PC Görünümü Üye Ol
Forum Ana Sayfa
Soru-Cevap > Denklem nedir, örnek verir misiniz?
1 23...Son
«Önceki KonuSonraki Konu»
Ziyaretçi09:42, 27 Ocak 2009 
DENKLEM NEDİR VE ÖRNEKLERİ VAR MI?
En iyi cevap toxic91 tarafından gönderildi

2x+3=5+x
Bu bir denklemdir. Bir bilinmeyenlidir. Aynı olan türleri bir tarafta toplarsanız sonuca ulaşırsınız.
2x-x=5-3 x ve 3 ün yerlerini değiştirdiğimiz için işaretleri değişti.
x=2


x+2y =2
2x-2y=4
Bu ise 2 bilinmeyenli bir denklemdir.
Bu tür denklemlerde taraf tarafa toplamak en iyi yoldur. Fakat her hangi birisinden x veya y'nin değerini bulup diğer kullanmadığınız denklemde yerine yazarsanız yine sonuca ulaşırsınız
x+2x+2y-2y=2+4 hem +2y hem -2y birbirlerini götürürler.
3x=6
x=2

Denklem, iki niceliğin eşitliğini gösteren bağıntıdır. Araya (=) işareti konularak ifade edilir. Denklemlerde eşitlik değişkenlerin belirli değerleri için sağlanır. Değişkenlerin her değeri için geçerli olan eşitliklere özdeşlik denir.
(x + y)² =x² + 2·x·y + y² özdeşlik x² - 3·x + 2 = 0 ise bir denklemdir. x² - 3·x + 2 = 0 denklemi sadece x = 1 ve x = 2 sayıları için doğrudur, diğer değerler için yanlıştır. Özdeşlikte ise her x ve y değeri için eşitlik doğrudur. Denklemlerde değişkenlerin en büyük kuvveti denklemin derecesini gösterir. Her terimin derecesi aynı olan denklemlere homojen denklem denir.
Yüzey denklemiÜç boyutlu uzayın herhangi bir P noktasının koordinatları x,y,z ise, f (x,y,z) = 0 şeklindeki denklemlerdir. Eğri denklemiEğri, tarifinden dolayı iki yüzeyin arakesiti bir eğridir f(x,y,z) = 0 ve g(x,y,z) = 0 yüzey denklemleri bir arada eğri denklemi verir. İki boyutlu uzayda x ve y gibi iki değişkenle meydana gelen denklemler bir eğri denklemidir: y² = 2x, y = 3x, x² + y² = 1 birer eğri denklemidir. Cebirsel denklemTerimleri cebirsel fonksiyonlardan meydana gelen denklemlerdir. Denklem sistemiOrtak çözümleri olsun veya olmasın iki veya daha fazla denklemler grubu. Lineer denklemDeğişkenleri birinci dereceden olan cebirsel denklem. Mesela: 3x + y = 5, 8x + 9 =3 gibi. Logaritmik denklemBilinmeyenlerin logaritmik fonksiyonlarının bulunduğu denklemlerdir. log(x) + 3·log(3x) = 4 gibi. Transandant denklemCebirsel olmayan denklemlerdir. Logaritmik, üstel, trigonometrik fonkisiyonlardan meydana getirilen denklem böyledir.(İngilizcesi transcendental olan bu kelimenin Türkçe'si "AŞKIN" olarak çevirilmiş. Bu ifade aynı zamanda pi,e gibi sayılar için de kullanılır. Kendi kendini aşandan (AŞKIN) gelmektedir. Aşkın Sayılar)

Denklemler teorisi
f(x) = anxn + an-1xn-1 + .... + a1x + a0 = 0 çok terimli denklemleriyle ilgilenir. Burada n denklemin derecesini ve an denklemin baş katsayısını gösterir.
Çarpan teoremiEğer (n'inci) mertebeden f(x) = 0 denkleminin x = a gibi bir kökü (çözümü) varsa, g(x) çokterimlisi (n-1) mertebeden olmak üzere: f(x) = (x-a)·g(x) yazılabilir. Kök sayısıBir denklemin en fazla, derecesi kadar kökü vardır. Katlı kökEğer: f(x)=(x-a)k·g(x) yazılabiliyorsa x=a, f(x)=0 denkleminin k katlı köküdür. Mesela: x³ + x² - 5x + 3 = (x-1)²·(x+3) = 0 denkleminde x = 1 iki katlı kök, x = -3 tek katlı köktür. Karmaşık kökEğer gerçel katsayılara sahip f(x) = 0 denkleminin bir kökü x= a + ib ise, x = a - ib de diğer bir köktür. Gerçel kökün yeriEğer gerçel katsayılara sahip f(x) için f(a) ve f(b) ters işaretli değerler ise, a ve b arasında f(x) = 0 denkleminin bir kökü vardır. Mesela f(x) = x5 - x - 1 = 0 da f(1) = -1 ve f(2) = 29 olduğu için, denklemin 1 ile 2 arasında bir kökü vardır. İkinci derece denklemx² + ax + b = 0 denkleminin en çok iki kökü bulunur.
Bu kökler

gerçel çözümün olması için karekök altındaki ifadenin negatif olmaması gerekir. Eğer kökün altındaki ifade sıfırsa, kök tek olarak iki katlı ortaya çıkar. Negatif ise gerçek kök yoktur. Beşinci ve daha yüksek dereceden denklemlerin yalnızca cebirsel işlemler içeren formüller yardımıyla çözülmesinin olanaksızlığını ilk kez Paolo Ruffini öne sürdü ve Norveçli matematikçi Niels Henrik Abel beşinci dereceden denklemler için bunu kanıtladı (1824). Abel'den bağımsız olarak aynı sonuca varan Fransız matematikçi Evariste Galois, oluşturduğu denklemler kuramını matematikte yeni bir kavram olan gruplar kuramına dayandırmıştı. Yirmi yaşında bir düelloda öldürülen Galois, ölümünden bir gece önce bir arkadaşına aceleyle yazıp bıraktığı bir mektupta, günümüzde kendi adıyla anılan kuramı ortaya koydu.

2. derece denklemler
ax2 + bx + c = 0 şeklindeki denklemlerdir. Bu çeşit denklemlerin 2 adet kökü bulunur. Bu denklemlerin bazıları çarpanlara ayrılarak yapılır. Örneğinx2 − 7x + 12 = 0 denklemi (x-4)(x-3)=0 şeklinde açılabilir. Çözüm kümesi de Ç={4,3}'tür.
Ama bazı denklemler parantezle ayrılamaz. Bunların çözüm kümesini bulmak için diskriminant formülü vardır. Bu formül kökü reel olmayan denklemler için de geçerlidir.
Benzer Konular:
Etiketler:
  • denklem nedir
  • denklem nedir ornekler
  • denklemler nedir
Cevap
toxic9109:49, 27 Ocak 2009 
2x+3=5+x
Bu bir denklemdir. Bir bilinmeyenlidir. Aynı olan türleri bir tarafta toplarsanız sonuca ulaşırsınız.
2x-x=5-3 x ve 3 ün yerlerini değiştirdiğimiz için işaretleri değişti.
x=2


x+2y =2
2x-2y=4
Bu ise 2 bilinmeyenli bir denklemdir.
Bu tür denklemlerde taraf tarafa toplamak en iyi yoldur. Fakat her hangi birisinden x veya y'nin değerini bulup diğer kullanmadığınız denklemde yerine yazarsanız yine sonuca ulaşırsınız
x+2x+2y-2y=2+4 hem +2y hem -2y birbirlerini götürürler.
3x=6
x=2

Denklem, iki niceliğin eşitliğini gösteren bağıntıdır. Araya (=) işareti konularak ifade edilir. Denklemlerde eşitlik değişkenlerin belirli değerleri için sağlanır. Değişkenlerin her değeri için geçerli olan eşitliklere özdeşlik denir.
(x + y)² =x² + 2·x·y + y² özdeşlik x² - 3·x + 2 = 0 ise bir denklemdir. x² - 3·x + 2 = 0 denklemi sadece x = 1 ve x = 2 sayıları için doğrudur, diğer değerler için yanlıştır. Özdeşlikte ise her x ve y değeri için eşitlik doğrudur. Denklemlerde değişkenlerin en büyük kuvveti denklemin derecesini gösterir. Her terimin derecesi aynı olan denklemlere homojen denklem denir.
Yüzey denklemiÜç boyutlu uzayın herhangi bir P noktasının koordinatları x,y,z ise, f (x,y,z) = 0 şeklindeki denklemlerdir. Eğri denklemiEğri, tarifinden dolayı iki yüzeyin arakesiti bir eğridir f(x,y,z) = 0 ve g(x,y,z) = 0 yüzey denklemleri bir arada eğri denklemi verir. İki boyutlu uzayda x ve y gibi iki değişkenle meydana gelen denklemler bir eğri denklemidir: y² = 2x, y = 3x, x² + y² = 1 birer eğri denklemidir. Cebirsel denklemTerimleri cebirsel fonksiyonlardan meydana gelen denklemlerdir. Denklem sistemiOrtak çözümleri olsun veya olmasın iki veya daha fazla denklemler grubu. Lineer denklemDeğişkenleri birinci dereceden olan cebirsel denklem. Mesela: 3x + y = 5, 8x + 9 =3 gibi. Logaritmik denklemBilinmeyenlerin logaritmik fonksiyonlarının bulunduğu denklemlerdir. log(x) + 3·log(3x) = 4 gibi. Transandant denklemCebirsel olmayan denklemlerdir. Logaritmik, üstel, trigonometrik fonkisiyonlardan meydana getirilen denklem böyledir.(İngilizcesi transcendental olan bu kelimenin Türkçe'si "AŞKIN" olarak çevirilmiş. Bu ifade aynı zamanda pi,e gibi sayılar için de kullanılır. Kendi kendini aşandan (AŞKIN) gelmektedir. Aşkın Sayılar)

Denklemler teorisi
f(x) = anxn + an-1xn-1 + .... + a1x + a0 = 0 çok terimli denklemleriyle ilgilenir. Burada n denklemin derecesini ve an denklemin baş katsayısını gösterir.
Çarpan teoremiEğer (n'inci) mertebeden f(x) = 0 denkleminin x = a gibi bir kökü (çözümü) varsa, g(x) çokterimlisi (n-1) mertebeden olmak üzere: f(x) = (x-a)·g(x) yazılabilir. Kök sayısıBir denklemin en fazla, derecesi kadar kökü vardır. Katlı kökEğer: f(x)=(x-a)k·g(x) yazılabiliyorsa x=a, f(x)=0 denkleminin k katlı köküdür. Mesela: x³ + x² - 5x + 3 = (x-1)²·(x+3) = 0 denkleminde x = 1 iki katlı kök, x = -3 tek katlı köktür. Karmaşık kökEğer gerçel katsayılara sahip f(x) = 0 denkleminin bir kökü x= a + ib ise, x = a - ib de diğer bir köktür. Gerçel kökün yeriEğer gerçel katsayılara sahip f(x) için f(a) ve f(b) ters işaretli değerler ise, a ve b arasında f(x) = 0 denkleminin bir kökü vardır. Mesela f(x) = x5 - x - 1 = 0 da f(1) = -1 ve f(2) = 29 olduğu için, denklemin 1 ile 2 arasında bir kökü vardır. İkinci derece denklemx² + ax + b = 0 denkleminin en çok iki kökü bulunur.
Bu kökler

gerçel çözümün olması için karekök altındaki ifadenin negatif olmaması gerekir. Eğer kökün altındaki ifade sıfırsa, kök tek olarak iki katlı ortaya çıkar. Negatif ise gerçek kök yoktur. Beşinci ve daha yüksek dereceden denklemlerin yalnızca cebirsel işlemler içeren formüller yardımıyla çözülmesinin olanaksızlığını ilk kez Paolo Ruffini öne sürdü ve Norveçli matematikçi Niels Henrik Abel beşinci dereceden denklemler için bunu kanıtladı (1824). Abel'den bağımsız olarak aynı sonuca varan Fransız matematikçi Evariste Galois, oluşturduğu denklemler kuramını matematikte yeni bir kavram olan gruplar kuramına dayandırmıştı. Yirmi yaşında bir düelloda öldürülen Galois, ölümünden bir gece önce bir arkadaşına aceleyle yazıp bıraktığı bir mektupta, günümüzde kendi adıyla anılan kuramı ortaya koydu.

2. derece denklemler
ax2 + bx + c = 0 şeklindeki denklemlerdir. Bu çeşit denklemlerin 2 adet kökü bulunur. Bu denklemlerin bazıları çarpanlara ayrılarak yapılır. Örneğinx2 − 7x + 12 = 0 denklemi (x-4)(x-3)=0 şeklinde açılabilir. Çözüm kümesi de Ç={4,3}'tür.
Ama bazı denklemler parantezle ayrılamaz. Bunların çözüm kümesini bulmak için diskriminant formülü vardır. Bu formül kökü reel olmayan denklemler için de geçerlidir.
Cevap
toxic9109:55, 27 Ocak 2009 
Cauchy-Riemann denklemleri
Matematiğin bir dalı olan karmaşık analizde Augustin Louis Cauchy ve Bernhard Riemann'a atfen Cauchy-Riemann denklemleri olarak adlandıran denklemler, türevlenebilir bir fonksiyonun açık bir kümede holomorfik fonksiyon olması için gerekli ve yeterli şartları sağlayan kısmi diferansiyel denklemlerdir. Bu denklemler sistemi ilk defa Jean le Rond d'Alembert'in 1752 yılındaki çalışmasında ortaya çıkmıştır. Daha sonra, 1777 yılındaki çalışmasıyla Leonhard Euler bu sistemi analitik fonksiyonlarla ilişkilendirmiştir. Cauchy ise bu sistemi 1814'teki çalışmasındaki fonksiyonlar teorisinde kullanmıştır. Riemann'ın fonksiyonlar teorisi üzerine olan doktora tezinin tarihi ise 1851'dir.

Bir gerçel değerli fonksiyon çifti u(x,y) ve v(x,y) için yazılan Cauchy-Riemann denklemleri aşağıdaki gibidir:
(1a) ve
(1b) Genelde u ve v çifti, karmaşık değerli bir f(x + iy) = u(x,y) + iv(x,y) fonksiyonunun gerçel ve sanal kısımları olarak alınır. u ve v, C 'nin açık bir kümesinde sürekli şekilde türevlenebilir bir fonksiyon olsun. O zaman, f=u+iv ancak ve ancak u ve v Cauchy-Riemann denklemlerini ((1a)'yı ve (1b)'yi) sağlarsa, holomorfiktir.

Yorumu ve formülasyonu


Açıkorur gönderimler

Cauchy-Riemann denklemleri çeşitli yollarla genelde tekrar formüle edilirler. Birincisi,
(2) karmaşık formunda yazılabilirler.
Bu formda, denklemler yapısal olarak Jakoben matrisinin, ve olacak şekilde,
formunda olmasına karşılık gelir. Bu formdaki bir matris bir karmaşık sayının matris temsilidir. Geometrik olarak, böyle bir matris her zaman homotetisi olan bir rotasyonun bileşkesidir ve bilhassa açıları korur. Sonuç olarak, türevi sıfırdan farklı, Cauchy-Riemann denklemlerini sağlayan bir fonksiyon düzlemdeki eğriler arasındaki açıyı korur. Yani, Cauchy-Riemann denklemleri bir fonksiyonun açıkorur gönderim olması için olan koşullardır.

Karmaşık eşleniğin bağımsız olması

Denklemler bazen tek bir denklem olarak yazılır:
(3) Burada, türev operatörü
olarak tanımlanmıştır.
Bu formda, Cauch-Riemann denklemleri "f, değişkeninden bağımsızdır" olarak yorumlanabilir.

Karmaşık türevlilik

Cauchy-Riemann denklemleri bir fonksiyonun karmaşık türevli (veya holomorfik) olması için gerekli ve yeterli bir koşuldur (Ahlofors 1953, §1.2 ). Daha ayrıntılı bir şekilde,
f(z) = u(z) + iv(z) zC karmaşık sayısının fonksiyonu olsun. O zaman, f 'nin z0 noktasında karmaşık türevi eğer limit varsa
olarak tanımlanır.
Eğer bu limit varsa, limit reel eksen veya sanal eksen boyunca h→0 alınarak hesaplanabilir ve her iki durumda da aynı sonucu vermelidir. Reel eksen boyunca yaklaşılırsa
elde edilir. Diğer taraftan sanal eksen boyunca yaklaşılırsa
elde edilir. İki eksen boyunca alınan türevlerin eşitliği
ifadesini verecektir. Farkedilirse bu, z0 noktasındaki (2) nolu Cauchy-Riemann denklemidir.
Tersine, f:CC, R2 'de türevli olarak algılanırsa, o zaman f ancak ve ancak Cauchy-Riemann denklemleri sağlanırsa karmaşık türevlidir.



Diğer temsiller

Cauchy-Riemann denklemlerinin diğer temsilleri diğer koordinat sistemlerinde de ortaya çıkmaktadır. Sürekli şekilde türevlenebilir bir u ve v fonksiyon çifti için (1a) ve (1b) sağlanıyorsa, o zaman 'nin birim dik ve pozitif yönlü olduğu herhangi (n(x,y), s(x,y)) koordinatı için de
eşitlikleri sağlanır. Sonuç olarak, özellikle, z=reiθ olarak verilen kutupsal koordinatlar sisteminde, denklemler
halini alır.
f için bu iki denklem birleştirildiğinde
elde edilir.

Homojen olmayan denklemler

Homojen olmayan Cauchy-Riemann denklemleri, R2 'nin açık bir altkümesinde verilmiş α(x,y) ve β(x,y) için, bilinmeyen iki gerçel değişkenli bir u(x,y) ve v(x,y) fonksiyon çiftinin iki denkleminden oluşur:
Bu denklemler genellikle bir denklemde toplanırlar (f=u+iv ve φ=(α+iβ)/2):
Eğer φ, Ck ise, o zaman herhangi sınırlı bir D bölgesinin kapanışında φ sürekli olduğu sürece, homojen olmayan denklem D 'de açık olarak çözülebilir. Aslında Cauchy integral formülü kullanılarak her ζ∈D için
ifadesi elde edilir.

Genelleştirmeler


Goursat teoremi ve genelleştirmeleri

Ayrıca bakınız: Cauchy-Goursat teoremi f = u+iv, f : R2 → R2 fonksiyonu olarak karmaşık değerli, türevlenebilir bir fonksiyon olsun. O zaman Goursat teoremi, f 'nin açık karmaşık bir Ω bölgesinde ancak ve ancak fonksiyon Cauchy-Riemann denklemlerini sağlarsa analitik olacağını ifade eder (Rudin 1966, Teorem 11.2). Özelde, f 'nin sürekli türevliliği varsayılmak zorunda değildir (Dieudonné 1969, §9.10, Al. 1).
Goursat teoremi 'nin varsayımları önemli bir ölçüde zayıflatılabilir. f=u+iv açık bir Ω kümesinde sürekliyse ve f 'nin Ω 'da x ve y 'ye göre kısmi türevleri varsa, o halde f holomorfiktir (ve bu yüzden analitiktir). Bu sonuç Looman–Menchoff teoremi olarak bilinir.
f 'nin Ω üzerinde Cauchy-Riemann denklemlerini sağlaması varsayımı çok önemlidir. Bir noktada Cauchy-Riemann denklemlerini sağlayan ancak analitik olmayan bir fonksiyon inşa etmek mümkündür (mesela f(z) = z5/|z|4). Benzer bir şekilde, aşağıdaki örneğin de gösterdiği gibi, Cauchy-Riemann denklemlerinin yanında (süreklilik gibi) bazı ek varsayımlara da ihtiyaç vardır (örnek Looman 1923, sf. 107'dedir.):
Cauchy-Riemann denklemlerini sağlar ancak z=0 noktasında sürekli değildir.
Yine de, bir fonksiyon açık bir küme üzerinde Cauchy-Riemann denklemlerini zayıf bir anlamda sağlıyorsa, o zaman fonksiyon analitiktir. Daha kesin bir anlamda (Gray Morris 1978, Teorem 9),
  • f(z), Ω⊂C açık bölgesinde yerel olarak integrallenebiliyorsa ve zayıf bir şekilde Cauchy-Riemann denklemlerini sağlıyorsa, o zaman f, Ω içindeki analitik bir fonksiyonla hemen hemen her yerde aynıdır.

Çok değişkenler

Cauchy-Riemann denklemlerinin çok karmaşık değişkenlere uygun genelleştirmeleri de vardır. Kısmi diferansiyel denklemleri önemli bir [artık belirtilmiş sistemleri]]ni oluştururlar. Çoğu zaman formüle edildiği gibi
d-bar operatörü holomorfik fonksiyonları imha eder. Bu doğrudan
alınarak şu genelleştirmeyi yapar:


Dalga denklemi


1 boyutlu dalga denklemi.


Dalga denklemi fizikte çok önemli yere sahip bir kısmi diferansiyel denklemdir. Bu denklemin çözümlerinden, ses, ışık ve su dalgalarının hareketlerini betimleyen fiziksel nicelikler çıkar. Kullanım alanı, akustik, akışkanlar mekaniği ve elektromanyetikte oldukça fazladır. Denklemin dalga hareketinde bulunan herhangi bir u skaler büyüklüğü için gösterimleri
Gösterim Açıklama operatörü : u'nun zamana göre 2. türevi : d'Alembert İşlemcisi Burada c dalganın yayılma veya ilerleme hızıdır. Dalganın dağılması, yani ilerledikçe başka başka frekanslar haline bürünmesi olgusu (dispersion) göz önüne alınırsa denklemde c yerine faz hızı kullanılır. Ayrıca daha gerçekçi sistemlerde hızın, dalganın genliğine bağlı olduğu dikkate alındığından denklem doğrusal olmayan

şeklinde biçimlenir.

Tek boyutta çözümü

Laplasyen tek boyutta adi türeve dönüşür.

d'Alembert çözümü

ve tanımları yapılarak zincir kuralı yardımıyla:
yazılabilir.
olduğundan,
ifadesi ve aynı yol izlenerek
ifadesi elde edilebilir. İki denklem birbirinden çıkartılarak dalga denklemi buradan,
olarak yazılır. Dolayısıyla denklem,
durumuna indirgenmiş olur. Kısmî diferansiyel denklemin çözümü, tek tek değişkenler için integral alınarak
olarak bulunur. Burada f, +x yönünde ilerleyen, g de -x yönünde ilerleyen düzlem dalgayı betimler.

Fourier dönüşümü ile

Denklem yazılıp iki tarafa da Fourier dönüşümü yapılırsa
biçimine dönüşür.
denkliği kullanılarak
diferansiyel denklemi elde edilir. Burada, dönüşümü de uygulanarak dalga denkleminin w,k uzayındaki dağılım (dispersion) ilişkisini vermesi görülebilir. Elde edilmiş olan diferansiyel denklemin çözümü
olarak elde edilir. Ancak bu çözüm konum uzayı x de değil, başka bir uzay olan k uzayındaki çözümdür. Çözümün konum uzayında bulunabilmesi için k uzayındaki çözüme ters Fourier dönüşümü uygulanır.
çözülüerek
Görüldüğü üzere birinci ve ikinci terim sırasıyla f ve g diye iki fonksiyonun Fourier dönüşümleri olarak kabul edilirse x uzayındaki çözüm
olarak elde edilir.

Değişkenlere ayırma yöntemi ile

Dalga denklemi karışık türevler içermediği için değişkenlere ayırma yöntemi kullanılarak da çözüme gidilebilir.
olarak yazılır ve denkleme konulursa denklem şu hali alır:
iki taraf da u ya bölünürse
iki tane birbirinden bağımsız değişkenin olduğu ifade birbirine ancak bir sabite eşit olmaları durumunda eşit olabileceğinden iki denklem de ayrı ayrı bu sabite eşitlenerek çözümler bulunabilir. Bu sabit pozitif, negatif ve sıfır olması durumlarında incelenerek diferansiyel denklemler çözülebilir ancak fizikte zaman genelde salınım olarak ortaya çıktığından sabit, − k2, k:reel seçilerek fiziksel olarak anlamlı çözüme hızlıca gidilebilir. Böylece denklemin sol tarafından:
ve sağ tarafından da
bulunur. Sinüs ve kosinüs ile elde edilen çözümler sınır koşullarını rahatça sağlayacaklarından genellikle sınır değer problemlerinde kullanılırlar. Dalga boşlukta hareket eden bir elektromanyetik bir ışınsa o zaman çözümleri K1eikx ve K2eikct olarak vermek daha rahat olur. Matematiksel olarak iki çözüm de doğru olmasına rağmen fiziksel kaidelerden serbest ve bağlı olarak çözümler böyle sınıflandırılabilir.

Dirac denklemi



Adını İngiliz fizikçi Paul Dirac'tan alan dönülü ve göreli kuantum mekaniği denklemi,
şeklinde ifade edilebilir. Burada;
m_0 : parçacığın durağan kütlesini,c : ışık hızını,pμ : dörtmomentumu,γμ : Dirac matrislerini göstermektedir. Ayrıca Ψ, dört tane karmaşık sayıdan oluşan bir kolon matristir ve olasılığın dalga fonksiyonudur. Bu dört sayı da iki gruba ayrılır:
Buradaki Ψ + ve Ψ − , Dirac dönücüleri olarak adlandırılır ve her birinin farklı bir fiziksel anlamı vardır. Ψ + dönücüsü, pozitif enerjileri, Ψ − negatif enerjileri ifāde eder. Bunlar da
ve olarak tanımlanır. ψ yukarı dönü ve φ aşağı dönü olarak anlam kazanır. Yani, dalga fonksiyonu;
şeklindedir.

Serbest parçacık için Dirac denklemi

Dırac denklemlerinde μ = 0 bileşenini ayırıp gerisi için i=1,2,3 indisini bırakırsak (bknz. Minkowski uzayzamanı), Dirac denklemi;
biçiminde yazılabilir. Dirac matrisleri; I, birim matris olmak üzere
ve olarak Pauli matrisleri cinsinden yazılabilir. Bunlar yerine konunca Dirac denklemi,
biçimini alır. Matris çarpımı yapılırsa, çiftlenimli denklemler elde edilir:
Bu özdeğer denklemlerini çözmek için, dönücülerden biri çekilip diğer denklemde yerine yazılabilir. Buradan, göreliliğin en önemli denklemlerinden biri elde edilir:
Burada p0c = E = mc2 ve olduğundan ifade,
şeklindedir. Buradan E için pozitif ve negatif değerler gelir.

Elektromanyetik alanda Dirac denklemi

Denklemdeki dörtmomentum işlemcisine elektromanyetik potansiyeli dahil edersek:
denklem,
biçimine gelir. Buradaki Aμ, elektromanyetik dörtpotansiyeldir ve e elektriksel yüktür.

Doğrusal denklem
Doğrusal (Lineer) Denklem terimlerinin her biri ya birinci dereceden değişken ya da bir sabit olan denklemlerdir. Bu tür denklemler aynı zamanda birinci dereceden bir polinom belirtirler. Böyle denklemlere "doğrusal" denmesinin nedeni içerdikleri terim ve değişkenlerin sayısına bağlı olarak (n) düzlemde ya da uzayda (ya da n-boyutlu ortam) bir doğru belirtmesindendir. Doğrusal denklemlerin en yaygını bir x ve y değişkeni içeren aşağıdaki formdur:
Burada, m sabiti doğrunun eğimini belirler; b sabiti ise denklemin x ve y eksenlerini keseceği noktaları belirler (yani m sabiti değişmesi fonksiyonun artış miktarını etkilerken b sabitinin değişmesi doğrunun düzlemde ötelenmesine neden olur). Aynı terimde iki değişken barındıran ya da değişken terimin derecesi 1'den farklı olan denklemler: x2 ya da y1 / 3 (terimler birinci dereceden ya da bir sabit olmadığından) ve xy (tek bir terim çift değişken içerdiğinden) doğrusal değildir.

Örnekler
İki değişkenli bazı doğrusal denklem örnekleri:

İki Boyutlu Doğrusal Denklemler


Aşağıdaki formlar basit matematik bilgisiyle yazılabilecek 2 boyutlu doğrusal denklem örnekleridir. Burada büyük harfler sabitlerin x ve y'ler değişkenlerin yerine kullanılmıştır.
  • Genel form
Hem A hem B'nin sıfıra eşit olmadığı durumalrda denklem genelde A ≥ 0 olacak şekilde yazılır. Denklemin grafiği bir doğru belirtir. A sıfır olmadıkça denklem x eksenini değeri -C/A olan bir a noktasında keser, B sıfır olmadıkça denklem y eksenini değeri -C/B olan bir b noktasında keser. A/B ise denklemin eğimini (m'yi) verir.
  • Standart form
A ve B sıfır olmadıkça A, B, ve C en büyük ortak çarpanı 1 olan tamsayılardan seçilir. Genelde A ≥ 0'dir. A sıfır olmadıkça denklem x eksenini değeri C/A olan bir a noktasında keser, B sıfır olmadıkça denklem y eksenini değeri C/B olan bir b noktasında keser. A/B ise denklemin eğimini (m'yi) verir.
  • Eğim-kesim noktası formu
Kesim noktası: Doğrunun herhangi bir eksenle kesiştiği noktadır. Örneğin sağdaki grafikte (a,0) x ekseni kesim noktası; (0,b) y ekseni kesim noktasıdır.
m eğimi ve b de y-ekseni kesim noktasını gösterir. x = 0 de y = b olduğu direk gözlenir.
  • Nokta-eğim formu
m eğim ve (x1,y1) doğru üzerinde herhangi bir noktadır. Bazen nokta-eğim formü şu şekilde de karşımıza çıkabilir: Ancak, bu şekilde x = x1 durumunda eşitlik sağlanmaz.
  • Kesim noktası formu
E ve F sıfırdan farklı olmalıdır. Doğru ve x ekseninin kesiştiği nokta (x ekseninin kesim noktası) E ve y ekseninin kesim noktası F'dir. A = 1/E, B = 1/F ve C = 1 alınarak kolaylıkla standart forma dönüştürülebilir.
  • İki nokta formu
ph. Grafik (h,k)'ya karşılık (p,q) noktasını sağlar ve eğim m = (qk) / (ph)'dir.
  • Parametrik form
ve olsun şeklinde iki denklemdir. eğim m = V / T, x-kesim noktası a=(VU−WT) / V ve y-kesim noktası b=(WT−VU) / T
  • Normal form
φ normalin eğim açısı ve p de normalin uzunluğudur. Normal doğru ve başlangıç noktası (orijin) arasında doğruya dik olacak en kısa doğru parçasıdır. Tüm katsayılar by 'a bölünerek ve eğer C > 0'sa tüm katsayılar -1'le çarpılarak (böylece son katsayı negatif olur) rahatça bulunabilir. Alman Matematikçi Ludwig Otto Hesse'nin anısına bu form ayrıca Hesse standart formu olarak da anılır. Bazen denklemlerde sadeleştirme işlemlerinden sonra eşitsizlik söz konusu olabilir, 1 = 0 gibi. Bu gibi eşitsizlikler tutarsız eşitsizliklerdir, yani hiç bir x ve y değeri için doğru değildir. 3x + 2 = 3x − 5 buna örnek olabilir.
Birden fazla doğrusal denklem olduğu durumlar için lütfen bkz.: Doğrusal denklem sistemi.

Doğrusal fonksiyonlarla ilişkisi
Yukarıdaki tüm formlarda y, x'in bir fonksiyonudur. Fonksiyon grafiği denklem grafiğiyle aynıdır.
Denklemdeki y = f(x) varsayılırsa f fonksiyonu aşağıdaki özelliklere sahiptir:
ve
a bir sayıdır. Bunları sağlayan fonksiyonlara doğrusal fonksiyon denir.

İkiden fazla değişkenli doğrusal denklemler
Doğrusal denklemler ikiden fazla değişkene de sahip olabilirler, n terimli genel denklemimiz aşağıdaki gibi olsun:
Burada, a1, a2, …, an katsayılar, x1, x2, …, xn değişkenlerdir, ve b de sabittir. Üç değişkenli denklemlerde genelde x1 yerine sadece x, x2 sadece y ve x3 yerine z kullanılır.
Böyle bir denklem n-boyutlu bir Öklid uzayında (n–1)-boyutlu hiper düzlem belirtir.
Cevap
toxic9110:01, 27 Ocak 2009 
Helmholtz denklemi

Hermann von Helmholtz'un ardından adlandirilan Helmholtz denklemi veya indirgenmiş dalga denklemi


biciminde tanimli 2. dereceden bir eliptik kismi türevli diferansiyel denklemdir. Burada (Δ biciminde de gosterilir) Laplasyen operatörünü, k(x) ortamın dalga sayısını ve u(x) dalga davranışı gösteren bilinmeyen fonksiyonu göstermektedir.

Homojen olmayan Helmholtz denklemi


Bu durumda denklem fiziksel acidan u(.) alaninin f(.) kaynak dagilimi tarafindan yaratildigi biciminde yorumlanir.

Uygulama Alanları

Helmholtz denklemi zamanla harmonik degisim gosteren elektromagnetik veya akustik dalgalarla uyarılmış ortamlardaki alan dagılımını modellemek için kullanılır.

Laplace denklemi



Matematikte Laplace denklemi, özellikleri ilk defa Pierre-Simon Laplace tarafından çalışılmış bir kısmi diferansiyel denklemdir. Laplace denkleminin çözümleri, elektromanyetizma, astronomi ve akışkanlar dinamiği gibi birçok bilim alanında önemlidir çünkü çözümler bilhassa elektrik ve yerçekim potansiyeli ile akışkan potansiyelinin davranışını açıklar. Laplace denkleminin çözümlerinin genel teorisi aynı zamanda potansiyel teorisi olarak da bilinmektedir.
Tanım

Üç boyutta, problem x, y ve z gibi üç gerçel değişkene sahip, iki kere türevlenebilir, gerçel değerli ve
denklemini sağlayan bir fonksiyonu bulmaktır.
Çoğunlukla bu denklem
denklemi olarak veya div'in diverjansı ve grad'ın ise gradyanı temsil ettiği
denklemi olarak veya Δ'nın Laplace operatörü olduğu
denklemi olarak yazılır.
Laplace denkleminin çözümlerine aynı zamanda harmonik fonksiyonlar da denmektedir.
Denklemin sağ tarafı eğer belli bir f(x, y, z) fonksiyonu şeklinde verilirse, yani denklem
olarak ifade edilirse, o zaman denkleme "Poisson denklemi" adı verilir.
Laplace ve Poisson denklemleri eliptik kısmi diferansiyel denklemlerin en basit örnekleridir. Kısmi diferansiyel operatörü olan ve herhangi bir boyutta tanımlanabilen 'ye veya 'ya Laplace operatörü veya kısaca Laplasyen denmektedir.

Sınır koşulları

Laplace denklemi için Dirichlet problemi bir D bölgesi üzerinde tanımlı ve verilmiş başka bir fonksiyona D 'nin sınırı üzerinde eşit olan bir fonksiyonu bulmaktan ibarettir. Laplace operatörü ısı denkleminde yer aldığı için, problemin bir diğer yorumu da şöyledir: Bölgenin sınırındaki sıcaklık sabit tutulur ve bölgenin iç tarafındaki sıcaklık artık değişmeyecek şekilde beklenilir. İç bölgedeki sıcaklık dağılımı artık ilişkin Dirichlet probleminin çözümü tarafından verilecektir.
Laplace denklemi için Neumann sınır koşulları D'nin sınırında fonsiyonunu belirtmez ancak bu fonksiyonun normal türevini belirtir. Fiziksel olarak bu durum, yalnız D'nin sınırında etkisi bilinen bir vektör alanı için olan bir potansiyelin inşasına (oluşturulmasına) denk gelmektedir.
Laplace denkleminin çözümlerine harmonik fonksiyonlar denilmektedir ve bu fonksiyonların hepsi denklemin sağlandığı bölge içinde analitiktir. Eğer iki fonksiyon Laplace denkleminin (veya herhangi doğrusal homojen diferansiyel denklemin) çözümüyse, toplamları (veya herhangi doğrusal kombinasyonları) da ayrıca bir çözümdür. Süperpozisyon ilkesi de denilen bu özellik özellikle karmaşık problemlerin basit çözümlerin toplanılması yoluyla yapılan çözümlerinde çok yararlıdır.

İki boyutta Laplace denklemi

İki değişkenli Laplace denklemi
formuna sahiptir.



Analitik fonksiyonlar

Karmaşık analitik bir fonksiyonun gerçel ve sanal kısmının her ikisi de Laplace denklemini sağlar. Eğer z=x+iy ise ve
ise, o zaman f(z) 'nin analitik olması için gerekli koşul aşağıdaki Cauchy-Riemann denklemlerinin sağlanmasıdır:
Takip eden ifade ise
olacaktır. Bu yüzden u Laplace denklemini sağlar. Benzer bir hesaplama yine v 'nin de Laplace denklemini sağladığını gösterir.
Aksine diğer taraftan bir harmonik fonksiyon verilirse, bu fonksiyon analitik bir f(z) fonksiyonunun gerçel kısmı olur (en azından yerel olarak). Eğer
olarak alınırsa ve
şartı konulursa, o zaman Cauchy-Riemann denklemleri sağlanacaktır.
Bu ilişki ψ'yi belirlemese de artışlarını belirler:
φ için Laplace denklemi ψ'nin integrallenebilme koşulunun sağlandığını gösterir:
ve bu yüzden ψ bir çizgi integrali yoluyla tanımlanabilir. İntegrallenebilme koşulu ve Stoke teoremi iki noktayı birleştiren çizgi integralinin değerinin takip edilen yoldan bağımsız olduğunu gösterir. Laplace denkleminin sonucunda çıkan çözüm çiftine eşlenik harmonik fonksiyonlar adı verilir. Bu inşa sadece yerel olarak veya takip edilen yolun bir tekilliği çevrelememesi koşuluyla geçerlidir. Örneğin, r ve θ kutupsal koordinatlar olursa ve
ise, o zaman karşılık gelen analitik fonksiyon
fonksiyonudur. Bununla birlikte, θ açısı orijini çevrelemeyen bir bölge içinde tek (bir) değerlidir.
Laplace denklemi ve analitik fonksiyonlar arasındaki yakın ilişki Laplace denkleminin çözümünün her mertebeden türevi olduğunu gösterir ve bu çözüm en azından bir tekilliği çevrelemeyen bir çember içinde kuvvet serilerine genişletilebilir. Bu durum, daha az düzenliliğe sahip ısı denklemi çözümleriyle tezat bir haldedir.
Kuvvet serileri ve Fourier serileri arasında sıkı bir ilişki vardır. Bir f fonksiyonu R yarıçaplı bir çember içinde kuvvet serisine genişletilirse, bu gerçel ve sanal kısımları
şeklinde olan uygun katsayıların olduğu
ifadesi anlamına gelir. Bu yüzden,
olur ki bu da f 'nin Fourier seridir.

Akışkan akımı

u ve v nicelikleri durağan sıkıştırılamaz, dönmez bir akımın iki boyutta yatay ve dikey bileşenleri olsun. Akımın sıkıştırılamaz olmasının koşulu,
olmasıdır ve akımın dönmez olmasının şartı da
olmasıdır. Bir ψ fonksiyonunun diferansiyeli
olarak tanımlanırsa, o zaman sıkıştırılamama şartı bu diferansiyel için integrallenebilme koşulu olur: Sonuçtaki fonksiyona akış fonksiyonu adı verilir çünkü bu fonksiyon akım çizgileri boyunca sabittir. ψ'nin birinci türevi
ile verilir ve sıkıştırılamama şartı ψ 'nin Laplace denklemini sağladığını gösterir. ψ 'ye eşlenik olan harmonik φ fonksiyonuna hız potansiyeli denilir. Cauchy-Riemann denklemleri
ifadesini verir.
Bu yüzden her analitik fonksiyon düzlemde durağan sıkıştırılamaz, dönmez bir akışkan akıma karşılık gelir. Gerçel kısım hız potansiyeli olurken sanal kısım akış fonksiyonu olur.

Elektrostatik

Maxwell denklemleri'ne göre, iki uzay boyutunda yer alan ve zamandan bağımsız olan bir elektrik alanı (u,v),
ifadesini ve ρ'nun yük yoğunluğu olduğu
ifadesini sağlar.
Birinci Maxwell denklemi
diferansiyeli için integrallenebilme koşuludur. Böylece elektrik potansiyeli olan φ
ifadesini sağlayacak şekilde inşa edilebilir.
İkinci Maxwell denklemi o zaman Poisson denklemi olarak ifade edilen
denklemini verir.
İki boyutta kullanılana benzer olarak, Laplace denklemi elektrostatik ve akışkan akımının üç boyutlu problemlerinde de kullanılabilir.

Üç boyutta Laplace denklemi


Temel çözüm

Laplace denkleminin temel çözümü, Dirac delta fonksiyonu δ'nın noktasında toplanmış bir birim kaynağı gösterdiği
denklemini sağlar. Hiçbir fonksiyon bu özelliğe sahip değildir ancak yine de bu, integralleri uzay üzerinde birlik olan ve desteği (fonksiyonun sıfır olmadığı bölge) bir noktaya küçülen bir fonksiyonlar limiti olarak düşünülebilir. Temel çözümün tanımı bu yüzden, u 'nun Laplasyeninin kaynak noktasını çevreleyen herhengi bir hacim üzerinde integrali alındığında, o zaman
olduğunu gösterir.
Laplace denklemi koordinatların rotasyonuyla değişmez kalır ve bu yüzden bir temel çözümün, sadece (kaynak noktasından uzaklığı gösteren) r 'ye bağımlı olan çözümler arasından elde edilebileceği beklenir. Hacim kaynak noktası etrafında a yarıçaplı bir top olarak düşünülürse, o zaman Gauss diverjans teoremi
ifadesini verir. O zaman takip eden ifade ise, kaynak noktası etrafında r yarıçaplı bir küre üzerindeki
ifadesidir ve bu yüzden
olur. Benzer bir hesap ise iki boyutta
olduğunu gösterir.

Green fonksiyonu

Bir Green fonksiyonu da bir V hacminin S sınırındaki uygun şartı sağlayan temel bir çözümdür. Örneğin, ,
ifadelerini sağlayabilir.
Eğer u, V üzerinde Poisson denkleminin herhangi bir çözümüyse
olur ve u, S üzerinde g sınır değerlerini alır. O zaman aşağıdaki eşitlikleri veren (diverjans teoreminin bir sonucu olan) Green özdeşliğine başvurulabilir:
un ve Gn gösterimleri S üzerindeki normal türevleri ifade etmektedir. u ve G 'nin sağladığı şartlar bağlamında, bu sonuç
haline gelir.
Bu yüzden, Green fonksiyonu f ve g 'nin noktalarındaki etkisini açıklar. a yarıçaplı kürenin içi düşünüldüğünde ise, Green fonksiyonu yansıtma yoluyla elde edilebilir (Sommerfeld, 1949): Kürenin merkezinden ρ kadar uzaklıkta olan P kaynak noktası,
uzaklıkta bulunan bir N noktasına yarıçapsal doğru boyunca yansıtılır.
Unutulmaması gereken nokta P küre içindeyse, N 'nin küre dışında olması gerektiğidir. O zaman Green fonksiyonu R 'nin P kaynak noktasına uzaklığı ve T 'nin yansıtılmış N noktasına olan uzaklığı gösterdiği
ifadesi tarafından verilir. Green fonksiyonu için olan bu ifadenin bir sonucu ise Poisson integral formülüdür. ρ, θ, ve φ, P kaynak noktası için küresel koordinatlar olsun. Burada θ dikey eksenle olan açıyı göstermektedir. (Amerikan matematik gösterimine uymaz ancak standard Avrupa ve fiziksel uygulamalarına uyum gösteren bir gösterimdir) O zaman, küre içindeki Laplace denkleminin çözümü
olarak alınırsa
tarafından verilir.
Bu formülün basit bir sonucu ise şudur: u harmonikse, o zaman u 'nun kürenin merkezindeki değerleri, u 'nun küre üzerindeki değerlerinin ortalama değerleridir. Bu ortalama değer özelliği ise ivedilikle sabit olmayan bir fonksiyonun maksimum değerini kürenin içinde alamayacağı sonucunu verir.

Laplace denklemi



Matematikte Laplace denklemi, özellikleri ilk defa Pierre-Simon Laplace tarafından çalışılmış bir kısmi diferansiyel denklemdir. Laplace denkleminin çözümleri, elektromanyetizma, astronomi ve akışkanlar dinamiği gibi birçok bilim alanında önemlidir çünkü çözümler bilhassa elektrik ve yerçekim potansiyeli ile akışkan potansiyelinin davranışını açıklar. Laplace denkleminin çözümlerinin genel teorisi aynı zamanda potansiyel teorisi olarak da bilinmektedir.
Tanım

Üç boyutta, problem x, y ve z gibi üç gerçel değişkene sahip, iki kere türevlenebilir, gerçel değerli ve
denklemini sağlayan bir fonksiyonu bulmaktır.
Çoğunlukla bu denklem
denklemi olarak veya div'in diverjansı ve grad'ın ise gradyanı temsil ettiği
denklemi olarak veya Δ'nın Laplace operatörü olduğu
denklemi olarak yazılır.
Laplace denkleminin çözümlerine aynı zamanda harmonik fonksiyonlar da denmektedir.
Denklemin sağ tarafı eğer belli bir f(x, y, z) fonksiyonu şeklinde verilirse, yani denklem
olarak ifade edilirse, o zaman denkleme "Poisson denklemi" adı verilir.
Laplace ve Poisson denklemleri eliptik kısmi diferansiyel denklemlerin en basit örnekleridir. Kısmi diferansiyel operatörü olan ve herhangi bir boyutta tanımlanabilen 'ye veya 'ya Laplace operatörü veya kısaca Laplasyen denmektedir.

Sınır koşulları

Laplace denklemi için Dirichlet problemi bir D bölgesi üzerinde tanımlı ve verilmiş başka bir fonksiyona D 'nin sınırı üzerinde eşit olan bir fonksiyonu bulmaktan ibarettir. Laplace operatörü ısı denkleminde yer aldığı için, problemin bir diğer yorumu da şöyledir: Bölgenin sınırındaki sıcaklık sabit tutulur ve bölgenin iç tarafındaki sıcaklık artık değişmeyecek şekilde beklenilir. İç bölgedeki sıcaklık dağılımı artık ilişkin Dirichlet probleminin çözümü tarafından verilecektir.
Laplace denklemi için Neumann sınır koşulları D'nin sınırında fonsiyonunu belirtmez ancak bu fonksiyonun normal türevini belirtir. Fiziksel olarak bu durum, yalnız D'nin sınırında etkisi bilinen bir vektör alanı için olan bir potansiyelin inşasına (oluşturulmasına) denk gelmektedir.
Laplace denkleminin çözümlerine harmonik fonksiyonlar denilmektedir ve bu fonksiyonların hepsi denklemin sağlandığı bölge içinde analitiktir. Eğer iki fonksiyon Laplace denkleminin (veya herhangi doğrusal homojen diferansiyel denklemin) çözümüyse, toplamları (veya herhangi doğrusal kombinasyonları) da ayrıca bir çözümdür. Süperpozisyon ilkesi de denilen bu özellik özellikle karmaşık problemlerin basit çözümlerin toplanılması yoluyla yapılan çözümlerinde çok yararlıdır.

İki boyutta Laplace denklemi

İki değişkenli Laplace denklemi
formuna sahiptir.



Analitik fonksiyonlar

Karmaşık analitik bir fonksiyonun gerçel ve sanal kısmının her ikisi de Laplace denklemini sağlar. Eğer z=x+iy ise ve
ise, o zaman f(z) 'nin analitik olması için gerekli koşul aşağıdaki Cauchy-Riemann denklemlerinin sağlanmasıdır:
Takip eden ifade ise
olacaktır. Bu yüzden u Laplace denklemini sağlar. Benzer bir hesaplama yine v 'nin de Laplace denklemini sağladığını gösterir.
Aksine diğer taraftan bir harmonik fonksiyon verilirse, bu fonksiyon analitik bir f(z) fonksiyonunun gerçel kısmı olur (en azından yerel olarak). Eğer
olarak alınırsa ve
şartı konulursa, o zaman Cauchy-Riemann denklemleri sağlanacaktır.
Bu ilişki ψ'yi belirlemese de artışlarını belirler:
φ için Laplace denklemi ψ'nin integrallenebilme koşulunun sağlandığını gösterir:
ve bu yüzden ψ bir çizgi integrali yoluyla tanımlanabilir. İntegrallenebilme koşulu ve Stoke teoremi iki noktayı birleştiren çizgi integralinin değerinin takip edilen yoldan bağımsız olduğunu gösterir. Laplace denkleminin sonucunda çıkan çözüm çiftine eşlenik harmonik fonksiyonlar adı verilir. Bu inşa sadece yerel olarak veya takip edilen yolun bir tekilliği çevrelememesi koşuluyla geçerlidir. Örneğin, r ve θ kutupsal koordinatlar olursa ve
ise, o zaman karşılık gelen analitik fonksiyon
fonksiyonudur. Bununla birlikte, θ açısı orijini çevrelemeyen bir bölge içinde tek (bir) değerlidir.
Laplace denklemi ve analitik fonksiyonlar arasındaki yakın ilişki Laplace denkleminin çözümünün her mertebeden türevi olduğunu gösterir ve bu çözüm en azından bir tekilliği çevrelemeyen bir çember içinde kuvvet serilerine genişletilebilir. Bu durum, daha az düzenliliğe sahip ısı denklemi çözümleriyle tezat bir haldedir.
Kuvvet serileri ve Fourier serileri arasında sıkı bir ilişki vardır. Bir f fonksiyonu R yarıçaplı bir çember içinde kuvvet serisine genişletilirse, bu gerçel ve sanal kısımları
şeklinde olan uygun katsayıların olduğu
ifadesi anlamına gelir. Bu yüzden,
olur ki bu da f 'nin Fourier seridir.

Akışkan akımı

u ve v nicelikleri durağan sıkıştırılamaz, dönmez bir akımın iki boyutta yatay ve dikey bileşenleri olsun. Akımın sıkıştırılamaz olmasının koşulu,
olmasıdır ve akımın dönmez olmasının şartı da
olmasıdır. Bir ψ fonksiyonunun diferansiyeli
olarak tanımlanırsa, o zaman sıkıştırılamama şartı bu diferansiyel için integrallenebilme koşulu olur: Sonuçtaki fonksiyona akış fonksiyonu adı verilir çünkü bu fonksiyon akım çizgileri boyunca sabittir. ψ'nin birinci türevi
ile verilir ve sıkıştırılamama şartı ψ 'nin Laplace denklemini sağladığını gösterir. ψ 'ye eşlenik olan harmonik φ fonksiyonuna hız potansiyeli denilir. Cauchy-Riemann denklemleri
ifadesini verir.
Bu yüzden her analitik fonksiyon düzlemde durağan sıkıştırılamaz, dönmez bir akışkan akıma karşılık gelir. Gerçel kısım hız potansiyeli olurken sanal kısım akış fonksiyonu olur.

Elektrostatik

Maxwell denklemleri'ne göre, iki uzay boyutunda yer alan ve zamandan bağımsız olan bir elektrik alanı (u,v),
ifadesini ve ρ'nun yük yoğunluğu olduğu
ifadesini sağlar.
Birinci Maxwell denklemi
diferansiyeli için integrallenebilme koşuludur. Böylece elektrik potansiyeli olan φ
ifadesini sağlayacak şekilde inşa edilebilir.
İkinci Maxwell denklemi o zaman Poisson denklemi olarak ifade edilen
denklemini verir.
İki boyutta kullanılana benzer olarak, Laplace denklemi elektrostatik ve akışkan akımının üç boyutlu problemlerinde de kullanılabilir.

Üç boyutta Laplace denklemi


Temel çözüm

Laplace denkleminin temel çözümü, Dirac delta fonksiyonu δ'nın noktasında toplanmış bir birim kaynağı gösterdiği
denklemini sağlar. Hiçbir fonksiyon bu özelliğe sahip değildir ancak yine de bu, integralleri uzay üzerinde birlik olan ve desteği (fonksiyonun sıfır olmadığı bölge) bir noktaya küçülen bir fonksiyonlar limiti olarak düşünülebilir. Temel çözümün tanımı bu yüzden, u 'nun Laplasyeninin kaynak noktasını çevreleyen herhengi bir hacim üzerinde integrali alındığında, o zaman
olduğunu gösterir.
Laplace denklemi koordinatların rotasyonuyla değişmez kalır ve bu yüzden bir temel çözümün, sadece (kaynak noktasından uzaklığı gösteren) r 'ye bağımlı olan çözümler arasından elde edilebileceği beklenir. Hacim kaynak noktası etrafında a yarıçaplı bir top olarak düşünülürse, o zaman Gauss diverjans teoremi
ifadesini verir. O zaman takip eden ifade ise, kaynak noktası etrafında r yarıçaplı bir küre üzerindeki
ifadesidir ve bu yüzden
olur. Benzer bir hesap ise iki boyutta
olduğunu gösterir.

Green fonksiyonu

Bir Green fonksiyonu da bir V hacminin S sınırındaki uygun şartı sağlayan temel bir çözümdür. Örneğin, ,
ifadelerini sağlayabilir.
Eğer u, V üzerinde Poisson denkleminin herhangi bir çözümüyse
olur ve u, S üzerinde g sınır değerlerini alır. O zaman aşağıdaki eşitlikleri veren (diverjans teoreminin bir sonucu olan) Green özdeşliğine başvurulabilir:
un ve Gn gösterimleri S üzerindeki normal türevleri ifade etmektedir. u ve G 'nin sağladığı şartlar bağlamında, bu sonuç
haline gelir.
Bu yüzden, Green fonksiyonu f ve g 'nin noktalarındaki etkisini açıklar. a yarıçaplı kürenin içi düşünüldüğünde ise, Green fonksiyonu yansıtma yoluyla elde edilebilir (Sommerfeld, 1949): Kürenin merkezinden ρ kadar uzaklıkta olan P kaynak noktası,
uzaklıkta bulunan bir N noktasına yarıçapsal doğru boyunca yansıtılır.
Unutulmaması gereken nokta P küre içindeyse, N 'nin küre dışında olması gerektiğidir. O zaman Green fonksiyonu R 'nin P kaynak noktasına uzaklığı ve T 'nin yansıtılmış N noktasına olan uzaklığı gösterdiği
ifadesi tarafından verilir. Green fonksiyonu için olan bu ifadenin bir sonucu ise Poisson integral formülüdür. ρ, θ, ve φ, P kaynak noktası için küresel koordinatlar olsun. Burada θ dikey eksenle olan açıyı göstermektedir. (Amerikan matematik gösterimine uymaz ancak standard Avrupa ve fiziksel uygulamalarına uyum gösteren bir gösterimdir) O zaman, küre içindeki Laplace denkleminin çözümü
olarak alınırsa
tarafından verilir.
Bu formülün basit bir sonucu ise şudur: u harmonikse, o zaman u 'nun kürenin merkezindeki değerleri, u 'nun küre üzerindeki değerlerinin ortalama değerleridir. Bu ortalama değer özelliği ise ivedilikle sabit olmayan bir fonksiyonun maksimum değerini kürenin içinde alamayacağı sonucunu verir.
Cevap
toxic9110:06, 27 Ocak 2009 
Maxwell denklemleri
Maxwell denklemleri, James Clerk Maxwell' in toparladığı dört denklemli, elektrik ve manyetik özelliklerle bu alanların maddeyle etkileşimlerini açıklayan bir settir. Bu dört denklem sırasıyla, elektrik alanın elektrik yükler tarafından oluşturulduğunu (Gauss Yasası), manyetik alanın kaynağının, manyetik yükün olmadığını, yüklerin ve değişken elektrik alanların manyetik alan ürettiğini (Ampere-Maxwell Yasası) ve değişken manyetik alanın elektrik alan ürettiğini (Faraday' ın İndüksiyon Yasası) gösterir.

Özet

Yasa Adı Diferansiyel form Integral form Gauss Yasası: Manyetizma için Gauss Yasası
(manyetik alanın kaynağı yoktur): Faraday' ın indüksiyon yasası: Ampère Yasası
(Maxwell'in eklemesiyle): Bu tablodaki semboller ve onlara karşılık gelen SI birimleri:
Sembol Anlamı SI Birimi Elektrik alan volt/metre Manyetik Alan
ampere/metre elektrik yerdeğiştirme alanı
veya elektrik akı yoğunluğu coulomb/metrekare manyetik akı yoğunluğu
veya manyetik indüksiyon
veya manyetik alan tesla, veya eşdeğeri,
weber/metrekare serbest elektrik yük yoğunluğu,
bağlı yükleri içermez coulomb/metreküp iletkenlik akım yoğunluğu,
kutuplanma ve manyetizasyon içermez ampere/metrekare sonsuz küçük A yüzeyinin diferensiyal vektör elemanı
S yüzeyinin küçük yöne ve boya sahip yüzey normali
metrekare S yüzeyini kapatan diferansiyel V hacmi metreküp S yüzeyini çevreleyen C kontürünün teğetsel diferensiyal vektör elemanı metre diverjans operatörü 1/metre rotasyon operatorü 1/metre




Fiziksel Anlamlar


Gauss Yasası

Bu denklemin anlamı elektrik alanın skaler kaynağının yük yoğunluğu olduğudur veya elektrik alanın noktasal olarak yüklerde sonlandığını belirtmektedir. Aynı zamanda Gauss yasası olarak da bilinir. Herhangi bir kapalı yüzeydeki elektrik alanın akısı o yüzeyin içindeki toplam yükle doğru orantılıdır.

Manyetik Alan için Gauss Yasası

Bu denklemin anlamı manyetik alanın skaler kaynağının olmadığıdır(manyetik yük yoktur) veya manyetik alanın hep kendi üzerine sonlandığıdır. Herhangi bir kapalı yüzeydeki manyetik alanın akısı sıfırdır...

Faraday Yasası

Bu denklemin anlamı elektrik alanın vektörel kaynağının, zamanla değişen manyetik akı olduğudur. Herhangi bir kapalı eğri üzerinde elektrik alanın sirkülasyonu(dolaşımı), eğrinin çevrelediği yüzey üzerindeki manyetik akının negatifinin zamanla değişimine eşittir.

Ampère Yasası

Magnetik alanın kapalı bir halka boyunca çizgisel integrali, o halka içinde kalan akım ile orantılıdır.

Schrödinger denklemi

Schrödinger denklemi bir kuantum sistemi hakkında bize her bilgiyi veren araç dalga fonksiyonu adında bir fonksiyondur. Dalga fonksiyonunun uzaya ve zamana bağlı değişimini gösteren denklemi ilk bulan Avusturyalı fizikçi Erwin Schrödinger’dir. Bu yüzden denklem Schrödinger denklemi adıyla anılır. 1900 yılında Max Planck'ın ortaya attığı "kuantum varsayımları"nın ardından, 1924 de ortaya atılan de Broglie varsayımı ve 1927'de ortaya atılan Heisenberg belirsizlik ilkesi bilim dünyasında yeni ufukların doğmasına sebep olmuştur. Bu gelişmeler Max Planck'ın kuantum varsayımları ve Schrödinger'in dalga mekaniği ile birleştirilerek kuantum mekanik kuramını ortaya çıkmıştır.
Schrödinger denklemi kapalı formda şöyle ifade edilebilir: Burada H, Hamiltonyen' i temsil eder. Hamiltonyen, parçacığın toplam enerjisini veren bir operatördür ve şeklinde ifade edilir. İlk terim kinetik enerjiyi, ikinci terim ise potansiyel enerjiyi temsil eder. Momentum operatörü denklemde yerine konursa Schrödinger denkleminin sol tarafı elde edilir.
Bu zamana bağlı Schrödinger denklemidir. Denklemin sağ tarafının sıfıra eşit olması durumunda zamandan bağımsız Schrödinger denklemi karşımıza çıkar. Burada değerinde Planck sabiti, m; parçacığın kütlesi, V; potansiyel enerji, ; parçacığa eşlik eden dalga fonksiyonudur. Parçacığın kinetik enerjisinin hareket etmezken sahip olduğu iç enerjisinden oldukça büyük olması durumunda enerjisi göreli olarak ifade edileceğinden şeklinde olur. Bu sayede elde edilen Schrödinger denklemine, Relativistik (göreli) Schrödinger Denklemi denir ve olmak üzere şu formda yazılır.
Denklemin çözümü için, parçacığın bulunduğu duruma göre içinde olduğu potansiyeller şöyle özetlenebilir:
V'nin sıfır olması durumunda serbest parçacık durumu incelenir. Sıfırdan farklı durumlarda parçacığın enerjisinin uygulanan potansiyelden büyük veya küçük olması koşullarına göre değişen çözümler bulunur. Parçacığın enerjinisinin uygulanan potansiyelden küçük olması ancak belirli bir genişlikten sonra bu potansiyel engelin kaldırılması durumunda Tünel Etkisi gözlemlenir. Akım yoğunluğu hesaplanarak geçme ve yansıma katsayıları bulunur.
Değişen potansiyellere örnek; basit harmonik titreştirici ve Coulomb potansiyelleridir. Bunlar bir katıdaki atomların titreşimi ve atomdaki çekirdeğe bağlı elektronların hareketini kapsar.


Cevap
Misafir19:22, 25 Aralık 2010 
arkadaşlar parametrik ve kapalı denklem formüllerini bilenler yardımcı olabilir mi?
Cevap
edanur18:29, 30 Aralık 2010 
arkadaşalr geçtiği 2 noktanın koordinatları verilen doğrunun kapalı denklemi acilllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll
Cevap
Misafir13:17, 1 Ocak 2011 
örnek yok mu?
Cevap
nötrino14:24, 2 Ocak 2011 
TooLga adlı kullanıcıdan alıntı:
biri bana 1 denklem seçip onu yok etme ve yerine koyma metoduyla yapabilir mi ? lütfen...
Denklemlerde Yoketme Yöntemi;
-1/x+y=8
2x+y=5 =>denklemlerinde x ya da y yoketme yöntemiyle kaldırılır Bunun için denklemlerden biri uygun bir değer ile çarpılıyordur yukarıdaki birinci denklem -1 ile çarpıldığında y değerleri birbirini yokeder ve x değeri=>x=-8+5=-3 bulunmuş olur vsvs gibi

Denklemlerde Yerinekoyma Yöntemi;
Bu tür denklemlerin çözümünde iki bilinmeyenden biri diğer bilinmeyen cinsinden bulunup denklemde yerine konulur ve sonuca gidilir

x+y=5
2x+4y=20 =>denklemlerinde x bilinmeyeni y türünden bulunabilir
x+y=5=>x=5-y olur diğer denklemde x yerine bu değer yazılıp y bilinmeyeni elde edilmiş olur
2x+4y=20=>2.(5-y)+4y=20=10+2y=20=>y=5 bulunur.
Cevap
Mohikan12:17, 11 Şubat 2011 
Arkadaşlar acil 30 tane 6. sınıflar için çözümlü denklem bulabilirmisiniz? Şimdiden teşekkürler.
Cevap
1 23...Son
«Önceki KonuSonraki Konu»
Hızlı Cevap
Kullanıcı Adınız:
Doğrulama
Mesaj:
Tüm Soru-Cevap Konuları
Benzer Konular
Su kirliliği nedir, örnek verir misiniz?
10. sınıf paremetrik denklem ile ilgili soru ve cevap örnekleri verir misiniz?
Anı nedir, örnek verir misiniz?
Kimyasal denklem nedir, örnek verir misiniz?
Ülkemizdeki örnek vatandaşlara örnek verir misiniz?