Legendre Denklemi

Legendre diferansiyel denklemi [-1,1] aralığında tanımlı, ±1 noktalarında kaldırılabilir tekilliğe sahip bir denklemdir. Kapalı formu şu şekilde gösterilir.

Burada L, Legendre operatörüdür.

;

Denklem Frobenius yöntemi ile, p=0 alınarak çözülürse.



ifadeleri denklemde yerlerine koyularak,








Bu eşitlikten çıkan karakteristik denklem ise:



olur. Genellenirse



Bu şekilde geriye dönerek tekrarlanarak çözüm bulunur. Çözümün sonlu olabilmesi için



şartı sağlanması gerektiğinden, karakteristik denklem yardımıyla elde edilen çözümün sonlu olması ancak



şeklinde serinin kesilmesi ile olur. Bu şekilde oluşan polinomlara Legendre Polinomları denir, dolayısıyla bu polinomlar Legendre diferansiyel denkleminin çözümüdür.

Ayrıca Bakınız:

Diferansiyel Denklemlerin Tarihsel Gelişimi