Alıntı:
FAKTÖRİYEL n C N olmak üzere, 1.2.3. _ _ _ _ _ .n çarpımına n faktöriyel denir ve n! = n .(n-1).(n-2)._ _ _ _ _ .3.2.1 biçiminde ifade edilir. 0! = 1 1! = 1 n! = n.(n-1)! Olarak tanımlanır. ÖR: 4! = 4.3.2.1 = 24 5! = 5.4.3.2.1 = 120 15! 15.14.13! 13! 13! = 15.14 = 210 4) 8!+9! 8.7!+9.8.7! 7! (8+9.8) 7! 7! 7! 8+72 = 80 4!. ( n – 1 )! n! = 6 => n = ? 4! . ( n-1 )! n! = 6 => ( 4.3.2.1 ) . ( n-1)! = 6 . n! 24. ( n-1)! = 6.n. ( n-1 )! n 24. ( n-1 )! n = 4 6 . ( n-1 )! PERMÜTASYON Bir kümenin elemanlarının belli bir sıraya göre dizilişlerinin her birine bir permütasyon denir. ÖR: A = ( 1,2,3 } kümesinin permütasyonlarını yazalım. ( 1,2,3 ) ( 2,3,1 ) ( 1,3,2 ) ( 3,1,2 ) ( 2,1,3 ) ( 3,2,1 ) n elemanlı bir kümenin n’li permütasyonlarının sayısı P(n,n) şeklinde gösterilir.P(n,n) ifadesi, n’den 1’e kadar ardışık doğal sayıların çarpımıdır. Yani; P( n,n ) = n! ‘dir. ÖR: “Ahmet” kelimesinin harfleri ile, 5 harfli anlamlı yada anlamsız kaç kelime yazılabilir. P ( 5,5 ) = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 bulunur. “n” Elemanlı Bir kümenin “r” li Permütasyonları “n” ve “r” birer sayma sayısı ( n > r ) olmak üzere , n elemanlı bir kümenin elemanlarının r’li sıralanışına, “ n elemanlı kümenin r’li permütasyonu “ denir.ve P ( n,r ) şeklinde gösterilir. P ( n,r ) permütasyonlarının sayısı, P ( n,r ) = n! İfadesi ile bulunur. ( n-r )! Başka bir ifadeyle P ( n,r ) permütasyonlarının sayısını bulmak için, n’den geriye doğru, r tane ardışık çarpan çarpılır. ÖR: 1) P ( 5,2 ) 5! 5.4.3! = 20 ( 5-2 )! 3! 2) P ( 7,3 ) 7! 7.6.5.4! = 210 ( 7-3 )! 4! 3) P ( 6,1 ) 6! 6.5! = 6 ( 6-1 )! 5! ÖR: P ( 5,3 ) = 5.4.3 = 60 P ( 6,2 ) = 6.5.4.3.2 = 720 P ( 7,4 ) = 7.6.5.4 = 840 ÖR: 5. P( n,3 ) = 2. P( n+1,3 ) eşitliğinde n’nin değeri kaçtır? ÇÖZÜM: 5.n ( n-1 ). ( n-2 ) = 2.( n+1 ) n . ( n-1 ) 5.( n-2 ) = 2 ( n+1 ) 5 n-10 = 2 n+2 5 n –2n = 2+10 3 n = 12 n = 4 Dönel (Dairesel ) Sıralama “n” elemanlı bir kümenin elemanlarının, bir çemberin noktaları üzerinde birbirine göre farklı dizilişlerinden her birine,”dairesel permütasyon “ denir. “n” elemanlı bir kümenin elemanlarının, bir daire üzerinde değişik biçimde dairesel permü- tasyonlarının sayısı, ( n-1 )! Tanedir. ÖR: 7 kişi, yuvarlak bir masanın etrafında kaç değişik şekilde oturabilir? ÇÖZÜM: Bir kişinin yeri sabit tutulursa; Oturuş sayısı = ( 7-1 )! = 6! 6.5.4.3.2.1 = 720 bulunur. ÖR: Bir okulda, 3 yönetici ile 5 öğretmen vardır. Yöneticiler yan yana olmak üzere, 8 kişi yuvarlak bir masanın etrafına oturacaklardır. Oturuş biçimi kaç farklı biçimde olabilir? ÇÖZÜM: Yöneticiler bir arada olacağı için, üç yöneticiyi bir kişi gibi kabul edelim. Bu duruma göre, yuvarlak masanın etrafına 1+5 = 6 kişi oturuyormuş gibi düşünebiliriz. Ancak,3 yönetici de kendi aralarında 3! Kadar farklı biçimde otururlar. Buna göre, farklı oturuş biçimi, 3!.( 6-1 )! = 6 .120 =720 değişik biçimde olur. OLASILIK Olasılık, rastlantı yada kesin olmayan olaylarla uğraşır. Rastlantı; sonucu önceden bilinmeyen, gerçekleşmesi şansa bağlı olaylardır. Örneğin; bir parayı havaya attığımızda, yazı mı yoksa tura mı geleceğini deney yapmadan bilemeyiz. . Bir deneyde çıkan sonuçların her birine “ olay “denir. Yapılan bir deneyde, elde edile- bilecek tüm çıkanların kümesine “örnek uzay”veya “ evrensel küme “ adı verilir. Büyük “E”harfi ile gösterilir. . Bir olay her zaman olabiliyorsa buna “kesin olay”; hiç gerçekleşmiyorsa buna da “imkansız olay” denir. . Bir E örnek uzayının her elemanının elde edilme olasılığı eşit ise bu E örnek uzayına “eş olumlu örnek uzay “ denir. Eş olumlu örnek uzayına ait bir A olayının olasılığı P( A ) biçimde gösterilir. A C E olayı için, P( A ) = s( A) s( E ) dir. ÖR: Bir zar atıldığında,üste gelen yüzünün asal sayı olma olasılığı nedir? ÇÖZÜM: Evrensel küme E = ( 1,2,3,4,5,6 } Olay A = ( 2,3,5 } dir. A olayının olasılığı : P( A ) s( A ) 3 1 s( E ) 6 2 ÖZELLİKLER Bir olayın olasılığı, sıfır ile bir arasında bir sayıdır. 0 < P( A ) < 1 P( A ) = 0 => böyle bir olaydan söz edilemez.(İmkansız olay ) P( A ) = 1 => olasılık tamdır.( Kesin olay ) Bir olayın olma olasılığı ile olmama olasılığının toplamı 1’e eşittir. P( A ) + P( A‘) = 1 dir. ÖR: Bir torbada,aynı büyüklükte 3 kırmızı, 4 beyaz, 5 mavi bilye vardır. Torbadan rasgele bir bilye çekiliyor. Çekilen bilyenin beyaz olma olasılığı nedir? ÇÖZÜM: Örnek uzayın eleman sayısı, s( E ) = 3+4+5 = 12 dir. Beyaz bilye çekme olayı B olsun . Torbada 4 tane beyaz bilye olduğundan, s( B ) = 4 tür. Buna göre; P( B ) s( B ) 4 1 s( E ) 12 3 tür. ÖR: Bir çift zar, aynı anda masanın üzerine atılıyor. Üste gelen sayıların toplamının asal sayı olma olasılığı nedir? ÇÖZÜM: Evrensel kümenin eleman sayısı, s( E ) = 6 x 6 = 36 dır. Üste gelen sayıların toplamının asal sayı olma durumları; A = ( (1,1),( 1,2 ),( 2,1 ),( 1,4 ),( 4,1 ),( 1,6 ),( 6,1 ),( 2,3 ),( 3,2 ),( 2,5 ),( 5,2 ),( 3,4 ),( 4,3 ), ( 5,6 ),( 6,5 )} P( A ) s( A) 15 5 s(E) 36 12 dir. AYRIK İKİ OLAYIN BİRLEŞMELERİNİN ( A VEYA B OLAYININ ) OLASILIĞI Ayrık olayların birleşimlerinin olasılığı, bu olayların olasılıkları toplamına eşittir. A n B = O => P ( A U B ) = P ( A ) + P( B ) dir. ÖR: Bir torbaya aynı büyüklükte 2 kırmızı, 3 sarı,4 mavi bilye konuluyor. Torbadan rasgele bir bilye çekilirse,çıkan bilyenin kırmızı veya mavi olma olasılığı nedir? ÇÖZÜM: Evrensel küme, E = ( k1,k2,s1,s2,s3,m1,m2,m3,m4 }ve s( E ) = 9 dur. Kırmızı bilyeler = A = ( k1,k2 } Mavi bilyeler = B = ( m1,m2,m3,m4 } A n B = O dir. Buna göre, P ( A U B ) = P( A ) + P( B ) yazılır. P ( A U B ) = 2 4 6 2 9 9 9 3 bulunur. AYRIK OLMAYAN İKİ OLAYIN BİRLEŞİMLERİNİN (A VEYA B OLAYININ ) OLASILIĞI Ayrık olmayan iki olayın birleşimlerinin olasılığı, bu olayların ayrı ayrı olasılıkları toplamından kesişimlerinin olasılığının farkına eşittir. A n B = O => , P ( A U B ) = P( A ) + P( B ) – P( A n B ) dir. ÖR: Bir torbaya 1’den 9’a kadar numaralanmış aynı büyüklük ve özellikte 9 top konuyor. Torbadan rasgele bir top çekiliyor. 4’ten büyük veya tek numaralı bir topun çıkma olasılığı nedir? ÇÖZÜM:Evrensel küme E = ( 1,2,3,4,5,6,7,8,9 } s( E ) = 9 dur. Tek numaralı bilyenin çıkması olayı; A = ( 1,3,5,7,9 }, s( A ) = 5 ’tir. 4 ten büyük numaralı bilyenin çıkması olayı; B = ( 5,6,7,8,9 }, s ( B ) = 5’tir. A n B = (5,7,9 }, s ( A n B ) = 3’tür. P( A ) = 5 P ( B ) = 5 P( A n B) = 3 9 9 9 dur. Buna göre, P( A u B ) = P( A ) + P( B )- P( A n B ) = 5 + 5 - 3 9 9 9 = 7 olur. BAĞIMSIZ OLAYLARIN BİRLİKTE OLMA ( A VE B OLAYININ ) OLASILIĞI İki veya daha çok olayın gerçekleşmeleri birbirine bağlı değilse böyle olaylara “ bağımsız olaylar” denir. Bağımsız olayların birlikte olma olasılığı bu olayların olasılıklarının çarpımına eşittir. P( A ve B ) = P( A n B ) = P( A ) . P( B ) dir. ÖR: Bir okulun birinci sınıfında 12 erkek ve 8 kız, ikinci sınıfında 6 erkek ve 12 kız öğrenci vardır. Her iki sınıftan da rasgele seçilen birer öğrencinin ikisinin de kız öğrenci olma olasılığı nedir? sınıftan seçilen öğrencinin kız öğrenci olması olayı A => P( A) = s( A ) 8 2 s( E ) 20 5 tir. sınıftan seçilen öğrencinin kız öğrenci olması olayı B => P( B ) = s( B) 12 2 s( E ) 18 3 tür. P( A n B ) = P( A ) . P( B ) = 2 . 2 4 5 3 15 olur... |
Yardım!!! Ya faktoriyel ve permitasyon nedir? |
ödeeev permütasyon ve kombinasyon oyunları çookk acill |
Saat: 16:18 |
©2005 - 2024, MsXLabs - MaviKaranlık