İkinci Dereceden Eşitsizlikler
ax2+bx+c>0(ya da büyük eşit sıfır)
ax2+bx+c<0(ya da küçük eşit sıfır) şeklinde ifade edilebilen eşitsizliklere bir bilinmeyenli ikinci dereceden eşitsizlikler deniyordur.Bu tür denklemlerin çözümünde ax2+bx+c ifadesinin işaretinin incelenmesi ,x in hangi değerler için negatif hangi değerleri için pozitif olduğunu belirlemek gerekiyordur.Bu çözümleme a nın işareti ile ax2+bx+c=0 denkleminin köklerine bağlıdır.(bunun için diskriminant formülünden yararlanılır b2-4ac)
A)b2-4ac>0 ise ax2+bx+c=0 denkleminin x1<x2 olmak üzere farklı iki kökü vardır
ax2+bx+c=a.(x-x1).(x-x2) yazılabilir Burada eğer x<x1 ise (x-x1)<0 ve(x-x2)<0 olur Bu nedenle (x-x1).(x-x2)>0 dır Burada ax2+bx+c=0 ifadesi a ile aynı işaretli (+) bir değer alır
x kökler arasındaysa,X1<X<X2 ise x-x1>0 ve x-x2<0 olacağından (x-x1).(x-x2)<0 olur.Burada ax2+bx+c=0 ifadesi a ile zıt işaretli(- ise +;+ ise - gibi) bir değer alır.
x>x2 ise (x-x1)ve (x-x2) çarpanlarından her ikiside pozitif olucağı için ax2+bx+c=0 ifadesi a ile aynı işaretli bir değer alır
Kısaca x, kökler arasında ise tabloda a ile zıt işaretli ;kökler dışında ise aynı işaretli oluyordur.
Örnek:x2-3x+2>0 eşitsizliğinin çözüm kümesi=?
Önce x2-3x+2 denkleminin köklerini bulmak gerekir.
b2-4ac=(-3)2-4.1.2>0 olduğundan denklemin farklı iki kökü vardır
x1=3-1/2 ve x2=3+1/2 den x1=1 ve x2=2 bulunur.Buna göre işaret tablosu yapılarak kökler yerleştirilip , işaretler incelenerek çözüm kümesi yazılıyordur.
x,e 1 den küçük(x1<1) ya da 2 den büyük(x2>2) değerler verilirse x2-3x+2 ifadesi pozitif değer,x,e 1 ve 2 arasında(kökler arasında bir değer) verilirse x2-3x+2 ifadesi negatif bir değer alır buna göre;
Çözüm kümesi=Ç=(-sonsuz,1)U(2,+sonsuz) olur.
B)b2-4ac=0 ise denklemin tek kökü vardır(x=-b/2a) buna göre ax2+bx+c ifadesi a ile aynı işaretli olmuş olur
Örnek:-9x2+6x-1<0 eşitsizliğinin çözüm kümesi=?
b2-4ac=0 yani 36-4.(-9).(-1)=36-36=0 olduğunda denklemin kökü -b/2a dır buradan -6/2.(-9)=6/18=1/3 bulunur yani -9x2+6x-1 iafdesi x=1/3 noktasında sıfır değerini almaktadır diğer alanlarda negatif değerdedir (a ile aynı işaretli) Buna göre ;
Çözüm kümesi=Ç=IR-(1/3)=(-sonsuz,1/3)U(1/3,+sonsuz) olur.
C)b2-4ac<0 ise denklemin kökü yoktur.ax2 +bx+c ifadesi a ile herzaman aynı işaretlidir tabloda .
Örnek:x2-4x+5<0 eşitsizliğinin çözüm kümesi=?
b2-4ac<0=16-4.5=-4<0 olduğu için eşitsizlik a ile aynı işaretli olur a nın işareti pozitif olduğu için eşitsizlik tabloda daima pozitif değer alır Hiçbir noktada sıfır veya negatif olmaz .Bu nedenle eşitsizliğin Çözüm kümesi=O yani boş kümedir.
