[KK] Ger�el (Reel) Say�lar

Matematikte Ger�el say�lar (veya reel say�lar) k�mesi, oranl� say�lar (rasyonel say�lar) k�mesinin standart metri�e g�re b�t�nlenmesiyle elde edilen k�medir. Reel say�lar k�mesi http://upload.wikimedia.org/math/6/9/a/69a45f1e602cd2b2c2e67e41811fd226.png sembol�yle g�sterilir. Daha basit s�yleyi�le, bir ger�el say�, ondal�k g�steriminde virg�lden sonra sonsuz basama�� olan bir say�d�r.
Her oranl� say� (rasyonel say�) bir ger�el say�d�r; virg�lden sonra tekrar eden ondal�k a��l�m� vard�r (0 dahil). �rne�in:
http://upload.wikimedia.org/math/3/1/f/31f85b7d9d2d0645efd5f063d9ed2c0c.png veya
http://upload.wikimedia.org/math/9/3/4/93486733009586effa169f91bad53c59.png veya
http://upload.wikimedia.org/math/e/3/1/e31159a9d2b92f056e52129daeeb1ebe.png e�itliklerinde oldu�u gibi. Burada dikkat edilmesi gereken, ondal�k basamaklardaki rakamlar�n bir s�re sonra bloklar halinde periyodik tekrar etme �zelli�idir. Bu ��yle ispatlanabilir: m, n iki tamsay� (n pozitif) olsun. m/n oranl� say�s� ondal�k ifade edilmek istendi�inde, m 'yi n 'ye b�lerken (b�lme algoritmas�n� uygularken) ilk ad�mda kalan 0 ile n aras�nda olacakt�r. Kalan�n yan�na s�f�rlar ekleyip b�lmeye devam edilecek ve bir sonraki ad�mda kalan yine 0 ile n aras�nda olacakt�r. Sonsuz ad�mda sonlu say�da de�er alabilen kalanlar, bir s�re sonra ayn� de�eri alacak ve kendini tekrar edecektir.
Oranl� say�lardan ger�el say�lar� elde etme i�lemiyse oranl� say�lara ondal�k a��l�m�ndaki rakamlar�n devirsel tekrar etmedi�i say�lar�n eklenmesi olarak d��n�lebilir. Bu t�r sonradan elde etti�imiz ger�el say�lara irrasyonel say�lar denir.

�rrasyonel say�lar�n varl��

D�zlemde herhangi bir do�ru par�as� al�p buna birim uzunluk diyelim. Tamsay�larla bu do�ru par�as�n�n katlar� birebir e�lensin. Al�nan bir do�runun �zerinde bu tamsay� uzunluklar� ve olas� t�m oranlar� (oranl� say�lar) i�aretlensin. G�sterilebilir ki, herhangi iki oranl� say� aras�nda sonsuz �oklukta oranl� say� vard�r. Demek oluyor ki, al�nan do�ru �zerinde birbirlerine istenildi�i kadar yak�n ve oranl� say�lar� temsil eden iki nokta (oranl� nokta) aras�nda , sonsuz �oklukta oranl� nokta vard�r.
Bu t�r noktalar�n, dolay�s�yla uzunluklar�n varl��n� ispatlamak i�in, kenar uzunlu�u 1 birim olan bir karenin k��egen uzunlu�unu (x) say� do�rusu �zerinde i�aretleyelim. x uzunlu�u, oranl� bir say� de�ildir, yani p ve q birer tamsay� olmak �zere p/q �eklinde g�sterilemeyen bir say�d�r; bu say� http://upload.wikimedia.org/math/e/f/5/ef5590434a387b3c4427e09d5b08baaf.png olarak g�sterilecektir.
Kabul edelim ki x=p/q olsun. Bundan ba�ka, bu kesrin art�k k�salt�lamayan bir kesir oldu�unu farz edelim, yani p ve q aralar�nda asal olsunlar. Ba�ka bir deyi�le, bunlar�n 1'den ba�ka ortak b�lenleri bulunmas�n. Pisagor teoremi sayesinde x2=2=p2/q2 elde edilir. Dolay�s�yla 2q2=p2 olur. p ve q aralar�nda asal oldu�u i�in 2, p 'yi b�lmek zorundad�r. B�ylece e�itli�in sa� taraf� 4'e b�l�n�r. Sol taraf�n�n da d�rde b�l�nmesi gerekece�inden q da 2'ye b�l�nmek zorunda kal�r. Hem p hem de q say�lar� 2'ye b�l�nebiliyorsa, aralar�nda asall�k kabul�yle �eli�kili bir sonu� bulunmu� olur. O halde x 'in oranl� bir say� oldu�u kabul�nden vazge�mek gerekecektir.
Bu ispat, bir Pisagorcu olan Hippasus'a atfedilmektedir (�.�: 5. y�zy�l). �rrasyonel say�lar�n varl��n�n ilk antik Yunan matematik�i Pisagor'un okulu taraf�ndan anla��lm�� oldu�u g�r�� yayg�nd�r. Fakat Pisagor bu say�lar�n evrenin d�zenine ayk�r� oldu�unu d��nm�� ve ��rencilerine bu say�lar�n varl��n� a��klamay� yasaklam��t�r. Rivayete g�re Hippasus'u o �ld�rtm��t�r.

�rrasyonel Say�lara �rnekler

http://upload.wikimedia.org/math/e/f/5/ef5590434a387b3c4427e09d5b08baaf.png , http://upload.wikimedia.org/math/2/0/c/20cc78eed9b05759cbd1213bbef9d10b.png, http://upload.wikimedia.org/math/7/d/2/7d2db2b2c90be143cb85c105105317da.png, π , e, http://upload.wikimedia.org/math/1/b/6/1b617f10629a1ca486bfecc14db42209.png birer irrasyonel say�d�r. �ki irrasyonel say�n�n toplam�, �arp�m�, yine bir irrasyonel say� olmak zorunda de�ildir

Ger�ek say�lar�n kurulmas�

Belitlerle in�a

A�a��daki belitler arac�l��yla kurulan ger�el say�lar sistemi, b�t�n s�ral� bir cisimdir. K�meler kuram�n�n Zermelo-Fraenkel belitleri ile in�as� kabul edilerek, a�a��daki belitleri sa�layan bir modelin varl�� ve bunlar� sa�layan herhangi iki modelin birbirine izomorfik oldu�u g�sterilebilir.
Ger�el say�lar sistemi bir R k�mesi, i�inde 0 ve 1 adl� iki ��e (eleman), + ve x ile g�sterilen iki tane ikili i�lem ve ≤ olarak g�sterilen bir ikili ba��nt�dan olu�uktur. Bunlar a�a��daki belitleri sa�lar:
1. (R, +, x) bir cisimdir.
2. (R, ≤) tamamen s�ral� bir k�medir.
3. ≤ ba��nt�s� + ve x i�lemleri alt�nda korunur:

a, b ve c R 'de, ve a ≤ b olmak �zere a + c ≤ b + c olmal�d�r.
a, b R 'de, ve 0 ≤ a, 0 ≤ b olmak �zere 0 ≤ a x b olmal�d�r.

4. ≤ s�ralamas� b�t�nd�r: R'nin bo�k�me olmayan ve yukar�dan s�n�rl� her alt k�mesi, en k��k bir �st s�n�ra sahiptir.
A�a��da ger�el say� sistemi i�in kimi model in�alar� bulunmaktad�r. Bunlar�n her biri bir di�eriyle, yukar�da s�z� edilen anlamda ayn�d�r.

Cauchy dizileriyle in�a

Dedekind kesimleriyle in�a

Tamsay�lar grubunu kullanarak in�a

Baz� Yan Bilgiler

Tam kare olmayan hi�bir do�al say�n�n karek�k� oranl� de�ildir.
Oranl� say�lar k�mesi say�labilir olmas�na kar��l�k ger�el say�lar k�mesi say�lamazd�r.
Ger�el say�lar "cebirsel say�lar" ve "a�k�n say�lar" (transcendental) olarak ikiye ayr�l�rlar. Cebirsel bir ger�el say�, tamsay� katsay�l� bir polinomun k�k� olabilen bir say�d�r; �rne�in: x2 - 2 polinomunu 0 yapan de�erlerden biri (k�k) http://upload.wikimedia.org/math/e/f/5/ef5590434a387b3c4427e09d5b08baaf.png'dir. x - 2 polinomunun k�k� 2'dir. Dolay�s�yla http://upload.wikimedia.org/math/e/f/5/ef5590434a387b3c4427e09d5b08baaf.png ve 2 cebirsel say�lard�r. Ancak π ve e say�lar� herhangi bir polinomun k�k� olamazlar; bunlar a�k�n say�lard�r.

�spat

Do�al say�lar� i�in nx≤y dir. Bu durumda y/x, N do�al say�lar k�mesi i�in bir �st s�n�rd�r. B�ylece N, R nin bo� olmayan bir altk�mesi olup �stten s�n�rl�d�r ve en k��k �st s�n�r �zelli�inden bir s supremuma (e.k.�.s.'e) sahiptir. s-1< s oldu�undan s-1, N i�in bir �st s�n�r olamaz. Bu y�zden, N 'nin s-1 den b�y�k olan bir n eleman� var olmal�d�r. Ancak e�er n>s-1 ise n+1>solur. Bu da s 'nin N nin supremumu olmas� ile �eli�ir. Bu da bizi varsay�m�m�z�n kar��t�na g�t�r�r. Yani her bir n i�in n<=x olamaz.

kaynak : Ana Sayfa - Vikipedi