PC Görünümü Üye Ol
Forum Ana Sayfa
Soru-Cevap > Bağımlı ve bağımsız olayla ilgili soru cevap örnekleri verir misiniz?
«Önceki KonuSonraki Konu»
Misafir22:24, 16 Aralık 2011 
Alıntı:
bagimli ve bagimsiz olaylar ile ilgili daha fazla bilgi istiyorum

bağımlı vebağımsız olay ile ilgili 3 adet soru istiyorum acil
En iyi cevap SaKLI tarafından gönderildi

Bağımlı Olay

A ve B gibi iki olay olsun. A olayının gerçekleşme şekli, B olayının sonucuna göre değişebiliyorsa, bu iki olaya bağımlı olaylar denir.
P( A) ==> A olayının gerçekleşme olasılığı;
P( B) ==> B olayının gerçekleşme olasılığı;
P(A|B) ==> B verilmişken A olayının gerçekleşme olasılığı olarak gösterilir.
A ve B olayları bağımlı iki olay ise, A ve B olayının birlikte gerçekleşme olasılığı P(AB) = P(A|B). P( B) şeklinde tanımlanabilir.


Örnek:1
İçerisinde 4 mavi 5 kırmızı top bulunan bir torbadan, çekilen bir top yerine konulmaksızın ard arda 2 top çekiliyor. Çekilen iki topun da mavi olma olasılığı nedir?
Çözüm:
A olayı, çekilen ilk topun mavi olması,
B olayı, çekilen ikinci topun mavi olması olsun.
Bu durumda;
P( A) = 4/9 ve P(B|A)= 3/8 olacaktır.

Buradan iki topun da mavi olma olasılığı P(AB) = P( A).P(A|B) şeklinde tanımlanır. İstenen sonuç aşağıdaki gibi elde edilir.











Örnek:2
Birinci kutuda 6 kırmızı 6 mavi top, ikinci kutuda 3 kırmızı 2 mavi top vardır. Rasgele seçilen bir kutudan çekilen topun kırmızı olma olasılığı nedir?
Çözüm:
A olayı, I. kutunun seçilmesi,
B olayı, II. kutunun seçilmesi,
C olayı, Kırmızı topun çekilmesi olsun.

I. yada II. kutunun seçilmesine göre sonucun değişebileceğinden bu iki olay bağımlı olay olarak değerlendirilmektedir.
Bu durumda P( C) = P( I. kutunun seçilmesi ve kırmızı gelmesi) + P(II. kutunun seçilmesi ve kırmızı gelmesi) şeklinde olacaktır.
yani, P( C) = P( AC) + P(BC) veya P( C) = P( A).P(C|A) + P( B).P(C|B) olacaktır.

Yandaki ağaç şekli incelenecek olursa, ilk olarak I. kutunun yada II. kutunun gelme olasılığı belirlenmiştir.
P( A) = P( B) = 1/2 dir.
Kutunun seçilmesinin ardından, seçilen kutudan çekilen topun kırmızı gelme olasılığı
hesaplanır ve sonuçlar toplanır.
Buna göre istenen sonuç, P( C) aşağıdaki gibi hesaplanacaktır.





Örnek:3
Birinci kutuda 2 kırmızı 4 mavi top, ikinci kutuda 3 kırmızı 5 mavi top vardır. Birinci kutudan bir top çekiliyor ve ikinci kutuya atılıyor. Ardından ikinci kutudan çekilecek topun mavi olma olasılığı nedir?

Çözüm:

A olayı, I. kutudan kırmızı çekilmesi,
B olayı, I. kutudan mavi çekilmesi,
C olayı, II. kutudan mavi topun çekilmesi olsun.
I. kutudan çekilen topa göre II. kutudan çekilecek topun çekilme sonucu değişebileceğinden bu iki olay bağımlı olay olarak değerlendirilmektedir.
P( C) = P(I. kutudan kırmızı ve II. kutudan mavi çekilmesi) + P(I. kutudan mavi ve II. kutudan mavi çekilmesi) şeklinde olacaktır.
P( C) = P(AC) + P(BC) veya P( C) = P( A).P(C|A) + P( B).P(C|B) olacaktır.


Bağımsız Olay
Bağımsızlık şu biçimde tanımlanabilir:
A ve B olayları ancak ve ancak Pr(AB) = Pr( A)Pr( B) koşulu sağlanıyorsa bağımsızdırlar.Burada AB, A ve B'nin kesişimini (A ve B olaylarının birlikte gerçekleştiği durumu) göstermektedir.
Daha genel anlamda, bir olay dizisi bu dizinin herhangi bir sonlu altkümesinin
koşulunu sağlaması durumunda karşılıklı bağımsızdır. Bu olgu bağımsız olaylar için çarpım kuralı olarak adlandırılmaktadır.
A ve B olayları bağımsız ise, B olayının gerçekleşmiş olduğu bilinmek üzere A'nın koşullu olasılığı bu olayın koşulsuz olasılığına eşittir.


Tüm bunlara karşın, bu ifadelerin bağımsızlık kavramının tam tanımını oluşturduğu söylenemez. Bunun nedeni, ifadede yer alan A ve B olaylarının yerlerinin değiştirilemeyecek oluşu ve bu tanımın olasılığın 0 olduğu durumlarda geçersiz kalmasıdır.

B'nin gerçekleşmiş olduğu bilinmek üzere A'nın koşullu olasılığı
(Pr( B) ≠ 0 olduğu sürece)biçiminde tanımlanmaktadır.
iken bu ifade
olarak da yazılabilir.

Burada sözü edilen bağımsızlık kavramı konuşma dilindeki karşılığından farklı bir anlam taşımaktadır. Örneğin, bir olayın kendinden bağımsız olması ancak ve ancak
koşulunun sağlanması durumunda gerçekleşebilir. Başka bir deyişle, bir olay ya da onun tümleyeni neredeyse kesin olarak gerçekleşiyorsa bu olay kendinden bağımsızdır.


Bağımsız rassal değişkenler

X gerçel değerli bir rassal değişken ve a bir sayı olmak üzere, {Xa} olayı X'in a'dan küçük ya da ona eşit olduğu gözlemlerin oluşturduğu küme olarak tanımlanmaktadır.
X ve Y rassal değişkenleri ancak ve ancak {Xa} ve {Yb} olaylarının bağımsız olması durumunda bağımsızdırlar. Benzer biçimde, rastgele seçilmiş değişkenlerin oluşturduğu bir kümenin bağımsız oluşu herhangi bir sonlu X1, …, Xn yığını ve a1, …, an sayı dizisi için {X1 ≤ a1}, …, {Xnan} olaylarının bağımsız olmasına bağlıdır.
Bir yığından seçilen herhangi iki rassal değişken bağımsız ise bu değişkenlerin karşılıklı bağımsızlıkları da güvence altındadır. Bu olgu parçalı bağımsızlık olarak adlandırılmaktadır.
X ve Y bağımsız ise, E beklenti işleci
E[X Y] = E[X] E[Y]koşulunu sağlar. Varyans için
var(X + Y) = var(X) + var(Y)eşitliği yazılabilirken kovaryans cov(X,Y) sıfıra eşittir. Bu ifadenin tersi ("iki rassal değişkenin kovaryansı 0 ise bu değişkenler bağımsızdırlar" önermesi) doğru değildir.

Bunlara ek olarak, iki tane X ve Y rassal değişkeni, FX(x) ve FY(y) dağılım fonksiyonları ve fX(x) ve fY(y) olasılık yoğunlukları gösteriyorlarsa, bu iki rassal değişkenin birbirinden bağımsız olmaları için, bileşik rassal değişken (X,Y) nin şu ortak dağılımı olması gerekir:
FX,Y(x,y) = FX(x)FY(y),ya da buna eşit olarak
fX,Y(x,y) = fX(x)fY(y).ortak yoğunluk göstermelidir.

İki rassal değişkenden daha fazla sayıda rassal değişkenler olma halinde bağımsızlık da daha genel olarak buna benzer ifadeler ile karakterize edilirler.


Koşullu bağımsız rassal değişkenler

Ana madde: Koşullu bağımsızlık

Sezgi ile ele alınırsa, iki rassal değişken X ve Y nin birbirinden koşullu bağımsız olmaları için, bir Z verilirse ve eğer Z değeri bilinirse, Y değerini bilmenin X hakkında bilgimize hiçbirsey eklememesi gerekir. Örnegin, altlarından Z miktarına bağlılıkları olduğu kabul edilen, X ve Y değişkeni ölçümleri birbirinden bağımsız değildir; ama (iki olçümdeki yapılan hatalar herhangi bir şekilde birbirine ilişkili değilse) 'bu iki değişken, verilmiş bir Z şartına bağlı koşutlu değişkenlerdir.
Koşullu bağımsızlık kavramının daha formel bir tanımlaması koşullu dağılım kavramına dayandırılır. Eğer X, Y ve Z ayrık rassal değişken iseler, o halde X ve Y değişkenlerinin Z verilmişine koşullu bağımsız olmaları için şart şudur:

Her x, y ve z için P(Zz) > 0 olursa

Diğer taraftan, eğer X, Y ve Z sürekli rassal değişken iseler ve p ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu bulunmakta ise; o halde X ve Y değişkenlerinin Z verilmişine koşullu bağımsız olmaları için şart şudur: Her x, y ve z gerçel sayılar için pZ(z) > 0 olursa
Bu demektir ki Y ve Z verilirse X için koşullu dağılım, sadece Z için dağılımın aynıdır. Sürekli halde de koşutlu olasılık yoğunluk fonksiyonları için de bir benzer denklem verilebilir.

Olasılık bir çeşit hiç verilmiş olay olmayan koşutlu olasılık olduğu için, bağımsızlık koşutlu bağımsızlığın özel bir hali olarak görülebilir.
Benzer Konular:
Etiketler:
  • bagimli bagimsiz olaylara ornekler
  • bagimli olaylara ornekler
  • bagimsiz olaylara ornekler
Cevap
SaKLI01:05, 17 Aralık 2011 
Bağımlı Olay

A ve B gibi iki olay olsun. A olayının gerçekleşme şekli, B olayının sonucuna göre değişebiliyorsa, bu iki olaya bağımlı olaylar denir.
P( A) ==> A olayının gerçekleşme olasılığı;
P( B) ==> B olayının gerçekleşme olasılığı;
P(A|B) ==> B verilmişken A olayının gerçekleşme olasılığı olarak gösterilir.
A ve B olayları bağımlı iki olay ise, A ve B olayının birlikte gerçekleşme olasılığı P(AB) = P(A|B). P( B) şeklinde tanımlanabilir.


Örnek:1
İçerisinde 4 mavi 5 kırmızı top bulunan bir torbadan, çekilen bir top yerine konulmaksızın ard arda 2 top çekiliyor. Çekilen iki topun da mavi olma olasılığı nedir?
Çözüm:
A olayı, çekilen ilk topun mavi olması,
B olayı, çekilen ikinci topun mavi olması olsun.
Bu durumda;
P( A) = 4/9 ve P(B|A)= 3/8 olacaktır.

Buradan iki topun da mavi olma olasılığı P(AB) = P( A).P(A|B) şeklinde tanımlanır. İstenen sonuç aşağıdaki gibi elde edilir.











Örnek:2
Birinci kutuda 6 kırmızı 6 mavi top, ikinci kutuda 3 kırmızı 2 mavi top vardır. Rasgele seçilen bir kutudan çekilen topun kırmızı olma olasılığı nedir?
Çözüm:
A olayı, I. kutunun seçilmesi,
B olayı, II. kutunun seçilmesi,
C olayı, Kırmızı topun çekilmesi olsun.

I. yada II. kutunun seçilmesine göre sonucun değişebileceğinden bu iki olay bağımlı olay olarak değerlendirilmektedir.
Bu durumda P( C) = P( I. kutunun seçilmesi ve kırmızı gelmesi) + P(II. kutunun seçilmesi ve kırmızı gelmesi) şeklinde olacaktır.
yani, P( C) = P( AC) + P(BC) veya P( C) = P( A).P(C|A) + P( B).P(C|B) olacaktır.

Yandaki ağaç şekli incelenecek olursa, ilk olarak I. kutunun yada II. kutunun gelme olasılığı belirlenmiştir.
P( A) = P( B) = 1/2 dir.
Kutunun seçilmesinin ardından, seçilen kutudan çekilen topun kırmızı gelme olasılığı
hesaplanır ve sonuçlar toplanır.
Buna göre istenen sonuç, P( C) aşağıdaki gibi hesaplanacaktır.





Örnek:3
Birinci kutuda 2 kırmızı 4 mavi top, ikinci kutuda 3 kırmızı 5 mavi top vardır. Birinci kutudan bir top çekiliyor ve ikinci kutuya atılıyor. Ardından ikinci kutudan çekilecek topun mavi olma olasılığı nedir?

Çözüm:

A olayı, I. kutudan kırmızı çekilmesi,
B olayı, I. kutudan mavi çekilmesi,
C olayı, II. kutudan mavi topun çekilmesi olsun.
I. kutudan çekilen topa göre II. kutudan çekilecek topun çekilme sonucu değişebileceğinden bu iki olay bağımlı olay olarak değerlendirilmektedir.
P( C) = P(I. kutudan kırmızı ve II. kutudan mavi çekilmesi) + P(I. kutudan mavi ve II. kutudan mavi çekilmesi) şeklinde olacaktır.
P( C) = P(AC) + P(BC) veya P( C) = P( A).P(C|A) + P( B).P(C|B) olacaktır.


Bağımsız Olay
Bağımsızlık şu biçimde tanımlanabilir:
A ve B olayları ancak ve ancak Pr(AB) = Pr( A)Pr( B) koşulu sağlanıyorsa bağımsızdırlar.Burada AB, A ve B'nin kesişimini (A ve B olaylarının birlikte gerçekleştiği durumu) göstermektedir.
Daha genel anlamda, bir olay dizisi bu dizinin herhangi bir sonlu altkümesinin
koşulunu sağlaması durumunda karşılıklı bağımsızdır. Bu olgu bağımsız olaylar için çarpım kuralı olarak adlandırılmaktadır.
A ve B olayları bağımsız ise, B olayının gerçekleşmiş olduğu bilinmek üzere A'nın koşullu olasılığı bu olayın koşulsuz olasılığına eşittir.


Tüm bunlara karşın, bu ifadelerin bağımsızlık kavramının tam tanımını oluşturduğu söylenemez. Bunun nedeni, ifadede yer alan A ve B olaylarının yerlerinin değiştirilemeyecek oluşu ve bu tanımın olasılığın 0 olduğu durumlarda geçersiz kalmasıdır.

B'nin gerçekleşmiş olduğu bilinmek üzere A'nın koşullu olasılığı
(Pr( B) ≠ 0 olduğu sürece)biçiminde tanımlanmaktadır.
iken bu ifade
olarak da yazılabilir.

Burada sözü edilen bağımsızlık kavramı konuşma dilindeki karşılığından farklı bir anlam taşımaktadır. Örneğin, bir olayın kendinden bağımsız olması ancak ve ancak
koşulunun sağlanması durumunda gerçekleşebilir. Başka bir deyişle, bir olay ya da onun tümleyeni neredeyse kesin olarak gerçekleşiyorsa bu olay kendinden bağımsızdır.


Bağımsız rassal değişkenler

X gerçel değerli bir rassal değişken ve a bir sayı olmak üzere, {Xa} olayı X'in a'dan küçük ya da ona eşit olduğu gözlemlerin oluşturduğu küme olarak tanımlanmaktadır.
X ve Y rassal değişkenleri ancak ve ancak {Xa} ve {Yb} olaylarının bağımsız olması durumunda bağımsızdırlar. Benzer biçimde, rastgele seçilmiş değişkenlerin oluşturduğu bir kümenin bağımsız oluşu herhangi bir sonlu X1, …, Xn yığını ve a1, …, an sayı dizisi için {X1 ≤ a1}, …, {Xnan} olaylarının bağımsız olmasına bağlıdır.
Bir yığından seçilen herhangi iki rassal değişken bağımsız ise bu değişkenlerin karşılıklı bağımsızlıkları da güvence altındadır. Bu olgu parçalı bağımsızlık olarak adlandırılmaktadır.
X ve Y bağımsız ise, E beklenti işleci
E[X Y] = E[X] E[Y]koşulunu sağlar. Varyans için
var(X + Y) = var(X) + var(Y)eşitliği yazılabilirken kovaryans cov(X,Y) sıfıra eşittir. Bu ifadenin tersi ("iki rassal değişkenin kovaryansı 0 ise bu değişkenler bağımsızdırlar" önermesi) doğru değildir.

Bunlara ek olarak, iki tane X ve Y rassal değişkeni, FX(x) ve FY(y) dağılım fonksiyonları ve fX(x) ve fY(y) olasılık yoğunlukları gösteriyorlarsa, bu iki rassal değişkenin birbirinden bağımsız olmaları için, bileşik rassal değişken (X,Y) nin şu ortak dağılımı olması gerekir:
FX,Y(x,y) = FX(x)FY(y),ya da buna eşit olarak
fX,Y(x,y) = fX(x)fY(y).ortak yoğunluk göstermelidir.

İki rassal değişkenden daha fazla sayıda rassal değişkenler olma halinde bağımsızlık da daha genel olarak buna benzer ifadeler ile karakterize edilirler.


Koşullu bağımsız rassal değişkenler

Ana madde: Koşullu bağımsızlık

Sezgi ile ele alınırsa, iki rassal değişken X ve Y nin birbirinden koşullu bağımsız olmaları için, bir Z verilirse ve eğer Z değeri bilinirse, Y değerini bilmenin X hakkında bilgimize hiçbirsey eklememesi gerekir. Örnegin, altlarından Z miktarına bağlılıkları olduğu kabul edilen, X ve Y değişkeni ölçümleri birbirinden bağımsız değildir; ama (iki olçümdeki yapılan hatalar herhangi bir şekilde birbirine ilişkili değilse) 'bu iki değişken, verilmiş bir Z şartına bağlı koşutlu değişkenlerdir.
Koşullu bağımsızlık kavramının daha formel bir tanımlaması koşullu dağılım kavramına dayandırılır. Eğer X, Y ve Z ayrık rassal değişken iseler, o halde X ve Y değişkenlerinin Z verilmişine koşullu bağımsız olmaları için şart şudur:

Her x, y ve z için P(Zz) > 0 olursa

Diğer taraftan, eğer X, Y ve Z sürekli rassal değişken iseler ve p ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu bulunmakta ise; o halde X ve Y değişkenlerinin Z verilmişine koşullu bağımsız olmaları için şart şudur: Her x, y ve z gerçel sayılar için pZ(z) > 0 olursa
Bu demektir ki Y ve Z verilirse X için koşullu dağılım, sadece Z için dağılımın aynıdır. Sürekli halde de koşutlu olasılık yoğunluk fonksiyonları için de bir benzer denklem verilebilir.

Olasılık bir çeşit hiç verilmiş olay olmayan koşutlu olasılık olduğu için, bağımsızlık koşutlu bağımsızlığın özel bir hali olarak görülebilir.
Cevap
Misafir19:31, 19 Aralık 2011 
bağımsız olayla ilgili örneler yok be olur bi yarım saat içinde koyarsaınız
çok makbule geçer
Cevap
Misafir15:46, 9 Aralık 2013 
soruların resmi görünmüyo orada ne yazıyo acaba ?
Cevap
Misafir11:10, 12 Nisan 2014 
lütfen biraz örnek verin
Cevap
Misafir13:09, 14 Ekim 2014 
resimler gözükmüyor...!
Cevap
«Önceki KonuSonraki Konu»
Hızlı Cevap
Kullanıcı Adınız:
Doğrulama
Mesaj:
Tüm Soru-Cevap Konuları
Benzer Konular
Açılarla ilgili soru cevap örnekleri verir misiniz?
Denklemlerle ilgili soru cevap örnekleri verir misiniz?
Yaylarla ilgili soru cevap örnekleri verir misiniz?
Madenlerle ilgili soru cevap örnekleri verir misiniz?
İklimlerle ilgili soru-cevap örnekleri verir misiniz?