Taban Aritmetiği

Sayılar konusunda, iki basamaklı bir ( ab ) sayısının 10a + b şeklinde,

üç basamaklı bir ( abc ) sayısının 100a + 10b + c şeklinde,

dört basamaklı bir ( abcd ) sayısının 1000a + 100b + 10c + d şeklinde

çözümlendiğini ve basamak sayısı arttıkça bu durumun benzer şekilde devam ettiğini öğrenmiştik.

Görüldüğü gibi, herhangi bir ( abc . . . ) sayısının yazılmasında kullanılan rakamlar,

10 sayısının kuvvetleri ile çarpılarak değerlendiriliyorlar.

İşte burada bu şekilde bir görev üstlenen 10 sayısına sayı tabanı ya da sadece taban adı verilir.

Kullandığımız sayı sisteminin tabanı 10 ' dur.

Taban olarak 10 sayısının yerine herhangi bir başka sayma sayısı da kullanılabilir.

Taban Aritmetiği konusunda, bununla ilgili problemleri inceleyeceğiz.

Herhangi bir " p " tabanında yazılmış bir sayının 10 tabanında karşılığını bulmak:

Bir sayının herhangi bir " p " tabanında yazıldığı belirtileceği zaman, ( abc . . . )p yazılışı kullanılır.

Bu sayının 10 tabanındaki karşılığını bulmak, bu sayıyı çözümlemek demektir.

Bir " p " tabanında yazılmış bir sayının çözümlenmesi işlemi, 10 tabanındaki çözümleme işlemi gibidir. Sadece 10 sayısı yerine " p " sayısı kullanılır.

İki basamaklı bir ( ab )p sayısı a.p + b şeklinde,

üç basamaklı bir ( abc )p sayısı a.p2 + b.p + c şeklinde,

dört basamaklı bir ( abcd )p sayısı a.p3 + b.p2 + c.p + d şeklinde çözümlenir ve

basamak sayısı arttıkça bu durum benzer şekilde devam eder.

( abcd )p = a.p3 + b.p2 + c.p + d

ÖRNEKLER :
1) ( 702 )9 = 7.92 + 0.9 + 2 = 7.81 + 0 + 2 = 567 + 2 = 569

2) ( 702 )8 = 7.82 + 0.8 + 2 = 7.64 + 0 + 2 = 448 + 2 = 450

3) ( 343 )5 = 3.52 + 4.5 + 3 = 3.25 + 20 + 3 = 75 + 23 = 98

4) ( 1011 )2 = 1.23 + 0.22 + 1.2 + 1 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11

5) ( 1011 )3 = 1.33 + 0.32 + 1.3 + 1 = 27 + 0 + 3 + 1 = 31

6) ( 1000 )7 = 1.73 + 0.72 + 0.7 + 0 = 343 + 0 + 0 + 0 = 343

10 tabanında yazılmış bir sayının bir " p " tabanında yazılışını bulmak :

10 tabanında yazılmış sayı A olsun. A sayısının p tabanındaki yazılışını bulmak için, A sayısı p ile bölünür. Bu bölmede elde edilen bölüm, p sayısına eşit ya da p sayısından büyükse, bölüm p ile bölünür. Bu işleme, elde edilen bölüm p sayısından küçük oluncaya kadar devam edilir. Elde edilen bölüm p sayısından küçük olduğu zaman, bu bölüm ve tüm bölme işlemlerindeki kalanlar, sondan başa doğru, ilk bölme işlemindeki kalan birler basamağına gelecek şekilde sıralanır. Böylece A sayısının p tabanında yazılışı elde edilmiş olur.

Bu yolla 96 sayısının 8 , 7 ve 6 tabanlarındaki yazılışlarını ayrı ayrı bulalım.

1) 96 sayısının 8 tabanında yazılışı:

96 sayısı 8 ile bölününce bölüm 12, kalan 0 olur.

96 = 8 . 12+ 0

Bölüm olan 12 sayısı 8' den büyüktür. 12, 8 ile bölünür. Bu bölme işleminde de bölüm 1, kalan 4 olur.

12 = 8 . 1 + 4

Şimdi bölüm olan 1 sayısı 8' den küçüktür.

Son bölüm olan 1 sayısı en başa, ilk kalan olan 0 sayısı en sona gelecek şekilde, 1, 4 ve 0 sayıları yanyana yazılır. Böylece 96 sayısının 8 tabanında yazılışı 140 olarak elde edilmiş olur.

96 = ( 140 )8
2) 96 sayısının 7 tabanında yazılışı:

96 = 7 . 13 + 5

13 = 7 . 1 + 6

96 = ( 165 )7
3) 96 sayısının 6 tabanında yazılışı:

96 = 6 . 16 + 0

16 = 6 . 2 + 4

96 = ( 240 )6

Bir bölme işleminde, kalan daima bölenden küçüktür. Buna göre, bir sayının bir p tabanındaki yazılışında, kullanılan sayıların hepsi " p " den küçük olmalıdır.

( abcd )p yazılışında a, b, c ve d, " p " den küçük sayılar olmalıdır.

Örneğin ( 240 )3 yazılışı yanlıştır, çünkü sayı tabanı 3 olduğu halde, sayı yazılırken üçten büyük olan 4 kullanılmıştır.

Bunun gibi, ( 2406 )6 yazılışı da yanlıştır, çünkü sayı tabanı 6 olduğu halde, sayı yazılırken de 6 kullanılmıştır.

Herhangi bir p tabanında yazılmış ondalık bir sayının 10 tabanında karşılığını bulmak:

10 tabanında yazılmış bir ondalık sayı, örneğin 37,254 sayısı aşağıdaki gibi çözümlenir :

37,254 = 3 . 10 + 7 + 2 . 10-1 + 5 . 10-2 + 4 . 10-3

Bunun gibi, herhangi bir p tabanında yazılmış ondalık bir sayının 10 tabanındaki karşılığını bulmak, yani bu sayıyı çözümlemek için, taban olan p sayısı, yukarıdaki açılımda 10 sayısının kullanıldığı gibi kullanılır. Örneğin ( 37,254 )8 = 3 . 8 + 7 + 2 . 8-1 + 5 . 8-2 + 4 . 8-3 = 31,3359375 olur.

( ab,cde )p = a.p + b + c.p-1 + d.p-2 + e.p-3

( ab,cde )p yazılışında da a, b, c, d ve e, " p " den küçük sayılar olmalıdır.