DENKLEM NEDİR VE ÖRNEKLERİ VAR MI? |
2x+3=5+x Bu bir denklemdir. Bir bilinmeyenlidir. Aynı olan türleri bir tarafta toplarsanız sonuca ulaşırsınız. 2x-x=5-3 x ve 3 ün yerlerini değiştirdiğimiz için işaretleri değişti. x=2 x+2y =2 2x-2y=4 Bu ise 2 bilinmeyenli bir denklemdir. Bu tür denklemlerde taraf tarafa toplamak en iyi yoldur. Fakat her hangi birisinden x veya y'nin değerini bulup diğer kullanmadığınız denklemde yerine yazarsanız yine sonuca ulaşırsınız x+2x+2y-2y=2+4 hem +2y hem -2y birbirlerini götürürler. 3x=6 x=2 Denklem, iki niceliğin eşitliğini gösteren bağıntıdır. Araya (=) işareti konularak ifade edilir. Denklemlerde eşitlik değişkenlerin belirli değerleri için sağlanır. Değişkenlerin her değeri için geçerli olan eşitliklere özdeşlik denir. (x + y)² =x² + 2·x·y + y² özdeşlik x² - 3·x + 2 = 0 ise bir denklemdir. x² - 3·x + 2 = 0 denklemi sadece x = 1 ve x = 2 sayıları için doğrudur, diğer değerler için yanlıştır. Özdeşlikte ise her x ve y değeri için eşitlik doğrudur. Denklemlerde değişkenlerin en büyük kuvveti denklemin derecesini gösterir. Her terimin derecesi aynı olan denklemlere homojen denklem denir. Yüzey denklemiÜç boyutlu uzayın herhangi bir P noktasının koordinatları x,y,z ise, f (x,y,z) = 0 şeklindeki denklemlerdir. Eğri denklemiEğri, tarifinden dolayı iki yüzeyin arakesiti bir eğridir f(x,y,z) = 0 ve g(x,y,z) = 0 yüzey denklemleri bir arada eğri denklemi verir. İki boyutlu uzayda x ve y gibi iki değişkenle meydana gelen denklemler bir eğri denklemidir: y² = 2x, y = 3x, x² + y² = 1 birer eğri denklemidir. Cebirsel denklemTerimleri cebirsel fonksiyonlardan meydana gelen denklemlerdir. Denklem sistemiOrtak çözümleri olsun veya olmasın iki veya daha fazla denklemler grubu. Lineer denklemDeğişkenleri birinci dereceden olan cebirsel denklem. Mesela: 3x + y = 5, 8x + 9 =3 gibi. Logaritmik denklemBilinmeyenlerin logaritmik fonksiyonlarının bulunduğu denklemlerdir. log(x) + 3·log(3x) = 4 gibi. Transandant denklemCebirsel olmayan denklemlerdir. Logaritmik, üstel, trigonometrik fonkisiyonlardan meydana getirilen denklem böyledir.(İngilizcesi transcendental olan bu kelimenin Türkçe'si "AŞKIN" olarak çevirilmiş. Bu ifade aynı zamanda pi,e gibi sayılar için de kullanılır. Kendi kendini aşandan (AŞKIN) gelmektedir. Aşkın Sayılar) Denklemler teorisi f(x) = anxn + an-1xn-1 + .... + a1x + a0 = 0 çok terimli denklemleriyle ilgilenir. Burada n denklemin derecesini ve an denklemin baş katsayısını gösterir. Çarpan teoremiEğer (n'inci) mertebeden f(x) = 0 denkleminin x = a gibi bir kökü (çözümü) varsa, g(x) çokterimlisi (n-1) mertebeden olmak üzere: f(x) = (x-a)·g(x) yazılabilir. Kök sayısıBir denklemin en fazla, derecesi kadar kökü vardır. Katlı kökEğer: f(x)=(x-a)k·g(x) yazılabiliyorsa x=a, f(x)=0 denkleminin k katlı köküdür. Mesela: x³ + x² - 5x + 3 = (x-1)²·(x+3) = 0 denkleminde x = 1 iki katlı kök, x = -3 tek katlı köktür. Karmaşık kökEğer gerçel katsayılara sahip f(x) = 0 denkleminin bir kökü x= a + ib ise, x = a - ib de diğer bir köktür. Gerçel kökün yeriEğer gerçel katsayılara sahip f(x) için f(a) ve f(b) ters işaretli değerler ise, a ve b arasında f(x) = 0 denkleminin bir kökü vardır. Mesela f(x) = x5 - x - 1 = 0 da f(1) = -1 ve f(2) = 29 olduğu için, denklemin 1 ile 2 arasında bir kökü vardır. İkinci derece denklemx² + ax + b = 0 denkleminin en çok iki kökü bulunur. Bu kökler http://upload.wikimedia.org/math/3/5/a/35a988c2287d57d7c6d3b4679619eee4.png gerçel çözümün olması için karekök altındaki ifadenin negatif olmaması gerekir. Eğer kökün altındaki ifade sıfırsa, kök tek olarak iki katlı ortaya çıkar. Negatif ise gerçek kök yoktur. Beşinci ve daha yüksek dereceden denklemlerin yalnızca cebirsel işlemler içeren formüller yardımıyla çözülmesinin olanaksızlığını ilk kez Paolo Ruffini öne sürdü ve Norveçli matematikçi Niels Henrik Abel beşinci dereceden denklemler için bunu kanıtladı (1824). Abel'den bağımsız olarak aynı sonuca varan Fransız matematikçi Evariste Galois, oluşturduğu denklemler kuramını matematikte yeni bir kavram olan gruplar kuramına dayandırmıştı. Yirmi yaşında bir düelloda öldürülen Galois, ölümünden bir gece önce bir arkadaşına aceleyle yazıp bıraktığı bir mektupta, günümüzde kendi adıyla anılan kuramı ortaya koydu. 2. derece denklemler ax2 + bx + c = 0 şeklindeki denklemlerdir. Bu çeşit denklemlerin 2 adet kökü bulunur. Bu denklemlerin bazıları çarpanlara ayrılarak yapılır. Örneğinx2 − 7x + 12 = 0 denklemi (x-4)(x-3)=0 şeklinde açılabilir. Çözüm kümesi de Ç={4,3}'tür. Ama bazı denklemler parantezle ayrılamaz. Bunların çözüm kümesini bulmak için diskriminant formülü vardır. Bu formül kökü reel olmayan denklemler için de geçerlidir. |
Cauchy-Riemann denklemleri Matematiğin bir dalı olan karmaşık analizde Augustin Louis Cauchy ve Bernhard Riemann'a atfen Cauchy-Riemann denklemleri olarak adlandıran denklemler, türevlenebilir bir fonksiyonun açık bir kümede holomorfik fonksiyon olması için gerekli ve yeterli şartları sağlayan kısmi diferansiyel denklemlerdir. Bu denklemler sistemi ilk defa Jean le Rond d'Alembert'in 1752 yılındaki çalışmasında ortaya çıkmıştır. Daha sonra, 1777 yılındaki çalışmasıyla Leonhard Euler bu sistemi analitik fonksiyonlarla ilişkilendirmiştir. Cauchy ise bu sistemi 1814'teki çalışmasındaki fonksiyonlar teorisinde kullanmıştır. Riemann'ın fonksiyonlar teorisi üzerine olan doktora tezinin tarihi ise 1851'dir. Bir gerçel değerli fonksiyon çifti u(x,y) ve v(x,y) için yazılan Cauchy-Riemann denklemleri aşağıdaki gibidir: (1a) http://upload.wikimedia.org/math/b/0/7/b07a8469080268a5669be32de64e936d.png ve (1b)http://upload.wikimedia.org/math/b/0/c/b0cd63fdc5bbfc6581e0c3843207c6e7.png Genelde u ve v çifti, karmaşık değerli bir f(x + iy) = u(x,y) + iv(x,y) fonksiyonunun gerçel ve sanal kısımları olarak alınır. u ve v, C 'nin açık bir kümesinde sürekli şekilde türevlenebilir bir fonksiyon olsun. O zaman, f=u+iv ancak ve ancak u ve v Cauchy-Riemann denklemlerini ((1a)'yı ve (1b)'yi) sağlarsa, holomorfiktir. Yorumu ve formülasyonu Açıkorur gönderimler Cauchy-Riemann denklemleri çeşitli yollarla genelde tekrar formüle edilirler. Birincisi, (2) http://upload.wikimedia.org/math/7/d/0/7d0eaab36214c993ebc85d98120003b2.png karmaşık formunda yazılabilirler. Bu formda, denklemler yapısal olarak Jakoben matrisinin, http://upload.wikimedia.org/math/0/8/7/0875135b6dfecc84cfb62efcdd77c8fc.png ve http://upload.wikimedia.org/math/a/d/5/ad59b6f2b29abccf7f6b2b84223b0f7f.png olacak şekilde, http://upload.wikimedia.org/math/c/8/9/c89bb573b8de6e1c93bc33847839ac0d.png formunda olmasına karşılık gelir. Bu formdaki bir matris bir karmaşık sayının matris temsilidir. Geometrik olarak, böyle bir matris her zaman homotetisi olan bir rotasyonun bileşkesidir ve bilhassa açıları korur. Sonuç olarak, türevi sıfırdan farklı, Cauchy-Riemann denklemlerini sağlayan bir fonksiyon düzlemdeki eğriler arasındaki açıyı korur. Yani, Cauchy-Riemann denklemleri bir fonksiyonun açıkorur gönderim olması için olan koşullardır. Karmaşık eşleniğin bağımsız olması Denklemler bazen tek bir denklem olarak yazılır: (3) http://upload.wikimedia.org/math/6/7/8/678deb477aa985b2e74c4e842538c2e1.png Burada, türev operatörü http://upload.wikimedia.org/math/e/f/b/efb180c135d156482c05f3182554e763.png http://upload.wikimedia.org/math/6/8/b/68b6644a45a6d7eebc7b145b1655c739.png olarak tanımlanmıştır. Bu formda, Cauch-Riemann denklemleri "f, http://upload.wikimedia.org/math/a/e/b/aeb40cbdb272a100ccde4a4581e6a7e4.png değişkeninden bağımsızdır" olarak yorumlanabilir. Karmaşık türevlilik Cauchy-Riemann denklemleri bir fonksiyonun karmaşık türevli (veya holomorfik) olması için gerekli ve yeterli bir koşuldur (Ahlofors 1953, §1.2 ). Daha ayrıntılı bir şekilde, f(z) = u(z) + iv(z) z∈C karmaşık sayısının fonksiyonu olsun. O zaman, f 'nin z0 noktasında karmaşık türevi eğer limit varsa http://upload.wikimedia.org/math/4/8/c/48c2dc9e2c70c9281adb3ae564f87b13.png olarak tanımlanır. Eğer bu limit varsa, limit reel eksen veya sanal eksen boyunca h→0 alınarak hesaplanabilir ve her iki durumda da aynı sonucu vermelidir. Reel eksen boyunca yaklaşılırsa http://upload.wikimedia.org/math/d/4/8/d48baf2adef1480530a03c27916bdc94.png elde edilir. Diğer taraftan sanal eksen boyunca yaklaşılırsa http://upload.wikimedia.org/math/3/e/0/3e0f81d5a62d6465f780a023f46c53ad.png elde edilir. İki eksen boyunca alınan türevlerin eşitliği http://upload.wikimedia.org/math/3/a/5/3a58880305c7fe4a1d4b03dea978610b.png ifadesini verecektir. Farkedilirse bu, z0 noktasındaki (2) nolu Cauchy-Riemann denklemidir. Tersine, f:C → C, R2 'de türevli olarak algılanırsa, o zaman f ancak ve ancak Cauchy-Riemann denklemleri sağlanırsa karmaşık türevlidir. Diğer temsiller Cauchy-Riemann denklemlerinin diğer temsilleri diğer koordinat sistemlerinde de ortaya çıkmaktadır. Sürekli şekilde türevlenebilir bir u ve v fonksiyon çifti için (1a) ve (1b) sağlanıyorsa, o zaman http://upload.wikimedia.org/math/9/9/f/99ff68eb4e5ececde644e061318743bf.png 'nin birim dik ve pozitif yönlü olduğu herhangi (n(x,y), s(x,y)) koordinatı için de http://upload.wikimedia.org/math/8/6/b/86bfdc35c064d5d7f08d38c85760fe69.png eşitlikleri sağlanır. Sonuç olarak, özellikle, z=reiθ olarak verilen kutupsal koordinatlar sisteminde, denklemler http://upload.wikimedia.org/math/5/7/e/57ec029b93c9b46d4a14efbf93e0ee3e.png halini alır. f için bu iki denklem birleştirildiğinde http://upload.wikimedia.org/math/3/3/d/33dc0c72e38c720d43686b67ef26afce.png elde edilir. Homojen olmayan denklemler Homojen olmayan Cauchy-Riemann denklemleri, R2 'nin açık bir altkümesinde verilmiş α(x,y) ve β(x,y) için, bilinmeyen iki gerçel değişkenli bir u(x,y) ve v(x,y) fonksiyon çiftinin iki denkleminden oluşur: http://upload.wikimedia.org/math/1/d/6/1d6bf3eda39f6174770363433263b74b.png http://upload.wikimedia.org/math/c/d/6/cd6de220d1338c21fa23ddb5cf1fa3b2.png Bu denklemler genellikle bir denklemde toplanırlar (f=u+iv ve φ=(α+iβ)/2): http://upload.wikimedia.org/math/8/3/e/83ea8241c5e77c04ce11f20196398a07.png Eğer φ, Ck ise, o zaman herhangi sınırlı bir D bölgesinin kapanışında φ sürekli olduğu sürece, homojen olmayan denklem D 'de açık olarak çözülebilir. Aslında Cauchy integral formülü kullanılarak her ζ∈D için http://upload.wikimedia.org/math/8/9/2/8925194872a8428daf7d90f69e26bf9c.png ifadesi elde edilir. Genelleştirmeler Goursat teoremi ve genelleştirmeleri Ayrıca bakınız: Cauchy-Goursat teoremi f = u+iv, f : R2 → R2 fonksiyonu olarak karmaşık değerli, türevlenebilir bir fonksiyon olsun. O zaman Goursat teoremi, f 'nin açık karmaşık bir Ω bölgesinde ancak ve ancak fonksiyon Cauchy-Riemann denklemlerini sağlarsa analitik olacağını ifade eder (Rudin 1966, Teorem 11.2). Özelde, f 'nin sürekli türevliliği varsayılmak zorunda değildir (Dieudonné 1969, §9.10, Al. 1). Goursat teoremi 'nin varsayımları önemli bir ölçüde zayıflatılabilir. f=u+iv açık bir Ω kümesinde sürekliyse ve f 'nin Ω 'da x ve y 'ye göre kısmi türevleri varsa, o halde f holomorfiktir (ve bu yüzden analitiktir). Bu sonuç Looman–Menchoff teoremi olarak bilinir. f 'nin Ω üzerinde Cauchy-Riemann denklemlerini sağlaması varsayımı çok önemlidir. Bir noktada Cauchy-Riemann denklemlerini sağlayan ancak analitik olmayan bir fonksiyon inşa etmek mümkündür (mesela f(z) = z5/|z|4). Benzer bir şekilde, aşağıdaki örneğin de gösterdiği gibi, Cauchy-Riemann denklemlerinin yanında (süreklilik gibi) bazı ek varsayımlara da ihtiyaç vardır (örnek Looman 1923, sf. 107'dedir.): http://upload.wikimedia.org/math/f/b/0/fb01e719ebfcfed64ebdb7387043e727.png Cauchy-Riemann denklemlerini sağlar ancak z=0 noktasında sürekli değildir. Yine de, bir fonksiyon açık bir küme üzerinde Cauchy-Riemann denklemlerini zayıf bir anlamda sağlıyorsa, o zaman fonksiyon analitiktir. Daha kesin bir anlamda (Gray Morris 1978, Teorem 9),
Çok değişkenler Cauchy-Riemann denklemlerinin çok karmaşık değişkenlere uygun genelleştirmeleri de vardır. Kısmi diferansiyel denklemleri önemli bir [artık belirtilmiş sistemleri]]ni oluştururlar. Çoğu zaman formüle edildiği gibi http://upload.wikimedia.org/math/7/9/2/79236dcc5ea040567b38f70c3dec8093.png d-bar operatörü holomorfik fonksiyonları imha eder. Bu doğrudan http://upload.wikimedia.org/math/9/a/5/9a526263659e378e62f8b0b4462d5c0a.png alınarak şu genelleştirmeyi yapar: http://upload.wikimedia.org/math/4/5/b/45b65758853412cad2593ab77580109c.png Dalga denklemi http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1f/Wave_equation_1D_fixed_endpoints.gif http://tr.wikipedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.png 1 boyutlu dalga denklemi. Dalga denklemi fizikte çok önemli yere sahip bir kısmi diferansiyel denklemdir. Bu denklemin çözümlerinden, ses, ışık ve su dalgalarının hareketlerini betimleyen fiziksel nicelikler çıkar. Kullanım alanı, akustik, akışkanlar mekaniği ve elektromanyetikte oldukça fazladır. Denklemin dalga hareketinde bulunan herhangi bir u skaler büyüklüğü için gösterimleri Gösterim Açıklama http://upload.wikimedia.org/math/6/c/c/6cc26f1a3c8dcd34e31f6c5eb2637523.png http://upload.wikimedia.org/math/8/e/8/8e830b0a94bb56009bcc66bb0a1d2c83.png operatörü http://upload.wikimedia.org/math/3/8/a/38aa3ced9164d6c56f9f2d53eebbd8f8.png http://upload.wikimedia.org/math/5/d/b/5dbd8cdb6326ad15f646e2396ecfd70a.png: u'nun zamana göre 2. türevi http://upload.wikimedia.org/math/9/e/4/9e4a95b1f612a636767edca77dec112b.png http://upload.wikimedia.org/math/a/e/c/aecac8a8d92a3ef9b90f85551c4af754.png: d'Alembert İşlemcisi Burada c dalganın yayılma veya ilerleme hızıdır. Dalganın dağılması, yani ilerledikçe başka başka frekanslar haline bürünmesi olgusu (dispersion) göz önüne alınırsa denklemde c yerine faz hızı http://upload.wikimedia.org/math/1/7/d/17d2b8075f1a26f965ee12d6fc895055.png kullanılır. Ayrıca daha gerçekçi sistemlerde hızın, dalganın genliğine bağlı olduğu dikkate alındığından denklem doğrusal olmayan http://upload.wikimedia.org/math/f/f/a/ffa563061b3e756494c7b6898892e3b9.png şeklinde biçimlenir. Tek boyutta çözümü Laplasyen tek boyutta adi türeve dönüşür. http://upload.wikimedia.org/math/d/5/9/d59e20e6bbdf80cf591c6a5bc1af178c.png d'Alembert çözümü http://upload.wikimedia.org/math/0/8/b/08b1a21eed9b1820e77c2569c5e4bdf6.png ve http://upload.wikimedia.org/math/8/8/c/88c89e4433df50f4e25b950bc20dbfe3.png tanımları yapılarak zincir kuralı yardımıyla: http://upload.wikimedia.org/math/2/d/7/2d7fd5a784fecbd9fe961aa1c976764c.png yazılabilir. http://upload.wikimedia.org/math/3/6/1/361547a0d31b4354bbb0a7c0b845936c.png olduğundan, http://upload.wikimedia.org/math/2/0/c/20ce9c8831ed328d412aa27d1613ab88.png ifadesi ve aynı yol izlenerek http://upload.wikimedia.org/math/7/9/3/7936a6908230a09bdb90848ab6a26469.png ifadesi elde edilebilir. İki denklem birbirinden çıkartılarak dalga denklemi buradan, http://upload.wikimedia.org/math/2/f/5/2f51be5c0b6df1fadc9a298ee22db669.png olarak yazılır. Dolayısıyla denklem, http://upload.wikimedia.org/math/6/2/b/62ba46bce2d2bbdac9d8dc7a8205ad1d.png durumuna indirgenmiş olur. Kısmî diferansiyel denklemin çözümü, tek tek değişkenler için integral alınarak http://upload.wikimedia.org/math/5/6/d/56d41f5c0f80597e1fbef8007101bd63.png olarak bulunur. Burada f, +x yönünde ilerleyen, g de -x yönünde ilerleyen düzlem dalgayı betimler. Fourier dönüşümü ile Denklem yazılıp iki tarafa da Fourier dönüşümü http://upload.wikimedia.org/math/f/d/e/fde0d9b57f00abb0e4ae16d64926d9f9.png yapılırsa http://upload.wikimedia.org/math/4/c/9/4c9c67b1fc94f41c2d72b034a6382d65.png biçimine dönüşür. http://upload.wikimedia.org/math/6/e/4/6e4173d589e5ae3709afe5ddb7efc47d.png denkliği kullanılarak http://upload.wikimedia.org/math/9/5/c/95c227ca75b66aaea6fac8a72988aeb7.png diferansiyel denklemi elde edilir. Burada, http://upload.wikimedia.org/math/d/b/6/db6eda73d7ff0b713649268a0f8df44a.png dönüşümü de uygulanarak dalga denkleminin w,k uzayındaki dağılım (dispersion) ilişkisini vermesi görülebilir. Elde edilmiş olan diferansiyel denklemin çözümü http://upload.wikimedia.org/math/3/9/5/3958411ebfd7bfa96e34244c92b3a282.png olarak elde edilir. Ancak bu çözüm konum uzayı x de değil, başka bir uzay olan k uzayındaki çözümdür. http://upload.wikimedia.org/math/b/1/d/b1d6b822c3a5a3e299abee0becf9a1d0.png Çözümün konum uzayında bulunabilmesi için k uzayındaki çözüme ters Fourier dönüşümü uygulanır. http://upload.wikimedia.org/math/8/1/d/81dda8bac08e6da26f380e3a3b840dab.png çözülüerek http://upload.wikimedia.org/math/7/c/5/7c5d13691c994706c5062bace8c9cf30.png Görüldüğü üzere birinci ve ikinci terim sırasıyla f ve g diye iki fonksiyonun Fourier dönüşümleri olarak kabul edilirse x uzayındaki çözüm http://upload.wikimedia.org/math/0/a/0/0a08f4e457a351448733df10722aea66.png olarak elde edilir. Değişkenlere ayırma yöntemi ile Dalga denklemi karışık türevler içermediği için değişkenlere ayırma yöntemi kullanılarak da çözüme gidilebilir. http://upload.wikimedia.org/math/c/f/b/cfbfe0fb4917e75c1bd8846237b5e30f.png olarak yazılır ve denkleme konulursa denklem şu hali alır: http://upload.wikimedia.org/math/7/3/3/733ca5251318ba1c48d732156042abbb.png iki taraf da u ya bölünürse http://upload.wikimedia.org/math/3/d/d/3dd97b5b702212fbd9bf3e2800720854.png iki tane birbirinden bağımsız değişkenin olduğu ifade birbirine ancak bir sabite eşit olmaları durumunda eşit olabileceğinden iki denklem de ayrı ayrı bu sabite eşitlenerek çözümler bulunabilir. Bu sabit pozitif, negatif ve sıfır olması durumlarında incelenerek diferansiyel denklemler çözülebilir ancak fizikte zaman genelde salınım olarak ortaya çıktığından sabit, − k2, k:reel seçilerek fiziksel olarak anlamlı çözüme hızlıca gidilebilir. Böylece denklemin sol tarafından: http://upload.wikimedia.org/math/b/e/2/be2a21cac9cf19f115f0d3a79d66cfb0.png ve sağ tarafından da http://upload.wikimedia.org/math/b/a/9/ba92109761b7d2d6501903337adf7a58.png bulunur. Sinüs ve kosinüs ile elde edilen çözümler sınır koşullarını rahatça sağlayacaklarından genellikle sınır değer problemlerinde kullanılırlar. Dalga boşlukta hareket eden bir elektromanyetik bir ışınsa o zaman çözümleri K1eikx ve K2eikct olarak vermek daha rahat olur. Matematiksel olarak iki çözüm de doğru olmasına rağmen fiziksel kaidelerden serbest ve bağlı olarak çözümler böyle sınıflandırılabilir. Dirac denklemi Adını İngiliz fizikçi Paul Dirac'tan alan dönülü ve göreli kuantum mekaniği denklemi, http://upload.wikimedia.org/math/6/8/5/685cd2597721741a6f907b557ff2bb5a.png şeklinde ifade edilebilir. Burada; m_0 : parçacığın durağan kütlesini,c : ışık hızını,pμ : dörtmomentumu,γμ : Dirac matrislerini göstermektedir. Ayrıca Ψ, dört tane karmaşık sayıdan oluşan bir kolon matristir ve olasılığın dalga fonksiyonudur. Bu dört sayı da iki gruba ayrılır: http://upload.wikimedia.org/math/9/b/6/9b6a9f502d67de8ffcf79a3a0a8bac8d.png Buradaki Ψ + ve Ψ − , Dirac dönücüleri olarak adlandırılır ve her birinin farklı bir fiziksel anlamı vardır. Ψ + dönücüsü, pozitif enerjileri, Ψ − negatif enerjileri ifāde eder. Bunlar da http://upload.wikimedia.org/math/1/7/4/174ba026c37f122e46883a9f3caeb901.png ve http://upload.wikimedia.org/math/a/a/f/aaf292e0f4d7953d831afd962a7cd259.png olarak tanımlanır. ψ yukarı dönü ve φ aşağı dönü olarak anlam kazanır. Yani, dalga fonksiyonu; http://upload.wikimedia.org/math/8/d/2/8d266470202da83d9efd3d40927aaa84.png şeklindedir. Serbest parçacık için Dirac denklemi Dırac denklemlerinde μ = 0 bileşenini ayırıp gerisi için i=1,2,3 indisini bırakırsak (bknz. Minkowski uzayzamanı), Dirac denklemi; http://upload.wikimedia.org/math/3/f/b/3fbd6d86aa969bc35dd8b223e7d5be95.png biçiminde yazılabilir. Dirac matrisleri; I, birim matris olmak üzere http://upload.wikimedia.org/math/3/2/b/32ba0d9c087cb42789e3c8f156ad5a56.png ve http://upload.wikimedia.org/math/c/5/b/c5b5169242047b616d629feefa973651.png olarak Pauli matrisleri cinsinden yazılabilir. Bunlar yerine konunca Dirac denklemi, http://upload.wikimedia.org/math/c/1/a/c1a126dfe136158554964e66aece316f.png biçimini alır. Matris çarpımı yapılırsa, çiftlenimli denklemler elde edilir: http://upload.wikimedia.org/math/c/a/f/caf5a4d442b2a5b27a855e296e18be0b.pnghttp://upload.wikimedia.org/math/7/9/c/79c2787a3eb0a1fafc22c804384bc671.png Bu özdeğer denklemlerini çözmek için, dönücülerden biri çekilip diğer denklemde yerine yazılabilir. Buradan, göreliliğin en önemli denklemlerinden biri elde edilir: http://upload.wikimedia.org/math/4/a/6/4a64f82daab50f1b6db1929f5b06ad4d.png Burada p0c = E = mc2 ve http://upload.wikimedia.org/math/1/f/5/1f5c464ea4c3355c0dcd525288ac6b66.png olduğundan ifade, http://upload.wikimedia.org/math/f/8/f/f8fd2e1cd43cb6284692bffa4a30d34a.png şeklindedir. Buradan E için pozitif ve negatif değerler gelir. Elektromanyetik alanda Dirac denklemi Denklemdeki dörtmomentum işlemcisine elektromanyetik potansiyeli dahil edersek: http://upload.wikimedia.org/math/5/e/d/5eda2fa24c0e993233cd04df6684fa4c.png denklem, http://upload.wikimedia.org/math/6/5/0/650af8a02c48eda8557e9239676eedaf.png biçimine gelir. Buradaki Aμ, elektromanyetik dörtpotansiyeldir ve e elektriksel yüktür. Doğrusal denklem Doğrusal (Lineer) Denklem terimlerinin her biri ya birinci dereceden değişken ya da bir sabit olan denklemlerdir. Bu tür denklemler aynı zamanda birinci dereceden bir polinom belirtirler. Böyle denklemlere "doğrusal" denmesinin nedeni içerdikleri terim ve değişkenlerin sayısına bağlı olarak (n) düzlemde ya da uzayda (ya da n-boyutlu ortam) bir doğru belirtmesindendir. Doğrusal denklemlerin en yaygını bir x ve y değişkeni içeren aşağıdaki formdur: http://upload.wikimedia.org/math/f/b/6/fb68c169aa24bd4e132ce3bf3ee2b031.png Burada, m sabiti doğrunun eğimini belirler; b sabiti ise denklemin x ve y eksenlerini keseceği noktaları belirler (yani m sabiti değişmesi fonksiyonun artış miktarını etkilerken b sabitinin değişmesi doğrunun düzlemde ötelenmesine neden olur). Aynı terimde iki değişken barındıran ya da değişken terimin derecesi 1'den farklı olan denklemler: x2 ya da y1 / 3 (terimler birinci dereceden ya da bir sabit olmadığından) ve xy (tek bir terim çift değişken içerdiğinden) doğrusal değildir. Örnekler İki değişkenli bazı doğrusal denklem örnekleri: http://upload.wikimedia.org/math/c/4/1/c41462bf54c5d9b04a6b9779933537e2.png http://upload.wikimedia.org/math/0/7/3/073bbebeaa95aa26456507c236dba98d.png http://upload.wikimedia.org/math/0/7/e/07e10f32d82731e383d5e1b9397c0a30.png İki Boyutlu Doğrusal Denklemler http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f2/Denklem.jpg Aşağıdaki formlar basit matematik bilgisiyle yazılabilecek 2 boyutlu doğrusal denklem örnekleridir. Burada büyük harfler sabitlerin x ve y'ler değişkenlerin yerine kullanılmıştır.
Kesim noktası: Doğrunun herhangi bir eksenle kesiştiği noktadır. Örneğin sağdaki grafikte (a,0) x ekseni kesim noktası; (0,b) y ekseni kesim noktasıdır.http://upload.wikimedia.org/math/d/2/4/d24ebc87176b242c935535a363c5fc10.png m eğimi ve b de y-ekseni kesim noktasını gösterir. x = 0 de y = b olduğu direk gözlenir.
Birden fazla doğrusal denklem olduğu durumlar için lütfen bkz.: Doğrusal denklem sistemi. Doğrusal fonksiyonlarla ilişkisi Yukarıdaki tüm formlarda y, x'in bir fonksiyonudur. Fonksiyon grafiği denklem grafiğiyle aynıdır. Denklemdeki y = f(x) varsayılırsa f fonksiyonu aşağıdaki özelliklere sahiptir: http://upload.wikimedia.org/math/e/1/e/e1e68991d796d9787e93181132c0766a.png ve http://upload.wikimedia.org/math/9/7/6/9760d5824466b43115971d3b9d93a223.png a bir sayıdır. Bunları sağlayan fonksiyonlara doğrusal fonksiyon denir. İkiden fazla değişkenli doğrusal denklemler Doğrusal denklemler ikiden fazla değişkene de sahip olabilirler, n terimli genel denklemimiz aşağıdaki gibi olsun: http://upload.wikimedia.org/math/d/8/e/d8ea72a9337f856e607ad2b87c3c6656.png Burada, a1, a2, …, an katsayılar, x1, x2, …, xn değişkenlerdir, ve b de sabittir. Üç değişkenli denklemlerde genelde x1 yerine sadece x, x2 sadece y ve x3 yerine z kullanılır. Böyle bir denklem n-boyutlu bir Öklid uzayında (n–1)-boyutlu hiper düzlem belirtir. |
Helmholtz denklemi Hermann von Helmholtz'un ardından adlandirilan Helmholtz denklemi veya indirgenmiş dalga denklemi http://upload.wikimedia.org/math/d/1/f/d1f149faa41a5b9b002d7f0dc4fc97b1.png biciminde tanimli 2. dereceden bir eliptik kismi türevli diferansiyel denklemdir. Burada http://upload.wikimedia.org/math/6/d/d/6dd8035713e67f816cb0b819cf492ffd.png (Δ biciminde de gosterilir) Laplasyen operatörünü, k(x) ortamın dalga sayısını ve u(x) dalga davranışı gösteren bilinmeyen fonksiyonu göstermektedir. Homojen olmayan Helmholtz denklemi http://upload.wikimedia.org/math/2/d/6/2d657179a4e88bc9c71f686126202c8c.png Bu durumda denklem fiziksel acidan u(.) alaninin f(.) kaynak dagilimi tarafindan yaratildigi biciminde yorumlanir. Uygulama Alanları Helmholtz denklemi zamanla harmonik degisim gosteren elektromagnetik veya akustik dalgalarla uyarılmış ortamlardaki alan dagılımını modellemek için kullanılır. Laplace denklemi Matematikte Laplace denklemi, özellikleri ilk defa Pierre-Simon Laplace tarafından çalışılmış bir kısmi diferansiyel denklemdir. Laplace denkleminin çözümleri, elektromanyetizma, astronomi ve akışkanlar dinamiği gibi birçok bilim alanında önemlidir çünkü çözümler bilhassa elektrik ve yerçekim potansiyeli ile akışkan potansiyelinin davranışını açıklar. Laplace denkleminin çözümlerinin genel teorisi aynı zamanda potansiyel teorisi olarak da bilinmektedir. Tanım Üç boyutta, problem x, y ve z gibi üç gerçel değişkene sahip, iki kere türevlenebilir, gerçel değerli ve http://upload.wikimedia.org/math/6/c/4/6c453bbba5ead2472d8de54e81346dd2.png denklemini sağlayan bir http://upload.wikimedia.org/math/4/5/5/455136e0a43e7634fcc7d2904c0612d9.png fonksiyonu bulmaktır. Çoğunlukla bu denklem http://upload.wikimedia.org/math/9/c/3/9c395b52797ecaeea2a3b64db77a2f76.png denklemi olarak veya div'in diverjansı ve grad'ın ise gradyanı temsil ettiği http://upload.wikimedia.org/math/e/d/9/ed93285e3f0a01e2356cb5f627a0e842.png denklemi olarak veya Δ'nın Laplace operatörü olduğu http://upload.wikimedia.org/math/d/f/1/df13f685f36677dcd8ad028b0407b88f.png denklemi olarak yazılır. Laplace denkleminin çözümlerine aynı zamanda harmonik fonksiyonlar da denmektedir. Denklemin sağ tarafı eğer belli bir f(x, y, z) fonksiyonu şeklinde verilirse, yani denklem http://upload.wikimedia.org/math/2/2/c/22cf52f7001640f62d92e3b6d869c5a5.png olarak ifade edilirse, o zaman denkleme "Poisson denklemi" adı verilir. Laplace ve Poisson denklemleri eliptik kısmi diferansiyel denklemlerin en basit örnekleridir. Kısmi diferansiyel operatörü olan ve herhangi bir boyutta tanımlanabilen http://upload.wikimedia.org/math/2/9/3/2930f8a6be737bc5f44b61e4ef547a2c.png'ye veya http://upload.wikimedia.org/math/a/5/f/a5f63bbbc0382fbffbca3fe492424444.png'ya Laplace operatörü veya kısaca Laplasyen denmektedir. Sınır koşulları Laplace denklemi için Dirichlet problemi bir D bölgesi üzerinde tanımlı ve verilmiş başka bir fonksiyona D 'nin sınırı üzerinde eşit olan bir http://upload.wikimedia.org/math/3/5/3/3538eb9c84efdcbd130c4c953781cfdb.png fonksiyonu bulmaktan ibarettir. Laplace operatörü ısı denkleminde yer aldığı için, problemin bir diğer yorumu da şöyledir: Bölgenin sınırındaki sıcaklık sabit tutulur ve bölgenin iç tarafındaki sıcaklık artık değişmeyecek şekilde beklenilir. İç bölgedeki sıcaklık dağılımı artık ilişkin Dirichlet probleminin çözümü tarafından verilecektir. Laplace denklemi için Neumann sınır koşulları D'nin sınırında http://upload.wikimedia.org/math/3/5/3/3538eb9c84efdcbd130c4c953781cfdb.png fonsiyonunu belirtmez ancak bu fonksiyonun normal türevini belirtir. Fiziksel olarak bu durum, yalnız D'nin sınırında etkisi bilinen bir vektör alanı için olan bir potansiyelin inşasına (oluşturulmasına) denk gelmektedir. Laplace denkleminin çözümlerine harmonik fonksiyonlar denilmektedir ve bu fonksiyonların hepsi denklemin sağlandığı bölge içinde analitiktir. Eğer iki fonksiyon Laplace denkleminin (veya herhangi doğrusal homojen diferansiyel denklemin) çözümüyse, toplamları (veya herhangi doğrusal kombinasyonları) da ayrıca bir çözümdür. Süperpozisyon ilkesi de denilen bu özellik özellikle karmaşık problemlerin basit çözümlerin toplanılması yoluyla yapılan çözümlerinde çok yararlıdır. İki boyutta Laplace denklemi İki değişkenli Laplace denklemi http://upload.wikimedia.org/math/9/3/5/935214da7278b6735c52bfc135ede9f4.png formuna sahiptir. Analitik fonksiyonlar Karmaşık analitik bir fonksiyonun gerçel ve sanal kısmının her ikisi de Laplace denklemini sağlar. Eğer z=x+iy ise ve http://upload.wikimedia.org/math/3/8/3/383c284fce1ef81b5dd9720de2be0168.png ise, o zaman f(z) 'nin analitik olması için gerekli koşul aşağıdaki Cauchy-Riemann denklemlerinin sağlanmasıdır: http://upload.wikimedia.org/math/f/8/4/f8433a0e7d3360f369293a16ee4e0439.png Takip eden ifade ise http://upload.wikimedia.org/math/6/a/e/6ae79c5ffb92cf4bad9ef700b8c3772c.png olacaktır. Bu yüzden u Laplace denklemini sağlar. Benzer bir hesaplama yine v 'nin de Laplace denklemini sağladığını gösterir. Aksine diğer taraftan bir harmonik fonksiyon verilirse, bu fonksiyon analitik bir f(z) fonksiyonunun gerçel kısmı olur (en azından yerel olarak). Eğer http://upload.wikimedia.org/math/1/8/f/18f1acfafc7f122b33c4283a783f3487.png olarak alınırsa ve http://upload.wikimedia.org/math/3/9/4/394297676ed570bfc209c958859fcdaa.png şartı konulursa, o zaman Cauchy-Riemann denklemleri sağlanacaktır. Bu ilişki ψ'yi belirlemese de artışlarını belirler: http://upload.wikimedia.org/math/4/b/1/4b184edc0e74984116769084610d6204.png φ için Laplace denklemi ψ'nin integrallenebilme koşulunun sağlandığını gösterir: http://upload.wikimedia.org/math/9/c/4/9c48be4bb054ceed6e5b2e04011a62df.png ve bu yüzden ψ bir çizgi integrali yoluyla tanımlanabilir. İntegrallenebilme koşulu ve Stoke teoremi iki noktayı birleştiren çizgi integralinin değerinin takip edilen yoldan bağımsız olduğunu gösterir. Laplace denkleminin sonucunda çıkan çözüm çiftine eşlenik harmonik fonksiyonlar adı verilir. Bu inşa sadece yerel olarak veya takip edilen yolun bir tekilliği çevrelememesi koşuluyla geçerlidir. Örneğin, r ve θ kutupsal koordinatlar olursa ve http://upload.wikimedia.org/math/f/e/d/fedc3941921d8db0688e4588b58c7894.png ise, o zaman karşılık gelen analitik fonksiyon http://upload.wikimedia.org/math/9/9/2/99288beee039685b2a998da5e996ec47.png fonksiyonudur. Bununla birlikte, θ açısı orijini çevrelemeyen bir bölge içinde tek (bir) değerlidir. Laplace denklemi ve analitik fonksiyonlar arasındaki yakın ilişki Laplace denkleminin çözümünün her mertebeden türevi olduğunu gösterir ve bu çözüm en azından bir tekilliği çevrelemeyen bir çember içinde kuvvet serilerine genişletilebilir. Bu durum, daha az düzenliliğe sahip ısı denklemi çözümleriyle tezat bir haldedir. Kuvvet serileri ve Fourier serileri arasında sıkı bir ilişki vardır. Bir f fonksiyonu R yarıçaplı bir çember içinde kuvvet serisine genişletilirse, bu gerçel ve sanal kısımları http://upload.wikimedia.org/math/3/4/a/34af6429a536f889c30608131f238e5e.png şeklinde olan uygun katsayıların olduğu http://upload.wikimedia.org/math/b/2/3/b232afd67fe4594a7071366b863b165e.png ifadesi anlamına gelir. Bu yüzden, http://upload.wikimedia.org/math/e/b/6/eb66a1f4d2016747823336ceb9d5499e.png olur ki bu da f 'nin Fourier seridir. Akışkan akımı u ve v nicelikleri durağan sıkıştırılamaz, dönmez bir akımın iki boyutta yatay ve dikey bileşenleri olsun. Akımın sıkıştırılamaz olmasının koşulu, http://upload.wikimedia.org/math/6/0/a/60a84116deaebc63c7fd3fc9dbfbe653.png olmasıdır ve akımın dönmez olmasının şartı da http://upload.wikimedia.org/math/4/4/c/44c0db739493dab888c0502c5a074f06.png olmasıdır. Bir ψ fonksiyonunun diferansiyeli http://upload.wikimedia.org/math/4/f/1/4f119102a1368ff169334a9539683feb.png olarak tanımlanırsa, o zaman sıkıştırılamama şartı bu diferansiyel için integrallenebilme koşulu olur: Sonuçtaki fonksiyona akış fonksiyonu adı verilir çünkü bu fonksiyon akım çizgileri boyunca sabittir. ψ'nin birinci türevi http://upload.wikimedia.org/math/d/0/e/d0e58d40dbdd70b42878dcaf5aa950af.png ile verilir ve sıkıştırılamama şartı ψ 'nin Laplace denklemini sağladığını gösterir. ψ 'ye eşlenik olan harmonik φ fonksiyonuna hız potansiyeli denilir. Cauchy-Riemann denklemleri http://upload.wikimedia.org/math/a/8/d/a8dc9a2bd75718152828a2fee2598ce5.png ifadesini verir. Bu yüzden her analitik fonksiyon düzlemde durağan sıkıştırılamaz, dönmez bir akışkan akıma karşılık gelir. Gerçel kısım hız potansiyeli olurken sanal kısım akış fonksiyonu olur. Elektrostatik Maxwell denklemleri'ne göre, iki uzay boyutunda yer alan ve zamandan bağımsız olan bir elektrik alanı (u,v), http://upload.wikimedia.org/math/9/e/f/9ef97336d4df6ddc2f233dfcea549e21.png ifadesini ve ρ'nun yük yoğunluğu olduğu http://upload.wikimedia.org/math/c/a/4/ca4c5d452fa593d34462eae6c6bf5fe2.png ifadesini sağlar. Birinci Maxwell denklemi http://upload.wikimedia.org/math/9/c/a/9cafca2926f7e3132d08b1f802e40e11.png diferansiyeli için integrallenebilme koşuludur. Böylece elektrik potansiyeli olan φ http://upload.wikimedia.org/math/a/8/d/a8dc9a2bd75718152828a2fee2598ce5.png ifadesini sağlayacak şekilde inşa edilebilir. İkinci Maxwell denklemi o zaman Poisson denklemi olarak ifade edilen http://upload.wikimedia.org/math/2/e/e/2ee8084224a41a0ef0a5f50a55ebc488.png denklemini verir. İki boyutta kullanılana benzer olarak, Laplace denklemi elektrostatik ve akışkan akımının üç boyutlu problemlerinde de kullanılabilir. Üç boyutta Laplace denklemi Temel çözüm Laplace denkleminin temel çözümü, Dirac delta fonksiyonu δ'nın http://upload.wikimedia.org/math/4/1/8/41865c489d48d0973fe676592c3e6249.png noktasında toplanmış bir birim kaynağı gösterdiği http://upload.wikimedia.org/math/6/5/c/65c691de8785d331a4f6bf9bae6a27e3.png denklemini sağlar. Hiçbir fonksiyon bu özelliğe sahip değildir ancak yine de bu, integralleri uzay üzerinde birlik olan ve desteği (fonksiyonun sıfır olmadığı bölge) bir noktaya küçülen bir fonksiyonlar limiti olarak düşünülebilir. Temel çözümün tanımı bu yüzden, u 'nun Laplasyeninin kaynak noktasını çevreleyen herhengi bir hacim üzerinde integrali alındığında, o zaman http://upload.wikimedia.org/math/1/0/f/10fa44eac409f72cec621085c958a2b0.png olduğunu gösterir. Laplace denklemi koordinatların rotasyonuyla değişmez kalır ve bu yüzden bir temel çözümün, sadece (kaynak noktasından uzaklığı gösteren) r 'ye bağımlı olan çözümler arasından elde edilebileceği beklenir. Hacim kaynak noktası etrafında a yarıçaplı bir top olarak düşünülürse, o zaman Gauss diverjans teoremi http://upload.wikimedia.org/math/d/9/9/d995d9a6bec3db5bd222416cae43d659.png ifadesini verir. O zaman takip eden ifade ise, kaynak noktası etrafında r yarıçaplı bir küre üzerindeki http://upload.wikimedia.org/math/7/7/f/77f3c76c06f698337c5dc990795581af.png ifadesidir ve bu yüzden http://upload.wikimedia.org/math/e/c/f/ecfbf9251fa925be5a21da3ee6243cb2.png olur. Benzer bir hesap ise iki boyutta http://upload.wikimedia.org/math/4/2/d/42d28b9ac8e9f032cdde06b1f0c992f4.png olduğunu gösterir. Green fonksiyonu Bir Green fonksiyonu da bir V hacminin S sınırındaki uygun şartı sağlayan temel bir çözümdür. Örneğin, http://upload.wikimedia.org/math/2/1/8/2185cb8534cf241c736e21b060841239.png , http://upload.wikimedia.org/math/2/d/9/2d97f11edb2866ff04f96f9315be9f00.png http://upload.wikimedia.org/math/5/9/5/59504226a13618b75265a53c57fb77cf.png ifadelerini sağlayabilir. Eğer u, V üzerinde Poisson denkleminin herhangi bir çözümüyse http://upload.wikimedia.org/math/9/4/c/94c3e8c00fb898dde6df3f21548d7fad.png olur ve u, S üzerinde g sınır değerlerini alır. O zaman aşağıdaki eşitlikleri veren (diverjans teoreminin bir sonucu olan) Green özdeşliğine başvurulabilir: http://upload.wikimedia.org/math/5/8/d/58d511a69bc30718fe86ccfa0b011411.png un ve Gn gösterimleri S üzerindeki normal türevleri ifade etmektedir. u ve G 'nin sağladığı şartlar bağlamında, bu sonuç http://upload.wikimedia.org/math/9/7/b/97b9357c6031b622c5f855a241ab255d.png haline gelir. Bu yüzden, Green fonksiyonu f ve g 'nin http://upload.wikimedia.org/math/5/7/4/5748b7ec7dd058ca1b48ec42fe291f29.png noktalarındaki etkisini açıklar. a yarıçaplı kürenin içi düşünüldüğünde ise, Green fonksiyonu yansıtma yoluyla elde edilebilir (Sommerfeld, 1949): Kürenin merkezinden ρ kadar uzaklıkta olan P kaynak noktası, http://upload.wikimedia.org/math/9/6/c/96cd6f821102967f10d9bef52317a235.png uzaklıkta bulunan bir N noktasına yarıçapsal doğru boyunca yansıtılır. Unutulmaması gereken nokta P küre içindeyse, N 'nin küre dışında olması gerektiğidir. O zaman Green fonksiyonu R 'nin P kaynak noktasına uzaklığı ve T 'nin yansıtılmış N noktasına olan uzaklığı gösterdiği http://upload.wikimedia.org/math/7/7/a/77a60ce2aa3bd761cda3df87fe3878ee.png ifadesi tarafından verilir. Green fonksiyonu için olan bu ifadenin bir sonucu ise Poisson integral formülüdür. ρ, θ, ve φ, P kaynak noktası için küresel koordinatlar olsun. Burada θ dikey eksenle olan açıyı göstermektedir. (Amerikan matematik gösterimine uymaz ancak standard Avrupa ve fiziksel uygulamalarına uyum gösteren bir gösterimdir) O zaman, küre içindeki Laplace denkleminin çözümü http://upload.wikimedia.org/math/1/b/b/1bb3e804c1825dc29a4668dc59a8a3b0.png olarak alınırsa http://upload.wikimedia.org/math/e/7/d/e7d69e4d2a0310ea1914710829ecfaae.png tarafından verilir. Bu formülün basit bir sonucu ise şudur: u harmonikse, o zaman u 'nun kürenin merkezindeki değerleri, u 'nun küre üzerindeki değerlerinin ortalama değerleridir. Bu ortalama değer özelliği ise ivedilikle sabit olmayan bir fonksiyonun maksimum değerini kürenin içinde alamayacağı sonucunu verir. Laplace denklemi Matematikte Laplace denklemi, özellikleri ilk defa Pierre-Simon Laplace tarafından çalışılmış bir kısmi diferansiyel denklemdir. Laplace denkleminin çözümleri, elektromanyetizma, astronomi ve akışkanlar dinamiği gibi birçok bilim alanında önemlidir çünkü çözümler bilhassa elektrik ve yerçekim potansiyeli ile akışkan potansiyelinin davranışını açıklar. Laplace denkleminin çözümlerinin genel teorisi aynı zamanda potansiyel teorisi olarak da bilinmektedir. Tanım Üç boyutta, problem x, y ve z gibi üç gerçel değişkene sahip, iki kere türevlenebilir, gerçel değerli ve http://upload.wikimedia.org/math/6/c/4/6c453bbba5ead2472d8de54e81346dd2.png denklemini sağlayan bir http://upload.wikimedia.org/math/4/5/5/455136e0a43e7634fcc7d2904c0612d9.png fonksiyonu bulmaktır. Çoğunlukla bu denklem http://upload.wikimedia.org/math/9/c/3/9c395b52797ecaeea2a3b64db77a2f76.png denklemi olarak veya div'in diverjansı ve grad'ın ise gradyanı temsil ettiği http://upload.wikimedia.org/math/e/d/9/ed93285e3f0a01e2356cb5f627a0e842.png denklemi olarak veya Δ'nın Laplace operatörü olduğu http://upload.wikimedia.org/math/d/f/1/df13f685f36677dcd8ad028b0407b88f.png denklemi olarak yazılır. Laplace denkleminin çözümlerine aynı zamanda harmonik fonksiyonlar da denmektedir. Denklemin sağ tarafı eğer belli bir f(x, y, z) fonksiyonu şeklinde verilirse, yani denklem http://upload.wikimedia.org/math/2/2/c/22cf52f7001640f62d92e3b6d869c5a5.png olarak ifade edilirse, o zaman denkleme "Poisson denklemi" adı verilir. Laplace ve Poisson denklemleri eliptik kısmi diferansiyel denklemlerin en basit örnekleridir. Kısmi diferansiyel operatörü olan ve herhangi bir boyutta tanımlanabilen http://upload.wikimedia.org/math/2/9/3/2930f8a6be737bc5f44b61e4ef547a2c.png'ye veya http://upload.wikimedia.org/math/a/5/f/a5f63bbbc0382fbffbca3fe492424444.png'ya Laplace operatörü veya kısaca Laplasyen denmektedir. Sınır koşulları Laplace denklemi için Dirichlet problemi bir D bölgesi üzerinde tanımlı ve verilmiş başka bir fonksiyona D 'nin sınırı üzerinde eşit olan bir http://upload.wikimedia.org/math/3/5/3/3538eb9c84efdcbd130c4c953781cfdb.png fonksiyonu bulmaktan ibarettir. Laplace operatörü ısı denkleminde yer aldığı için, problemin bir diğer yorumu da şöyledir: Bölgenin sınırındaki sıcaklık sabit tutulur ve bölgenin iç tarafındaki sıcaklık artık değişmeyecek şekilde beklenilir. İç bölgedeki sıcaklık dağılımı artık ilişkin Dirichlet probleminin çözümü tarafından verilecektir. Laplace denklemi için Neumann sınır koşulları D'nin sınırında http://upload.wikimedia.org/math/3/5/3/3538eb9c84efdcbd130c4c953781cfdb.png fonsiyonunu belirtmez ancak bu fonksiyonun normal türevini belirtir. Fiziksel olarak bu durum, yalnız D'nin sınırında etkisi bilinen bir vektör alanı için olan bir potansiyelin inşasına (oluşturulmasına) denk gelmektedir. Laplace denkleminin çözümlerine harmonik fonksiyonlar denilmektedir ve bu fonksiyonların hepsi denklemin sağlandığı bölge içinde analitiktir. Eğer iki fonksiyon Laplace denkleminin (veya herhangi doğrusal homojen diferansiyel denklemin) çözümüyse, toplamları (veya herhangi doğrusal kombinasyonları) da ayrıca bir çözümdür. Süperpozisyon ilkesi de denilen bu özellik özellikle karmaşık problemlerin basit çözümlerin toplanılması yoluyla yapılan çözümlerinde çok yararlıdır. İki boyutta Laplace denklemi İki değişkenli Laplace denklemi http://upload.wikimedia.org/math/9/3/5/935214da7278b6735c52bfc135ede9f4.png formuna sahiptir. Analitik fonksiyonlar Karmaşık analitik bir fonksiyonun gerçel ve sanal kısmının her ikisi de Laplace denklemini sağlar. Eğer z=x+iy ise ve http://upload.wikimedia.org/math/3/8/3/383c284fce1ef81b5dd9720de2be0168.png ise, o zaman f(z) 'nin analitik olması için gerekli koşul aşağıdaki Cauchy-Riemann denklemlerinin sağlanmasıdır: http://upload.wikimedia.org/math/f/8/4/f8433a0e7d3360f369293a16ee4e0439.png Takip eden ifade ise http://upload.wikimedia.org/math/6/a/e/6ae79c5ffb92cf4bad9ef700b8c3772c.png olacaktır. Bu yüzden u Laplace denklemini sağlar. Benzer bir hesaplama yine v 'nin de Laplace denklemini sağladığını gösterir. Aksine diğer taraftan bir harmonik fonksiyon verilirse, bu fonksiyon analitik bir f(z) fonksiyonunun gerçel kısmı olur (en azından yerel olarak). Eğer http://upload.wikimedia.org/math/1/8/f/18f1acfafc7f122b33c4283a783f3487.png olarak alınırsa ve http://upload.wikimedia.org/math/3/9/4/394297676ed570bfc209c958859fcdaa.png şartı konulursa, o zaman Cauchy-Riemann denklemleri sağlanacaktır. Bu ilişki ψ'yi belirlemese de artışlarını belirler: http://upload.wikimedia.org/math/4/b/1/4b184edc0e74984116769084610d6204.png φ için Laplace denklemi ψ'nin integrallenebilme koşulunun sağlandığını gösterir: http://upload.wikimedia.org/math/9/c/4/9c48be4bb054ceed6e5b2e04011a62df.png ve bu yüzden ψ bir çizgi integrali yoluyla tanımlanabilir. İntegrallenebilme koşulu ve Stoke teoremi iki noktayı birleştiren çizgi integralinin değerinin takip edilen yoldan bağımsız olduğunu gösterir. Laplace denkleminin sonucunda çıkan çözüm çiftine eşlenik harmonik fonksiyonlar adı verilir. Bu inşa sadece yerel olarak veya takip edilen yolun bir tekilliği çevrelememesi koşuluyla geçerlidir. Örneğin, r ve θ kutupsal koordinatlar olursa ve http://upload.wikimedia.org/math/f/e/d/fedc3941921d8db0688e4588b58c7894.png ise, o zaman karşılık gelen analitik fonksiyon http://upload.wikimedia.org/math/9/9/2/99288beee039685b2a998da5e996ec47.png fonksiyonudur. Bununla birlikte, θ açısı orijini çevrelemeyen bir bölge içinde tek (bir) değerlidir. Laplace denklemi ve analitik fonksiyonlar arasındaki yakın ilişki Laplace denkleminin çözümünün her mertebeden türevi olduğunu gösterir ve bu çözüm en azından bir tekilliği çevrelemeyen bir çember içinde kuvvet serilerine genişletilebilir. Bu durum, daha az düzenliliğe sahip ısı denklemi çözümleriyle tezat bir haldedir. Kuvvet serileri ve Fourier serileri arasında sıkı bir ilişki vardır. Bir f fonksiyonu R yarıçaplı bir çember içinde kuvvet serisine genişletilirse, bu gerçel ve sanal kısımları http://upload.wikimedia.org/math/3/4/a/34af6429a536f889c30608131f238e5e.png şeklinde olan uygun katsayıların olduğu http://upload.wikimedia.org/math/b/2/3/b232afd67fe4594a7071366b863b165e.png ifadesi anlamına gelir. Bu yüzden, http://upload.wikimedia.org/math/e/b/6/eb66a1f4d2016747823336ceb9d5499e.png olur ki bu da f 'nin Fourier seridir. Akışkan akımı u ve v nicelikleri durağan sıkıştırılamaz, dönmez bir akımın iki boyutta yatay ve dikey bileşenleri olsun. Akımın sıkıştırılamaz olmasının koşulu, http://upload.wikimedia.org/math/6/0/a/60a84116deaebc63c7fd3fc9dbfbe653.png olmasıdır ve akımın dönmez olmasının şartı da http://upload.wikimedia.org/math/4/4/c/44c0db739493dab888c0502c5a074f06.png olmasıdır. Bir ψ fonksiyonunun diferansiyeli http://upload.wikimedia.org/math/4/f/1/4f119102a1368ff169334a9539683feb.png olarak tanımlanırsa, o zaman sıkıştırılamama şartı bu diferansiyel için integrallenebilme koşulu olur: Sonuçtaki fonksiyona akış fonksiyonu adı verilir çünkü bu fonksiyon akım çizgileri boyunca sabittir. ψ'nin birinci türevi http://upload.wikimedia.org/math/d/0/e/d0e58d40dbdd70b42878dcaf5aa950af.png ile verilir ve sıkıştırılamama şartı ψ 'nin Laplace denklemini sağladığını gösterir. ψ 'ye eşlenik olan harmonik φ fonksiyonuna hız potansiyeli denilir. Cauchy-Riemann denklemleri http://upload.wikimedia.org/math/a/8/d/a8dc9a2bd75718152828a2fee2598ce5.png ifadesini verir. Bu yüzden her analitik fonksiyon düzlemde durağan sıkıştırılamaz, dönmez bir akışkan akıma karşılık gelir. Gerçel kısım hız potansiyeli olurken sanal kısım akış fonksiyonu olur. Elektrostatik Maxwell denklemleri'ne göre, iki uzay boyutunda yer alan ve zamandan bağımsız olan bir elektrik alanı (u,v), http://upload.wikimedia.org/math/9/e/f/9ef97336d4df6ddc2f233dfcea549e21.png ifadesini ve ρ'nun yük yoğunluğu olduğu http://upload.wikimedia.org/math/c/a/4/ca4c5d452fa593d34462eae6c6bf5fe2.png ifadesini sağlar. Birinci Maxwell denklemi http://upload.wikimedia.org/math/9/c/a/9cafca2926f7e3132d08b1f802e40e11.png diferansiyeli için integrallenebilme koşuludur. Böylece elektrik potansiyeli olan φ http://upload.wikimedia.org/math/a/8/d/a8dc9a2bd75718152828a2fee2598ce5.png ifadesini sağlayacak şekilde inşa edilebilir. İkinci Maxwell denklemi o zaman Poisson denklemi olarak ifade edilen http://upload.wikimedia.org/math/2/e/e/2ee8084224a41a0ef0a5f50a55ebc488.png denklemini verir. İki boyutta kullanılana benzer olarak, Laplace denklemi elektrostatik ve akışkan akımının üç boyutlu problemlerinde de kullanılabilir. Üç boyutta Laplace denklemi Temel çözüm Laplace denkleminin temel çözümü, Dirac delta fonksiyonu δ'nın http://upload.wikimedia.org/math/4/1/8/41865c489d48d0973fe676592c3e6249.png noktasında toplanmış bir birim kaynağı gösterdiği http://upload.wikimedia.org/math/6/5/c/65c691de8785d331a4f6bf9bae6a27e3.png denklemini sağlar. Hiçbir fonksiyon bu özelliğe sahip değildir ancak yine de bu, integralleri uzay üzerinde birlik olan ve desteği (fonksiyonun sıfır olmadığı bölge) bir noktaya küçülen bir fonksiyonlar limiti olarak düşünülebilir. Temel çözümün tanımı bu yüzden, u 'nun Laplasyeninin kaynak noktasını çevreleyen herhengi bir hacim üzerinde integrali alındığında, o zaman http://upload.wikimedia.org/math/1/0/f/10fa44eac409f72cec621085c958a2b0.png olduğunu gösterir. Laplace denklemi koordinatların rotasyonuyla değişmez kalır ve bu yüzden bir temel çözümün, sadece (kaynak noktasından uzaklığı gösteren) r 'ye bağımlı olan çözümler arasından elde edilebileceği beklenir. Hacim kaynak noktası etrafında a yarıçaplı bir top olarak düşünülürse, o zaman Gauss diverjans teoremi http://upload.wikimedia.org/math/d/9/9/d995d9a6bec3db5bd222416cae43d659.png ifadesini verir. O zaman takip eden ifade ise, kaynak noktası etrafında r yarıçaplı bir küre üzerindeki http://upload.wikimedia.org/math/7/7/f/77f3c76c06f698337c5dc990795581af.png ifadesidir ve bu yüzden http://upload.wikimedia.org/math/e/c/f/ecfbf9251fa925be5a21da3ee6243cb2.png olur. Benzer bir hesap ise iki boyutta http://upload.wikimedia.org/math/4/2/d/42d28b9ac8e9f032cdde06b1f0c992f4.png olduğunu gösterir. Green fonksiyonu Bir Green fonksiyonu da bir V hacminin S sınırındaki uygun şartı sağlayan temel bir çözümdür. Örneğin, http://upload.wikimedia.org/math/2/1/8/2185cb8534cf241c736e21b060841239.png , http://upload.wikimedia.org/math/2/d/9/2d97f11edb2866ff04f96f9315be9f00.png http://upload.wikimedia.org/math/5/9/5/59504226a13618b75265a53c57fb77cf.png ifadelerini sağlayabilir. Eğer u, V üzerinde Poisson denkleminin herhangi bir çözümüyse http://upload.wikimedia.org/math/9/4/c/94c3e8c00fb898dde6df3f21548d7fad.png olur ve u, S üzerinde g sınır değerlerini alır. O zaman aşağıdaki eşitlikleri veren (diverjans teoreminin bir sonucu olan) Green özdeşliğine başvurulabilir: http://upload.wikimedia.org/math/5/8/d/58d511a69bc30718fe86ccfa0b011411.png un ve Gn gösterimleri S üzerindeki normal türevleri ifade etmektedir. u ve G 'nin sağladığı şartlar bağlamında, bu sonuç http://upload.wikimedia.org/math/9/7/b/97b9357c6031b622c5f855a241ab255d.png haline gelir. Bu yüzden, Green fonksiyonu f ve g 'nin http://upload.wikimedia.org/math/5/7/4/5748b7ec7dd058ca1b48ec42fe291f29.png noktalarındaki etkisini açıklar. a yarıçaplı kürenin içi düşünüldüğünde ise, Green fonksiyonu yansıtma yoluyla elde edilebilir (Sommerfeld, 1949): Kürenin merkezinden ρ kadar uzaklıkta olan P kaynak noktası, http://upload.wikimedia.org/math/9/6/c/96cd6f821102967f10d9bef52317a235.png uzaklıkta bulunan bir N noktasına yarıçapsal doğru boyunca yansıtılır. Unutulmaması gereken nokta P küre içindeyse, N 'nin küre dışında olması gerektiğidir. O zaman Green fonksiyonu R 'nin P kaynak noktasına uzaklığı ve T 'nin yansıtılmış N noktasına olan uzaklığı gösterdiği http://upload.wikimedia.org/math/7/7/a/77a60ce2aa3bd761cda3df87fe3878ee.png ifadesi tarafından verilir. Green fonksiyonu için olan bu ifadenin bir sonucu ise Poisson integral formülüdür. ρ, θ, ve φ, P kaynak noktası için küresel koordinatlar olsun. Burada θ dikey eksenle olan açıyı göstermektedir. (Amerikan matematik gösterimine uymaz ancak standard Avrupa ve fiziksel uygulamalarına uyum gösteren bir gösterimdir) O zaman, küre içindeki Laplace denkleminin çözümü http://upload.wikimedia.org/math/1/b/b/1bb3e804c1825dc29a4668dc59a8a3b0.png olarak alınırsa http://upload.wikimedia.org/math/e/7/d/e7d69e4d2a0310ea1914710829ecfaae.png tarafından verilir. Bu formülün basit bir sonucu ise şudur: u harmonikse, o zaman u 'nun kürenin merkezindeki değerleri, u 'nun küre üzerindeki değerlerinin ortalama değerleridir. Bu ortalama değer özelliği ise ivedilikle sabit olmayan bir fonksiyonun maksimum değerini kürenin içinde alamayacağı sonucunu verir. |
Maxwell denklemleri Maxwell denklemleri, James Clerk Maxwell' in toparladığı dört denklemli, elektrik ve manyetik özelliklerle bu alanların maddeyle etkileşimlerini açıklayan bir settir. Bu dört denklem sırasıyla, elektrik alanın elektrik yükler tarafından oluşturulduğunu (Gauss Yasası), manyetik alanın kaynağının, manyetik yükün olmadığını, yüklerin ve değişken elektrik alanların manyetik alan ürettiğini (Ampere-Maxwell Yasası) ve değişken manyetik alanın elektrik alan ürettiğini (Faraday' ın İndüksiyon Yasası) gösterir. Özet Yasa Adı Diferansiyel form Integral form Gauss Yasası: http://upload.wikimedia.org/math/e/b/8/eb8e03b942c5f551d3e4b2c3f1d522a4.png http://upload.wikimedia.org/math/f/5/5/f55d633cebc6b163a04cbe67b23cb479.png Manyetizma için Gauss Yasası (manyetik alanın kaynağı yoktur): http://upload.wikimedia.org/math/5/7/6/57619c6a86c79e56ac806faf21502c90.png http://upload.wikimedia.org/math/7/c/5/7c580308a98589fe8c9caf8807518a9d.png Faraday' ın indüksiyon yasası: http://upload.wikimedia.org/math/9/c/a/9cab6787646062d6e658cd1e83ad468f.png http://upload.wikimedia.org/math/e/8/b/e8ba21f67031ad550ccba945b15cfc4e.png Ampère Yasası (Maxwell'in eklemesiyle): http://upload.wikimedia.org/math/2/7/d/27dc26ff34650f899ef7140b63e53970.png http://upload.wikimedia.org/math/4/8/b/48b53dabb90d081d149849e4032437f6.png Bu tablodaki semboller ve onlara karşılık gelen SI birimleri: Sembol Anlamı SI Birimi http://upload.wikimedia.org/math/5/e/b/5eb237ccb8c2716d347ab313cad7918e.png Elektrik alan volt/metre http://upload.wikimedia.org/math/d/a/3/da3623c683c463e210845c6d757af4dd.png Manyetik Alan ampere/metre http://upload.wikimedia.org/math/5/b/7/5b711f39bd91a89cc7b4cb4ec592eaa7.png elektrik yerdeğiştirme alanı veya elektrik akı yoğunluğu coulomb/metrekare http://upload.wikimedia.org/math/4/1/9/41968d7938b8145f26e1d196abc77144.png manyetik akı yoğunluğu veya manyetik indüksiyon veya manyetik alan tesla, veya eşdeğeri, weber/metrekare http://upload.wikimedia.org/math/6/0/4/604ad5977987050d50687a7e17e9ca72.png serbest elektrik yük yoğunluğu, bağlı yükleri içermez coulomb/metreküp http://upload.wikimedia.org/math/c/4/3/c43f4905fcf052ad7811b6ceed1ab6c5.png iletkenlik akım yoğunluğu, kutuplanma ve manyetizasyon içermez ampere/metrekare http://upload.wikimedia.org/math/f/6/f/f6f9a398c883cf0332e898c3004e2c3c.png sonsuz küçük A yüzeyinin diferensiyal vektör elemanı S yüzeyinin küçük yöne ve boya sahip yüzey normali metrekare http://upload.wikimedia.org/math/2/2/9/22946ef00da5dc19edc849eaf9d1e06d.png S yüzeyini kapatan diferansiyel V hacmi metreküp http://upload.wikimedia.org/math/5/0/d/50d5eb62ba5133b3ca04179e618dcc53.png S yüzeyini çevreleyen C kontürünün teğetsel diferensiyal vektör elemanı metre http://upload.wikimedia.org/math/6/f/3/6f3343ae4a39c09b8a1270a886ad0b64.png diverjans operatörü 1/metre http://upload.wikimedia.org/math/7/3/5/7355123b9360d9ad6ad5cf4c4fd21263.png rotasyon operatorü 1/metre http://upload.wikimedia.org/math/4/d/1/4d1b081e28422cb584f38b105eedb2fa.pnghttp://upload.wikimedia.org/math/f/9/d/f9d43f3fdfd0e1bd61a61f139e99267c.png Fiziksel Anlamlar Gauss Yasası Bu denklemin anlamı elektrik alanın skaler kaynağının yük yoğunluğu olduğudur veya elektrik alanın noktasal olarak yüklerde sonlandığını belirtmektedir. Aynı zamanda Gauss yasası olarak da bilinir. Herhangi bir kapalı yüzeydeki elektrik alanın akısı o yüzeyin içindeki toplam yükle doğru orantılıdır. Manyetik Alan için Gauss Yasası Bu denklemin anlamı manyetik alanın skaler kaynağının olmadığıdır(manyetik yük yoktur) veya manyetik alanın hep kendi üzerine sonlandığıdır. Herhangi bir kapalı yüzeydeki manyetik alanın akısı sıfırdır... Faraday Yasası Bu denklemin anlamı elektrik alanın vektörel kaynağının, zamanla değişen manyetik akı olduğudur. Herhangi bir kapalı eğri üzerinde elektrik alanın sirkülasyonu(dolaşımı), eğrinin çevrelediği yüzey üzerindeki manyetik akının negatifinin zamanla değişimine eşittir. Ampère Yasası Magnetik alanın kapalı bir halka boyunca çizgisel integrali, o halka içinde kalan akım ile orantılıdır. Schrödinger denklemi Schrödinger denklemi bir kuantum sistemi hakkında bize her bilgiyi veren araç dalga fonksiyonu adında bir fonksiyondur. Dalga fonksiyonunun uzaya ve zamana bağlı değişimini gösteren denklemi ilk bulan Avusturyalı fizikçi Erwin Schrödinger’dir. Bu yüzden denklem Schrödinger denklemi adıyla anılır. 1900 yılında Max Planck'ın ortaya attığı "kuantum varsayımları"nın ardından, 1924 de ortaya atılan de Broglie varsayımı ve 1927'de ortaya atılan Heisenberg belirsizlik ilkesi bilim dünyasında yeni ufukların doğmasına sebep olmuştur. Bu gelişmeler Max Planck'ın kuantum varsayımları ve Schrödinger'in dalga mekaniği ile birleştirilerek kuantum mekanik kuramını ortaya çıkmıştır. Schrödinger denklemi kapalı formda şöyle ifade edilebilir: http://upload.wikimedia.org/math/6/5/7/6577bc90ae6c2e3826b6f0397c101df8.png Burada H, Hamiltonyen' i temsil eder. Hamiltonyen, parçacığın toplam enerjisini veren bir operatördür ve http://upload.wikimedia.org/math/2/5/3/253ccbfb913e92097ab5422e0e7a6d2f.png şeklinde ifade edilir. İlk terim kinetik enerjiyi, ikinci terim ise potansiyel enerjiyi temsil eder. Momentum operatörü http://upload.wikimedia.org/math/0/6/4/0649180f45ce828eef1469d0e84cadc5.png denklemde yerine konursa Schrödinger denkleminin sol tarafı elde edilir. http://upload.wikimedia.org/math/9/3/8/9388bf8870ba9c92a8e9f94946a9bd87.png Bu zamana bağlı Schrödinger denklemidir. Denklemin sağ tarafının sıfıra eşit olması durumunda zamandan bağımsız Schrödinger denklemi karşımıza çıkar. Burada http://upload.wikimedia.org/math/3/2/4/3240d3894d933ffc0ab3f7bbc1a13b6c.png değerinde Planck sabiti, m; parçacığın kütlesi, V; potansiyel enerji, http://upload.wikimedia.org/math/7/b/d/7bd3df974219dcf8a390bfa9b79565d1.png; parçacığa eşlik eden dalga fonksiyonudur. Parçacığın kinetik enerjisinin hareket etmezken sahip olduğu iç enerjisinden oldukça büyük olması durumunda enerjisi göreli olarak ifade edileceğinden http://upload.wikimedia.org/math/a/8/1/a8116bc7706961ad4e0eb4a448b411fc.png şeklinde olur. Bu sayede elde edilen Schrödinger denklemine, Relativistik (göreli) Schrödinger Denklemi denir ve http://upload.wikimedia.org/math/1/a/b/1abf81995393a3844d6a097cb5f35fc6.png olmak üzere şu formda yazılır. http://upload.wikimedia.org/math/3/6/f/36fa1809021e2f3c28d0ef322dbf23c0.png Denklemin çözümü için, parçacığın bulunduğu duruma göre içinde olduğu potansiyeller şöyle özetlenebilir: V'nin sıfır olması durumunda serbest parçacık durumu incelenir. Sıfırdan farklı durumlarda parçacığın enerjisinin uygulanan potansiyelden büyük veya küçük olması koşullarına göre değişen çözümler bulunur. Parçacığın enerjinisinin uygulanan potansiyelden küçük olması ancak belirli bir genişlikten sonra bu potansiyel engelin kaldırılması durumunda Tünel Etkisi gözlemlenir. Akım yoğunluğu hesaplanarak geçme ve yansıma katsayıları bulunur. Değişen potansiyellere örnek; basit harmonik titreştirici ve Coulomb potansiyelleridir. Bunlar bir katıdaki atomların titreşimi ve atomdaki çekirdeğe bağlı elektronların hareketini kapsar. |
geometri arkadaşlar parametrik ve kapalı denklem formüllerini bilenler yardımcı olabilir mi? |
ödev :*(:*(:*(:*(arkadaşalr geçtiği 2 noktanın koordinatları verilen doğrunun kapalı denklemi acilllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll |
örnek yok mu? |
Alıntı:
-1/x+y=8 2x+y=5 =>denklemlerinde x ya da y yoketme yöntemiyle kaldırılır Bunun için denklemlerden biri uygun bir değer ile çarpılıyordur yukarıdaki birinci denklem -1 ile çarpıldığında y değerleri birbirini yokeder ve x değeri=>x=-8+5=-3 bulunmuş olur vsvs gibi Denklemlerde Yerinekoyma Yöntemi; Bu tür denklemlerin çözümünde iki bilinmeyenden biri diğer bilinmeyen cinsinden bulunup denklemde yerine konulur ve sonuca gidilir x+y=5 2x+4y=20 =>denklemlerinde x bilinmeyeni y türünden bulunabilir x+y=5=>x=5-y olur diğer denklemde x yerine bu değer yazılıp y bilinmeyeni elde edilmiş olur 2x+4y=20=>2.(5-y)+4y=20=10+2y=20=>y=5 bulunur. |
Denklemler Arkadaşlar acil 30 tane 6. sınıflar için çözümlü denklem bulabilirmisiniz? Şimdiden teşekkürler. |
Saat: 20:12 |
©2005 - 2024, MsXLabs - MaviKaranlık