (x - y)
3
= x
3
- 3x
2
y + 3xy
2
- y
3
Her x, y IR için (x + y)
4
= x
4
+ 4x
3
y + 6x
2
y
2
+ 4xy
3
+ y
4
x + y
n
= x
n
+
n
1
x
n-1
y +
n n - 1
1.2
x
n-2
y
2
+
n n - 1 n - 2
1.2.3
x
n-3
y
3
+ ...
+
n n - 1 n - 2 n -3 ... n - k + 1
1.2.3...k
x
n-k
y
k
+ ... +
n n - 1 ...2.1
1.2.3...n
y
n
Her x , y IR için x
3
+ y
3
= (x + y)(x
2
- xy +y
2
)
Her x , y IR için x
3
- y
3
= (x - y)(x
2
+ xy +y
2
)

Binom formülü biraz karmaşık gibi görünse de uygulaması oldukça kolaydır. For-
mülden de açıkça görüldüğü gibi, bu açılımda;
i) terim sayısı n + 1 dir,
ii) ilk terim x
n
dir ve x in kuvvetleri birer birer azalırken y nin kuvvetleri birer
birer artar ve son terim y
n
olur,
iii) her terimde x ile y nin kuvvetleri toplamı n dir,
iv) baştan k + 1 -inci terim, A katsayı olmak üzere Ax
n-k
y
k
dır ve burada A kat-
sayısının payın den başlayan birer birer azalan k tane tamsayının çarpımı, pay-
dası ise k! dir.
Örnek:
= x
10
+ 10 x
9
y + 45 x
8
y
2
+ 120 x
7
y
3
+ 210 x
6
y
4
+ 252 x
5
y
5
+ 210 x
4
y
6
+ 120 x
3
y
7
+ 45 x
2
y
6
+10 x y
9
+ y
10
.
Örnek :
(2y)
2
= 2
2
y
2
= 4y
2
, (2y)
3
= 2
3
y
3
= 8y
3
, (2y)
4
=2
4
y
4
= 16y
4
olduğundan
(x + 2y)
4
= x
4
+ 8x
3
y + 24x
2
y
2
+ 32xy
3
+ 16y
4
dir. Bu açılımda ikinci terimin 2y olduğuna ve 2y nin kuvvetlerinin alındığına dik-
kat ediniz.

x + y
n
= x
n
+
n
1!
x
n-1
y +
n n - 1
2!
x
n-2
y
2
+
n n - 1 n - 2
3!
x
n-3
y
3
+ ...
+
n n - 1 n - 2 n -3 ... n - k + 1
k!
x
n-k
y
k
+ ... + y
n
x + y
10
= x
10
+
10
1
x
9
y +
10.9
1.2
x
8
y
2
+
10.9.8
1.2.3
x
7
y
3
+
10.9.8.7
1.2.3.4
x
6
y
4
+
10.9.8.7.6
1.2.3.4.5
x
5
y
5
+
10.9.8.7.6.5
1.2.3.4.5.6
x
4
y
6
+
10.9.8.7.6.5.4
1.2.3.4.5.6.7
x
3
y
7
+
10.9.8.7.6.5.4.3
1.2.3.4.5.6.7.8
x
2
y
8
+
10.9.8.7.6.5.4.3.2
1.2.3.4.5.6.7.8.9
xy
9
+ y
10
x + 2y
4
= x
4
+
4
1
x
3
2y +
4.3
1.2
x
2
2y
2
+
4.3.2
1.2.3
x 2y
3
+
4.3.2.1
1.2.3.4
2y
4
= x
4
+ 4x
3
2y + 6x
2
2y
2
+ 4x 2y
3
+ 2y
4
Page 10
A N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ
Örnek :
= 32x
5
– 80 x
4
y + 80x
3
y
2
- 40x
2
y
3
+ 10xy
4
– y
5
.
Burada da birinci terimin 2x, ikinci terimin –y olduğuna ve bunların kuvvetlerinin
alındığına dikkat ediniz.
Örnek:
1002 . 998 = (1000 + 2)(1000 – 2) =1000
2
– 2
2
= 1000 000 – 4 = 999 996 .
Örnek :
47
2
= (50 – 3)
2
= 50
2
- 2.50.3 + 3
2
= 2500 - 300 + 9 =2209 ,
veya
47
2
= (40 + 7)
2
= 40
2
+ 2.40.7 +7
2
= 1600 + 560 + 49 = 2209 .
Örnek:
Toplamaları 50, çarpımları 481 olan iki gerçel sayının kareleri toplamı kaçtır?
Bu sayılardan birincisine x, ikincisine y diyelim. Buna göre x + y = 50 , xy = 481 olur.
Diğer taraftan (x + y)
2
= x
2
+ 2xy + y
2
= (x
2
+ y
2
) + 2xy olduğundan
50
2
= (x
2
+ y
2
) + 2 . 481 olur. Buradan da x
2
+ y
2
= 50
2
- 962 = 2500 - 962 = 1538
bulunur.
Binom açılımında baştan k+1 -inci terimin katsayısının
olduğunu belirtmiştik. Bu sayı kısaca
şeklinde de gösterilir. Buna göre
dir. Özel olarak
alınır. Buna göre örneğin
dir.

2x - y
5
= 2x + -y
5
= 2x
5
+
5
1!
2x
4
-y +
5.4
2!
2x
3
-y
2
+
5.4.3
3!
2x
2
-y
3
+
5.4.3.2
4!
2x -y
4
+ -y
5
n n - 1 n - 2 ..... n - k + 1
1.2.3.4.....k
n
k
n
k
=
n n - 1 n - 2 ... n - k + 1
1.2.3.4.....k
=
n n - 1 n - 2 ... n - k + 1
k!
n
0
= 1
4
0
= 1,
4
1
=
4
1
= 4,
4
2
=
4.3
1.2
= 6,
4
3
=
4.3.2
1.2.3
= 4,
4
4
=
4.3.2.1
1.2.3.4
= 1

yazılabilir. Bu ifadenin sağ tarafında payın 1.2.3.4..... n = n! , paydanın ise
(1.2.3...k)[1.2.3...(n-k)] = k! . (n-k)! olduğu görülebilir. Bu kısaltmalardan sonra,
şu şekilde yazılabilir:
Bu gösterimden sonra Binom formülünü şöyle de ifade edebiliriz.
Örnek:
= x
7
+ 7x
6
y + 21x
5
y
2
+ 35x
4
y
3
+ 35x
3
y
4
+ 21x
2
y
5
+ 7xy
6
+ y
7
.
Örnek:
(x + y)
11
in Binom açılımında x
4
y
7
teriminin katsayısı kaçtır?
Çözüm:
Binom açılımında x
n-k
y
k
teriminin katsayısı
dır. Burada k nın y nin kuvveti
olduğuna dikkat ediniz. Buna göre, x
4
y
7
nin katsayısı
dır.
Şimdi (x + y) nin pozitif tam kuvvetlerinin açılımlarıile bu açılımlardaki katsayılara
birlikte bir göz atalım.

n n - 1 ... n - k + 1
1.2.3.....k
=
n n - 1 n - 2 ... n - k - 1
1.2.3.4.....k
.
n - k n - k + 1 n - k + 2 ... n - n - 2 n - n - 1
n - k n - k + 1 n - k + 2 ... n - n - 2 n - n - 1
n
k
n
k
=
n !
k ! n - k !
, n ∈ IN , k ∈ IN
x + y
7
=
7
0
x
7
+
7
1
x
6
y +
7
2
x
5
y
2
+
7
3
x
4
y
3
+
7
4
x
3
y
4
+
7
5
x
2
y
5
+
7
6
xy
6
+
7
7
y
7
= x
7
+
7!
1!.6!
x
6
y +
7!
2!.5!
x
5
y
2
+
7!
3!.4!
x
4
y
3
+
7!
4!.3!
x
3
y
4
+
7!
5!.2!
x
2
y
5
+
7!
6!.1!
xy
6
+
7!
7!.0!
y
7
n
k
11
7
=
11!
7!.4!
= 330
x + y
n
=
n
0
x
n
+
n
1
x
n-1
y +
n
2
x
n-2
y
2
+ .. +
n
k
x
n-k
y
k
+.. +
n
n
y
n
, n IN , k IN

(x + y) = x + y
1 1
(x + y)
2
= x
2
+ 2xy + y
2
1 2 1
(x + y)
3
= x
3
+ 3x
2
y + 3xy
2
+ y
3
1 3 3 1
(x + y)
4
= x
4
+ 4x
3
y + 6x
2
y
2
+ 4xy
3
+ y
4
1 4 6 4 1
(x + y)
5
= x
5
+ 5x
4
y + 10x
3
y
2
+ 10x
2
y
3
+ 5xy
4
+ y
5
1 5 10 10 5
1
(x + y)
6
= x
6
+ 6x
5
y + 15x
4
y
2
+ 20x
3
y
3
+ 15x
2
y
4
+ 6xy
5
+ y
6
1 6 15 20 15 6 1
. . . . .
. . . . .
Yukarıda katsayıların oluşturduğu üçgen biçimindeki tablodan açılımla ilgili şu
özellikleri görüyoruz. Bu açılımlarda n. satırda ilk katsayı 1, ikinci katsayı n, diğer
katsayılar ise bir üst satırda o katsayının üstündeki sayı ile onun solundaki sayının
toplamıdır. Örneğin üçüncü satırdaki 3, üstündeki 2 ile 2 nin solundaki 1 in toplamı-
na, 6-ıncı satırdaki ikinci 15 de üstündeki 5 ile 5 in solundaki 10 nun toplamına eşit-
tir. Bu kural diğer bütün katsayılar için de geçerlidir. Bunun doğruluğunu tablodan
kolayca görebilirsiniz. Bu üçgende 7-inci satır, x + y nin 7-inci kuvvetinin açılımın-
daki katsayılardan oluşacaktır. 6-ıncısatırdaki katsayılar bilindikten sonra 7-inci sa-
tırdaki katsayılar, yukarıda açıklamaya çalıştığımız kuralla kolayca bulunabilir. Bu
katsayılar, 1,7, 21, 35, 35, 21, 7, 1 dir. Binom açılımında katsayıların bulunmasında ol-
dukça kolaylık sağlayan bu tabloya Pascal Üçgeni denilmektedir. x + y nin n-inci
kuvvetinin açılımındaki katsayılarıPascal üçgeni ile bulabilmek için (n-1)-inci kuv-
vetin açılımındaki katsayıların (yani Pascal Üçgeninde n-1 -inci satırın) bilinmesi
gerekmektedir. Bu n büyüdükçe Pascal üçgeninin uygulanabilirliğini kısıtlayan bir
özelliktir
Rapor Et
Eski 25 Aralık 2008, 15:56

Özdeşlik kavramı nedir?

#3 (link)
Ziyaretçi
Ziyaretçi
Ziyaretçi - avatarı
Özdeşlik kavramı nedir
Rapor Et
Eski 24 Şubat 2010, 19:48

Özdeşlik nedir?

#4 (link)
Misafir
Ziyaretçi
Misafir - avatarı
arkadaşlar özdeşlik hakkında hiç birşey bulamıyorum nedir ve örneklerle elinde tez olan varmı
Rapor Et
Eski 31 Mart 2010, 19:38

özdeşlik kavramı

#5 (link)
Misafir
Ziyaretçi
Misafir - avatarı
Alıntı:
ozdeslik kavrami
özdeşlik kavramı hakkında açıklama ve örneklerin verilmesi
Rapor Et
Eski 9 Nisan 2010, 20:13

Özdeşlik nedir?

#6 (link)
Misafir
Ziyaretçi
Misafir - avatarı
özdeşlik kavramı hakkında bilgi
Rapor Et
Eski 9 Nisan 2010, 20:34

Özdeşlik nedir?

#7 (link)
MsXLabs Üyesi
The Unique - avatarı
.
Alıntı:
Keten Prenses adlı kullanıcıdan alıntı Mesajı Görüntüle

Özdeşlikler ve Binom Açılımı
Kısa kenar uzunluğu 2 birim, uzun kenar uzunluğu 5 birim olan bir dikdörtgenin
alanının 10 birim kare; kısa kenar uzunluğu 2,4 birim, uzun kenar uzunluğu 3 birim
olan bir dikdörtgenin alanının ise 7,2 birim kare olduğunu biliyoruz. Burada dik-
dörtgenlerin alanlarını bulmak için kısa kenar uzunlukları ile uzun kenar uzunluk-
larını çarpıyoruz. Neden böyle buluyoruz sorusuna cevap vermek konumuz ve
amacımız dışındadır. Aslında bu sorudan önce alan nedir sorusunu sormamız gere-
kir. Bu soru ise bugün fen fakültelerinin matematik bölümlerinin ancak son sınıfla-
rında öğretilen ve matematiğin bir dalı olan ölçüm kuramının doğmasına neden ol-
muştur. Dikdörtgenin alanının bulunmasıile ilgili "bir dikdörtgenin alanının kaç bi-
rim kare olduğunu bulmak için dikdörtgenin kısa kenar uzunluğu ile uzun kenar
uzunluğunu çarpıyoruz" ifadesini; A alan, x kısa kenar uzunluğu, y uzun kenar
uzunluğu olmak üzere A = x.y şeklinde kısaca ifade edebiliriz. Benzer şekilde yarı-
çapı r birim olan bir dairenin alanını da A = π r
2
şeklinde ifade edebiliriz. Alan
formülleri de dediğimiz bu ifadeler, genellik ve kısalık sağlamanın yanında işlem
yapma imkanı da sağlamaktadır. Örneğin
"bir dikdörtgende karşılıklı iki kenarın uzunlukları 1 birim artırılırsa dikdörtgenin alanı ne
kadar değişir?"
sorusuna kolayca cevap verebiliriz.

Kenar uzunluklarıx ve y birim olan bir dikdörtgenin x birim uzunluğundaki kenar-
larının uzunlukları 1 birim artırılsın. Bu durumda yeni dikdörtgenin kenar uzun-
lukları x +1 ile y birim olduğundan alanı (x + 1). y = x.y + y birim kare olur. Dikdört-
genin alanındaki değişme miktarı, son alan ile ilk alan arasındaki fark olduğundan,
bu fark x.y + y - x.y = y birim karedir. Buna göre bir dikdörtgenin ayrıtlarından biri-
sinin uzunluğu 1 birim artırılırsa dikdörtgenin alanındaki değişme miktarı, diğer
kenarın uzunluğu kadar birim karedir diyebiliriz.
Yukarıdaki soruya x,y gibi harfleri kullanmadan cevap vermeye çalışınız.
Bu tip sorulara kelimelerle, sözlerle cevap vermek genellikle kolay değildir. Keli-
meler, sözler yerine harfleri ve sembolleri kullandığımızda bu tür sorulara daha ko-
lay cevap verebiliriz. Harfler ve semboller içeren ifadelere cebirsel ifadeler diyece-
ğiz.
Örneğin,
xy, πr
2
, 2x + 5 , 3x
2
- 4x +1,
şeklindeki ifadeler birer cebirsel ifadedir. Buna göre, harfler ve sayılarla ilgili topla-
ma, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinin yanında kuvvet alma, kök alma gibi
işlemlerden bazılarını veya hepsini içeren ifadelere cebirsel ifade, ifadelerde bu-
lunan ve herhangi bir gerçel sayıyı temsil eden x,y,r,..,t gibi harflere de değişken
veya bilinmeyen diyoruz. Cebirsel ifadelerde değişkenler yerine sayılar yazılıp
gerekli işlemler yapılarak ifadenin sayısal değeri bulunur. Örneğin 3x
2
- 4x +1 ifade-
sinin x = -2 için sayısal değeri 3(-2)
2
- 4(-2) + 1 = 12 + 8 +1 = 21 dir.
İki cebirsel ifade değişkenlerin her değeri için aynı sayısal değeri alıyorsa bu iki
ifadeye özdeştir diyoruz. Örneğin x
2
- 1 ile (x - 1)(x + 1) ifadesini ele alalım. İkinci
ifadedeki çarpma işlemini ve gerekli kısaltmaları yaparsak,
(x -1)(x + 1)= x.x + x.1 - 1.x -1.1 = x
2
- 1
buluruz. Dolayısıyla her x gerçel sayısı için
x
2
- 1 = (x - 1)(x + 1)
dır. Bu nedenle bu iki ifade özdeştir diyoruz.
Bir problemde bir ifade yerine onun özdeşi alınabilir.
İki ifadenin özdeşliği ≡ işareti ile ifade edilirse de sıkça kullanılan özdeşliklerde bu
işaret yerine = işareti de kullanılmakta hatta tercih edilmektedir.

?
x
2
+ 1,
x + 1
x
2
+ 1
, 3x
2
- y
2
+ 2, x
2
+ y
3
3
,
1
2
gt
2

x + y ifadesinin pozitif tam kuvvetleriyle ilgili özdeşlikler sıkça kullanılmaktadır.
Şimdi bu özdeşlikleri ele alalım.
(x + y)
2
= (x + y) (x + y) = x.x + x.y + y.x + y.y = x
2
+ 2xy + y
2
olduğundan
dir.
x ve y pozitif gerçel sayı olduğunda bu özdeşliğin (eşitliğin) doğruluğunu geomet-
rik olarak da görmek mümkündür. Bunun için (x + y)
2
sayısını, bir kenar uzun-
luğu x + y olan bir karenin, x
2
ile y
2
yi de sırasıyla bir kenar uzunluğu x ve y
olan karelerin alanlarıolarak düşünebiliriz. Buna göre özdeşliğin doğruluğu aşağı-
daki şekilden kolayca görülebilir.
Yukarıdaki özdeşlikte y yerine (- y) yazarsak aşağıdaki özdeşliği elde ederiz.
x > y > 0 için bu eşitliğin doğruluğunu aşağıdaki şekilden görmeye çalışınız.
Ö Z D E Ş L İ K L E R , D E N K L E M L E R V E E Ş İ T S İ Z L İ K L E R
39
Her x , y IR için (x + y)
2
= x
2
+ 2xy + y
2
2
y
x
x
y
x
y
y
x
xy
y
2
xy
x
2
Her x , y IR için (x - y)
2
= x
2
- 2xy + y
2
Page 6
A N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ
Bir diğer özdeşlik,
Bu özdeşliğin doğruluğunu görmek için sağ taraftaki çarpma işlemini yapmak ye-
terlidir. x ve y nin pozitif sayı olması durumunda bu özdeşliğin doğruluğunu geo-
metrik olarak da görmek mümkündür.
Bu özdeşliğin doğruluğunu görmek için
(x + y)
3
= (x + y)
2
(x + y) = (x
2
+ 2xy + y
2
)(x +y)

y
y
y
y
x
xy
xy
x - y
x - y
y
y
x
x
y
2
x
2
Şekil 2.1
Her x , y IR için x
2
- y
2
= (x - y) (x + y)
x
x - y
y
y
A
B
C
D
y
2
x - y
2
2
x
y
x - y
2
2
x + y
A
B
C
D
Şekil 2.2
Her x , y IR için (x + y)
3
= x
3
+ 3x
2
y + 3xy
2
+ y
3

çarpma işlemini yapmak yeterlidir. Bu özdeşliği pozitif x ve y için geometrik olarak
doğrulamak için aşağıdaki şekli inceleyiniz.

Yukarıdaki özdeşlikte y yerine (- y) yazılırsa,
bulunur.
Her zaman karşımıza çıkan,
özdeşliklerini de unutmamalıyız.
Son iki eşitlikte sağtaraftaki çarpma işlemi yapılarak özdeşliğin doğruluğu ispatla-
nabilir. Bunlara benzer şekilde
(x + y)
4
= (x + y)( x + y)
3
= (x + y)(x
3
+ 3x
2
y + 3xy
2
+ y
3
)
= x
4
+3x
3
y +3x
2
y
2
+ xy
3
+ yx
3
+3x
2
y
2
+3xy
3
+ y
4
= x
4
+ 4x
3
y + 6x
2
y
2
+ 4xy
3
+ y
4
dır. O halde,
(x + y)
2
, (x + y)
3
, (x + y)
4
ifadelerinin açılımları , n doğal sayı olmak üzere (x +
y)
n
nin Newton Binom Açılımı’nın (formülünün) özel halleridir. Bu açılım,
şeklindedir. Bu özdeşlik tümevarım yöntemi ile ispatlanabilir.
Burada olduğu gibi k∈ IN olmak üzere 1.2.3.4...k çarpımına k faktöriyel denir
ve k! şeklinde gösterilir. Örneğin 3! = 1.2.3 = 6, 5!=1.2.3.4.5 = 120 dir.
0! = 1 olarak tanımlanır. Faktöriyel tanımından sonra Binom Açılımınışöyle yazabi-
liriz.

Her x , y IR için (x - y)
3
= x
3
- 3x
2
y + 3xy
2
- y
3
Her x, y IR için (x + y)
4
= x
4
+ 4x
3
y + 6x
2
y
2
+ 4xy
3
+ y
4
x + y
n
= x
n
+
n
1
x
n-1
y +
n n - 1
1.2
x
n-2
y
2
+
n n - 1 n - 2
1.2.3
x
n-3
y
3
+ ...
+
n n - 1 n - 2 n -3 ... n - k + 1
1.2.3...k
x
n-k
y
k
+ ... +
n n - 1 ...2.1
1.2.3...n
y
n
Her x , y IR için x
3
+ y
3
= (x + y)(x
2
- xy +y
2
)
Her x , y IR için x
3
- y
3
= (x - y)(x
2
+ xy +y
2
)

Binom formülü biraz karmaşık gibi görünse de uygulaması oldukça kolaydır. For-
mülden de açıkça görüldüğü gibi, bu açılımda;
i) terim sayısı n + 1 dir,
ii) ilk terim x
n
dir ve x in kuvvetleri birer birer azalırken y nin kuvvetleri birer
birer artar ve son terim y
n
olur,
iii) her terimde x ile y nin kuvvetleri toplamı n dir,
iv) baştan k + 1 -inci terim, A katsayı olmak üzere Ax
n-k
y
k
dır ve burada A kat-
sayısının payın den başlayan birer birer azalan k tane tamsayının çarpımı, pay-
dası ise k! dir.
Örnek:
= x
10
+ 10 x
9
y + 45 x
8
y
2
+ 120 x
7
y
3
+ 210 x
6
y
4
+ 252 x
5
y
5
+ 210 x
4
y
6
+ 120 x
3
y
7
+ 45 x
2
y
6
+10 x y
9
+ y
10
.
Örnek :
(2y)
2
= 2
2
y
2
= 4y
2
, (2y)
3
= 2
3
y
3
= 8y
3
, (2y)
4
=2
4
y
4
= 16y
4
olduğundan
(x + 2y)
4
= x
4
+ 8x
3
y + 24x
2
y
2
+ 32xy
3
+ 16y
4
dir. Bu açılımda ikinci terimin 2y olduğuna ve 2y nin kuvvetlerinin alındığına dik-
kat ediniz.

x + y
n
= x
n
+
n
1!
x
n-1
y +
n n - 1
2!
x
n-2
y
2
+
n n - 1 n - 2
3!
x
n-3
y
3
+ ...
+
n n - 1 n - 2 n -3 ... n - k + 1
k!
x
n-k
y
k
+ ... + y
n
x + y
10
= x
10
+
10
1
x
9
y +
10.9
1.2
x
8
y
2
+
10.9.8
1.2.3
x
7
y
3
+
10.9.8.7
1.2.3.4
x
6
y
4
+
10.9.8.7.6
1.2.3.4.5
x
5
y
5
+
10.9.8.7.6.5
1.2.3.4.5.6
x
4
y
6
+
10.9.8.7.6.5.4
1.2.3.4.5.6.7
x
3
y
7
+
10.9.8.7.6.5.4.3
1.2.3.4.5.6.7.8
x
2
y
8
+
10.9.8.7.6.5.4.3.2
1.2.3.4.5.6.7.8.9
xy
9
+ y
10
x + 2y
4
= x
4
+
4
1
x
3
2y +
4.3
1.2
x
2
2y
2
+
4.3.2
1.2.3
x 2y
3
+
4.3.2.1
1.2.3.4
2y
4
= x
4
+ 4x
3
2y + 6x
2
2y
2
+ 4x 2y
3
+ 2y
4
Page 10
A N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ
Örnek :
= 32x
5
– 80 x
4
y + 80x
3
y
2
- 40x
2
y
3
+ 10xy
4
– y
5
.
Burada da birinci terimin 2x, ikinci terimin –y olduğuna ve bunların kuvvetlerinin
alındığına dikkat ediniz.
Örnek:
1002 . 998 = (1000 + 2)(1000 – 2) =1000
2
– 2
2
= 1000 000 – 4 = 999 996 .
Örnek :
47
2
= (50 – 3)
2
= 50
2
- 2.50.3 + 3
2
= 2500 - 300 + 9 =2209 ,
veya
47
2
= (40 + 7)
2
= 40
2
+ 2.40.7 +7
2
= 1600 + 560 + 49 = 2209 .
Örnek:
Toplamaları 50, çarpımları 481 olan iki gerçel sayının kareleri toplamı kaçtır?
Bu sayılardan birincisine x, ikincisine y diyelim. Buna göre x + y = 50 , xy = 481 olur.
Diğer taraftan (x + y)
2
= x
2
+ 2xy + y
2
= (x
2
+ y
2
) + 2xy olduğundan
50
2
= (x
2
+ y
2
) + 2 . 481 olur. Buradan da x
2
+ y
2
= 50
2
- 962 = 2500 - 962 = 1538
bulunur.
Binom açılımında baştan k+1 -inci terimin katsayısının
olduğunu belirtmiştik. Bu sayı kısaca
şeklinde de gösterilir. Buna göre
dir. Özel olarak
alınır. Buna göre örneğin
dir.

2x - y
5
= 2x + -y
5
= 2x
5
+
5
1!
2x
4
-y +
5.4
2!
2x
3
-y
2
+
5.4.3
3!
2x
2
-y
3
+
5.4.3.2
4!
2x -y
4
+ -y
5
n n - 1 n - 2 ..... n - k + 1
1.2.3.4.....k
n
k
n
k
=
n n - 1 n - 2 ... n - k + 1
1.2.3.4.....k
=
n n - 1 n - 2 ... n - k + 1
k!
n
0
= 1
4
0
= 1,
4
1
=
4
1
= 4,
4
2
=
4.3
1.2
= 6,
4
3
=
4.3.2
1.2.3
= 4,
4
4
=
4.3.2.1
1.2.3.4
= 1

yazılabilir. Bu ifadenin sağ tarafında payın 1.2.3.4..... n = n! , paydanın ise
(1.2.3...k)[1.2.3...(n-k)] = k! . (n-k)! olduğu görülebilir. Bu kısaltmalardan sonra,
şu şekilde yazılabilir:
Bu gösterimden sonra Binom formülünü şöyle de ifade edebiliriz.
Örnek:
= x
7
+ 7x
6
y + 21x
5
y
2
+ 35x
4
y
3
+ 35x
3
y
4
+ 21x
2
y
5
+ 7xy
6
+ y
7
.
Örnek:
(x + y)
11
in Binom açılımında x
4
y
7
teriminin katsayısı kaçtır?
Çözüm:
Binom açılımında x
n-k
y
k
teriminin katsayısı
dır. Burada k nın y nin kuvveti
olduğuna dikkat ediniz. Buna göre, x
4
y
7
nin katsayısı
dır.
Şimdi (x + y) nin pozitif tam kuvvetlerinin açılımlarıile bu açılımlardaki katsayılara
birlikte bir göz atalım.

n n - 1 ... n - k + 1
1.2.3.....k
=
n n - 1 n - 2 ... n - k - 1
1.2.3.4.....k
.
n - k n - k + 1 n - k + 2 ... n - n - 2 n - n - 1
n - k n - k + 1 n - k + 2 ... n - n - 2 n - n - 1
n
k
n
k
=
n !
k ! n - k !
, n ∈ IN , k ∈ IN
x + y
7
=
7
0
x
7
+
7
1
x
6
y +
7
2
x
5
y
2
+
7
3
x
4
y
3
+
7
4
x
3
y
4
+
7
5
x
2
y
5
+
7
6
xy
6
+
7
7
y
7
= x
7
+
7!
1!.6!
x
6
y +
7!
2!.5!
x
5
y
2
+
7!
3!.4!
x
4
y
3
+
7!
4!.3!
x
3
y
4
+
7!
5!.2!
x
2
y
5
+
7!
6!.1!
xy
6
+
7!
7!.0!
y
7
n
k
11
7
=
11!
7!.4!
= 330
x + y
n
=
n
0
x
n
+
n
1
x
n-1
y +
n
2
x
n-2
y
2
+ .. +
n
k
x
n-k
y
k
+.. +
n
n
y
n
, n IN , k IN

(x + y) = x + y
1 1
(x + y)
2
= x
2
+ 2xy + y
2
1 2 1
(x + y)
3
= x
3
+ 3x
2
y + 3xy
2
+ y
3
1 3 3 1
(x + y)
4
= x
4
+ 4x
3
y + 6x
2
y
2
+ 4xy
3
+ y
4
1 4 6 4 1
(x + y)
5
= x
5
+ 5x
4
y + 10x
3
y
2
+ 10x
2
y
3
+ 5xy
4
+ y
5
1 5 10 10 5
1
(x + y)
6
= x
6
+ 6x
5
y + 15x
4
y
2
+ 20x
3
y
3
+ 15x
2
y
4
+ 6xy
5
+ y
6
1 6 15 20 15 6 1
. . . . .
. . . . .
Yukarıda katsayıların oluşturduğu üçgen biçimindeki tablodan açılımla ilgili şu
özellikleri görüyoruz. Bu açılımlarda n. satırda ilk katsayı 1, ikinci katsayı n, diğer
katsayılar ise bir üst satırda o katsayının üstündeki sayı ile onun solundaki sayının
toplamıdır. Örneğin üçüncü satırdaki 3, üstündeki 2 ile 2 nin solundaki 1 in toplamı-
na, 6-ıncı satırdaki ikinci 15 de üstündeki 5 ile 5 in solundaki 10 nun toplamına eşit-
tir. Bu kural diğer bütün katsayılar için de geçerlidir. Bunun doğruluğunu tablodan
kolayca görebilirsiniz. Bu üçgende 7-inci satır, x + y nin 7-inci kuvvetinin açılımın-
daki katsayılardan oluşacaktır. 6-ıncısatırdaki katsayılar bilindikten sonra 7-inci sa-
tırdaki katsayılar, yukarıda açıklamaya çalıştığımız kuralla kolayca bulunabilir. Bu
katsayılar, 1,7, 21, 35, 35, 21, 7, 1 dir. Binom açılımında katsayıların bulunmasında ol-
dukça kolaylık sağlayan bu tabloya Pascal Üçgeni denilmektedir. x + y nin n-inci
kuvvetinin açılımındaki katsayılarıPascal üçgeni ile bulabilmek için (n-1)-inci kuv-
vetin açılımındaki katsayıların (yani Pascal Üçgeninde n-1 -inci satırın) bilinmesi
gerekmektedir. Bu n büyüdükçe Pascal üçgeninin uygulanabilirliğini kısıtlayan bir
özelliktir
Alıntı:
Ziyaretçi adlı kullanıcıdan alıntı Mesajı Görüntüle

Özdeşlik kavramı nedir
Alıntı:
Misafir adlı kullanıcıdan alıntı Mesajı Görüntüle

arkadaşlar özdeşlik hakkında hiç birşey bulamıyorum nedir ve örneklerle elinde tez olan varmı
Alıntı:
Misafir adlı kullanıcıdan alıntı Mesajı Görüntüle

özdeşlik kavramı hakkında açıklama ve örneklerin verilmesi
Alıntı:
Misafir adlı kullanıcıdan alıntı Mesajı Görüntüle

özdeşlik kavramı hakkında bilgi
Rapor Et
Eski 25 Nisan 2010, 18:57

matematık

#8 (link)
Misafir
Ziyaretçi
Misafir - avatarı
1-Özdeşlik nedir?
2-Bir ifadenin özdeşlik olup olmadıgına dair ornekler verınız.
3-önemli özdeşlikleri sırasıyla yazıp gunluk hayatta kullanımı ile ilgili ornekler verınız.

yardımcı olursanız sevınırım
Rapor Et
Eski 26 Aralık 2010, 20:10

yok

#9 (link)
Misafir
Ziyaretçi
Misafir - avatarı
allah bin belasını versn burayı kuranın özdeşlikler nedir acıklama istiyorum yaaaaaaaaaa
Rapor Et
Eski 5 Nisan 2011, 09:15

Özdeşlik nedir?

#10 (link)
Misafir
Ziyaretçi
Misafir - avatarı
özdeşlik nedir
Rapor Et
Cevap Yaz Yeni Konu Aç
Hızlı Cevap
Kullanıcı Adı:
Önce bu soruyu cevaplayın
Mesaj:








Yeni Soru
Sayfa 1.014 saniyede (94.35% PHP - 5.65% MySQL) 17 sorgu ile oluşturuldu
Şimdi ücretsiz üye olun!
Saat Dilimi: GMT +3 - Saat: 13:20
  • YASAL BİLGİ

  • İçerik sağlayıcı paylaşım sitelerinden biri olan MsXLabs.org forum adresimizde T.C.K 20.ci Madde ve 5651 Sayılı Kanun'un 4.cü maddesinin (2).ci fıkrasına göre tüm kullanıcılarımız yaptıkları paylaşımlardan sorumludur. MsXLabs.org hakkında yapılacak tüm hukuksal şikayetler buradan iletişime geçilmesi halinde ilgili kanunlar ve yönetmelikler çerçevesinde en geç 3 (üç) iş günü içerisinde MsXLabs.org yönetimi olarak tarafımızdan gerekli işlemler yapıldıktan sonra size dönüş yapılacaktır.
  • » Site ve Forum Kuralları
  • » Gizlilik Sözleşmesi