Cebir nedir?

Cebir nedir?

Cebir

cebir, aritmetik yöntemlerinin, simgelerle gösterilen değişken niceliklere uygulanmasına dayanan matematik dalı. Aritmetiğin genelleştirilmesi ve genişletilmesi niteliğindeki klasik cebirin yanı sıra, soyut matematiksel yapıların incelenmesini konu alan modern (soyut) cebir de günümüzde cebrin önemli bir dalını oluşturur.

CEBİRİN KONUSU VE DALLARI
Aritmetik sayılara uygulanan, klasik cebir ise sayıların yanı sıra bilinmeyen ya da değeri belli olmayan sayıları temsil eden simgelere uygulanan işlemlere ilişkin kuralların bilimidir. Örneğin 2 ile 3’ün toplamının 5 olduğu ya da 14’ün 4’e bölünmesiyle 3,5 elde edileceği aritmetiğin konusuna girer; oysa bütün a ve b sayıları için a+b - b+a olduğu bir cebir kuralıdır. Hem klasik, hem de soyut cebirin iki temel özelliği vardır: Cebir, yalnızca sonlu sayıda nicelik içeren ifadelerle ve sonlu sayıda adım içeren işlem dizileriyle ilgilidir. Örneğin,
1 4- x + x2 + x3 4- • • • + xn = - ~ -X—
1 — x
bir cebir kuralıdır, ama
1 + x + x2 + x3 + • • • + x" + • • • = —^—
1 — x
kuralı cebirin alanı dışındadır. Cebirin ikinci temel özelliği soyut olmasıdır: Klasik cebirde işlemler soyut sayılara değil, sayıları temsil eden harflere uygulanır; modern cebirde ise, harfler, çok daha genel anlamda kullanılır ve soyut nesneleri temsil eder.

Klasik cebirin başlıca ilgi alamnı cebirsel denklem adı verilen ve yalnızca toplama, çıkarma, çarpma, bölme, üst ve kök alma işlemlerini içeren denklemlerin çözümü ve bu tür denklemlerin çözülmesi için gerekli olan sayı türlerinin tanımlanması oluşturur. Bu sayı türleri, 0,1,2,3,... gibi doğal sayıları; bunların negatiflerini; m ve « tamsayı (pozitif ya da negatif doğal sayı) olmak ve n=0 olmak üzere, m/n biçiminde tanımlanan rasyonel sayıları; bir doğru üzerindeki bütün noktalara karşılık gelen gerçek sayıları; a ile b gerçek sayılar olmak ve /=Vd olmak üzere a+ib biçiminde tanımlanan karmaşık sayıları içerir. Bu sayılara uygulanan işlemlere (örn. toplama, çarpma) ilişkin genel kuralların belirlenmesi de cebirin konusu içine girer.

Doğrusal (lineer) cebir, temel olarak, doğrusal denklemlerin çözümünü konu alan cebir dalıdır. Doğrusal denklemler, değişkenlerinin (“bilinmeyenler”inin) derecesi l’den büyük olmayan, bir başka deyişle değişkenlerin çarpımlarını ya da üstlü ifadelerini içermeyen denklemlerdir. “Doğrusal” terimi, x ve y değişkenlerini içeren böyle bir denklemin xy kartezyen düzlemindeki eğrisinin bir doğru olmasından kaynaklanmaktadır. Benzer biçimde, x, y ve z değişkenlerini içeren bir doğrusal denklem, üç boyutlu uzayda bir düzlem belirler; birlikte ele alınan böyle iki denklem ise uzayda iki düzlemin (eğer bu düzlemler paralel değilse) arakesiti olan bir doğruya karşılık gelir. Denklemdeki değişkenlerin sayısı 3’ten büyükse denklemin geometrik bir karşılığı böyle yalın bir biçimde görülemez, çünkü fiziksel uzay üç boyutla sınırlıdır. Ama gene de bu benzetme sürdürülür; örneğin 4 değişkenli bir doğrusal denklemin 4 boyutlu uzayda bir “aşırıdüzlem”e (hiperdüzlem) karşılık geldiğinden söz edilir; bu benzetme, sonlu olmak koşuluyla daha yüksek boyutlu uzaylar için de geçerlidir.

Doğrusal denklem sistemlerinin incelenmesi ve çözümünde matris ve vektörlerin kullanılması büyük kolaylık sağlar. Matris, satırlar ve sütunlar biçiminde dizilmiş sayılardan oluşan dikdörtgensel bir dizidir. Bir doğrusal denklem sisteminde, denklemlerdeki bilinmeyenlerin katsayılarından oluşan matris, sistemin özelliklerinin belirlenmesinde ve çözümünde temel önemdedir. Matrislere uygulanan işlemlere ilişkin kurallar matris cebrini oluşturur. Vektörle), başlangıçta, kuvvet ve hız gibi hem büyüklüğü, hem de doğrultusu bulunan fiziksel niceliklerin matematiksel betimlemesi olarak ortaya konmuştu. Vektörlerin bu fiziksel anlamından kaynaklanan hesaplama kuralları, vektör uzayı adı verilen kapalı vektör sistemlerinin oluşturulmasını sağladı. Bir vektör uzayında matrisler, doğrusal dönüşümler olarak bilinen özel fonksiyonlara karşılık gelirler. Sonlu boyutlu vektör uzaylarında doğrusal dönüşümlerin kuramı, doğrusal cebirin ana konusunu oluşturur. Bu kuram matrisler ve doğrusal denklemler kuramını da içerir.

19. yüzyılın ilk yarısında başlayan bir dizi gelişme sonucunda modern cebir oluştu. Klasik cebir, temelde, aritmetikte kullanılan sayıları ve bunlar üzerinde tanımlanmış toplama ve çarpma işlemlerini konu alıyordu (çıkarma ve bölme işlemleri, bu iki işlemin tersleri olarak düşünülebilir). Modem cebirin konusu ise cebirsel yapılardır. Cebirsel yapılar, belirli bir küme (öğeler topluluğu) üzerinde tanımlanmış bir ya da daha fazla işlemden oluşan ve belirli aksiyomlar içeren soyut sistemlerdir. Bir cebirsel yapının öğeleri sayılar olabileceği gibi, tümüyle soyut nesneler de olabilir. Eukleides’in aksiyomlarından farklı aksiyomlara dayanan yeni ve tutarlı geometrilerin oluşturulmasına benzer biçimde, klasik cebirin aksiyomlarından (örn.a.-vb = b +a)farklı aksiyomları temel alan yeni cebirler oluşturmak olanaklıdır. Örneğin, bir küme ile bu küme üzerinde tanımlanmış bir ikili işlemden oluşan bir sistem,

DEVAMI Cebir