Üçgenlerin çevre ve alaný nasýl hesaplanýr?
 

Üçgen

Herhangi bir üçgen.
Bir üçgen, düzlemde birbirine doðrusal olmayan üç noktayý birleþtiren üç doðru parçasýnýn birleþimidir.
Düzlem geometrisinin temel þekillerinden biridir. Bir üçgenin üç köþesi ve bu köþeleri birleþtiren, doðru parçalarýndan oluþan üç kenarý vardýr. Bir Üçgenin iç açýlarýnýn toplamý 180° dýþ açýlarýnýn toplamý 360°'dir.

Burada;
A, B, C noktalarý üçgenin köþeleri ve doðru parçalarý üçgenin kenarlarýdýr. üçgenin iç açýlarýdýr.

Matematiksel taným
Yukarýda anlatýlan biçimiyle (Öklit düzleminde) üçgen, [Riemann geometrisinde daha genel bir nesnenin özel bir durumudur. X bir Riemann uzayý ve A, B, C, bu uzayýn birbirine doðrusal olmayan üç noktasý olsun. Bu üç noktanýn her bir çifti arasýnda birer kesel (jeodezik) seçilsin. Bu üç keselin birleþimine ABC üçgeni denir. Örneðin, bir Riemann yüzeyi olarak dünya yüzeyinde, kuzey kutbundan 0 meridyeniyle ekvatora, ekvator boyunca 90. doðu meridyenine, bu meridyen boyunca geri kuzey kutbuna çýkan eðri, bir üçgen oluþturur. Bu üçgenin iç açýlarý toplamý 270°'dir.

Üçgenin açýlarý

Üçgenin dýþ açýlarý


Üçgenin iç açýlarý toplamýnýn 180 derece olduðunun ispatý

BAC, ABC ve ACB üçgenin içaçýlarýdýr.

• Üçgenin iç açýlarý toplamý 180 derecedir.

Bir ABC üçgenine, A tepe noktasýndan teðet geçecek ve BC ye paralel olacak þekilde bir doðru çizildiðinde, BC doðru parçasýnýn açýlarý, iç ters açýlar kuralýndan dolayý tepe açýsýnýn yanýna gelerek bir doðru parçasýnýn yarýsýný kaplarlar.

• Üçgende bir dýþ açý, kendisine komþu olmayan iki iç açýnýn toplamýna eþittir.

Bir ABD üçgenine, D tepe noktasýndan teðet geçecek ve taban olan BC ye paralel olacak þekilde bir doðru çizilip kenarlar uzatýldýðýnda, yöndeþ açýlar kuralý yardýmýyla bu önerme kanýtlanabilir.

Üçgenlerin türleri

Üçgenler, kendilerini oluþturan parçalarýn (köþe, kenar, açýlar vb.) ayný düzlemde olup olmadýðýna göre sýnýflandýrýlabilir. Eðer üçgenin tamamý tek bir düzlemdeyse düzlemsel, diðer durumlarda da örneðin küresel ya da hiperbolik üçgen terimleri kullanýlýr.

Kenarlarýna Göre

Eþkenar, Ýkizkenar, Çeþitkenar

Ýkizkenar Üçgen
Ýki kenarý eþit olan üçgenlerdir. Ayrýca iki açýsý birbirine eþitir. Eþit olmayan kenara indirilen dikme hem açýortay hem kenarortay özelliði gösterir.

Dar Açýlý Üçgen
Açýlarý 90 dereceden küçük olan üçgenlere denir.

Dik Üçgen
Dik Üçgen Bir açýsý dik (90°) olan üçgenlerdir. Bu üçgenlerde yükseklik dik kenarlardan biridir. En uzun kenarýna hipotenüs denir.
Geniþ Açýlý Üçgen
Açýlarýndan biri 90°den geniþ olan üçgenlerdir. Sadece bir tek kenarý geniþ açý olabilir. Tabana ait yükseklik tabanýn uzantýsý ile kesiþir.

Pisagor baðýntýsý
Bir dik üçgenin dik kenarlarýna 'a' ve 'b' dersek hipotenüs'ün karesi bu kenarlarýn uzunluklarýnýn karelerinin toplamýna eþittir. Buna Pisagor Teoremi denir. Yani:


Alan Hesaplamasý
Kenardan Yararlanma


Alan hesaplamasý
Bir üçgenin alaný taban ve tabana ait yüksekliðin çarpýmýnýn yarýsýdýr:

ayrýcaýnýzýn baþýyla da ölçebilirsiniz.

Açýdan Yararlanma
Bir üçgenin alaný herhangi iki kenarýný ile aralarýnda kalan açýnýn sinüsünün çarpýmýnýn yarýsýdýr.


Heron Yöntemi
Çevre uzunluðuna '2u',' dersek alan:


Kosinüs Teoremi
Kosinüs teoremi
Herhangi bir üçgende a, b, c kenarlarýný alalým. a ve b arasýnda kalan açý da alfa(α) olsun. c kenarýný bulmak için kullanýlacak formül:


Üçgende yardýmcý elemanlar
Açýortay
Açýortay
Bir açýyý iki eþ açýya bölen doðru veya doðru parçasýna açýortay denir. Açýortaylarýn kesiþtiði nokta, üçgenin içteðet çemberinin merkezidir..

Açýortay


Kenarortay
Kenarortay

Kenarortaylar ve aðýrlýk merkezi
Bir üçgende bir köþeden karþýsýndaki kenara uzatýlan doðru bu kenarý iki eþ parçaya bölüyorsa buna kenarortay denir.Bir üçgende kenarortaylarýn kesiþtiði noktaya aðýrlýk merkezi denir. G harfi ile gösterilir.
Aðýrlýk merkezi, bir kenarortayý 2n ve n olarak böler. Yani köþeye A, kenarortayýn kenarý kestiði noktaya D dersek;
olur.

Kenarortay teoremi

Üçgen Ýle Ýlgili Teoremler

Seva Teoremi


Seva Teoremi'nin uygulandýðý üçgen
Seva teoremi, üçgenin köþelerinden karþýdaki kenarýn herhangi bir noktasýna çizilen doðrulardan oluþan þekilde uygulanan bir teoremdir. Uygulamasý þu þekildedir:


Menelaus Teoremi


Menelaus Teoremi
Üçgenle ayný düzlemde olan ve üçgenin köþelerinden geçmeyen herhangi bir doðrunun, üçgenin bir kenarýnýn uzantýsýyla kesiþim noktalarýnýn üçgenin köþelerine uzaklýklarý arasýndaki iliþkiyi anlatan teoremdir. Uygulamasý:


Steward Teoremi
Steward Teoremi, bir üçgende, bir köþeden karþý kenara çizilen herhangi bir doðru ile kenarlar arasýndaki bir baðýntýdýr. Baðýntý aþaðýdaki gibidir:


Carnot Teoremi
Carnot Teoremi
Üçgenin iç bölgesinde alýnan herhangi bir noktadan kenarlara çizilen dikmelerle kenarlar sýrasýyla a,b(ilk kenar) x,y(ikinci kenar) m,n(üçüncü kenar) olmak üzere parçalara ayrýlsýn.Benzerlik baðýntýlarýný kurduðumuzda: