Ki-kare Dağılımı
Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında
ki-kare dağılım (χ2 dağılımı) özellikle çıkarımsal istatistik analizde çok geniş bir pratik kullanım alanı bulmuştur.
Bu dağılım, gamma dağılımından elde edilir.
x, λ ve n parametreleri ile gamma dağılımına sahip olsun:
olur.
Burada λ = 2 ve
n = ν / 2 alınırsa, elde edilen yeni dağılıma, ν serbestlik derecesiyle ki-kare
dağılımı denir ve
ile gösterilir.
x, ν serbestlik derecesiyle ki-kare dağılımına sahip ise:
ki-kare 1 n(0.1)'e eşittir
olur.
Teorem 1 
ise
olur.
Teorem 2 
rassal değişkenler N(0,1) dağılımına sahip olsun.
ise
olur.
Teorem 3
σ2 varyansı bilinen,
N(μ,σ2) dağılımına sahip rasgele örneklem
ve
s2 örneklem varyansı olmak üzere:
olur.
Ki-kare dağılım için olasılık yoğunluk fonksiyonu şu olur:
Burada Γ bir Gamma fonksiyonu bulunduğunu gösterir ve bu yarım-tamsayılar için özel değerler gösterir.
Yığmalı dağılım fonksiyonu
Ki-kare dağılımının yığmalı dağılım fonksiyonu şudur:
burada γ(
k,
z) aşağı kısmı tamamlanmamış Gamma fonksiyonu ve
P(
k,
z) ise tanzim edilmiş Gamma fonksiyonu olur.
Ki-karenin için verilen tablolar (biri aşağıda verilmiştir) yığmalı dağılim fonksiyonundan elde edilmektedir. Bu tablolar birçok değişik kaynaklardan bulunabilir. Örneğin bu fonksiyon için tablolar spreadsheet ve istatistik program paketlerinde bulunmaktadır.
Karakteristik fonksiyonu
Ki-kare dağılımının karakteristik fonksiyonu şöyle yazılır:
Özellikleri - Ki-kare dagilimi cikarimsal istatistik analizde epeyce kullanış alanı bulmuştur. Parametrik istatistik olarak varyans degeri guvenlik araligi ve hipotez testi, parametrik olamayan uygunluk iyiliği testi, olumsalik tablosu uzerinde bagimsizlik testi ve ki-kareye bagli ortaklilik katsayilari, uzaklik olculeri vb.
- Varyanslar analizinde F-dagiliminin iki ki-kare dagiliminin oranindan ortaya cikmasi dolayisyla onemli rol oynamaktadir.
Normal yaklaşım
Eğer
ise, limitte
k sonsuzluğa yaklaştıkca
X normal dağılıma yaklaşır. Ancak bu
eğilim (çarpıklık
ve basıklık fazlalığı 12 /
k olduğundan dolayı) yavaş gelişmektedir. Ki-kare dağılımının iki değişik dönüşüm fonksiyonu normalliğe çok daha hızla yaklaşma göstermektedir:
Fisher isbat etmiştir ki
ifadesi, yaklaşık olarak ortalaması
olan ve varyans değeri
1 olan bir normal dağılım gösterir.
Aynı normal yaklaşım sonucuna moment karşılastırması yapılarak da erişilebilir. Bunu görmek
için ki-dağılım gösteren rassal değişken
in ortalaması ve varyansı izlensin. Bunlar
sırasıyla şöyle verilir:
ve
Burada
bir Gamma fonksiyonudur. μ
z ifadeli gamma fonksiyonunun özel
oranı (particular ratio) şu seri halinde açılabilir :
olduğu halde bu oran için şöyle yaklaşım bulunur:
Sonra basitleşen moment karşılaştırılmasi sonuçları şu yaklaşık
z dağılımı verirler;
, Bundan da şu ifade hemen çıkartılabilir\:
.
Wilson ve Hilferty [1931] göstermiştir ki
ifadesi, ortalaması 1 − 2 / (9
k) ve varyansı 2 / (9
k) olan bir normal dağılıma yaklaşıktır.
k serbestlik derecesi olan bir ki-kare dağılımı gösteren bir rassal değişken için beklenen değer
k olur. Aynı dağılımın medyan değeri yaklaşık olarak şu ifade ile verilir:
Eğer serbestlik derecesi 2 ise üstel dağılım ile aynı dağılımdır.
Enformasyon entropisi
Enformasyon entropisi ifadesi şöyle verilir:
Burada ψ(
x) bir Digamma fonksiyonudur.
İlişkili dağılımlar - Serbestlik derecesi 2ye eşit olan
için 
bir üstel dağılım olur.
- Normal dağılım gösteren ve birbirinden bağımsız olan Xi˜N(0,1) değişkenleri için
ise, 
bir ki-kare dağılımı gösterir.
- Eğer Xi˜N(μi,1) dağılımlarının sıfır olmayan ortalamaları varsa, o halde bir merkezsel olmayan ki-kare dağılımndan çıkartılmıştır.
olduğundan dolayı, ki-kare dağılımı 
bir gamma dağılımının özel halidir.
- Eğer verilmiş serbestlik dereceleri ile
ve 
birbirinden bağımsız iken 
ise, Y˜F(ν1,ν2) bir F-dağılımı gösterir.
ifadesi icin Xm˜χ2(νm) değişkenleri bağımsız ve 
ise, o halde 
ifadesi bir ki-kare dağılımı gösterir.
- Eğer X ki-kare dağılımı gösterirse, o halde
ifadesi de ki-kare dağılımı gösterir.
- Özellikle, eğer (yani 2 serbestlik derecesi gösteren ki-kare ise), o halde ifadesi Rayleigh dağılımı gösterir.
- Eğer
bağımsiz ama aynı dağılımlı, yani hepsi N(μ,σ2) normal dağılım gösteren, rassal değişkenlerse, o halde
olur; burada
dir.
- Eğer
, ise, o halde 
olur.
Çeşitli ki ve ki-kare dağılımları İsim İstatistik Ki-kare dağılımı
Merkezsel
olmayan ki-kare dağılımı
Ki dağılımı
Merkezsel olmayan ki
dağılımı
Ki kare kritik değerler tablosu g serbestlik derecesi için yukarı kuyruk alanının (olasılığın) α olmasına karşıt olan ki2 kritik değeri
Kod:
+-----+-----------------------------------------------------------------------+
| \ α| |
| \ | 0.995 0.91 0.925 0.95 0.90 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 |
|g \ | |
+-----+-----------------------------------------------------------------------+
| 1 | 0.00 0.00 0.00 0.00 0.02 2.71 3.84 5.02 6.63 7.88 |
| 2 | 0.01 0.02 0.05 0.10 0.21 4.61 5.99 7.38 9.21 10.60 |
| 3 | 0.07 0.11 0.22 0.35 0.58 6.25 7.81 9.35 11.34 12.84 |
| 4 | 0.21 0.30 0.48 0.71 1.06 7.78 9.49 11.14 13.28 14.86 |
| 5 | 0.41 0.55 0.83 1.15 1.61 9.24 11.07 12.83 15.09 16.75 |
| 6 | 0.68 0.87 1.24 1.64 2.20 10.64 12.59 14.45 16.81 18.55 |
| 7 | 0.99 1.24 1.69 2.17 2.83 12.02 14.07 16.01 18.48 20.28 |
| 8 | 1.34 1.65 2.18 2.73 3.49 13.36 15.51 17.53 20.09 21.95 |
| 9 | 1.73 2.09 2.70 3.33 4.17 14.68 16.92 19.02 21.67 23.59 |
| 10 | 2.16 2.56 3.25 3.94 4.87 15.99 18.31 20.48 23.21 25.19 |
| 11 | 2.60 3.05 3.82 4.57 5.58 17.28 19.68 21.92 24.72 26.76 |
| 12 | 3.07 3.57 4.40 5.23 6.30 18.55 21.03 23.34 26.22 28.30 |
| 13 | 3.57 4.11 5.01 5.89 7.04 19.81 22.36 24.74 27.69 29.82 |
| 14 | 4.07 4.66 5.63 6.57 7.79 21.06 23.68 26.12 29.14 31.32 |
| 15 | 4.60 5.23 6.26 7.26 8.55 22.31 25.00 27.49 30.58 32.80 |
| 16 | 5.14 5.81 6.91 7.96 9.31 23.54 26.30 28.85 32.00 34.27 |
| 17 | 5.70 6.41 7.56 8.67 10.09 24.77 27.59 30.19 33.41 35.72 |
| 18 | 6.26 7.01 8.23 9.39 10.86 25.99 28.87 31.53 34.81 37.16 |
| 19 | 6.84 7.63 8.91 10.12 11.65 27.20 30.14 32.85 36.19 38.58 |
| 20 | 7.43 8.26 9.59 10.85 12.44 28.41 31.41 34.17 37.57 40.00 |
| 21 | 8.03 8.90 10.28 11.59 13.24 29.62 32.67 35.48 38.93 41.40 |
| 22 | 8.64 9.54 10.98 12.34 14.04 30.81 33.92 36.78 40.29 42.80 |
| 23 | 9.26 10.20 11.69 13.09 14.85 32.01 35.17 38.08 41.64 44.18 |
| 24 | 9.89 10.86 12.40 13.85 15.66 33.20 36.42 39.36 42.98 45.56 |
| 25 | 10.52 11.52 13.12 14.61 16.47 34.38 37.65 40.65 44.31 46.93 |
| 26 | 11.16 12.20 13.84 15.38 17.29 35.56 38.89 41.92 45.64 48.29 |
| 27 | 11.81 12.88 14.57 16.15 18.11 36.74 40.11 43.19 46.96 49.64 |
| 28 | 12.46 13.56 15.31 16.93 18.94 37.92 41.34 44.46 48.28 50.99 |
| 29 | 13.12 14.26 16.05 17.71 19.77 39.09 42.56 45.72 49.59 52.34 |
| 30 | 13.79 14.95 16.79 18.49 20.60 40.26 43.77 46.98 50.89 53.67 |
+-----+-----------------------------------------------------------------------+
Kaynak: Kritik değerler Italyanca Wikipedia için R (software) serbest programının qchisq( ,1:30) fonksiyonu kullanılarak bulunmuştur.
Serbestlik derecesi g>30 olursa kritik değerleri bulmak için şu ifadeyi kullanmak yeterli olacaktır.
χ²α,g = 1/2 ( zα + √(2g-1) )² Burada zα Standart Normal N(0,1) için kritik değerdir (örneğin z0,95 = 1,645 olur.)
