Perm�tasyon, kombinasyon ve olas�l�k hakk�nda bilgi verir misiniz?

PERM�TASYON :
Tan�m : r ve n pozitif do�al say�lar ve r < n olmak �zere , n elemanl� bir A k�mesinin r elemanl� s�ral� r’ lilerine A k�mesinin r’ li perm�tasyonlar� denir.
n elemanl� A k�mesinin r’ li perm�tasyonlar�n�n say�s� P (n,r) = n! /(n-r)! form�l� ile bulunur.
�rnek: Farkl� renkte 7 mendilin 3’ �, bir ��renciye 1 mendil verilmek �art�yla 3 ��renciye ka� farkl� �ekilde verilebilir?
��z�m : A k�mesi mendiller k�mesi olur. Eleman say�s� 7 ' dir. n = 7 , �� mendil da��t�lacak. r = 3 olur. Bu mendiller ;
P( 7, 3) = 7! / ( 7 - 3 )! = 7.6.5.4! / 4! = 7.6.5 = 210 farkl� �ekilde da��t�labilir.
Uyar� :
i. i. n elemanl� bir k�menin n’li perm�tasyonlar�n�n say�s�,
Yani P(n,n) = n.(n-1)......1 = n!’ dir.
ii. n elemanl� bir k�menin 1’ li perm�tasyonlar�n�n say�s�, P (n,1) = n’dir.
iii. Perm�tasyonla ��z�lebilen problemlerin �arpman�n kural�yla da ��z�lebilece�ine ; ancak, �arpma kural�yla ��z�lebilen her problemin perm�tasyonla ��z�lemiyece�ine dikkat ediniz.
�rnek:5 Bay ve 3 bayan yan yana s�ralanacakt�r.

Bu 8 ki�i yan yana ka� farkl� �ekilde s�ralanabilir?
Bu 8 ki�i bayanlar yan yana gelmek �art�yla ka� farkl� �ekilde s�ralanabilir?
Bu 8 ki�i bayanlar yan yana gelmemek �art�yla ka� farkl� �ekilde s�ralanabilir?

��z�m :

8 Ki�i yan yana 8! farkl� �ekilde s�ralan�r.
Bayanlar 1 ki�i gibi d��n�l�rse 6 ki�inin s�ralan�� s�z konusu olur. 6 ki�i yan yana 6! farkl� �ekilde s�ralan�r, ayr�ca bayanlar kendi aralar�nda 3! farkl� �ekilde s�ralan�r. Buna g�re bu 8 ki�i bayanlar yan yana gelmek �art�yla 6!. 3! farkl� �ekilde s�ralanabilir.
M�mk�n olan b�t�n s�ralan��lar�n say�s� 8! ve bayanlar�n 3’�n�n yan yana geldi�i s�ralan��lar�n say�s� 6!. 3! Oldu�u i�in bayanlar�n 3’�n�n yan yana gelmedi�i s�ralan��lar�n say�s�, 8! - 6!. 3! = 8.7.6! - 6!. 3.2.1 = 6! (56-6) = 50.6! olur.

D�nel (dairesel) s�ralama :
Tan�m : n tane farkl� eleman�ndaire �eklinde bir yere s�ralamas�na, n eleman�n d�nel (dairesel) s�ralamas� denir. Dairesel s�ralamada en ba�taki ile en sondaki eleman yanyana gelir. Bu nedenle n eleman�n d�nel (dairesel) s�ralamalar�n�n say�s� d�z bir hatta s�ralanmaya g�re 1 eksik eleman al�narak bulunur. Yani Elemanlardan biri sabit tutulursa n eleman�n d�nel (dairesel) s�ralamalar�n�n say�s� (n-1)! olur.
�rnek: 7 ki�ilik bir heyet bir masa etraf�nda oturacakt�r.

Bu heyet yuvarlak bir masa etraf�nda ka� farkl� �ekilde oturabilir?
Bu heyet d�z bir masa boyunca ka� farkl� �ekilde oturabilir?
Heyet ba�kan� ve yard�mc�s� yan yana gelmek �art�yla yuvarlak bir masa etraf�nda ka� farkl� �ekilde oturabilirler?

��z�m :

7 ki�i yuvarlak masa etraf�nda (7-1)! = 6! farkl� �ekilde oturabilir.
Bu heyet d�z bir masa etraf�nda 7! farkl� �ekilde oturabilir.
Ba�kan ve yard�mc�s�n� bir ki�i gibi d��nelim. Bu durumda 6 ki�inin yuvarlak masa etraf�nda oturmas� s�zkonusu olur. 6 ki�i yuvarlak masa etraf�nda (6-1)! = 5! farkl� �ekilde oturabilir. Ayr�ca ba�kan ve yard�mc� aralar�nda 2! de�i�ik �ekilde oturabilir. Buna g�re heyet, ba�kan ve yard�mc� yan yana gelmek �art�yla, 5!. 2! farkl� �ekilde oturabilir.

Tekrarl� perm�tasyonlar :
Tan�m : n tane nesnenin n1 tanesi 1. �e�itten, n2 tanesi 2. �e�itten, ......., nr tanesi de r. �e�itten olsun.
n= n1+ n2+ ........... + nr olmak �zere bu n tane nesnenin n’li perm�tasyonlar�n�n say�s�,
(n1 ,n2 , ..., nr ) = n! / n1!.n2!...nr ‘ dir.
�rnek: “ BABACAN” s�zc��n�n harfleriyle 7 harfli anlaml� ya da anlams�z ka� farkl� kelime yaz�labilir?
��z�m : 2 tane B harfi oldu�u i�in n1 = 2
3 tane A harfi oldu�u i�in n2 = 3,
1 tane C harfi oldu�u i�in n3 = 1 ve bir tane N harfi oldu�u i�in
n4 = 1 olsun. Buna g�re farkl� s�zc�klerin say�s�,
(2,3,1,1) = 7! / 2!.3!.1!.1! = 7.6.5.4.3.2.1 / 2.1.3.2.1.1 = 420 ‘ dir.
KOMB�NASYON
Tan�m : r ve n pozitif do�al say�lar ve r < n olmak �art�yla n elemanl� bir A k�mesinin r elemanl� alt k�melerinin her birine, A k�mesinin r ’ li kombinasyonu denir.
n elemanl� k�menin r’li kombinasyonlar�n�n say�s�, K(n,r), C(n,r), C nr ya da
( nr ) ile g�sterilir. Burada C (n,r) veya ( nr ) g�sterimleri kullan�lacakt�r.
n elemanl� k�menin r ' li kombinasyonlar�n�n say�s�,
C(n,r) =( nr ) = n! / r! . (n-r)! form�l� ile bulunur.
UYARI :Perm�tasyonda s�ralama, kombinasyonda ise se�me s�zkonusudur.

( nx ) = ( ny ) ise x = y veya x + y = n olur.
( n0 ) = 1
( n1 ) = n
( nn ) = 1

�rnek: Ali ve Veli’nin de aralar�nda bulundu�u 6 ki�i aras�ndan, aralar�nda Ali’nin bulundu�u ve Veli’nin bulunmad�� 4 ki�ilik grup ka� farkl� �ekilde se�ilebilir?
��z�m : Ali ve Veli aras�ndan Ali se�ilir, Veli se�ilmez ve di�er 4 ki�i aras�ndan 3 ki�i se�ilirse istenen �art sa�lan�r. Buna g�re, Veli se�me d��d�r. Ali’ yi mutlaka se�ece�iz ve Veliyi d��arda b�rakaca��m�z i�in se�meye kat�lacak 6 - 2 = 4 ki�i kal�r. Bu 4 ki�i aras�ndan 3 ki�inin se�imi C (4,3) ile bulunur.
C (4,3) = 4! / (4-3)!. 3! = 4.3.2.1 / 1.3.2.1 = 4’ t�r.

B�NOM A�ILIMI
x ve y reel say� ve n pozitif bir do�al say� olmak �art�yla
(x+y) n = C (n,0) xn + C (n,1) xn-1y+C (n,2) xn-2y2+........ .......+C (n,r)xn-ryr+.....+C (n,n)yn
ifadesine x+ y iki terimlisinin n inci kuvvetten a��l�m�, bir di�er ifadeyle binom a��l�m� denir.
Binom a��l�m�ndaki katsay�lar� paskal ��geni ile de bulabiliriz.
1 ...............................(x+y)0
1 1 ...........................(x+y)1
1 2 1 ......................(x+y)2
1 3 3 1 ...................(x+y)3
1 4 6 4 1 ...............(x+y)4
Sonu�lar :

A��l�mda n+1 tane terim vard�r.
A��l�m� olu�turan terimlerin �arpanlar�n�n kuvvetleri toplam� n’dir. mesela, a��l�m�n bir terimi olan C (n,r) xn-r yr’ de terimi olu�turan xn-r �arpan� ile yr �arpan�n�n kuvvetlerinin toplam�, n-r + r = n’ dir.
A��l�mda terimlerin katsay�lar�n�n toplam� de�i�kenlerin yerine 1 yaz�larak bulunur. Ger�ekten, x = 1 ve y = 1 al�n�rsa , C (n,0) + C (n,1) + C (n,2) + ...... + C (n,n) = 2n

olur. n elemanl� bir k�menin alt k�me say�s�n�n 2 n oldu�unu hat�rlay�n�z. Benzer bir yakla��mla tan�ml� oldu�u durumlar i�in de�i�kenlerin yerine 0 yaz�larak a��l�m�n sabit terimi bulunur. x = 0 ve y = 0 yaz�l�rsa sabit terim 0 olur.
4. A��l�m x’in azalan kuvvetlerine g�re d�zenlendi�inde ba�tan (r+1) . terim ,
C(n,r) xn-r yr ‘dir.

(x+y) 2n a��l�m�nda n pozitif bir tam say� ve a��l�m x’in azalan kuvvetlerine g�re d�zenlenmi� ise ortanca terim, C(2n,n) xnyn ‘dir.

kaynak

Olas�l�k
OLASILIK

�RNEK UZAY ve �RNEK NOKTA

Bir deney sonucunda gelebilecek t�m sonu�lar�n k�mesine �rnek uzay (E), bu k�menin her eleman�na da “�rnek nokta” denir.

�RNEK:
Bir madeni para at�ld��nda �rnek uzay�n iki eleman� vard�r.

E= {Yaz�,Tura}={Y,T}

�RNEK:
2 madeni para at�lmas� deneyinde �rnek uzay E={YY,YT,TY,TT}

UYARI
N tane madeni paran�n havaya at�lmas� (veya bir paran�n n kez at�lmas�) deneyinde s(E) = 2.2.....2= 2n dir.

�RNEK:
��erisinde 4 siyah, 3 beyaz ve 2 k�rm�z� top bulunan bir torbadan rasgele �� top se�me deneyinde �rnek uzay�n eleman say�s�n� bulal�m.

��Z�M
Torbada: 4+3+2=9 top vard�r. 9 toptan 3’� se�ilece�inden �rnek uzay�n eleman say�s�:
S(E)= C(9,3) = 9.8.7 = 84 bulal�m
1.2.3
�RNEK:
1,2,3,4,5 rakamlar� ile yaz�labilecek �� basamakl� say�lar yazma deneyinde �rnek uzay�n eleman say�s� S(E) = 5.5.5 = 125 dir.

OLAY: �rnek uzay�n alt k�melerinden her birine olay denir.

KES�N OLAY: Olmas� kesin olan olaylara denir. Yani olay k�mesi, �rnek uzay k�mesine e�it olan olaylard�r.

�MKANSIZ OLAY: Olmas� m�mk�n olmayan olayd�r.

�RNEK:

1. �ki madeni para at�lmas� deneyinde en az bir tura gelmesi olay�;
A = {TT,TY,YT} olur.
2. �ki zar�n havaya at�lmas� deneyinde �ste gelen say�lar�n
i) Ayn� olmas� olay� A olsun.
A = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}
ii) Toplam�n�n 5 olmas� olay� B olsun
B = {(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)} d�r.
iii) Toplam�n�n 14 olmas� imkans�z olayd�r.
iv) Birinin 7’den k��k, di�erinin 0’dan b�y�k olmas� olay� kesin olayd�r.

OLASILIK FONKS�YONU

E �rnek uzay�n�n t�m alt k�melerinin k�mesi K olsun.

P:K [0,1]
A P (A.)fonksiyonu a�a��daki ko�ullar� sa�l�yor ise P fonksiyonuna “olas�l�k fonksiyonu” denir.

1) 0 ≤ P (A.)≤ 1
2) P() = 0 (imkans�z olay)
3) P(E) = 1 (kesin olay)
4) P(A’) : A olay�n�n olmama olas�l�� ise ve
P(A.) = 1-P(A’) dir.

E� OLUMLU �RNEK UZAY

Yap�lan bir deneyde b�t�n ��kabilenlerin olas�l�klar� e�it ise “e� olumlu �rnek uzay” denir.

P(A.) = s(A.) = �stenen durumlar say�s� d�r.
s(E) T�m durumlar say�s�

�RNEK:

i) Bir madeni para at�lmas� deneyinde yaz� gelmesi ile tura gelmesi olas�l�klar� e�ittir.

P(Y.) = P(T) = 1 dir.
2
ii) Bir zar at�lmas� deneyinde 1 gelme olas�l�� ile 2,3,4,5 ve 6 gelme olas�l�klar� e�ittir.

AYRIK OLAYLAR

Bir �rnek uzaya ait iki olay�n kesi�imi bo� k�me ise bu iki olaya “ayr�k olaylar” denir. A ve B ayr�k iki olay ise A veya B den en az birinin ortaya ��kma olas�l��, bu iki olay�n olas�l�klar� toplam�na e�ittir.
P(AB) = P(A.) + P(B) dir.

�RNEK:

Bir zar at�ld��nda
Tek say� gelme olay�: A = (1,3,5)
�ift say� gelme olay�: B = (2,4,6)
Asal say� gelme olay� C = (2,3,5) olsun.
Buradan :

1) A  B = (1,3,5)  (2,4,6) =  oldu�undan A ve B ayr�k olaylard�r
2) A  C = (1,3,5)  (2,3,5) = (3,5) oldu�undan ayr�k olaylar de�ildir.
NOT: A ve B ayr�k olaylar de�il ise
P(AB) = P(A.) + P(B) – P(A  B) dir.

�RNEK :
Bir kutuda 5 siyah ve 4 beyaz top bulunmaktad�r. Bu kutudan

a) �ekilen bir topun siyah olma olas�l�� :

P(S.) = Siyah top say�s� = 5 bulunur.
Toplam top say�s� 9

b) �ekilen iki topun ikisinin de beyaz olma olas�l��n� bulal�m.

�stenen durum say�s�: 4 beyaz toptan 2 tanesini �ekmek s 4 = 6 dir.
2

T�m durumlar say�s� : Toplam 9 toptan 2 tanesini �ekmek s(E) = 9 = 36 dir.
2
Sonu� olarak : P (A.)= s(A.) = 6 = 1 d�r.
S(E) 36 6

c) �ekilen iki topun farkl� renkte olma olas�l��n� bulal�m.

�stenen durum say�s�: s(A.) = 5 4 = 20 d�r.
1 1
P (A.)= s(A.) = 20 = 5 olur.
s(E) 36 9

d) �ekilen iki toptan birincinin siyah, ikincinin beyaz olma olas�l��n� bulal�m. Buradan s�ralama verilmektedir. Birincinin siyah olma olas�l�� = 5 d�r. Kalan top
9
say�s� 9 – 1 = 8 oldu�una g�re ikincinin beyaz olma olas�l�� = 4 dir.
8
Sonu� olarak:
P(BS) = 5 . 4 = 5
9 8 18

�RNEK:
��inde 6 k�rm�z� ve 4 beyaz bilye bulunan bir torbadan �ekilen bilye tekrar torbaya at�lmak �zere iki bilye �ekiliyor.

a) �ekilen iki bilyenin ikisinin de k�rm�z� olma olas�l��
b) �ekilen iki bilyenin farkl� renkte olma olas�l��
c) �ekilen iki bilyenin ayn� renkte olma olas�l��
d) �ekilen iki bilyeden birincisinin k�rm�z� ikincisinin beyaz olma olas�l�� ka�t�r?

��Z�M:

a) P(KK) = 5 . 5 = 25 d�r.
8 8 64
b) P(KS) + P(SK) = 6 . 4 + 4 . 6
10 10 10 10
= 48 = 12
100 25
c) P(KK) + P(BB) = 6 . 6 + 4 . 4
10 10 10 10
= 52 = 13
100 25
d) P(KB) = 6 . 4 = 24 = 6
10 10 100 25

�RNEK:

Bir torbada bulunan 6 beyaz 5 k�rm�z� ve 4 siyah bilye vard�r. Torbadan rastgele �ekilen 3 bilyenin
a) ��n�nde beyaz olma olas�l��
b) ��n�nde ayn� renkte olma olas�l��
c) ��n�nde farkl� renkte olma olas�l��
d) 1. nin beyaz, 2. nin k�rm�z� ve 3. n�n siyah olma olas�l�� nedir?

��Z�M:

6+5+4 = 15 bilyeden 3’� C(15,3) = 455 de�i�ik �ekilde se�ilece�inden �rnek uzay�n eleman say�s� s(E) = 455’tir.
a) Se�ilen �� bilyenin ��n�n de beyaz olma olay� A olsun.
6 beyaz bilyeden 3’� C(6,3) = 20 de�i�ik �ekilde se�ilece�inden s (A.)= 20 dir.
P (A.)= s (A.)= 20 = 4 bulunur.
S(E) 455 91
b) ��n�nde ayn� renkte olma olay� B olsun.
6 beyazdan, 3 beyaz: C(6,3) = 20
5 k�rm�z�dan, 3 k�rm�z�: C(5,3) =10
4 siyahtan, 3 siyah: C(4,3) = 4 de�i�ik �ekilde se�ilece�inden, ayn� renkli 3 bilye 20+10+4 = 34 farkl� �ekilde se�ilebilir.
Buna g�re
P(B) = s(B) = 34
S(E) 455
c) Se�ilen her 3 bilyeninde farkl� renklerde olma olay� C olsun.

6 beyazdan biri C(6,1)
5 k�rm�z�dan biri C(5,1) s(C.) = C(6,1).C(5,1).C(4,1)
4 siyahtan biri C(4,1) =6.5.4 = 120
ise s(C.) = 120 = 24
s(E) 455 91

d) Bu soruda s�ralama vard�r.
Birincinin beyaz olma olas�l�� : 6
15
�kincinin k�rm�z� olma olas�l�� : 5
14
��nc�n�n siyah olma olas�l�� : 4
13
P(D) = 6 . 5 . 4 = 4
15 14 13 91

�RNEK:
3 kad�n ve 4 erkekten olu�an bir komitenin �yelerinin adlar� birer karta yaz�larak bir torbaya konuluyor. Torbadan rastgele �ekilen 3 kart�n birinde bir kad�n�n di�erlerinde birer erke�in isimlerinin yaz�l� olma olas�l�� nedir?

��Z�M:
Torbadan 3 kart �ekildi�inde, �ekilenlerin k�mesi �rnek uzay E ise
s(E) =C(7,3) = 35 tir.

�ekilen 3 karttan birinde bir kad�n di�erlerinde birer erke�in isimlerinin yaz�l� olma olay� A olsun.

S (A.)= s (A.) = 18 bulunur.
s(E) 35
�RNEK:

3 madeni para at�l�yor. Bu at��ta en az bir tura gelme olas�l�� nedir?

��Z�M:
E = { YYY,YYT,YTY,TYY,YTT,TYT,TTY,TTT}
Ve en az bir tura gelmesi
A = {YYT,YTY,TYY,YTT,TYT,TTY,TTT}
P(A.) = 7 dir.
8

Veya : En az bir tura gelmesini hi� yaz� gelmemesi �eklinde de ifade edebiliriz.

P(A.) = 1 – P(YYY) = 1 – 1 = 7 d�r.
8 8

�RNEK:
A = {1,2,3,4,5} k�mesinin elemanlar� ile farkl� 3 basamakl� say�lar ayr� ayr� kartlara yaz�l�p torbaya konuyor.
Torbadan rastgele �ekilen bir karttaki say�n�n tek olma olas�l�� ka�t�r?

��Z�M:
Rakamlar� farkl� 3 basamakl� t�m say�lar

s(E) = 5 . 4 . 3 = 60 tanedir.

Bunlardan tek say� olanlar�

s (A.)= 3 4 3 = 36 tanedir.

P (A.)= s (A.)= 36 = 3 dir.
s(E) 60 5

�RNEK:
Bir s�nava giren A,B,C isimlerinden olu�an 3 ��renciden A’n�n s�nav� kazanma olas�l�� B’nin kazanma olas�l��n�n 2 kat�, B’nin s�nav� kazanma olas�l�� ise C’nin kazanma olas�l��n�n 2 kat� oldu�una g�re A’n�n s�nav� kazanma olas�l��
3
nedir?

��Z�M:
P(A.) = 2P(B) ve P(B) = 2 . P(C.) dir
3

2.P(B) + P(B) + 3P(B) = 1 ise P(B) = 2
2 9

ve P (A.)= 2P(B) = 2.2 = 4 bulunur.
9 9

KO�ULLU OLASILIK

A,B;E �rnek uzay�nda iki olay olsun. B olay�n�n ger�ekle�mi� olmas� durumunda, A olay�n�n olas�l��na, A’n�n B’ye ba�l� ko�ullu olas�l�� denir ve

P(A / B) ile g�sterilir.

P(A / B) = P(A  B) , P(B)  
P(B)

�RNEK:
Bir �ift zar�n birlikte at�lmas� deneyinde zarlardan birinin 5 geldi�i bilindi�ine g�re, toplam�n�n 10’dan b�y�k olma olas�l�� ka�t�r?

��Z�M:
�ki zar�n at�lmas� deneyinde �rnek uzay;
E = {(1,1), (1,2),... (6,5), (6,6)} yani
s(E) = 36 d�r.
B = {(5,1), (1,5), (5,2), (2,5), ... (5,6)} yani
s(B) = 11 dir.
A = {(5,6),(6,5)} ise s (A.)= 2 ve A  B = {(5,6),(6,5)} Buna g�re,

s(A  B)
s(E)
P(A / B) = P(A  B) = = s(A  B) = 2
P(B) s(B) s(B) 11
s(E)

�RNEK:

1’den 10’a kadar (10 top) numaraland�r�lm��, ayn� �zellikteki toplar aras�ndan rastgele �ekilen bir topun asal say� oldu�u bilindi�ine g�re, �ift say� olma olas�l�� ka�t�r?

��Z�M:

E = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} ise s(E) = 10
B = {2,3,5,7} ise s(B) = 4
A = {2} ise s (A.)= 1
Buna g�re;

s(A  B)
s(E)
P(A / B) = P(A  B) = = 1
P(B) s(B) 4
s(E)
�RNEK:
25 ki�ilik bir s�n�fta fizik dersinden ge�en 10 ki�idir. Matematik ve fizik derslerinden her ikisinden ge�en 3 ki�idir. Her iki dersten kalan ise 10 ki�idir. Bu s�n�ftan se�ilen bir ��rencinin matematikten ge�ti�i bilindi�ine g�re fizikten de ge�mi� olma olas�l�� ka�t�r?

��Z�M:
Yukar�daki ifadeye g�re �ema �izilirse;

E M F
5 3 7
10

P(F/M) = P(F M) = 3 bulunur.
P(M) 8

SONSUZ �RNEK UZAYLI OLAYLAR:

�rnek uzay E, E = {e1,e2,e3,....} gibi say�labilir sonsuzlukta �rnek uzay olsun. Ayn� �ekilde olay A = {a1,a2,a3,...} gibi say�labilir sonsuzlukta bir olay ise,
P (A.)= s (A.)dir.
S(E)

�rnek uzay bir �eklin alan�, uzunlu�u gibi say�labilir sonsuzlukta ifadelerdir. Ayn� �ekilde olay k�mesi de bu �rnek uzay�n herhangi bir kesiti ise olas�l�k yukar�da ifade edildi�i gibi,

P (A.)= A n�n uzunlu�u ya da
E nin uzunlu�u

P (A.)= A n�n alan� bi�iminde hesaplan�r.
E nin alan�

�RNEK:

Bir �emberin i�erisinde rasgele se�ilen bir noktan�n �emberden �ok merkezine yak�n olma olas�l�� ka�t�r?
r
B
O r/2
A

��Z�M:
O merkezli b�y�k �emberin yar��ap�na r dersek, k��k �emberin yar��ap� da r olur. 2
Rasgele i�aretlenen noktan�n B b�lgesi olmas� istendi�ine g�re,
�rnek uzay: A + B b�lgelerinin alanlar� toplam�d�r.
Olay: B b�lgesinin alan�d�r.
Buna g�re olas�l�� ise,
2
1 r r2
B nin alan� = 2 .p = 4 = r2 = 1
(A+B) alan� p.r2 r2 4r2 4

OLASILIK TEOR�S�

Fiziksel ve sosyal bir olgunun kesin olarak belirlenmesi olanaks�z da olsa, bu t�r olgular yeterince g�zlendiklerinde belirli bir d�zenleri olduklar� saptanabilir. Bu d�zenin matematiksel ifadesini elde etmek, olgular�n ger�ekle�mesine ili�kin yarg�lar�m�z�, �nermelerimizi say�la�t�rmak olas�l�k teorisinin sundu�u ara�larla olanakl�d�r. Basit�e ifade edersek olas�l�k, rastlant�sal bir olguya ili�kin bir �nermenin kesine yada olanaks�za ne kadar yak�n oldu�unu g�steren bir say�d�r.

‘’0’’ olanaks�z� ‘’1’’ ise kesini simgeler. Olas�l�k, objektif y�ntemlerle ve/veya s�bjektif s�re�te hesaplanabilir. Bu b�y�k �l��de ilgilenilen olay�n niteli�ine ve dolay�s�yla ba� vuraca��m�z olas�l�k tan�m�na ba�l� olacakt�r. Olas�l��n 3 temel tan�m�n� g�rmeden �nce, bu tan�mlarda ortak kullan�lan temel kavramlar� ele alal�m.

TEMEL KAVRAMLAR

Rastlant�sal Deney ve Rastlant�sal Deneme:

Raslant�sal deney ya da k�saca deney, sonucu kesin olarak bilinmeyen olgulara ili�kin g�zlem yapma ya da veri toplama s�reci olarak tan�mlanabilir. �rne�in hilesiz bir para 3 kez at�l�rsa ka� kez tura gelece�ini, bir fabrikada �retilen makine par�alar�n�n defoluluk y�zdesini tahmin etmek amac�yla �ekilecek 40 adet makine par�as�n�n ka� tanesinin defolu olaca��n� �nceden bilemeyiz. �yleyse madeni para 3 kez at�l�p, ka� kez tura geldi�i say�ld��nda ya da 40 adet makine par�as� kontrol edildi�inde birer rastlant�sal deney yap�lm�� olur.

Raslant�sal deney raslant�sal denemelerden olu�ur. Paran�n 3 kez at�lmas� rastlant�sal deney ise, her bir at�� bir raslant�sal denemedir. Rastlant�sal deney 40 adet makine par�as�n�n incelenmesi ise, her par�an�n kontrol� bir rastlant�sal denemedir. S�phesiz rastlant�sal deney tek bir denemeden olu�uyorsa deney – deneme kavramlar� denk olur.

Sonu�:

Her bir denemede elde edilen durum denemenin sonucu olarak adland�r�l�r. �rne�in para ikinci at��ta tura gelmi�se ya da kontrol edilen 17. Par�a defolu ise bu durumda para at�� deneyinin 2. Denemesinde sonucu ‘’Tura’’, par�alar�n kontrol� deneyinin 17. Denemesinin sonucu ‘’Defolu’’ olarak ger�ekle�mi� denilecektir.

�rnek Uzay:

Bir rastlant�sal deneyde ger�ekle�ebilecek t�m m�mk�n farkl� sonu�lar�n olu�turdu�u k�me �rnek uzay olarak adland�r�l�r.

�rne�in rastlant�sal deney hilesiz bir zar�n bir kez at�lmas� ise, deney 6 farkl� bi�imde sonu�lanabilece�i i�in �rnek uzay S= {1,2,3,4,5,6} olacakt�r. Zar iki kez at�l�yorsa, bu deney 36 farkl� �ekilde sonu�lanabilir : S= {(1, 1) , (1, 2) , (1, 3) , ...., (4, 6) , (5, 6) , (6, 6) }. Rastlant�sal deney bir makine par�as�n�n kontrol� ise, iki farkl� sonu� m�mk�nd�r; par�a defoludur ya da de�ildir. �yleyse �rnek uzay S={Defolu, Defosuz} olacakt�r.
�rnek uzay kesikli veya s�rekli olabilir. S= { 1,2,3,4,5,6} gibi sonlu ya da S= {2,4,6,8,...} gibi say�labilir sonsuz de�erlerden olu�an �rnek uzaylar kesikli olarak nitelendirilirken, bir do�ru par�as� �zerindeki ya da bir d�zlem i�indeki noktalar gibi say�lamayan sonsuz say�da elemandan olu�an, dolay�s�yla tek tek de�erler yerine S= { X| a< x < b } gibi bir aral�kta ifade edilen �rnek uzaylar ise s�rekli olarak d��n�lecektir.

�rnek uzay�n kesikli ya da s�rekli olu�u rastlant�sal deneyi belirleyen de�i�kene ve bazen de bizim �l�me ya da kriterimize ba�l�d�r. �rne�in dayanma s�resini test etmek amac�yla, bir ampul�n teli yanana kadar a��k b�rak�ld��n� d��nelim. Ampul�n teli hemen yanabilece�i gibi, sonsuza kadar da bozulmadan (teorik olarak) kalabilir. �te yandan zaman s�rekli bir de�i�ken oldu�u i�in ampul�n �mr� bizim �l�me hassasl��m�za (saat, dakika, saniye vs.) ba�l� olarak her de�eri alabilir. �yleyse bu deneyin �rnek uzay� S= { X | 0 < X <  } olacakt�r. Aral�k olarak ifade edilen bu �rnek uzay s�reklidir. Ancak var sayal�m ki, pratik nedenlerle ampul�n dayanma s�resi tam say� olarak ifade edilmek istensin. �rne�in 2 saat 46 dakika olan bir de�er en yak�n tam de�er olan 3 ile g�sterilsin. Bu durumda �rnek uzay negatif olmayan tam say�lardan S={0,1,2,3,...,} olu�an say�labilir sonsuz yani kesikli �rnek uzay olacakt�r.

Olay:

�rnek uzay�n herhangi bir alt k�mesine olay denir. �rne�in
bir zar�n at�lmas� deneyinin �rnek uzay� S= {1,2,3,4,5,6}’ in
alt k�meleri olan A1 = { 1,3,5 } , A2 = { 2,4,6 } , A3 = { 1,2 }
k�meleri birer olay� g�sterebilir. S�zlerle ifade edilirse A1
olay� zar�n tek gelmesi , A2 olay� zar�n �ift gelmesi, A3 olay�
ise zar�n 3’ ten k��k bir say� gelmesi olabilir.

Yukar�da verilen ampul �rne�inde ise ampul�m �mr�n�n 120 saatten az olmas� B1={x | x<120} ya da 75 ile 1200 saat aras�nda olmas� B2={x | x 75 < x < 1200 }, 250 fazla olmas� B3={ x|x >250} alt k�meleri birer olay� simgeler.

Uygulama: Hilesiz bir para �� kere at�ls�n. �rnek uzay� en az tura gelmesi olay�n�n k�mesini olu�turdu�umuzda.

En az 2 tura gelmesi olay�n� A ile g�sterelim. S ve A;

S = { TTT, TTY, TYT, TYY, YTT, YTY, YYT, YYY} A={ TTT, TTY, YTY,YTT} olacakt�r.

Olaylar�n �e�itli kombinasyonlar� da ayn� �rnek uzayda yeni olaylar�n tan�mlanmas�n� sa�lar. A�a��da bunlar�n temel olanlar�, Venn �emalar�yla birlikte verilmi�tir.

• A1  A2 : A1’ in veya A2’ nin veya her ikisinin
De ger�ekle�mesi olay�d�r.

• A1A2 : A1 ve A2 olaylar�n�n her ikisinin de
Ger�ekle�me olay�d�r.

• At1: A1’ in t�mleyeni olarak adland�r�lacak
Bu olay A1’ in ger�ekle�memesi olay�d�r.

• A1 \ A2 : A1’ in ger�ekle�mesi ve A2 ‘ nin
Ger�ekle�memesi olay�d�r.

Ayn� anda ger�ekle�meleri m�mk�n olmayan di�er bir deyi�le kesi�meleri bo� k�me olan olaylara ayr�k olaylar denir. �rne�in olay kavram�n� tan�mlarken �rnek verilen A1 ve A2 olaylar� ayn� anda ger�ekle�meleri olanaks�z oldu�u (zar hem tek hem de �ift say� gelemez), dolay�s�yla A1A2 =  oldu�u i�in ayr�kt�rlar. Ancak ayn� �eyi A1 ve A3 ile A2 ve A3 olaylar� i�in s�yleyemeyiz. Benzer �ekilde B1 ve B2 ile B2 ve B3 olaylar� da kesi�imleri bo� k�me olmad�� i�in ayr�k de�ilken, B1 ve B3 olaylar� i�in ayr�kt�r.

Uygulama : A, B, C olaylar� a�a��daki gibi tan�mlans�n.

A= {a, b, c, d} B= {d, e, f} C= {c, d, f, g}

A U B, AC, BC, AB, A U C, B U C, ABC, ve A\B olaylar�n� yaz�n�z.

��z�m:

A U B= {a, b, c, d, e, f} AC= {c, d} BC= {d, f} AB= {d}

A U C= {a, b, c, d, f, g} B U C= {c, d, e, f, g} ABC= {d} A\B= {a, b, c}

OLASILI�IN TANIMLARI

Olas�l��n hesaplanmas�nda ya da tan�mlanmas�nda ba�l�ca �� temel yakla��m oldu�unu s�yleyebiliriz. Bu yakla��mlar�n� k�saca ele alal�m.

KLAS�K YAKLA�IM

S, ger�ekle�me �anslar� e�it (e� olas�l�kl�) sonu�lar�ndan olu�an bir �rnek uzay� ve A ise bu �rnek uzayda tan�ml� bir olay� g�stersin. A olay�n�n ger�ekle�me olas�l�� P (A.), bu yakla��mda

P (A.) = n(A.) / n (S.)

Olarak tan�mlan�r.

Uygulama: Hilesiz bir zar bir kez at�l�rsa 4’ ten b�y�k bir say� gelme olas�l�� nedir?

��z�m :

Zar�n hilesiz oldu�unun belirtilmesi ile zar�n y�zlerinin e�it ger�ekle�me �ans�na sahip olmas�, dolay�s�yla klasik tan�ma ba�vurarak olas�l��n hesaplanabilece�i anla��lmal�d�r. S={1, 2, 3, 4, 5, 6} ve A={5, 6} oldu�una g�re

P (A.)= 2 / 6

Olacakt�r.

�rnek uzay�n�n sonsuz oldu�u durumda payda sonsuz olaca�� i�in klasik tan�m�n kullan�lmayaca�� a��kt�r. Bir di�er zay�f nokta ise �rnek uzay� olu�turan t�m m�mk�n sonu�lar�n e� olas�l�kl� (e�it sansa sahip) olmas� gerekti�i ko�uludur. Bu varsay�m asl�nda rastlant�sal deneye ve deneyin nesnesine ili�kin yap�lan soyutlamad�r.

Bu y�zden �ans oyunlar�na ili�kin olas�l�k problemlerinde zar�n, madeni paran�n hilesiz ya da homojen oldu�u, iskambil destesinin iyi kar��t�r�ld�� belirtilir. Asl�nda matematiksel nesneler de fiziksel a��dan soyutlanm��t�r. Do�rular�n kal�nl�� d�zlemlerin y�ksekli�i yoktur. Bir noktadan e�it uzakl�ktaki noktalar�n geometrik olarak tan�mlanan �emberler p�r�zs�zd�r. Oysa bir ka��d�n �zerine �izdi�iniz do�ru, d�zlem ya da �ember matematiksel ifadelerine tam olarak uymazlar. Ka��d�n dokusu, m�rekkebin kal�nl�� nedeniyle asl�nda hepsi fiziksel olarak 3 boyutludur. Ancak matematiksel nesneleri salt matematiksel d��nen, onlara fiziksel bir anlam katmayan matematik�iler (i�lerini iyi yapmalar� i�in bu �artt�r.) i�in bu durum sak�nca yaratmaz. Klasik tan�mda yap�lan soyutlama da bu anlamda matematiksel a��dan idealdir ve olas�l�k hesab�na kolayl�k sa�lar. Ancak olas�l�k ya�ama ili�kindir ve t�m m�mk�n sonu�lar�n her zaman e�it �ansa sahip oldu�unu iddia etmek ger�ek�i olmaz. �rne�in yar�n ya�mur ya�ma olas�l�� ile ilgileniyorsak, �rnek uzay�n iki eleman� vard�r. S={Ya�mur ya�ar,Ya�mur ya�maz}; klasik tan�ma g�re bu iki m�mk�n durumu e� olas�l�kl� kabul etmemiz, dolay�s�yla her ko�ulda, her mevsimde ya�mur ya�ma olas�l��n� � olarak vermemiz gerekir. Benzer �ekilde kuzey anadolu fay hatt�nda 2005 y�l�na kadar deprem olma olas�l�� ile ilgileniyorsak yine iki m�mk�n durum vard�r: S={Deprem olur, Deprem olmaz} . Hi�bir jeolojik inceleme yapmaks�z�n, deprem tarihi incelenmeksizin bu iki durumun e�it �ansa sahip oldu�unu iddia etmek ��phesiz ger�ek�i olmayacakt�r.

FREKANS TANIMI

Klasik yakla��mda rastlant�sal deney soyut bir kavramd�r. Yani deneyin fiziksel olarak ger�ekle�tirilmesi gerekmez. Di�er bir deyi�le olas�l�klar �nsel (a priori) verilir. Paran�n hilesiz oldu�u var say�l�r ve tura gelme olas�l�� 0,50 olarak hesaplan�r. Hilesiz oldu�una emin olmad��m�z bir madeni paran�n tura gelme olas�l�� ile ilgileniyorsak, bu olas�l�� bulman�n bir yolu s�z konusu paray� yeterince atmak olabilir. Para n kez at�l�rsa ve n (A.)kez tura gelirse n(A.)/n oran�n� yani tura say�lar�n�n frekans oran�n� tura gelme olas�l�� kabul edebiliriz. Sezginsel olarak para ne kadar �ok at�l�rsa n (A.)/n oran�n�n ger�ek olas�l��a o kadar �ok yakla�aca��n� s�yleyebiliriz.

�yleyse olas�l��n istatistiksel tan�m� da denilen bu yakla��mda, bir A olay�n�n olas�l��

P (A.) = lim n(A.)/ n
n

olarak tan�mlanabilir. Burada n, rastlant�sal deneyin tekrarlanma say�s�n�, n(A.) ise, bu denemelerde A olay�n�n ger�ekle�me say�s�n� (frekans�n�) g�stermektedir. �yleyse bu tan�mda olas�l�klar klasik tan�m�n tersine sonsal (a posteiori) verilmektedir.

Zar hilesiz oldu�u i�in klasik tan�ma g�re, herhangi bir y�z�n ger�ekle�me olas�l��

P (A.)= 1/6  0,1667

Olacakt�r.

Do�ada ve toplumda bir �ok olay�n olas�l��n� hesaplamada, bu olaylar�n ge�mi�teki tekrar say�lar�na (frekans�na) ba�vururuz. Bu y�zden frekans tan�m� geni� bir uygulama alan�na sahiptir. �rne�in sigorta �irketleri belirli bir ya� grubundaki bir ki�ini �lme olas�l��n� hesaplamada daha �ok �l�m istatisti�ine ba�vururlar. ��nk� belirli bir ya� grubundaki �l�mlerin toplam �l�mlere oran� (frekans oran�) y�ldan y�la b�y�k de�i�iklik g�stermez. Ge�mi� verilere bak�ld��nda bu oran�n belirli bir de�ere yak�nsad�� ve g�venebilece�i anla��l�r.

Her ne kadar klasik tan�m�n k�s�tlamalar� (sonlu �rnek uzay� ve �rnek uzay�n elemanlar�n�n e� olas�l�kl� olmas� varsay�mlar�) bu tan�mda yoksa da, frekans oran� tan�m�n�n da zay�fl�klar� vard�r. Birincisi, tan�mda yer alan sonsuz kavram�n�n pratikte neyi temsil etti�ine, ger�ek olas�l��a yak�nsaman�n ger�ekle�mesi i�in ka� denemeye ihtiya� oldu�una ili�kin kesin bir yan�t vermek olanaks�zd�r. �kincisi, bir dizi denemede belli bir de�ere yak�nsaman�n ger�ekle�ece�ini varsaysak bile; ba�ka bir dizi denemede ayn� de�ere yak�nsaman�n ger�ekle�ece�ine ili�kin teorik bir garanti yoktur.

S�BJEKT�F TANIM

Bir olay�n s�bjektif olas�l��, daha �nceki iki tan�m da oldu�u gibi yaln�zca objektif y�ntemlerle de�il, s�bjektif yarg�lar�n�n da hesaba kat�ld�� ve s�z konusu olay�n ge�erlili�ine ya da olabilirli�ine ili�kin verilen ve veren ki�inin olay�n ger�ekle�mesine ili�kin ki�isel g�veninin derecesini g�steren [0, 1] aral��nda reel bir say�d�r. Burada 0 olanaks�zl��, 1 ise kesinli�i simgeler.

S�bjektif tan�m, piyasaya ilk kez s�r�lecek olan bir �r�n�n % 25’ lik Pazar pay� almas�, 2015 y�l�nda bir meteorun d�nyaya �arpmas� ya da 20 y�l i�erisinde Kuzey anadolu fay hatt� �zerinde merkez �ss� �stanbul’ un g�neyi ve 7 b�y�kl��nde bir deprem olmas� gibi gelecekte ger�ekle�ecek olaylar�n olas�l��n� hesaplamada kullan�labilir. Olas�l�klar tayin edilirken objektif veriye ve / veya s�bjektif yarg�ya ba�vurulur. �rne�in deprem olas�l��n� hesaplayacak uzmanlar, son depremdeki fay deformasyonunun boyutunu, fay�n ne kadar k�r�ld��n� incelemek ve riskli fay�n 3 boyutlu g�r�nt�s�n� ��karmak suretiyle gelecek depreme ili�kin s�bjektif yarg�da bulunabilirler.

Bunun yan� s�ra ge�mi�teki d�zenli levha hareketlerini, daha �nceki tarihte, hangi noktalarda, ne b�y�kl�kte depremlerin oldu�una ili�kin objektif veriyi de s�bjektif yarg�yla birle�tirerek olas�l�klar� tayin edebilirler. Ancak ba�vurduklar� kriterlere, bilgi birikimlerine ve yeteneklerine g�re farkl� uzmanlar�n farkl� olas�l�klar verebilece�ini de s�bjektif tan�mda do�all�kla kabul etmemiz gerekir. Bir A olay�n�n olas�l�� bu yakla��mda �u �ekilde verilebilir. �rne�in deprem olma �ans�n�, olmama sans�n�n 3 kat� g�r�yorsak,

P (A.)/ 1-P (A.)= 3 / 1

E�itli�ini yazabiliriz. Buradan P (A.)

P (A.)= 3 – 3P (A.)  P(A.) = �

Olur. �yleyse A’ ya verilen �ans x, verilmeyen �ans y ise,

P (A.)/ 1 – P(A.) = X / Y

E�itli�inden A olay�n�n ger�ekle�me olas�l��

P (A.)= X / X+Y

Olarak elde edilebilir. Ba�ka bir deyi�le ifade edilirse, bir A olay�n�n ger�ekle�mesine ili�kin s�bjektif olas�l�k:

P (A.) = A’ ya verilen �ans / Toplam �ans

Olarak tan�mlanabilir. verilen �anslar ise genellikle k�saca x : y notasyonu ile belirtilir. �yleyse yukar�daki �rnekte verilen �anslar 3 : 1 olarak ifade edilebilir.

OLASILIK TEOR�S�N�N AKS�YOMAT�K YAPISI

Matemati�in aksiyomatik yap�s�n�n 3 temel unsuru vard�r:

• Tan�ms�z terimler (�rn: �klit geometrisinde nokta, do�ru yada k�me teorisinde k�me, eleman)
• Tan�ms�z ili�kiler (�rn: do�ru �zerinde bir nokta, X k�mesinin eleman�)
• Aksiyomlar (�rn: iki noktadan bir do�ru ge�er). Aksiyomlar�n sezgisel olarak do�ruluklar� a��kt�r ve ispatlamadan do�ru olarak kabul edilirler.

Bu �� temel unsurdan yararlanarak, teoremler, yard�mc� teoremler, sonu�lar vs. ile matematiksel yap� olu�turulur. Olas�l�k teorisi de aksiyomatik bir yap� olarak ele al�n�rken, olas�l��n kendisi tan�ms�z bir terim olarak d��n�l�r. Yani olas�l�k teorisinde olas�l��n ne oldu�u sorusunun de�il, nas�l hesaplanaca�� sorusunun anlam� vard�r.

Olas�l�k Teorisinin Aksiyomlar�:

S bir rastlant�sal deneye ili�kin �rnek uzay olsun. Olas�l�k teorisinde olas�l��n �l��m�n� sa�layacak a�a��daki 3 aksiyoma ba�vurulur:

1. P( A )  0
2. P( S ) = 1
3. S �rnek uzay� A1, A2,.....An,...... ayr�k olaylar�ndan olu�uyor ise;

P ( A1 U A2 U.....U An,...) = P (A1)+P (A2)+......+P (An)+...

E�itli�i yaz�labilir. A olay�n�n olas�l�� P (A.) daha �nce tart��lan 3 tan�mdan herhangi biriyle hesaplanabilir. Ancak hesaplanan bu olas�l��n yukar�da verilen 3 aksiyomuda sa�lamas� gerekir.

Uygulama:

A1, A2, A3, A4 bir �rneklem uzay�n� olu�turan ayr�k olaylar ise, a�a��da bu olaylara ili�kin verilen olas�l�klar�n uygunlu�unu tart��al�m.

(a) P (A1)=2 / 3 P (A2)=1 / 6 P (A3)= 1 / 12 P (A4)= 1/ 12

(b) P (A1)=1 / 4 P (A2)=2 / 4 P (A3)= 2 / 4 P (A4)= 1/ 4

(c) P (A1)=1 / 2 P (A2)=3 / 5 P (A3)= 1 / 5 P (A4)= 2/ 5

Verilen olas�l�klar olas�l�k teorisinin 3 aksiyomu ile tutarl� olmak zorundad�r.

(a) Olas�l�klar� hepsi pozitif oldu�u i�in birinci aksiyomu (P (A1)  0) sa�lan�r. Toplamlar 1’ i verdi�i i�in ikinci aksiyom ( P (S,)= 1)sa�lan�r. ��nc� aksiyom (P ( A1 U A2 U A3 U A4)=P(A1)+P (A2)+P (A3)+ P (A4)) olaylar�n tan�m�ndan dolay� sa�lan�r. �yleyse bu ��kta verilen olas�l�klar tutarl�d�r.

(b) Birinci aksiyom sa�lan�yorsa da toplam olas�l�k (6 / 4) 1’ den b�y�kt�r; dolay�s�yla ikinci aksiyom sa�lamaz. Bu y�zden olas�l�klar ge�erli de�ildir.

(c) P (A3) < 0 oldu�u i�in birinci aksiyom sa�lamaz. Bu y�zden olas�l�klar ge�ersizdir.

Baz� �nemli Teoremler:

Ai, S �rnek uzay�nda tan�ml� bir olay olsun. P (Ai) olas�l��n�n hesaplanmas�nda daha �nce s�z edilen 3 tan�mdan da faydalan�labilir ve �� aksiyom kullan�larak �e�itli teorem ve sonu�lar elde edilebilir. A�a��da bunlardan baz�lar�na yer verilmi�tir.

Teorem 1: At, A olay�n�n t�mleyeni ise P (At ) = 1 – P (A.)

Teorem 2: P (  ) = 0

Teorem 3: A1  A2 ise P (A1)  P (A2)

Teorem 4: P (A1 U A2) = P(A1) + P(A2) – P (A1A2)

3 olayda s�z konusu ise;

P( A1 U A2 U A3)= P(A1) + P(A2) + P(A3) – P(A1A2) – P(A1A3) – P(A2A3) + P(A1A2A3)

Olacakt�r.

• (Boole e�itsizli�i): P(A1 U A2)  P(A1) + P(A2)

4. teoremin bir sonucu olan Boole e�itsizli�inin genel hali ise

n n
PUAi =  P(Ai)
i=1 i=1

Olarak yaz�labilir.

Teorem 5: 0  P (A.)  1

Teorem 6: P (A.)= P (AB) + P (ABt)