Arama

Aritmetik dizi hakkında bilgi verir misiniz?

En İyi Cevap Var Güncelleme: 2 Nisan 2014 Gösterim: 21.193 Cevap: 20
Összede - avatarı
Összede
Ziyaretçi
4 Mart 2009       Mesaj #1
Összede - avatarı
Ziyaretçi
Aritmetik dizi hakkında bilgi KONU İLE İLGİLİ NOTLAR VE KONU ANLATIMI BULABİLİR MİSİNİZ??
EN İYİ CEVABI nötrino verdi
Alıntı
Misafir adlı kullanıcıdan alıntı

Arkadaşım Aritmetik Diziyi Kim Bulnuştur Cok Lazım Lütfenn :S:S:S

Aritmetik dizi teoremi;italyan matematikçi Leonardo Fibonacci ile matematiğe girmiştir(Fibonacci Dizisi).Ardışık her iki terimi arasındaki fark eşit olan diziye aritmetik dizi denir. Fibonacci dizisinde ise bir terim kendinden önceki terimlerin toplamını veriyordur.

Sponsorlu Bağlantılar

Son düzenleyen Keten Prenses; 4 Mart 2009 21:46
Keten Prenses - avatarı
Keten Prenses
Kayıtlı Üye
4 Mart 2009       Mesaj #2
Keten Prenses - avatarı
Kayıtlı Üye
Aritmetik Dizi

Sponsorlu Bağlantılar
A. TANIM

Ardışık iki terimin arasındaki fark, aynı sabit bir sayı olan dizilere aritmetik dizi denir. Diğer bir ifadeyle " n Î N+ için, an+1 – an = d olacak şekilde bir d Î R varsa (an) dizisine aritmetik dizi, d sayısına da ortak fark denir.

ÖRNEK

(an) = (n+10)/5 dizisinin aritmetik dizi olduğunu gösteriniz. Ortak farkını bulunuz.

an+1 – an = (n+1+10)/5 – (n+10)/5 = 1/5 olduğuna göre (an), ortak farkı d = 1/5 olan bir aritmetik dizidir.

B. GENEL TERİM

Aritmetik dizinin ilk terimi a1 ve ortak farkı d = 1 olan bir aritmetik dizidir.

5

a1 = a1

a2 = a1 + d

a3 = a2 + d = a1 + 2d

a4 = a3 + d = a1 + 3d

................................

an = an – 1 + d = a1 + (n – 1)d dir.

Demek ki, aritmetik dizinin genel terimi: an = a1 + (n – 1)d dir.

ÖRNEK

İlk terimi 8 ve ortak farkı 2 olan aritmetik dizinin genel terimi nedir?

a1 = 8 ve d = 2 an = a1 + (n – 1) d

an = 8 + (n – 1) 2

an = 2n + 6’dır.

C. ARİTMETİK DİZİNİN ÖZELLİKLERİ

Aritmetik dizide ap ve ak biliniyorsa, ortak fark : d = ap – ak dir.

p - k

ÖRNEK

39. terimi 19 ve 45. terimi 22 olan aritmetik dizinin ortak farkı kaçtır?

a39 = 19 ve a45 = 22 d = (a45 – a39)/(45 – 39)

d = (22 – 19)/6

d = ½’ dir.

a ve b gibi iki sayı arasına n tane terim yerleştirilerek oluşturulan aritmetik dizinin ortak farkı :

d = b – a dır.

n + 1

ÖRNEK

- 8 ve 28 sayıları arasına 8 tane terim yerleştirilerek oluşturulan aritmetik dizinin ortak farkı kaçtır?

a = -8, b = 28 ve n = 8 olduğuna göre, d = (b – a)/(n+1) = [28 – (-]/(8+1) = 36/9 = 4

Aritmetik dizinin ilk terimi n teriminin toplamı Sn ile gösterilirse,

Sn = n [2a1 + (n – 1)d] ya da

2

Sn = n (a1 + an) olur.

2

Bir aritmetik dizide, her terim kendisinden eşit uzaklıkta iki terimin kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin aritmetik ortalamasına eşittir. Diğer bir ifadeyle k<p iken,

ap = ap – k +ap + k dır.

2

ÖRNEK

19. terimi 42 ve 33. terimi 88 olan aritmetik dizinin 26. terimi kaçtır?

a19 = 42 ve a33 = 88 ve (19 + 33)/2 = 26 olduğu için,

a26 = (a19+a33)/2

a26 = (42+8/2

a26 = 65’tir.

GEOMETRİK DİZİ

TANIM

Ardışık iki terimin oranı aynı sabit bir sayı olan dizilere geometrik dizi denir. Diğer bir ifadeyle

" n Î N+ için, an + 1 = r olacak şekilde bir r Î R varsa (an) dizisine geometrik dizi, r sayısına ortak

an

çarpan veya ortak oran denir.

ÖRNEK

(an) = (2n+5) dizisinin geometrik dizi olduğunu gösteriniz. Dizinin ortak çarpanını bulunuz.

(an+1)/an = (2n+1+5)/2n+5 = 2olduğuna göre (an), ortak çarpanı r = 2 olan geometrik bir dizidir.

GENEL TERİM

Dizinin ilk terimi a1 ve ortak çarpanı r olsun. Bu durumda,

a1 = a1

a2 = r.a1

a3 = r.a2 = r2.a1

a4 = r.a3 = r3.a1

Demek ki, geometrik dizinin genel terimi: an = rn – 1.a1 veya an = rn – p.ap dir.

ÖRNEK

İlk terimi 14 ve ortak çarpanı ½ olan geometrik dizinin genel terimi nedir?

a1 = 4 ve r = ½ an = rn – 1 . a1

an = (1/2)n – 1 . 4

an = 23 - n

GEOMETRİK DİZİNİN ÖZELLİKLERİ

Geometrik dizide ap ve ak biliniyorsa, ortak çarpan : rp – k = ap eşitliğinde bulunur.

ak

ÖRNEK

2. terimi 3/5 ve 5. terimi 75 olan geometrik dizinin ortak çarpanı nedir?



a2 = 3/5 ve a5 = 75 r5 – 2 = a5/a2

r3 = 75/3/5

r3 = 125

r = 5 tir.



Geometrik dizinin ilk n teriminin toplamı Sn ile gösterilirse Sn = a1.1 – rn olur.

1 – r

ÖRNEK

İlk terimi 6 ve ilk 3 teriminin toplamı 42 olan geometrik dizinin 3. terimi nedir?

a1 = 6 ve S3 = 42 ise S3 = a1 . (1 – r3)/(1 – r)

Bir geometrik dizide, her terim kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin geometrik ortalamasına eşittir. Diğer bir ifadeyle k < p iken, ap = dır.

ÖRNEK

3. terimi 3 ve 5. terimi 6 olan geometrik dizinin 7. terimi nedir?

a3 = ve a5 = (a3 . a7)1/2 6 = (3 . a7)1/2 36 = 3 . a7 a7 = 12’dir.

SONUÇ:

Sabit dizi, ortak farkı 0 olan aritmetik bir dizidir. Sabit dizi, ortak çarpanı 1 olan geometrik bir dizidir. Sabit dizi, ortak çarpanı 1 olan geometrik bir dizidir. Yani, sabit dizi hem aritmetik hem de geometrik dizidir.

ÖRNEK:

Bir geometrik dizinin ilk terimi x, ortak çarpanı 6, n. terimi y’dir. Bu dizinin, ilk n teriminin toplamının x ve y’ye bağlı ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?

a1 = x, r = 6 ve an = y olduğuna göre, an = a1rn – 1 y = x.6n – 1 6n = 6y/x ... Msn Star

Sn = a1.(1 – rn)/(1 – r) = x . (1 – 6n)/(1 – 6) = x . (1 – 6y/x)/(-5) = (6y – x)/5 dir.

SERİLER

A. TANIM

(an) reel terimli bir dizi olsun.

= a1+a2+a3+ ...+an + ... sonsuz toplamına seri denir.

an’e serinin genel terimi denir.

Serinin ilk n teriminin toplamından oluşan Sn = a1+a2+a3+ ...+an toplamına serinin n. kısmi toplamı denir.

(Sn) = (S1,...,S2,...,S3,...,Sn,...) dizisine kısmi toplamlar dizisi denir.

a) (Sn) dizisi yakınsak ise serisi de yakınsaktır ve serinin toplamı = lim Sn’ dir.

b) (Sn) dizisi ıraksak ise seriside ıraksaktır.

serisi yakınsak ise lim an = 0’dır. Bu ifadenin tersi doğru değildir.Yani, lim an = 0 iken serisi yakınsak olmayabilir.

lim an ¹ 0 ise serisi ıraksaktır.

ÖRNEK

2n/5-n serisi veriliyor. Serinin ıraksak olduğunu gösteriniz.

an = 2n/5-n = 2n.5n = 10n dir. lim an = lim 10n = ¥ dur. lim an ¹ 0 olduğuna göre seri ıraksaktır.











B. ARİTMETİK VE GEOMETRİK SERİLER

Aritmetik Seriler

(an) dizisi bir aritmetik dizi ise serisine aritmetik seri denir. Aritmetik serinin kısmi toplamı Sn = n (a1+a2)’dir. Aritmetik seri ıraksaktır.

2

ÖRNEK

(n – 10)/20 serisi veriliyor. Serinin, aritmetik seri olduğunu gösteriniz. Serinin kısmi toplamını bulunuz. Serinin ıraksak olduğunu gösteriniz.

" n Î N+ için d = an +1 – an =(n+1-10)/20 – (n-10)/20 = 1/20 olduğu için seri aritmetik seridir.

a1 = -9/20 ve an = (n – 10)/20 olduğuna göre, Sn =n/2(a1+an) = n/2[-9/20 + (n –10)/20]

=n(n – 19)/40 = ¥

olduğuna göre (Sn) kısmi toplamlar dizisi ıraksaktır. (Sn) kısmi toplamlar dizisi ıraksak olduğu için sorulan seri ıraksaktır.

Geometrik Seriler

(an) dizisi bir geometrik dizi ise serisine geometrik seri denir. Geometrik serinin kısmi toplamı Sn = a1.1-rn’dir.

1-r

|r| < 1 ise seri yakınsaktır ve serinin toplamı: = a1’dir.

1-r

|r| ³ 1ise seri ıraksaktır.

ÖRNEK

31-n serisi veriliyor.

Serinin, geometrik seri olduğunu gösteriniz, serinin kısmi toplamını bulunuz, serinin yakınsak olduğunu gösteriniz, serinin toplamını bulunuz.

" n Î N+ için, r = (an+1)/an = 31-(n+1)/31-n = 1/3 olduğu için seri geometrik seridir.

a1 = 1 ve r = 1/3 olduğuna göre,

Sn = 1 . [1 – (1/3)n]/(1 – 1/3) = 3/2[1 – (1/3)n] dir.

r = 1/3 olduğuna göre |r| = |1/3| = 1/3 < 1 dir. Bunu için seri yakınsaktır.

Seri yakınsak olduğuna göre toplamı 31 – n = a1/(1 – r) = 1/(1 – 1/3) = 3/2 dir.

kaynak

Quo vadis?
Keten Prenses - avatarı
Keten Prenses
Kayıtlı Üye
4 Mart 2009       Mesaj #3
Keten Prenses - avatarı
Kayıtlı Üye
Aritmetik Dizi:

Tanım: Elimizde bir sayı olsun, bu sayıya belirli bir kuralla sayılar ekleniyor veya çıkartılıyorsa buna aritmetik dizi adı verilir. Zaten toplama işlemi bize “aritmetik” kelimesini hatırlatır
Örnek:
Sayımızın kuralı: 5 ten sürekli olarak 2 çıkartılması olsun.
Örüntü şu şekilde devam eder:
5 5-3 5-(3+3) 5-(3+3+3) ……… 5-(n-1).3
1. terim 2. terim 3. terim 4. terim …….. n. terim
Görüldüğü gibi her terimde 5 sayısı sabit. Bu değişmeyen sabit terime, yani ilk terime “a1″ diyoruz.
Dikkat edersen her terimde; terim sayısının 1 eksiği 3 bulunmakta. Yani 2. terimde 1 tane 3, 3. terimdw 2 tane 3.
Son terime n. terim dersek ( n-1 ) tane 3 bulunur.
Bu yüzden yukarıdaki örüntünün kuralı şudur.
an= 5-(n-1).3
5 yerine de ilk terim anlamına gelen a1 yazarsak
an=a1-(n-1).3 olarak formül üretilir.
Burada an bize genel terimi, örüntünün formülünü verir.
Tekrar yukarıya bakıp terimlerin sonucunu bulursak;
5 3 1 -1 -3 …. şeklinde devam eder.
Her ardışık iki terima rasındaki fark bu soru için 2 dir.
Buna “dizinin ortak farkı” denir.
Geometrik Dizi:

Tanım: Elimizde bir sayı olsun, bu sayıyı belirli bir kuralla sayılar bölüyor veya çarpıyorsa buna geometrik dizi adı verilir. Zaten çarpma işlemi bize “geometrik” kelimesini hatırlatır.
Örnek:
5 sayısını sürekli olarak 2 ile bölelim. ( Yani 1/2 ile çarpalım )
geometrikdizija9
yukarıda çarpma işlemi yapıldığı için bu bir geometrik dizidir.
Gördüğünüz gibi her terimde; terim sayısının bir eksiği kadar 1/2 vardır.
son terime n. terim dersek; son terimde (n-1) tane 1/2 vardır. Çarpma işlemi olduğu için (n-1) üsse yazılır.
ilk sayıya, yani 5 e a1 dersek;
Dizinin kuralı yukarıdaki resimdeki gibi bulunur.
Yine Aritmetik dizide olduğu gibi; ardışık terimler arasında bir kural bulunur. Aritmetik ortalamada aradaki farklar sabitti;
burada ise aradaki oranlar sabittir. Yani ardışık terimleri birbirine böldüğümüzde herzaman sabit bir sayı çıkar.
Buna; “dizinin ortak çarpanı” denir.
Bu ortak çarpan sürekli çarpılan sayı veya bölünen sayıdır. Yani yukarıdaki soru için ortak çarpan ( 1/2 ) dir.
ispatlarsak.
Yukarıdaki 2. terimde sonuç 5/2 dir.
3. terimde sonuç 5/4 tür.
Birbirine bölersek
(5/2)Msn Sad5/4)=(5/2).(4/5) =4/2=2 olarak sonuç bulunur.
Yani; sürekli bölünen sayı 2 dir.
NOT:

Aritmetik dizide ve geometrik dizide terimlerin birbiriyle ilişkisi vardır. Bu ilişkiye “dizinin kuralı” denir.
Dizinin kuralı “n. terim” ile yazılır. Yani bu terime “Genel terim” de denir.
Daha önceden denklem kurarken x kullanıyorduk. Sebep sayının değerini bilmediğimiz için idi.
Şimdi de bunun gibi genel bir formül üretiyoruz.
Bunu ise “n” ile yapıyoruz.


kaynak
Quo vadis?
Misafir - avatarı
Misafir
Ziyaretçi
1 Mart 2010       Mesaj #4
Misafir - avatarı
Ziyaretçi
birinci terimi 7, ortak farkı -3 olan aritmetik diziyi yazınız.
Avatarı yok
nötrino
Yasaklı
2 Mart 2010       Mesaj #5
Avatarı yok
Yasaklı
Alıntı
Misafir adlı kullanıcıdan alıntı

birinci terimi 7, ortak farkı -3 olan aritmetik diziyi yazınız.

İlk terimi 7 ve ortak farkı 3 olan aritmetik dizinin genel terimi;
a1=7 ve d=3(ortak fark), an=Genel terim olarak alınırsa;
an=a1+(n-1)*d kuralından;an=7+(n-1)*3=an=3n+4 genel terimine sahip bir aritmetik dizi olur.
Misafir - avatarı
Misafir
Ziyaretçi
6 Mayıs 2010       Mesaj #6
Misafir - avatarı
Ziyaretçi
Arkadaşım Aritmetik Diziyi Kim Bulnuştur Cok Lazım Lütfenn Msn ConfusedMsn ConfusedMsn Confused
Avatarı yok
nötrino
Yasaklı
6 Mayıs 2010       Mesaj #7
Avatarı yok
Yasaklı
Bu mesaj 'en iyi cevap' seçilmiştir.
Alıntı
Misafir adlı kullanıcıdan alıntı

Arkadaşım Aritmetik Diziyi Kim Bulnuştur Cok Lazım Lütfenn Msn ConfusedMsn ConfusedMsn Confused

Aritmetik dizi teoremi;italyan matematikçi Leonardo Fibonacci ile matematiğe girmiştir(Fibonacci Dizisi).Ardışık her iki terimi arasındaki fark eşit olan diziye aritmetik dizi denir. Fibonacci dizisinde ise bir terim kendinden önceki terimlerin toplamını veriyordur.

Misafir - avatarı
Misafir
Ziyaretçi
23 Aralık 2010       Mesaj #8
Misafir - avatarı
Ziyaretçi
ya arkadaş bu aritmetik formülün kalıb formülü ne
mağğdurum - avatarı
mağğdurum
Ziyaretçi
7 Ocak 2011       Mesaj #9
mağğdurum - avatarı
Ziyaretçi
Birkaç soruda takıldım yrdımcı olursanız sevinirim Msn Happy Şimdiden teşekkürler

## Bir aritmetik dizinin ilk n teriminin toplamı Sn olmak üzere,
S9-S7=28 old göre bu dizinin ilk onaltı teriminin toplamı kaçtır?
Daisy-BT - avatarı
Daisy-BT
Ziyaretçi
14 Mayıs 2011       Mesaj #10
Daisy-BT - avatarı
Ziyaretçi
Alıntı
Összede adlı kullanıcıdan alıntı

Aritmetik dizi hakkında bilgi KONU İLE İLGİLİ NOTLAR VE KONU ANLATIMI BULABİLİR MİSİNİZ??


Aritmetik Dizi

Ardışık iki terimi arasındaki fark hep aynı olan dizi.

Terimleri a1, a2,... an olan bir dizinin aritmetik dizi olabilmesi için a2-a1 = a3-a2 = ... = an-an-1=k olması gerek ve yeterlidir. Burada, ortak fark adı verilen k, sıfırdan farklı herhangi bir gerçel sayıdır. Ortak fark sıfırdan büyükse dizi artan aritmetik dizi, sıfırdan küçükse, azalan aritmetik dizi olur. Örneğin 1, 3, 5,..., (2n-1), (2n+1) tek sayılar dizisi, ortak farkı k=2 olduğundan artan bir aritmetik dizidir. Ortak farkı k=-3 olan 21, 18, 15, ..., 6, 3 dizisiyse azalandır. Aritmetik dizi terim terim ya da an genel terimi ve terim sayısı verilerek tanımlanabilir. Sözgelimi yukarıdaki diziler an = 2(n-1) + 1, n = 1, 2, ... ve an = -3(n-1) + 21, n=1, 2, ..., 7 biçiminde de verilebilir. İlk terimi a1, genel terimi an, ortak farkı k olan aritmetik dizide herhangi ikisi biliniyorsa öteki an = (n-1) k + a1 formülüyle bulunabilir. Aritmetik dizide her terim, komşu iki terimin toplamının yarısı, yani aritmetik ortalamasıdır. Baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terime orta terim denir. Terim sayısı çiftse orta terim iki tanedir.


MsXLabs & Morpa Genel Kültür Ansiklopedisi

Benzer Konular

10 Şubat 2018 / Misafir Cevaplanmış
12 Nisan 2011 / memo860 Soru-Cevap
16 Eylül 2011 / Misafir Soru-Cevap