|
Önermeler Mantığı Formel sistemler şu elemanlardan meydana gelir:
Tanımlanan terimlere örnek olarak bileşik önerme kavramını gösterilebilir. Aslında yukarıda verilen mantıksal bağlar bir tek mantıksal bağ yardımıyla tanımlanabilir. Önerme Aşağıdaki cümleler önermelere örnektir: Bugün hava güneşlidir. 3 asal sayıdır. Duygu 21 yaşındadır. 3 asal sayı değildir. Duygu 21 yaşında değildir. Bir gün 4857292 saattir. Mantıksal bağlar kullanarak basit önermelerden başka önermeler kurulabilir, ki bunlara “bileşik önermeler” denir.Önerme matematikte kesin bir hüküm bildiren ifadelere denir. Olumsuzu Bir önerme “değil” eki ile karşıt ifadeye çevrilebilir; buna değilleme denir. Örnek: "bu gün günlerden salı: Bu gün günlerden salı degil. Birleşim İki veya daha fazla önermeden “ve” mantıksal bağını kullanarak bileşik önermeler kurulabilir. Örnek olarak: “Bu gün hava açık ve sıcak” cümlesini verilebilir. Doğal dilde bazen “fakat” bağlacını da kullanıyoruz. Örnek: “bugün gemiler 9'da ve 10.da sefer yapacak.” değili A' olarak gösterilir Ayrılım İki veya daha fazla basit önermeden “veya” (ya da) mantıksal bağını kullanarak bilesik önermeler kurulabilir. Örnek: “Bugün Arçelik veya Teletaş'tan ziyaretçiler gelecek.” Şartlı cümle Aynı şekilde, iki veya daha fazla sayıda önermeden (eğer-ise) bağını kullanarak şartlı önermeler kurulabilir. Örnek: “Eğer yağmur yağıyor ise, hava bulutludur.” Bazen “eğer-ise” bağı yerine doğal dilde “gerektirir” bağını da kullanabiliyoruz. Örnek: “Yağmurun yağıyor olması havanın bulutlu olmasını gerektirir.” Çift şartlı önermeler Yine, “eğer ve ancak-ise” bağını kullanarak birden fazla önermeden çift şartlı önermeler kurulabilir. Bu tür önermeler doğal dilde daha az kullanılmasına rağmen, fizik ve matematikte sık sık kullanılmaktadır. Örnek: “Eğer ve ancak çalışanlar ücretlerde aşırı artış talep ederlerse enflasyon düşmez.” Aynı cümle şu şekilde de ifade edilebilir: “Eğer, çalışanlar ücretlerde aşırı artış talep ederlerse enflasyon düşmez, ve eğer enflasyon düşmezse çalışanlar ücretlerde aşırı artış talep ederler.” Cebirde olduğu gibi, sembolik veya matematiksel mantıkta da, önermeler yerine önermesel değişkenler kullanılır (P, Q, R, S, T harfleri gibi). Mantıksal bağlar Mantıksal bağlar şu sembollerle gösterilir: http://upload.wikimedia.org/math/a/0/c/a0c4c2ce7f9c78efeedd2bfb53ab9f3e.png: değil http://upload.wikimedia.org/math/9/c/a/9cae4437756a15b8e44ec23e07fb1f65.png: ve http://upload.wikimedia.org/math/5/a/d/5addb134385e47a2efa484f6306e75a1.png: veya http://upload.wikimedia.org/math/d/a/5/da558173e1f2ddfeb273751d481f9a52.png: eğer-ise http://upload.wikimedia.org/math/1/b/1/1b18a4c4fc578ef4cfd1cc0eb0daa473.png: eğer ancak-ise Böylece şu ifadeler, önermesel formüller olacaktır: http://upload.wikimedia.org/math/f/a/c/faca3e753a7340bc7072a2020888ca51.png, http://upload.wikimedia.org/math/b/5/9/b593d845b846f264e74098fd126f539a.png, http://upload.wikimedia.org/math/1/2/1/121c3226d420a771359523606cbe6a00.png, http://upload.wikimedia.org/math/4/8/e/48e16a4e3a881e6ad393cf2d69cd6a78.png, http://upload.wikimedia.org/math/a/3/8/a3882e1772db517e421797ad6871e43f.png Örnek: "Eğer sendika veya fabrika yöneticileri inada devam ederlerse, grev ancak hükümet bir kararname çıkarır ve fabrikaya polis göndermezse önlenir." P: Sendika inada devam eder Q: Fabrika yöneticileri inada devam eder R: Grev önlenir S: Hükümet kararname çıkartır T: Hükümet fabrikaya polis göndermez http://upload.wikimedia.org/math/9/d/3/9d3ffc862ec456b2d3be62150f062c39.png Doğruluk cetvelleri Mantıkta önermeler doğru ya da yanlış olabilir, fakat hem doğru hem yanlış olamaz. Bir önermeye yüklenen bu “doğru” ve “yanlış” yüklemlerine onun “doğruluk değeri” denir. Buna göre, şimdi şu önermesel formüllerin doğruluk değerlerini irdeleyelim: http://upload.wikimedia.org/math/f/a/c/faca3e753a7340bc7072a2020888ca51.png, http://upload.wikimedia.org/math/b/5/9/b593d845b846f264e74098fd126f539a.png, http://upload.wikimedia.org/math/1/2/1/121c3226d420a771359523606cbe6a00.png, http://upload.wikimedia.org/math/4/8/e/48e16a4e3a881e6ad393cf2d69cd6a78.png, http://upload.wikimedia.org/math/a/3/8/a3882e1772db517e421797ad6871e43f.png “Değil” sözcüğünün anlamından hareketle, eğer bir P önermesi doğru ise onun değillemesi, yani http://upload.wikimedia.org/math/f/a/c/faca3e753a7340bc7072a2020888ca51.png yanlıştır, ve bunun tersi. Mesela, P önermesi “Ay dünyanın uydusudur” cümlesi yerine geçiyorsa, bunun değillemesi olan http://upload.wikimedia.org/math/f/a/c/faca3e753a7340bc7072a2020888ca51.png yanlıştır. Gene, kural olarak iki veya daha fazla önermenin birleşimi, ancak birleşen bütün önermelerin doğru olması halinde doğrudur. Mesela, “3 asal sayıdır ve 2+2=5'tir” yanlış bir bileşik önermedir. Yine kural olarak, ayrık önermelerin doğru olabilmesi için bileşenlerden birinin doğru olması yeterlidir. Ayrık önermeler ancak bunları meydana getiren bileşenlerin hepsinin birden yanlış oldugu halde yanlış sayılır. Bileşik önermeler için doğruluk tabloları şu şekilde verilebilir: P Q http://upload.wikimedia.org/math/f/a/c/faca3e753a7340bc7072a2020888ca51.png http://upload.wikimedia.org/math/b/5/9/b593d845b846f264e74098fd126f539a.png http://upload.wikimedia.org/math/1/2/1/121c3226d420a771359523606cbe6a00.png http://upload.wikimedia.org/math/4/8/e/48e16a4e3a881e6ad393cf2d69cd6a78.png http://upload.wikimedia.org/math/a/3/8/a3882e1772db517e421797ad6871e43f.png D D Y D D D D D Y Y Y D Y Y Y D D Y D D Y Y Y D Y Y D D D: doğru, Y: yanlış Eşdeğerlikler http://upload.wikimedia.org/math/0/b/e/0beab7f03c60fbcad697d4b7e336feb1.png http://upload.wikimedia.org/math/2/4/d/24d3e4a954bd4ed4e0ec4c57f3d282a9.png http://upload.wikimedia.org/math/8/a/c/8ac0935f5b1e9e8ddee33cc094971f4d.png http://upload.wikimedia.org/math/b/f/3/bf35bbc3855eb49238b8da58ef816030.png Karşıtlıklar http://upload.wikimedia.org/math/0/f/3/0f32a328b92359425557716ad57ff391.png http://upload.wikimedia.org/math/3/2/e/32efa9110d71f43dd7607db507ceb96f.png http://upload.wikimedia.org/math/0/4/a/04ac40bf2ac7f7f05539b666dc371212.png http://upload.wikimedia.org/math/d/2/6/d2602c947b46747247ad170e47b39d99.png TotolojiBir önermesel formülün (veya bileşik önermenin) doğruluk cetvelindeki son değerlendirme sütunundaki bütün değerler “doğru” çıkıyorsa, bu önermesel formüle “totoloji” denir. ÇelişkiBir önermesel formülün (veya bileşik önermenin) doğruluk cetvelindeki son değerlendirme sütunundaki bütün değerler “yanlış” çıkıyorsa bu önermesel formüle “çelişki” denir. Bazen doğrulukBir önermesel formülün (veya bileşik önermenin) doğruluk cetvelindeki son değerlendirme sütunundaki değerlerden bazıları “doğru” bazıları “yanlış” çıkıyorsa bu önermesel formüle “bazen doğru” denir. TutarlılıkBir bileşik önermeye “ve” ekiyle başka bir önerme eklendiği zaman bir çelişki ortaya çıkmıyorsa, eklenen önerme öncekiyle tutarlıdır denir. GeçerlilikBir A1, A2, ..., An önerme dizisindeki bütün A’lar doğru olduğu zaman bir B hükmü de doğru oluyorsa B’ye A1, A2, ..., An önermelerinin geçerli sonucudur denir. Geçerlilik şu şekilde gösterilir: A1, A2, ..., An |= B. Mantıksal İçerikBir bileşik önermeyi yanlış yapan şartların sayısının bütün şartların sayısına oranı ne kadar büyükse, o önermenin mantıksal içeriği o kadar fazladır. Çelişkinin mantıksal içeriğinden bahsedilemez (çünkü yoktur.).(-->bu durumda çelişki için mantıksal içerik 1/1 olması beklenir. buna göre ilk cümle ile bahsedilen tanım tersi olarak düşünülmesi gerekmektedir =>düzeltmedir, şayet hata yok ise siliniz?) |
Bunlardan p doğru g yanlış bir hüküm bildirdiğinden birer önermedir. r,t,ve s kesin hüküm bildirmediklerinden birer önerme değildirler. |
| Saat: 13:01 |
©2005 - 2024, MsXLabs - MaviKaranlık