Arama


Misafir - avatarı
Misafir
Ziyaretçi
17 Aralık 2008       Mesaj #3
Misafir - avatarı
Ziyaretçi
MERKEZİ YIĞILMA (EĞİLİM) ÖLÇÜLERİ
Merkezî yığılma ölçüleri, bir veri grubunun dağılımında, verilerin etrafında yığılma eğilimi gösterdikleri ve veri grubunu “özetleyen” değerlerdir. Örneğin “sınıfın Türkçe dersi ortalaması 75” dediğimizde, bu notun o sınıftaki tüm öğrencilerin Türkçe dersi notlarını temsil ettiğini düşünürüz. Aritmetik ortalama (), ortanca (ortn., Medyan), mod, geometrik ortalama (GO), harmonik ortalama (HO) ve karesel ortalama (KO) merkezî eğilim ölçüleridir.
Aritmetik Ortalama
a) Aritmetik ortalamanın ham verilerden hesaplanması
Merkezî yığılma ölçülerinin en çok kullanılanıdır. Genel olarak “ortalama” olarak da isimlendirilir. Bir grup verinin aritmetik ortalaması, verilerin toplamının toplam veri sayısına bölümüne eşittir. Formülle gösterirsek;
Ya da
En istikrarlı merkezî eğilim ölçüsü isteniyorsa ve dağılım çok çarpık değilse merkezî eğilim ölçüsü olarak aritmetik ortalama kullanılır.
Örnek-1:
Bir anaokulu sınıfında öğrencilerin ağırlıkları 12, 13, 19, 17, 19kg olarak hesaplanmış. Ortalamasını hesaplayınız.
kg
Örnek-2:
6 kişilik bir voleybol takımında oyuncuların boy uzunlukları 196, 179, 182, 187, 193, 192 cm.’dir. Takımın boy ortalamasını bulalım:

b) Aritmetik ortalamanın tekrarlanan verilerden hesaplanması

Ağırlık
Frekans
fx
24
2
48
23
3
69
22
3
66
21
3
63
20
3
60
19
5
95
18
6
108
17
2
34
16
6
96
15
4
60
14
0
0
13
2
26
12
1
12
N=40
Σfx=737


kg
c) Aritmetik ortalamanın gruplandırılmış verilerden hesaplanması
Puanlar
Frekans
Orta Nokta xo
fxo
85–89
2
87
174
80–84
1
82
82
75–79
4
77
308
70–74
9
72
648
65–69
13
67
871
60–64
26
62
1612
55–59
19
57
1083
50–54
12
52
624
45–49
8
47
376
40–44
3
42
126
35–39
2
37
74
30–34
1
32
32
N=100
Σfxo=6010
Σfx=61,10


Geometrik Ortalama
Bir dizideki ölçümlerin birbirleriyle çarpılıp, çarpılan ölçün sayısı derecesinde kökünün alınmasına eşittir. GO’nun hesaplanmasında değerler sıfırdan büyük olmak zorundadır.
Geometrik ortalama
  • Ölçümler arasındaki değişme oranı
    <li class="MsoNormal">
    Gelişme ve büyüme hızı
    <li class="MsoNormal">
    İndeks saptamada kullanılır.
ÖRNEK:
Bir şehirde ev kiraları ortalama olarak 1940 yılında 100 TL.; 1950 yılında 200 TL.; 1960 yılında 600 TL.; olarak gerçekleşmiştir. Söz konusu şehirde ortalama artış miktarı nedir; hesaplayınız.
1940 1950 1960
100 (2 kat) 200 (3 kat) 600

Harmonik Ortalama
Ölçümlerin terslerinin aritmetik ortalamasının tersidir. Oranların özellikle de zaman oranlarının ortalamalarının hesaplanmasında kullanılır.


ÖRNEK:
Bir koşucu koştuğu 800m’lik parkurun ilk 400m’sini 80 saniyede, ikinci 400m’lik mesafesini ise 100 saniyede koşmuştur. Koşucunun parkurdaki ortalama hızını hesaplayınız.

İlk 100m’de 5m/sn hız
İkinci 100m’de 4m/sn hız



Kısa yol (oranlama yöntemi)

Ortalamaların Ortalaması
Ya da
Ortanca (Medyan)
a) Ortancanın ham verilerden hesaplanması
Ortanca (ortn., medyan): Veriler sıraya konulduktan sonra tam ortaya düşen (yani verileri tam ortadan iki eşit parçaya bölen) değerdir. Bir veri grubunu tam ortadan ikiye ayıran değerdir.Formülle gösterirsek:
a) veriler tek sayıda ve frekanslar “1”se
’nci değer.
b) veriler çift sayıda ve frekanslar “1”se
’nci değer.
Medyan; aritmetik ortalamayı hesaplamak için yeterli süre yoksa, dağılımın tam orta noktası isteniyorsa, uç puanların ortalamayı büyük ölçüde etkilemesi söz konusu ise ortanca hesaplanır. Hesaplamaya başlanmadan önce veriler büyüklük sırasına konulur.
Örnek-1:
Bir grup öğrencinin kompozisyon sınavından aldıkları notların (100, 98, 93, 45, 34) ortancasını bulalım.
Veriler tek sayıda (n=5) ve frekanslar “1”

. değer (Ortn=93).
Örnek-2:
Bir grup öğrenci İngilizce sınavdan 65, 75, 72, 50, 34, 59 puanlarını almış olsunlar. Dağılımın ortancasını hesaplayalım.
(Önce veriler büyüklük sırasına konulacak)
Veriler çift sayıda (n=6) ve frekanslar “1”
. değer.
Baştan üçüncü değer 59, sonradan üçüncü değer 65 olmaktadır. Bu durumda ortanca;
olarak bulunur.
b) Ortancanın gruplandırılmış verilerden hesaplanması
Puanlar
Frekans
tf (yf)
85–89
2
100
80–84
1
98
75–79
4
97
70–74
9
93
65–69
13
84
60–64
26
71
55–59
19
45
50–54
12
26
45–49
8
14
40–44
3
6
35–39
2
3
30–34
1
1
N=100


L: Ortancanın içine rastladığı aralığın alt sınırı (59,5)
tfa: ortancanın rastladığı aralığın altındaki toplam frekans (yığılmalı frekans) (45)
fb: Ortancanın içine rastladığı aralığın frekansı (26)
a: aralık katsayısı (29,5 – 34,5 = 5)

  • Grup 100 kişi; o halde medyan 100/2=50. kişi.
  • Toplam frekans (tf) sütununda 50. kişinin 60-64 aralığında olduğu anlaşılıyor.



(Ortanca aynı zamanda veya olarak da isimlendirilir. Bir diğer deyişle medyan 50. yüzdeliktir. )
Yüzdelikler




L: Yüzdeliğin içine rastladığı aralığın alt sınırı
tfa: Yüzdeliğin rastladığı aralığın altındaki toplam frekans (yığılmalı frekans)
fb: Yüzdeliğin içine rastladığı aralığın frekansı
a: aralık katsayısı
alıntıdır.