[KK] Ba��ml� ve ba��ms�z olayla ilgili soru cevap �rnekleri verir misiniz?

Ba��ml� Olay
A ve B gibi iki olay olsun. A olay�n�n ger�ekle�me �ekli, B olay�n�n sonucuna g�re de�i�ebiliyorsa, bu iki olaya ba��ml� olaylar denir.
P( A) ==> A olay�n�n ger�ekle�me olas�l��;
P( B) ==> B olay�n�n ger�ekle�me olas�l��;
P(A|B) ==> B verilmi�ken A olay�n�n ger�ekle�me olas�l�� olarak g�sterilir.
A ve B olaylar� ba��ml� iki olay ise, A ve B olay�n�n birlikte ger�ekle�me olas�l�� P(A∩B) = P(A|B). P( B) �eklinde tan�mlanabilir.

�rnek:
Birinci kutuda 2 k�rm�z� 4 mavi top, ikinci kutuda 3 k�rm�z� 5 mavi top vard�r. Birinci kutudan bir top �ekiliyor ve ikinci kutuya at�l�yor. Ard�ndan ikinci kutudan �ekilecek topun mavi olma olas�l�� nedir?

��z�m:
A olay�, I. kutudan k�rm�z� �ekilmesi,
B olay�, I. kutudan mavi �ekilmesi,
C olay�, II. kutudan mavi topun �ekilmesi olsun.
I. kutudan �ekilen topa g�re II. kutudan �ekilecek topun �ekilme sonucu de�i�ebilece�inden bu iki olay ba��ml� olay olarak de�erlendirilmektedir.
P( C) = P(I. kutudan k�rm�z� ve II. kutudan mavi �ekilmesi) + P(I. kutudan mavi ve II. kutudan mavi �ekilmesi) �eklinde olacakt�r.
P( C) = P(A∩C) + P(B∩C) veya P( C) = P( A).P(C|A) + P( B).P(C|B) olacakt�r.

Ba��ms�z Olay
Ba��ms�z olay �u bi�imde tan�mlanabilir:
A ve B olaylar� ancak ve ancak Pr(A ∩ B) = Pr( A)Pr( B) ko�ulu sa�lan�yorsa ba��ms�zd�rlar.Burada A ∩ B, A ve B'nin kesi�imini (A ve B olaylar�n�n birlikte ger�ekle�ti�i durumu) g�stermektedir.
Daha genel anlamda, bir olay dizisi bu dizinin herhangi bir sonlu altk�mesinin
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/tr/math/d/c/e/dce50fbe779ce0958e9cb1768b322876.pngko�ulunu sa�lamas� durumunda kar��l�kl� ba��ms�zd�r. Bu olgu ba��ms�z olaylar i�in �arp�m kural� olarak adland�r�lmaktad�r.
A ve B olaylar� ba��ms�z ise, B olay�n�n ger�ekle�mi� oldu�u bilinmek �zere A'n�n ko�ullu olas�l�� bu olay�n ko�ulsuz olas�l��na e�ittir.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/tr/math/d/7/7/d77e4e0ae602ccf284ec0698ec8dcf01.png

T�m bunlara kar��n, bu ifadelerin ba��ms�zl�k kavram�n�n tam tan�m�n� olu�turdu�u s�ylenemez. Bunun nedeni, ifadede yer alan A ve B olaylar�n�n yerlerinin de�i�tirilemeyecek olu�u ve bu tan�m�n olas�l��n 0 oldu�u durumlarda ge�ersiz kalmas�d�r.
B'nin ger�ekle�mi� oldu�u bilinmek �zere A'n�n ko�ullu olas�l��
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/tr/math/1/c/e/1cee94d1dbdc9bca9e2a7ca9d087f7a2.png (Pr( B) ≠ 0 oldu�u s�rece)bi�iminde tan�mlanmaktad�r.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/tr/math/4/5/e/45ed3e63069e274a128d04315fc9242c.png iken bu ifade
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/tr/math/6/e/d/6edcd8aaf80dcac2bc977783cf810efa.pngolarak da yaz�labilir.

Burada s�z� edilen ba��ms�zl�k kavram� konu�ma dilindeki kar��l��ndan farkl� bir anlam ta��maktad�r. �rne�in, bir olay�n kendinden ba��ms�z olmas� ancak ve ancak
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/tr/math/1/0/d/10d598e4cea910573e686c1709811fc3.pngko�ulunun sa�lanmas� durumunda ger�ekle�ebilir. Ba�ka bir deyi�le, bir olay ya da onun t�mleyeni neredeyse kesin olarak ger�ekle�iyorsa bu olay kendinden ba��ms�zd�r.

Ba��ms�z rassal de�i�kenler
X ger�el de�erli bir rassal de�i�ken ve a bir say� olmak �zere, {X ≤ a} olay� X'in a'dan k��k ya da ona e�it oldu�u g�zlemlerin olu�turdu�u k�me olarak tan�mlanmaktad�r.
X ve Y rassal de�i�kenleri ancak ve ancak {X ≤ a} ve {Y ≤ b} olaylar�n�n ba��ms�z olmas� durumunda ba��ms�zd�rlar. Benzer bi�imde, rastgele se�ilmi� de�i�kenlerin olu�turdu�u bir k�menin ba��ms�z olu�u herhangi bir sonlu X1, �, Xn y��n� ve a1, �, an say� dizisi i�in {X1 ≤ a1}, �, {Xn ≤ an} olaylar�n�n ba��ms�z olmas�na ba�l�d�r.
Bir y��ndan se�ilen herhangi iki rassal de�i�ken ba��ms�z ise bu de�i�kenlerin kar��l�kl� ba��ms�zl�klar� da g�vence alt�ndad�r. Bu olgu par�al� ba��ms�zl�k olarak adland�r�lmaktad�r.
X ve Y ba��ms�z ise, E beklenti i�leci
E[X Y] = E[X] E[Y]ko�ulunu sa�lar. Varyans i�in
var(X + Y) = var(X) + var(Y)e�itli�i yaz�labilirken kovaryans cov(X,Y) s�f�ra e�ittir. Bu ifadenin tersi ("iki rassal de�i�kenin kovaryans� 0 ise bu de�i�kenler ba��ms�zd�rlar" �nermesi) do�ru de�ildir.

Bunlara ek olarak, iki tane X ve Y rassal de�i�keni, FX(x) ve FY(y) da��l�m fonksiyonlar� ve fX(x) ve fY(y) olas�l�k yo�unluklar� g�steriyorlarsa, bu iki rassal de�i�kenin birbirinden ba��ms�z olmalar� i�in, bile�ik rassal de�i�ken (X,Y) nin �u ortak da��l�m� olmas� gerekir:
FX,Y(x,y) = FX(x)FY(y),ya da buna e�it olarak
fX,Y(x,y) = fX(x)fY(y).ortak yo�unluk g�stermelidir.

�ki rassal de�i�kenden daha fazla say�da rassal de�i�kenler olma halinde ba��ms�zl�k da daha genel olarak buna benzer ifadeler ile karakterize edilirler.

Ko�ullu ba��ms�z rassal de�i�kenler
Ana madde: Ko�ullu ba��ms�zl�k
Sezgi ile ele al�n�rsa, iki rassal de�i�ken X ve Y nin birbirinden ko�ullu ba��ms�z olmalar� i�in, bir Z verilirse ve e�er Z de�eri bilinirse, Y de�erini bilmenin X hakk�nda bilgimize hi�birsey eklememesi gerekir. �rnegin, altlar�ndan Z miktar�na ba�l�l�klar� oldu�u kabul edilen, X ve Y de�i�keni �l��mleri birbirinden ba��ms�z de�ildir; ama (iki ol��mdeki yap�lan hatalar herhangi bir �ekilde birbirine ili�kili de�ilse) 'bu iki de�i�ken, verilmi� bir Z �art�na ba�l� ko�utlu de�i�kenlerdir.Ko�ullu ba��ms�zl�k kavram�n�n daha formel bir tan�mlamas� ko�ullu da��l�m kavram�na dayand�r�l�r. E�er X, Y ve Z ayr�k rassal de�i�ken iseler, o halde X ve Y de�i�kenlerinin Z verilmi�ine ko�ullu ba��ms�z olmalar� i�in �art �udur:

Her x, y ve z i�in P(Z ≤ z) > 0 olursa
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/tr/math/d/7/c/d7cfb9b9516a4aa7486c9688faaa190b.pngDi�er taraftan, e�er X, Y ve Z s�rekli rassal de�i�ken iseler ve p ortak olas�l�k yo�unluk fonksiyonu bulunmakta ise; o halde X ve Y de�i�kenlerinin Z verilmi�ine ko�ullu ba��ms�z olmalar� i�in �art �udur: Her x, y ve z ger�el say�lar i�in pZ(z) > 0 olursa
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/tr/math/f/f/e/ffe73df8eec2f71710f711c91b8cf8d7.pngBu demektir ki Y ve Z verilirse X i�in ko�ullu da��l�m, sadece Z i�in da��l�m�n ayn�d�r. S�rekli halde de ko�utlu olas�l�k yo�unluk fonksiyonlar� i�in de bir benzer denklem verilebilir.Olas�l�k bir �e�it hi� verilmi� olay olmayan ko�utlu olas�l�k oldu�u i�in, ba��ms�zl�k ko�utlu ba��ms�zl��n �zel bir hali olarak g�r�lebilir.