Kümeler ve Küme Çeşitleri

Küme Ne Demektir? Küme Çeşitleri Nelerdir?

Sponsorlu Bağlantılar

Herkes tarafından bilinen, elemanları iyi tanımlanmış,birbirinden farklı nesnelerin veya şekillerin bir araya gelerek oluşturdukları topluluklar bütününe yada net bir şekilde tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir.Bazı,kimi,bir kısım gibi netlik ifade etmeyen ve kişisel yorumlara dayalı ifadeler küme belirtmez.Bazı şovmenler,Dünyanın en güzel kadını; bunlar küme belirtmez.Kümeler büyük harflerle gösterilir.

Evrensel küme: Üzerinde işlem yapılan tüm kümeleri içine alan kümeye denir.En büyük kümedir.

Tümleyen: A'nın tümleyeni veya tümleneni demek, A kümesinin dışında kalan bütün elemanların oluşturduğu kümedir.


Ayrık küme: Kesişimleri boş kümedir.Yani iki küme arasında ortak veya beraber kullanılan eleman olmuyacak.İçiçe geçen A alt küme B olduğunda A fark B kümesi kesinlikle boş kümedir.

Eşit Küme: Elemanları aynı olan kümelere denir.Aynı zamanda eleman sayılarıda eşittir.



Denk Küme: Eleman sayıları aynı olan kümelere denir.Dikkat elemanları deyil,eleman sayıları aynı olcak.Eşit kümeler denk kümelerdir ama, denk kümeler eşit küme deyildir. ºsembolü ile gösterilir.



Kümelerin Gösterim Şekilleri:

Kümelerin 3 çeşit gösterimi vardır.
1) Liste yöntemi: Kümenin elemanları aralarına virgül konularak parantez içinde yazılır. A= (1,2,3,4,5)
2) Şema yöntemi: Kümenin elemanları yanlarına nokta koyularak şema veya kapalı bir şekil içerisine yazılır.
3) Ortak özellik yöntemi: Kümenin elemanlarının ortak özellikleri kısaltılarak parantez içine yazılır.
A=( 10'dan küçük tek sayılar)

Alt Küme: Alt küme demek bir küme diğer kümenin içinde olacak. Örneğin haftanın günleri kümesinde Salı günü alt kümedir çünkü haftanın içindedir.Haftanın günleri küme,salı günü alt kümedir.Kapsar tam tersi demektir.
Her küme kendisinin alt kümesidir.
A=(1,2,3,4,5,6) Kümesinin bazı alt kümeleri (1),(2),(1,2,5),(2,4,5,6),(1,2,3,4,5,6) .......










Boş Küme: Elemanı olmayan kümeye denir.Boş küme her kümenin alt kümesidir.



Kümelerin Birleşimi

A nın elemanlarından veya B nin elemanlarından oluşan kümeye bu iki kümenin birleşim kümesi denir ve A È B biçiminde gösterilir.Kümelerde birleşim işlemi demek elemanların hepsini alacaz yani birleştirecez.
A È B = {x : x Î A veya x Î B}



Kümelerin Kesişimi

A ve B kümesinin ortak elemanlarından oluşan kümeye A ile B nin kesişim kümesi denir
ve A Ç B biçiminde gösterilir.Kümelerde kesişim işlemi demek ortak kullanılanı yani arada olanı alacaz.
A Ç B = {x : x Î A ve x Î B}



Birleşim ve Kesişimle İlgili Temel Kavramlar



İki Kümenin Farkı

A kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir. A fark B kümesi A – B ya da A B biçiminde gösterilir.Kümelerde fark işlemi demek örneğin A-B , A’da olan B’de olmayan elemanlar veya fark işaretinin sağındaki kümeyi her zaman parmağımızla kapatıp diğer elemanları alacaz.

A – B = {x : x Î A ve x Ï B}



Kümelerle İlgili Örnekler

A = (1,2,3,a,b,5)
B = (3,d,e,5,7)
AÇB = (3,5)
AUB = (1,2,3,a,b,5,d,e,7)
A/B = (1,2,a,b)
s(AUB)=s A+sB-s(AÇB)
s(AUB)=s(A-B)+s(B-A)+s(AÇB)

Eleman Sayısı

A, B, C herhangi birer küme olmak üzere,
i) s(A È B) = sA + sB – s(A Ç B)
ii) s(A È B È C) = sA + sB + sC – s(A Ç B) – s(A Ç C)
– s(B Ç C) + s(A Ç B Ç C)
iii) s(A È B) = s(A – B) + s(A Ç B) + s(B – A)
ıv) a + b + c + d tane öğrencinin bulunduğu bir sınıfta voleybol oynayan öğrencilerin sayısı sv = b + c,
tenis oynayan öğrencilerin sayısı st = a + b,
voleybol ve tenis oynayan öğrencilerin sayısı s(T Ç V) = b olsun.

Tenis veya voleybol oynayanların sayısı:

s(T È V) = a + b + c

Tenis ya da voleybol oynayanların sayısı:

s(T – V) + s(V – T) = a + c

Sadece tenis oynayanların sayısı:

s(T – V) = a

Tenis oynamayanların sayısı:

sT = c + d

Bu iki oyundan en az birini oynayanların sayısı:

s(T È V) = a + b + c

Bu iki oyundan en çok birini oynayanların sayısı:

s(A Ç B) = s(A È B) + s(T – V) + s(V – T) = d + a + c

Bu iki oyundan hiç birini oynamayanların sayısı:

s(A È B) = d

Kaynak

KÜMELER
Msxlabs.org

• Küme, iyi tanımlanmış nesneler topluluğudur.
• Kümeyi oluşturan nesnelerin her birine kümenin elemanı denir.
• Kümeler genellikle A, B, C,… gibi büyük harflerle gösterilir.
• x elemanı, A kümesine ait bir eleman ise bunu x ∈ A şeklinde yazar ve
• x, A kümesinin elemanıdır diye okuruz.
• y elemanı, B kümesine ait bir eleman değilse bunu, y ∉ B şeklinde yazar ve y, B kümesinin bir elemanı değildir diye okuruz
• Kümede, aynı eleman bir kez yazılır.
• Kümenin elemanlarının yer değiştirmesi kümeyi değiştirmez.
• Herhangi bir A kümesinin eleman sayısı “s( A )” veya “n( A )” şeklinde gösterilir.

KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR

Kümelerin Gösterimi
Kümeler üç farklı bicimde gösterilir.

Liste Yöntemi
Kümenin elemanları küme parantezi dediğimiz { } işaretleri arasına ve aralarına virgül konularak yazılır. Bu yazılış şekline kümenin liste yöntemi ile gösterilişi denir.

Örnek : A = {2, 4, 6, 8},

Ortak Özelik Yöntemi
Kümenin elemanları aynı özeliği sağlıyorsa bu özelik kullanılarak küme belirtilir.

A = {x: “x in tanımı”} şeklindeki gösterimdir. Bu gösterimde kümeyi oluşturan bütün elemanlar aynı ortak özelliği sağlamalı, kümenin dışında bu özeliği sağlayan başka bir eleman bulunmamalıdır.

Örnek:

Bir basamaklı çift doğal sayılar ortak özelik yöntemi ile

A = {x: x < 10, x çift doğal sayı} şeklinde gösterilir.

Venn Şeması Yöntemi
Kümenin elemanlarının kapalı bir düzlemsel şekil içerisine, yanlarına (.) konularak yazılmasına kümenin Venn şeması yöntemi ile gösterimi denir.



Boş Küme
Elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme; Ø ya da { } sembolü ile gösterilir. Boş kümenin eleman sayısı sıfırdır.

Yani s(Ø) = 0 dır.

Sonlu ve Sonsuz Kümeler
Elemanları sayılabilen sonlu çoklukta olan kümelere sonlu kümeler, elemanları sayılamayacak çoklukta olan kümelere de sonsuz kümeler denir.

Eşit Kümeler
Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir. A ve B gibi iki küme eşit ise bu eşitlik A = B şeklinde gösterilir. A ve B kümeleri eşit kümeler değilse bunu A ≠ B şeklinde gösteririz.

Denk Kümeler
Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir. A ve B kümelerinin denkliği A ≡ B şeklinde gösterilir.

Alt Küme
A ve B herhangi iki küme olsun. A kümesinin her elemanı B kümesinin de bir elemanı ise A kümesine B kümesinin alt kümesi denir.

A ⊂ B şeklinde gösterilir.

A ⊂ B ifadesi, “A kümesi B kümesinin alt kümesidir.” şeklinde okunur.

A kümesi B kümesinin alt kümesi değilse A ⊄ B ya da B A şeklinde gösterilir.

Alt Kümenin Özelikleri

1. Her küme kendisinin alt kümesidir. Her A kümesi için A ⊂ A dır.

2. Boş küme her kümenin alt kümesidir. Her A kümesi için Ø ⊂ A dır.

3. A, B ve C kümeleri için (A ⊂ B ve B ⊂ C) ⇒ A ⊂ C dir.

4. A ve B kümeleri için (A ⊂ B ve B ⊂ A) ⇔A = B dir.

Alt Küme Sayıları

1. n elemanlı bir kümenin tüm alt kümelerinin sayısı 2n tanedir.

2. Bir kümenin kendisi dışındaki alt kümelerine o kümenin öz alt kümesileri denir Özalt küme sayısı 2n -1 tanedir.

r, n ∈ N, r ≤ n olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin sayısı; n nin r li kombinasyonlarının sayısı kadardır.



n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin sayısı (n-r) elemanlı alt küme sayısına eşittir.



Kuvvet Kümesi
Bir kümenin tüm alt kümelerinin kümesine, bu kümenin kuvvet kümesi denir.

A = {1, 2} kümesinin kuvvet kümesi P( A ) = {O, {1}, {2}, {1, 2}} dir.

Evrensel Küme
Üzerinde işlem yapılan tüm kümeleri kapsayan boş kümeden farklı kümeye evrensel küme denir ve genellikle E harfi ile gösterilir.



Kümelerin Birleşimi
A ve B iki küme olsun. A veya B kümesine ait olan elemanlardan oluşan kümeye, A ile B kümelerinin birleşimi denir ve
A ∪ B şeklinde gösterilir.

A ∪B = {x: x ∈ A veya x ∈ B} dir.

[İMG]http://imgub.com/photos/20130410136557587134390.png[/IMG]

Birleşim İşleminin Özellikleri

A ∪ A = A

A ∪ B = B ∪ A

A ∪ Ø = A

A ∪ B = B ise A ⊂ B

A ∪ E = E ∪ A = E

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C

Kümelerin Kesişimi
A ve B iki küme olsun. A ve B kümelerine ait olan ortak elemanlardan oluşan

kümeye A ile B kümelerinin kesişimi (ara kesiti) denir ve A ∩ B şeklinde gösterilir.
A ∩ B = {x: x ∈ A ve x ∈ B} dir.



Keşişim İşleminin Özellikleri

A ∩ A = A

A ∩ B = B ∩ A

A ∩ Ø = Ø

A ∩ B = A ise A ⊂ B

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

A ∩ E = E ∩ A = A

Dağılma Özeliği

Birleşim işleminin kesişim işlemi üzerine dağılma özeliği

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

(B ∩ C) ∪ A = (B ∪ A) ∩ (C ∪ A)

Kesişim işleminin birleşim işlemi üzerine dağılma özeliği

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

(B ∪ C) ∩ A = (B ∩ A) ∪ (C ∩ A)

Birleşim Kümesinin Eleman Sayısı

1. A ve B kümeleri için, A ∩ B ≠ Ø ise

s(A ∪ B) = s( A ) + s( B ) – s(A ∩ B) dir.

A ∩ B = Ø ise, s(A ∪ B) = s( A ) + s ( B) dir.

2. A, B, C kümeleri için

s(A ∪ B ∪ C) = s( A) + s( B ) + s( C ) – s(A ∩ B) – s(A ∩ C) – s(B ∩ C) + s(A ∩ B ∩ C) dir

Ayrık Kümeler

A ∩ B = Ø ise A ve B kümelerine ayrık kümeler denir.



kaynak