Bayes Teoremi Bayes teoremi olasılık kuramı içinde incelenen önemli bir konudur. Bu teorem bir rassal değişken için olasılık dağılımı içinde koşullu olasılık]lar ile marjinal olasılıklar arasındaki ilişkiyi gösterir. Bu şekli ile Bayes teoremi bütün istatistikçiler için kabul edilir bir ilişkiyi açıklar. Bu kavram için Bayes kuralı veya Bayes kanunu adları da kullanılır. Ancak bazı istatistikçiler için Bayes teoremi özel olarak değişik bir önem de taşır. Felsefi temelde olasılık değerlerinin nesnesel bir özellik değil, gözlemcinin meydana çıkardığı subjektif bir değer olarak kabul eden subjektivist olasılık düşünürlerine göre Bayes teoremi, yeni kanıtlar ışığında olasılık değeri hakkındaki subjektif inanışların güncelleştirilip değiştirilmesini sağlayan temel bir gereçtir; yani sonsal bir yaklaşımın temelidir. Olasılık teorisi içinde incelenen bir 'olay olarak B olayına koşullu bir A olayı (yani B olayının bilindiği halde A olayı) için olasılık değeri, A olayına koşullu olarak B olayı (yani A olayı bilindiği haldeki B olayı) için olasılık değerinden farklıdır. Ancak bu iki birbirine ters koşulluluk arasında çok belirli bir ilişki vardır ve bu ilişkiye (ilk açıklayan istatistikçi İngiliz Thomas Bayes (1702–1761) adına atfen) Bayes Teoremi denilmektedir. Formel bir teorem olarak Bayes teoremi, olasılık kavramını inceleyen her türlü değişik felsefi temel fikre bağlı olan her türlü istatisikçi tarafından kabul edilir. Ancak olasılığı objektif bir değer olarak gören ve relatif çokluluk olarak tayin eden çoklulukçu (en:frequentist) ekolüne bağlı olan istatistikçiler ile sübjektivist (veya Bayes tipi) ekoline bağlı olan istatistikçiler arasında bu teoremin pratikte nasıl kullanılabileceği hakkında büyük bir fikir ayrılığı bulunmaktadır. Çoklulukcu ekolüne dahil olanlar olasılık değerlerini rastgele olaylarda meydana çıkma çokluluğuna göre veya anakütlenin altsetlerinin tam anakütleye orantısı olarak saptanması gerekeğini kabul etmektedirler. Bunlara göre yeni kanıtlar karşısında olasılık değerinin değişme imkânı yoktur. Bu nedenle çoklulukcu ekolü için Bayes teoremi sadece koşulluluklar arasında ilişkiyi gösterir ve bunun pratikte kullanılma gücü küçüktür. Halbuki sübjektivist ekolüne göre olasılık gözlemcinin sübjektif belirsizlik ifadesidir. Bu nedenle olasılık değeri sübjektif olup yeni kanıtlar geldikçe değiştirilebileceğine inanmakta ve böylece Bayes teoremini istatistik bir incelemenin temel taşı saymaktadırlar. Bayes teoreminin ifade edilişi Bayes teoremi bir stokastik sürec sırasında ortaya çıkan bir rastgele olay A ile bir diğer rastgele olay B (eğer B için kaybolmamış olasılık varsa) için koşullu olasılıkları ve marjinal olasılıkları arasındaki ilişkidir, yani http://upload.wikimedia.org/math/1/8/8/188019d193258f9ba310da979906d24f.png Bayes teoremi formülü içinde bulunan her bir terime özel isimler verilmektedir:
Bayes teoreminin olabilirlilik terimleri ile ifadesi Bayes teoremi olabilirlilik terimleri ile de şöyle ifade edilebilir: http://upload.wikimedia.org/math/8/6/0/860a2a4aeabda38082d43754ad77d334.png Burada L(A|b) terimi verilmiş sabit b için Anin olabilirliğidir ve L(A|B)/P(B) orantısına bazan standardize edilmis olabilirlilik veya normalize edilmiş olabilirlilik adı da verilir. Böylece http://upload.wikimedia.org/math/6/6/c/66c8f949a7f9eaa7174549a23279010e.png ilişkisini kullanarak Bayes teoremi ortaya çıkartılır. Bu sonucu sözcüklerle şöyle de yazabiliriz: http://upload.wikimedia.org/math/c/d/1/cd14a47100ebabe7b1ba7392b2e381de.png Daha uygun sözcüklerle Sonsal olasılık önsel olasılık ile olabilirlilik çarpımına orantılıdır. Koşullu olasılıklar kullanılarak matematiksel ispat Bu teoremi ispat etmek icin koşullu olasılık tanımından başlanır. B olayı bilinirse A olayının olasılığı şöyle verilir: http://upload.wikimedia.org/math/a/6/d/a6df7814a46fc4c9670cc510b72bb318.png Aynı şekilde A olayı verilmiş ise B olayının olasılığı şudur: http://upload.wikimedia.org/math/8/b/6/8b6c81124815aad54c91c42b3261165d.png Bu iki denklem yeniden düzenlenip birbirlerine birleştirilirse, http://upload.wikimedia.org/math/e/f/a/efaf8fda8a92eeb2d8cf70468c20ed5a.png ifadesi bulunur. Bu lemma bazan olasılıklar için çarpım kuralı olarak anılmaktadır. Her iki taraf da P(B) (eğer sıfır değilse) ile bolunurse, ortaya çıkan şu ifade Bayes teoremidir: http://upload.wikimedia.org/math/f/9/f/f9fdf7c75c7f4ddae1140dd2a9e73714.png Bayes teoreminin değişik şekilleri Bayes teoremi çok kere daha ek kavramlar eklenerek, sanki daha süslü olarak, ifade de edilir. Bunun için önce şu ifade kullanılır: http://upload.wikimedia.org/math/0/7/c/07cf5446f48e526e1abcdb471e60089a.png Burada AC (çok kere A olmayan olarak ifade edilen) A olayının tamamlayıcısı olur. Bu Bayes teoremi formulüne konulunca Bayes teoremi için yeni alternatif bir formül elde edilir: http://upload.wikimedia.org/math/b/3/3/b337da08b983c9e9c6f741d856b4b72c.png Daha genel olarak, {Ai} olay uzayının bir bölüntüsünü oluşturduğu göz önüne alınca, bu bölüntü içinde bulunan herhangi bir Ai için şu ifade elde edilir: http://upload.wikimedia.org/math/d/a/a/daa4b03e8ea857a6957e4a1d0b8ef6b1.png Toplam olasılık yasası maddesine de bakınız. Bahis oranı ve olabilirlilik orantısı şeklinde Bayes teoremi Bayes teoremi çok daha düzgünce bir olabilirlik orantısı olan λ ile bahis oranı olan O terimleri ile şöyle ifade edilir: http://upload.wikimedia.org/math/6/a/a/6aa65315e6ae2da1b417789e43b4eb72.png Burada http://upload.wikimedia.org/math/8/1/b/81be09df6b27e9b3d3ee7c8e4e6ced85.png B verilimişse A olayının bahis oranı; http://upload.wikimedia.org/math/c/4/4/c4451387126a4c6a51739382cacb9e99.png A kendi bahis oranı ve http://upload.wikimedia.org/math/3/2/1/32146e2a0949cb320bfd837305e6c133.png olabilirlik orantısı olur. Olasılık yoğunluk fonksiyonları ile Bayes teoremi Bayes teoreminin sürekli olasılık dağılımlarına uygun olan bir şekli de vardır. Olasılık yoğunluk fonksiyonları tıpatıp olasılık olmadıkları için bu şeklin isbatı biraz daha karmaşıktır. Bu şekilde Bayes theoremi bir limit işlemin geliştirilmesi sonucu ile ortaya çıkarlar. http://upload.wikimedia.org/math/4/0/2/402214a6b5fb1babe545afc206a96d92.png Buna benzer olan bir diğer ifade de toplam olasılık yasası için şöyle ortaya çıkartılabilir: Aynı genel aralıklı hâl gibi bu formülde bulunan parçalara da özel isimler verilmiştir:
Soyut Bayes teoremi Olasılık uzayında verilmiş olan iki mutlak sürekli olasılık ölçümleri P˜Q http://upload.wikimedia.org/math/b/9/4/b9474d45d82accf03434710c10871795.png ve bir sigma- cebiri http://upload.wikimedia.org/math/6/9/5/6956beed6709f29c47056603dd448e37.png olsun. Bu halde http://upload.wikimedia.org/math/2/6/a/26afd73f8c17f310707120691ccc4a35.png-ölçülmeli rassal değişken X için soyut Bayes teorem şöyle ifade edilir: http://upload.wikimedia.org/math/b/c/b/bcb58d4f262347072d35dea4a65977dd.png. Bu formulasyon şekli Kalman filtreleme tekniğinde Zekai denklemleri bulmak için kullanılır. Bu şekil ayrıca finansman matematiği içinde numeraire değişmesi tekniklerinde uygulanır. Bayes teoreminin kapsamının genişletilmesi Ikiden daha fazla degisken kapsayan problemler icin de Bayes teoremine benzer teoremler olusturulabilir. Örneğin http://upload.wikimedia.org/math/0/1/b/01b89e228d286117e3f007b0bc3b67c0.png Bu Bayes teoreminin ve kosullu olasilik tanimlamasinin uzerine birkac islem yaparak ortaya cikarilabilir: http://upload.wikimedia.org/math/0/0/0/0000c57867374dbd1b7837882c5f7e5c.pnghttp://upload.wikimedia.org/math/2/2/0/2203d39e737f922023985141bee96496.png Bu calismalar icin uygulanacak genel strateji ortak olasilik icin parcalama ile calismaya baslayip ilgimizi cekmek istemedigimiz degiskenleri entregrasyon ile marginalize etmektir. Uygulanan parcalam sekline gore, bazi entegrallerin 1e esit olup parcalama ifadesinden dusmeleri sagmanma imkâni bulunabilir; eger bu ozellik ve imkân kullanilabilirse gereken hesaplamalar cok onemli sekilde azaltilabilir. Ornegin, bir Bayes tipi sebeke icin verilen spesifikasyon dolayisiyla, (geri kalan degiskenler verilmis olurlarsa) herhangi bir degisken icin kosullu olasilik, birkac degiskenli ortak dagilimin faktorize edilmesi ile belirlenir ve bu nedenle sonucun ozellikle basit bir form almasi saglanmis olur. (Markov battaniyesi maddesine bakiniz.) Örnekler Örnek 1: Koşullu olasılıklar İki tabak dolusu biskui düşünülsün; tabak #1 içinde 10 tane çikolatalı biskui ve 30 tane sade biskui bulunduğu kabul edilsin. Tabak #2 içinde ise her iki tip biskuiden 20şer tane olduğu bilinsin. Evin küçük çocuğu bir tabaği rastgele seçip bu tabaktan rastgele bir biskui seçip alsın. Çocuğun bir tabağı diğerine ve bir tip biskuiyi diğerine tercih etmekte olduğuna dair elimizde hiçbir gösterge bulunmamaktadır. Çocuğun seçtiği biskuinin sade olduğu görülsün. Çocuğun bu sade biskuiyi tabak #1 den seçmiş olmasının olasığının ne olacağı problemi burada incelenmektedir. Sezgi ile, tabak #1de sade biskui sayısının çikolatali buskui sayısına gore daha fazla olduğu göz önüne alınırsarak incelenen olasılığın %50den daha fazla olacağı hemen algılanır. Bu soruya cevap Bayes teoremi kullanarak kesin olarak verilebilir. Önce soruyu değiştirip Bayes teoremi uygulanabilecek şekle sokmak gerekmektedir: Çocuğun bir sade biskui seçmiş olduğu bilinmektedir; o halde bu koşulla birlikte tabak #1den seçim yapması olasığı ne olacaktır? Böylece Bayes teoremi formülüne uymak için A olayı çocugun tabak #1den seçim yapması; B olayı ise çocugun bir sade biskui seçmesi olsun. İstenilen olasılık böylece Pr(A|B) olacaktır ve bunu hesaplamak için şu olasılıkların bulunması gerekir:
http://upload.wikimedia.org/math/3/b/a/3ba2b020b036f8920da08f092979ea9e.png Böylece çocuğun tabak #1den seçim yaptığı bilindiğine göre bir sade biskui seçimi yapmasının olasılığı %60dir ve sezgimize göre seçtiğimiz %50den daha büyüktür. Ortaya çıkma tabloları ve orantısal çokluklar Koşullu olasılıkları hesaplarken her bir bağımsız değişken için her mümkün sonucun ortaya cikma sayısını veya her sonucun relatif çoklulukunu gösteren basit bir tablo hazırlamak konuyu daha iyi anlamaya yardımcı olabilir. Biskuvi örneği için bu yöntemin kullanışını gösteren tablolar şöyle verilmiştir: Her tabakta bulunan değişik tip biskui sayısı Her tabakta bulunan değişik tip biskui oranları (1) Tabak #1 Tabak #2 Toplamlar Çikolatalı 10 20 30 Sade 30 20 50 Toplam 40 40 80 (2) Tabak #1 Tabak #2 Toplamlar Çikolatalı 0.125 0.250 0.375 Sade 0.375 0.250 0.625 Toplam 0.500 0.500 1.000 Tablo(1), tablo (2) içindeki her bir hücre elemanını toplam biskui sayısı (yani 80) ile bölerek elde edilmiştir. Örnek 2: Monty Hall problemi Bir TV oyun programında üç tane (kirmizi, yesil ve mavi boyali) kapali kapi gosterilmekte ve bu kapilardan birinin arkasinda bir armagan bulunmaktadir. Kirmizi kapiyi sectigimizi dusunelim; ama bu kapi program sunucunun bir faaliyet goistermesini bitirmeden acilmamaktadir. Program sunucusu hangi kapi arkasinda armagan bulundugunu bilmektedir; ama ona verilen direktife gore ne arkasinda armagan bulunan kapiyi ne de sectigimiz kapiyi acabilir. Yesil kapiyi acar ve arkasinda bir armagan bulunmadigini gosterir ve su soruyu yarismaciya sorar: "Ilk tercihiniz olan kirmizi kapi hakkinda fikrinizi değistirmek ister misiniz?" Incelenecek sorun armaganin mavi veya kirmizi kapilar arkasinda bulunma olasiliklari nedir? Yarismanin ana sonuclari olan degisik renkli kapilar arkasinda armagan bulunmasini soyle ifade edelim Ak, Ay ve **. Ilk olarak her bir kapi arkasinda armagan bulunmasi birbirine esit olasigi oldugu kaabul edilir yani http://upload.wikimedia.org/math/c/0/b/c0ba72240ea13263b184c5c1c011c24f.png olur. Yine dusunelim kirmizi kapiyi yarismaci secmis durumdadir. "Sunucunun yesil kapiyi acmasi olayina B olayi adini verelim. Arkasinda armagan bulunan kapiyi bilmeseydi bu olay icin olasilik %50 olacaktir.
http://upload.wikimedia.org/math/a/a/4/aa4dfa33d93a88c3979a5ec794c67711.png Dikkatle incelenirse bunun PB degerine bagli oldugu gorulecektir. Bir an armaganin kirmizi kapi arkasinda oldugunu farzedelim; o halde sunucunun yesil kapiyi acma olasigi cok yuksek olacaktir - diyelim %90. Bundan dolayi, eger sunucu baska kapi acmaya zorlanmadikca, yesil kapiyi acmayi tercih edecektir. Boylece, B olayi olasigi 1/3 * 1 + 1/3 * 0 + 1/3 * 9/10 = 19/30 olur. http://upload.wikimedia.org/math/5/0/f/50f9aa4e35274a73d3208081eeae2ee1.png Bu nedenle sunucunun yesil kapiyi acmasi bizi cok az bilgi vermektedir - zaten bu secime yapamaga zorundadir. Pr(**) olasigi 1/2in cok az ustundedir. Buna karsilik, armaganin kirmizi kapi arkasinda oldugunu farzedersek; o halde sunucunun yesil kapi acma olasigi cok kucuk olacaktir - diyelim %10. Bu demektir ki ozellikle zorlanmadikca sunucu nerede ise hic bir halde yesil kapiyi acmiyacaktir. O halde B olasigi 1/3 * 1 + 1/3 * 0 + 1/3 * 1/10 = 11/30 olur http://upload.wikimedia.org/math/f/f/7/ff7aa5bb3e658c622dbd2e12919dd672.png Bu halde, gercekte sunucunun yesil kapiyi acmasi bize cok onemli bilgi vermektedir. Aramagan nerede ise hic suphesiz mavi kapi arkasinda bulunmaktadir. Eger mavi kapi arkasinda degilse sunucu cok muhtemelen mavi kapiyi acacakti. |
Bayes Teoremi Bayes teoremi aşağıdaki denklemle ifade edilir; http://upload.wikimedia.org/math/4/6/b/46b680c10ac90b0782843f4bbd0b4a95.pngP(A|B) ; B olayı gerçekleştiği durumda A olayının meydana gelme olasılığıdır (bakınız koşullu olasılık )P(B|A) ; A olayı gerçekleştiği durumda B olayının meydana gelme olasılığıdırP( A) ve P( B) ; A ve B olaylarının önsel olasılıklarıdır. Burada önsel olasılık Bayes teoreminine öznellik katar. Diğer bir ifadeyle örneğin P( A) henüz elde veri toplanmadan A olayı hakkında sahip olunan bilgidir. Vikipedi, özgür ansiklopedi |
Saat: 14:01 |
©2005 - 2024, MsXLabs - MaviKaranlık