Polinomlarda �ift dereceli terimlerin kat say�lar�n� bulma kural� nedir?

MsXLabs (https://www.msxlabs.org/forum/)

- Soru-Cevap (https://www.msxlabs.org/forum/soru-cevap/)

- - Polinomlarda �ift dereceli terimlerin kat say�lar�n� bulma kural� nedir? (https://www.msxlabs.org/forum/soru-cevap/274184-polinomlarda-cift-dereceli-terimlerin-kat-sayilarini-bulma-kurali-nedir.html)

polinomlarda �ift dereceli terimlerin kat say�lar�n� bulma kural� nerden ��kt� nas�l olu�tu

A. POL�NOMLAR
http://www.matematik.tc/oss-yoges/KonuAnlatimlari/math2-KonuAnlatim/polinomlar_dosyalar/01_Pol1.gif olmak �zere,

P(x) = a0 + a1 � x + a2 � x2 + ... + an � xn

bi�imindeki ifadelere x de�i�kenine g�re, d�zenlenmi� reel kat say�l� polinom (�ok terimli) denir.
Burada, a0, a1, a2, ... an reel say�lar�na polinomun kat say�lar�,

a0, a1 � x , a2 � x2 , ... , an � xn ifadelerine polinomun terimleri denir.

an � xn terimindeki an say�s�na terimin kat say�s�, x in kuvveti olan
n say�s�na terimin derecesi denir.
Derecesi en b�y�k olan terimin derecesine polinomun derecesi denir ve der[P(x)] ile g�sterilir. Derecesi en b�y�k olan terimin kat say�s�na ise polinomun ba� kat say�s� denir.
Polinomlar kat say�lar�na g�re adland�r�l�rlar. Kat say�lar� reel say� olan polinomlara reel kat say�l� polinom, kat say�lar� rasyonel say� olan polinomlara rasyonel kat say�l� polinom, kat say�lar� tam say� olan polinomlara tam kat say�l� polinom denir.

Tan�m

http://www.matematik.tc/oss-yoges/KonuAnlatimlari/math2-KonuAnlatim/polinomlar_dosyalar/01_Pol2.gif olmak �zere, P(x) = c bi�imindeki polinomlara, sabit polinom denir. Sabit polinomun derecesi 0 (s�f�r) d�r.

Tan�m

P(x) = 0 bi�imindeki polinoma, s�f�r polinomu denir. S�f�r polinomunun derecesi tan�ms�zd�r.

Polinomlar�n E�itli�i
Ayn� dereceli terimlerinin kat say�lar� e�it olan polinomlar e�ittir.

B. POL�NOMLARDA ��LEMLER
1. Toplama ��lemi
�ki polinom toplan�rken; dereceleri ayn� olan terimlerin kat say�lar� kendi aralar�nda toplan�r, sonu� o terimin kat say�s� olarak yaz�l�r.

2. ��karma ��lemi
P(x) – Q(x) = P(x) + [–Q(x)]
oldu�u i�in, P(x) polinomundan Q(x) polinomunu ��karmak, P(x) ile
–Q(x) i toplamakt�r. Bunun i�in ��karma i�lemini, ��kar�lacak polinomun i�aretini de�i�tirip toplama yapmak bi�iminde ele alabiliriz.

3. �arpma ��lemi
�ki polinomun �arp�m�; polinomlardan birinin her teriminin di�er polinomun her bir terimi ile ayr� ayr� �arp�mlar�ndan elde edilen terimler toplam�narak yap�l�r.

4. B�lme ��leminin Yap�l��
Polinomlarda b�lme i�lemi, say�larda b�lme i�lemine benzer �ekilde yap�l�r. Bunun i�in s�ras�yla a�a��daki i�lemler yap�l�r:
1) B�l�nen ve b�len polinomlar x de�i�keninin azalan kuvvetlerine g�re s�ralan�r.
2) B�l�nen polinomun soldan ilk terimi, b�len polinomun soldan ilk terimine b�l�n�r. ��kan sonu�, b�l�m�n ilk terimi olarak yaz�l�r.
3) Bulunan bu b�l�m, b�len polinomun b�t�n terimleri ile �arp�larak, ayn� dereceli terimler alt alta gelecek �ekilde b�l�nen polinomun alt�na yaz�l�r.
4) B�l�nenin alt�na yaz�lan �arp�m polinomu, b�l�nen polinomdan ��kar�l�r.
5) Yukar�daki i�lemlere, kalan polinomun derecesi, b�len polinomun derecesinden k��k oluncaya kadar devam edilir.

Tan�m
m > n olmak �zere,
der[P(x)] = m ve der[Q(x)] = n olsun.
P(x) in Q(x) ile b�l�m�nden elde edilen b�l�m polinomu B(x) olsun.
Buna g�re,
http://www.matematik.tc/oss-yoges/KonuAnlatimlari/math2-KonuAnlatim/polinomlar_dosyalar/01_Pol3.gif der[P(x) + Q(x)] = m,
http://www.matematik.tc/oss-yoges/KonuAnlatimlari/math2-KonuAnlatim/polinomlar_dosyalar/01_Pol3.gif der[P(x) – Q(x)] = m,
http://www.matematik.tc/oss-yoges/KonuAnlatimlari/math2-KonuAnlatim/polinomlar_dosyalar/01_Pol3.gif der[P(x) � Q(x)] = m + n,
http://www.matematik.tc/oss-yoges/KonuAnlatimlari/math2-KonuAnlatim/polinomlar_dosyalar/01_Pol3.gif der[B(x)] = m – n,
http://www.matematik.tc/oss-yoges/KonuAnlatimlari/math2-KonuAnlatim/polinomlar_dosyalar/01_Pol3.gif der[[P(x)]k] = k � der[P(x)] = k � m,
http://www.matematik.tc/oss-yoges/KonuAnlatimlari/math2-KonuAnlatim/polinomlar_dosyalar/01_Pol3.gif der[[P(xk)]] = k � der[P(x)] = k � m dir.

C. P(x) �N x = k ��N DE�ER�
P(x) = a0 + a1 � x + a2 � x2 + … + an � xn
polinomunun x = k i�in de�eri,
P(k) = a0 + a1 � k + a2 � k2 + … +an � kn dir.

Kural
P(x) = a0 + a1 � x + a2 � x2 + … + an � xn
polinomunda x = 1 yaz�l�rsa,
P(1) = a0 + a1 + a2 + ... + an olur.
Bu durumda P(1) in de�eri P(x) polinomunun kat say�lar� toplam�d�r.

Sonu�
Herhangi bir polinomda x yerine 1 yaz�l�rsa, o polinomun kat say�lar� toplam� bulunur.
�rne�in, P(x + 7) polinomunun kat say�lar� toplam�,
P(1 + 7) = P(8) dir.

Kural
P(x) = a0 + a1 � x + a2 � x2 + … + an � xn
polinomunda x = 0 yaz�l�rsa,
P(0) = a0 olur.
Bu durumda P(0) �n de�eri P(x) polinomunun sabit terimidir.

Sonu�
Herhangi bir polinomda x yerine 0 yaz�l�rsa, o polinomun sabit (x ten ba��ms�z) terimi bulunur.
�rne�in, P(2x + 3) polinomunun sabit terimi,
P(0 + 3) = P(3) t�r.

D. P(x) �N (ax + b) �LE B�L�NMES�YLE ELDE ED�LEN KALAN
P(x) in ax + b ile b�l�nmesiyle elde edilen b�l�m B(x), kalan K olsun. Buna g�re,
http://www.matematik.tc/oss-yoges/KonuAnlatimlari/math2-KonuAnlatim/polinomlar_dosyalar/01_Pol4.gif

Yani; P(x) polinomunun ax + b ile b�l�nmesiyle elde edilen kalan� bulmak i�in, ax + b = 0 denkleminin k�k� olan http://www.matematik.tc/oss-yoges/KonuAnlatimlari/math2-KonuAnlatim/polinomlar_dosyalar/01_Pol5.gif i�in P(x) polinomunun de�eri olan http://www.matematik.tc/oss-yoges/KonuAnlatimlari/math2-KonuAnlatim/polinomlar_dosyalar/01_Pol6.gif hesaplan�r.

Sonu�
http://www.matematik.tc/oss-yoges/KonuAnlatimlari/math2-KonuAnlatim/polinomlar_dosyalar/01_Pol3.gif P(x) polinomunun x – a ile b�l�m�nden kalan P(a) d�r.
http://www.matematik.tc/oss-yoges/KonuAnlatimlari/math2-KonuAnlatim/polinomlar_dosyalar/01_Pol3.gif P(x + b) polinomunun x – a ile b�l�m�nden kalan
P(a + b) dir.
http://www.matematik.tc/oss-yoges/KonuAnlatimlari/math2-KonuAnlatim/polinomlar_dosyalar/01_Pol3.gif P(3x + b) polinomunun x – a ile b�l�m�nden kalan
P(3 � a + b) dir.

E. P(x) �N xn + a �LE B�L�M�NDEN KALAN
Kural
Derecesi n den b�y�k olan bir polinomun
xn + a ile b�l�m�nden kalan� bulmak i�in, xn yerine –a yaz�l�r.
(xn + a = 0 ise, xn = –a)

F. P(x) �N (x – a) � (x – b) �ARPIMI �LE B�L�NMES�
Kural
1) P(x) polinomu (x – a) � (x – b) �arp�m� ile tam olarak b�l�nebiliyorsa x – a ve x – b �arpanlar� ile de ayr� ayr� tam olarak b�l�n�r.
2) x – a ve x – b aralar�nda asal polinomlar olmak �zere;
P(x), bu polinomlara ayr� ayr� tam olarak b�l�nebiliyorsa, (x – a) � (x – b) �arp�m� ile de tam olarak b�l�n�r.

G. P(x) �N (a � x + b)2 �LE B�L�NEB�LMES�
P(x) polinomu (ax + b)2 ile tam b�l�nebiliyorsa,
P(x) polinomu ve P'(x) polinomu ax + b ye tam olarak b�l�n�r.
(P'(x), P(x) in t�revidir.)
Buna g�re, P(x) polinomu (ax + b)2 ile tam b�l�nebiliyorsa,
http://www.matematik.tc/oss-yoges/KonuAnlatimlari/math2-KonuAnlatim/polinomlar_dosyalar/01_Pol7.gif

Polinomlarda Kalan bulma

Al�nt�:

polinomlarda kalan bulma ile ilgili daha fazla bilgi istiyorum

AciL Laz�mmmmmm

p(x) = (xkare + -7)kare pol.nun
a) kat say�lar� toplam� ?
b) �iftdereceli kat say�lar�
c) tek dereceli kat say�lar� ?
l�tfen ��z��n.

polinomda �ift dereceli terimin form�l� neden p(1)+p(-1) b�l� 2 dir a��klar m�s�n�z l�tfen?

�ift dereceli terimler katsay�lar toplam�

Sabit Terim ve Katsay�lar Toplam� | Say�salDershane
burada �rnek var nedeni de yaz�yo

p(x-3)=2x kare -5x+7 =?

p(x)polinomunda dereceleri nas�l bulacag�z?

A. POL�NOMLAR
http://www.matematik.tc/oss-yoges/KonuAnlatimlari/math2-KonuAnlatim/polinomlar_dosyalar/01_Pol1.gif olmak �zere,
(�ok terimli) denir.
Burada, a0, a1, a2, ... an reel say�lar�na polinomun kat say�lar�,
�[/b] xn terimindeki an say�s�na terimin kat say�s�, x in kuvveti olan
n say�s�na terimin derecesi denir.
Derecesi en b�y�k olan terimin derecesine polinomun derecesi denir ve der[P(x)] ile g�sterilir. Derecesi en b�y�k olan terimin kat say�s�na ise polinomun ba� kat say�s� denir.
Polinomlar kat say�lar�na g�re adland�r�l�rlar. Kat say�lar� reel say� olan polinomlara reel kat say�l� polinom, kat say�lar� rasyonel say� olan polinomlara rasyonel kat say�l� polinom, kat say�lar� tam say� olan polinomlara tam kat say�l� polinom denir.

Tan�m
Sabit polinomun derecesi 0 (s�f�r) d�r.
Tan�m
S�f�r polinomunun derecesi tan�ms�zd�r.
Polinomlar�n E�itli�i
Ayn� dereceli terimlerinin kat say�lar� e�it olan polinomlar e�ittir.

B. POL�NOMLARDA ��LEMLER
1. Toplama ��lemi
�ki polinom toplan�rken; dereceleri ayn� olan terimlerin kat say�lar� kendi aralar�nda toplan�r, sonu� o terimin kat say�s� olarak yaz�l�r.

2. ��karma ��lemi
P(x) – Q(x) = P(x) + [–Q(x)]
oldu�u i�in, P(x) polinomundan Q(x) polinomunu ��karmak, P(x) ile

–Q(x) i toplamakt�r. Bunun i�in ��karma i�lemini, ��kar�lacak polinomun i�aretini de�i�tirip toplama yapmak bi�iminde ele alabiliriz.

3. �arpma ��lemi
�ki polinomun �arp�m�; polinomlardan birinin her teriminin di�er polinomun her bir terimi ile ayr� ayr� �arp�mlar�ndan elde edilen terimler toplam�narak yap�l�r.

4. B�lme ��leminin Yap�l��
Polinomlarda b�lme i�lemi, say�larda b�lme i�lemine benzer �ekilde yap�l�r. Bunun i�in s�ras�yla a�a��daki i�lemler yap�l�r:
1) B�l�nen ve b�len polinomlar x de�i�keninin azalan kuvvetlerine g�re s�ralan�r.
2) B�l�nen polinomun soldan ilk terimi, b�len polinomun soldan ilk terimine b�l�n�r. ��kan sonu�, b�l�m�n ilk terimi olarak yaz�l�r.
3) Bulunan bu b�l�m, b�len polinomun b�t�n terimleri ile �arp�larak, ayn� dereceli terimler alt alta gelecek �ekilde b�l�nen polinomun alt�na yaz�l�r.
4) B�l�nenin alt�na yaz�lan �arp�m polinomu, b�l�nen polinomdan ��kar�l�r.
5) Yukar�daki i�lemlere, kalan polinomun derecesi, b�len polinomun derecesinden k��k oluncaya kadar devam edilir.

Tan�m
m > n olmak �zere,

der[P(x)] = m ve der[Q(x)] = n olsun.

P(x) in Q(x) ile b�l�m�nden elde edilen b�l�m polinomu B(x) olsun.

Buna g�re,
http://www.matematik.tc/oss-yoges/KonuAnlatimlari/math2-KonuAnlatim/polinomlar_dosyalar/01_Pol3.gif der[P(x) + Q(x)] = m,
http://www.matematik.tc/oss-yoges/KonuAnlatimlari/math2-KonuAnlatim/polinomlar_dosyalar/01_Pol3.gif der[P(x) – Q(x)] = m,
http://www.matematik.tc/oss-yoges/KonuAnlatimlari/math2-KonuAnlatim/polinomlar_dosyalar/01_Pol3.gif der[P(x) � Q(x)] = m + n,
http://www.matematik.tc/oss-yoges/KonuAnlatimlari/math2-KonuAnlatim/polinomlar_dosyalar/01_Pol3.gif der[B(x)] = m – n,
http://www.matematik.tc/oss-yoges/KonuAnlatimlari/math2-KonuAnlatim/polinomlar_dosyalar/01_Pol3.gif der[[P(x)]k] = k � der[P(x)] = k � m,
http://www.matematik.tc/oss-yoges/KonuAnlatimlari/math2-KonuAnlatim/polinomlar_dosyalar/01_Pol3.gif der[[P(xk)]] = k � der[P(x)] = k � m dir.

C. P(x) �N x = k ��N DE�ER�
P(x) = a0 + a1 � x + a2 � x2 + … + an � xn
polinomunun x = k i�in de�eri,
P(k) = a0 + a1 � k + a2 � k2 + … +an � kn dir.

Kural
P(x) = a0 + a1 � x + a2 � x2 + … + an � xn
polinomunda x = 1 yaz�l�rsa,
P(1) = a0 + a1 + a2 + ... + an olur.
Bu durumda P(1) in de�eri P(x) polinomunun kat say�lar� toplam�d�r.

Sonu�
Herhangi bir polinomda x yerine 1 yaz�l�rsa, o polinomun kat say�lar� toplam� bulunur.
�rne�in, P(x + 7) polinomunun kat say�lar� toplam�,
P(1 + 7) = Phttps://www.msxlabs.org/forum/images/smilies/msn_note.gif dir.

Kural
P(x) = a0 + a1 � x + a2 � x2 + … + an � xn
polinomunda x = 0 yaz�l�rsa,
P(0) = a0 olur.
Bu durumda P(0) �n de�eri P(x) polinomunun sabit terimidir.

Sonu�
Herhangi bir polinomda x yerine 0 yaz�l�rsa, o polinomun sabit (x ten ba��ms�z) terimi bulunur.
�rne�in, P(2x + 3) polinomunun sabit terimi,
P(0 + 3) = P(3) t�r.

D. P(x) �N (ax + b) �LE B�L�NMES�YLE ELDE ED�LEN KALAN
P(x) in ax + b ile b�l�nmesiyle elde edilen b�l�m B(x), kalan K olsun. Buna g�re,
http://www.matematik.tc/oss-yoges/KonuAnlatimlari/math2-KonuAnlatim/polinomlar_dosyalar/01_Pol4.gif

Yani; P(x) polinomunun ax + b ile b�l�nmesiyle elde edilen kalan� bulmak i�in, ax + b = 0 denkleminin k�k� olan http://www.matematik.tc/oss-yoges/KonuAnlatimlari/math2-KonuAnlatim/polinomlar_dosyalar/01_Pol5.gif hesaplan�r.

Sonu�
http://www.matematik.tc/oss-yoges/KonuAnlatimlari/math2-KonuAnlatim/polinomlar_dosyalar/01_Pol3.gif P(x) polinomunun x – a ile b�l�m�nden kalan P(a) d�r.
http://www.matematik.tc/oss-yoges/KonuAnlatimlari/math2-KonuAnlatim/polinomlar_dosyalar/01_Pol3.gif P(x + b) polinomunun x – a ile b�l�m�nden kalan

P(a + b) dir.
http://www.matematik.tc/oss-yoges/KonuAnlatimlari/math2-KonuAnlatim/polinomlar_dosyalar/01_Pol3.gif P(3x + b) polinomunun x – a ile b�l�m�nden kalan

P(3 � a + b) dir.

E. P(x) �N xn + a �LE B�L�M�NDEN KALAN
Kural
Derecesi n den b�y�k olan bir polinomun
xn + a ile b�l�m�nden kalan� bulmak i�in, xn yerine –a yaz�l�r.
(xn + a = 0 ise, xn = –a)

F. P(x) �N (x – a) � (x – b) �ARPIMI �LE B�L�NMES�
Kural
1) P(x) polinomu (x – a) � (x – b) �arp�m� ile tam olarak b�l�nebiliyorsa x – a ve x – b �arpanlar� ile de ayr� ayr� tam olarak b�l�n�r.
2) x – a ve x – b aralar�nda asal polinomlar olmak �zere;

P(x), bu polinomlara ayr� ayr� tam olarak b�l�nebiliyorsa, (x – a) � (x – b) �arp�m� ile de tam olarak b�l�n�r.

G. P(x) �N (a � x + b)2 �LE B�L�NEB�LMES�
P(x) polinomu (ax + b)2 ile tam b�l�nebiliyorsa,
P(x) polinomu ve P'(x) polinomu ax + b ye tam olarak b�l�n�r.

(P'(x), P(x) in t�revidir.)
Buna g�re, P(x) polinomu (ax + b)2 ile tam b�l�nebiliyorsa,
http://www.matematik.tc/oss-yoges/KonuAnlatimlari/math2-KonuAnlatim/polinomlar_dosyalar/01_Pol7.gif <div>
__________________

p(k)n�n bulunmas� ile p[h(x)] in bulunmas� aras�ndaki fark nedir? hangisinde x'in yerine istenen yaz�l�r hangisinde e�itlenerek yap�l�r ?