Arama


ThinkerBeLL - avatarı
ThinkerBeLL
VIP VIP Üye
1 Temmuz 2010       Mesaj #2
ThinkerBeLL - avatarı
VIP VIP Üye
Bir çokgenin kenarları ile bir köşede birleşen kenar sayısı arasındaki ilişki
Bu dikdörtgen tuğlaları bir araya getiren tesselasyon, kenar-kenara bir döşeme olarak değerlendirilirse, topolojik olarak altıgensel döşemeye eşittir. Her altıgen yassılaştırılarak bir dörtgene dönüşmüştür, dörtgenin uzun kenarı iki komşu tuğla tarafından ikiye bölünmüştür.
Ad:  Wallpaper_group-cmm-1.jpg
Gösterim: 717
Boyut:  84.7 KB

Bu sepet örgüsü döşemesi topolojik olarak Kahire beşgensel döşemesine eşittir, her dörtgenin bir kenarı, iki komşu dörtgenin ortak köşesi tarafından bölünmüş iki kenar gibi sayılabilir.
Ad:  Wallpaper_group-p4g-1.jpg
Gösterim: 1346
Boyut:  84.2 KB

Sonsuz bir tesselasyonda, a bir çokgenin ortalama kenar sayısı olsun, b bir noktada birleşen kenarların ortalama sayısı olsun. Öyleyse,
(a − 2)(b − 2) = 4
Örneğin, düzgün çokgenlerin tesselasyonları maddesindeki tesselasyonlar için (a,b) ikilileri şunlardır:
Ad:  3b199b72856529d48782de743be0feff.png
Gösterim: 390
Boyut:  1.3 KB
Bir kenarın bir köşeden öteye devam etmesi ayrı bir kenar olarak sayılır. Örneğin, resimdeki tuğlalar altıgen sayılırlar ve bu döşeme için (6, 3) birleşimini elde edilir. Benzer şekilde, banyo zeminlerinde sık görülen sepet örgüsü örüntüsü için Ad:  3f773cf656401cd9eb25791e39b339e4.png
Gösterim: 384
Boyut:  477 Byte değerleri kullanılır.
Kendini tekrar eden bir döşemede, tekrar eden kısım için ortalamalar kullanılabilir. Genelde, bu ortalamalar tüm düzleme yayılan bir bölgenin limit değeri olarak sayılır. Sonsuz bir karo dizisi, veya merkezden uzaklaştıkça küçülen karolar durumunda, tekrar eden şeklin "dışındaki" bölge ihmal edilemez ve limit hesaplamasında o da bir parke olarak sayılmalıdır. Bazı aşırı durumlarda limit değerler yoktur veya bölgenin sonsuza doğru nasıl genişletildiğine bağlıdır.
Sınırlı bir tessalasyon ve çokgenler için bu eşitlik vardır:
Ad:  e95d82105f79b7636331a5ab1a5fb3b8.png
Gösterim: 401
Boyut:  1.6 KB
Burada F yüz sayısı, ve V köşe sayısıdır, χ ise Euler karakteristik katsayısıdır (düzlemsel ve içi delik olmayan bir çokgen için bu sayı 2'dir). Düzlemden söz ederken birim şeklin "dışı" da bir yüz olarak sayılır.
Her yüzdeki kenarlar toplanınca elde edilen sayı tüm tesselasyondaki kenar sayısının iki katıdır, bu sayı yüz sayısı ve köşe sayısı cinsinden ifade edilebilir. Benzer şekilde, bir köşede birleşen kenarlar, tüm köşeler için toplanınca, toplam kenar sayısının iki katını verir. Bu iki sonuçtan kolaylıkla yukarıdaki formüle varılabilir.
Çoğu zaman bir yüzün kenar sayısı ile bir yüzün köşe sayısı aynıdır ve bir köşede birleşen kenar sayısı ile bir köşede birleşen yüz sayısı aynıdır. Ancak, sadece bir köşeden birbirine değen iki kare durumunda örneğin, dış yüzdeki kenar sayısı 8'dir, yani eğer köşe sayısı sayılacaksa ortak köşenin iki kere sayılması gerekir. Benzer şekilde, o köşede birleşen kenar sayısı 4'tür, dolayısıyla o köşede birleşen yüz sayısı iki kere sayılmalıdır.
İçi delik bir karonun başka karolarla doldurulmuş olması yukarıda verilen denklem için geçerli değildir çünkü dışarıdaki ve içerideki kenarların oluşturduğu kenar ağları birbirinden ayrıktır. Ancak, delikli karo kendi kendine dokunabilecek şekilde bir kesik olursa, yani "delik" ile dış kenarı birleştiren bir kenar olursa, denklem geçerlidir. Bu karonun kenar sayısını saymak için kesiğin iki kere sayılması gerekir.
Yukarıdaki denklemi düzlemi kaplayan şekiller yerine Platonik cisimleri oluşturan şekiller için uygulanırsa tam sayılar elde edilir çünkü eşit sayıların ortalaması alınmış olur: Tetrahedron, küp ve dodekahedron için, sırasıyla (a − 2)(b − 2) için 1, 2 ve 3 değerleri elde edilir.

Sonlu bir çokyüzlü için denklem değerlendirince, sonsuz bir çokyüzlü olarak bunu genişletirken delik sayısının yüz ve köşe sayısı ile orantılı olarak arttığını ve (a − 2)(b − 2) limitinin 4'ten büyük olduğunu görülebilir. Örneğin, küplerden oluşan, tek küp kalınlığında bir tabaka düşenelim; her 2 × 2 küpten bir tanesi çıkartılmış olsun, bu deliklerin her biri Euler karakteristik katsayısını -2 azaltır. Her delik için 10 yüz ve 8 kenar olduğu için, böylesi bir yüzey (4, 5) kombinasyonuna sahiptir, çünkü
(a − 2)(b − 2) = 6 = 4(1 + 2 / 10)(1 + 2 / 8)
Elde edilen sonuç, kenarların doğru parçaları olmasına, yüzlerin de düzlem parçaları olmasına bağlı değildir: kenarlar birer eğri ve yüzler de birer eğri yüzey olabilir (patolojik durumları çözmek için kullanılacak matematik sadeleştirmeleri saymazsak).

Başka uzaylarda tesselasyonlar
İki boyutlu Öklid düzlemini döşemenin yanı sıra, başka n-boyutlu uzayları da n-boyutlu politoplarla doldurarak "döşemek" mümkündür. Başka uzayların tesselasyonları genelde petek olarak adlandırılır. Diğer uzayların tesselasyonlarına örnekler:
  • n-boyutlu Öklid uzayının tesselasyonları. Örneğin, üç boyutlu Öklid uzayını küplerle doldurarak kübik petek oluşturmak.
  • n-boyutlu eliptik uzayın tesselasyonu, ya n-küreyi (küresel döşeme, küresel çokyüzlü) veya n-boyutlu gerçek izdüşümsel uzayı (eliptik döşeme, izdüşümsel çokyüzlü).
Düzgün bir dodekahedronun ona dıştan teğet bir küre üzerindeki izdüşümü, iki boyutlu kürenin düzgün küresel beşgenlerden oluşan bir tesselasyonunu meydana getirir. Köşelerin çapucu (antipodal) haritasının (küredeki her haritayı kürenin karşı tarafındaki izdüşümünün) birleşimi ise yarı-dodekahedronu meydana getirir, bu izdüşümsel düzlemin bir döşemesidir.
  • n-boyutlu hiperbolik uzayın tesselasyonları. Örneğin, M. C. Escher'in Circle Limit III eseri, Poincaré disk modelini kullanarak birbirine benzer, balık gibi şekiller ile hiperbolik düzlemin bir tesselasyonudur. Hiperbolik düzlem, eğer Ad:  30e49f0431ab2de7d498d859aaa306ee.png
Gösterim: 384
Boyut:  476 Byte ise, p-kenarlı şekillerden q tanesinin birbirine değdiği bir tesselasyona izin verir. Circle Limit III, üçlüler halinde bir araya gelen sekizgenlerin bir döşemesi olarak anlaşılabilir, resimde kenarların herbiri yerine pürüzlü çizgiler yer almaktadır ve her sekizgen dört balığa bölünmüştür.
Katmanlı bir uzay (manifold) döşemesine karşılık gelmeyen soyut çokyüzlüler de vardır, çünkü bunlar yerel olarak küresel değildir (yerel Öklitçi, katmanlı bir uzay gibi), örneğin 11-göze ve 57-göze. Bunlar daha genel uzayların düşemeleri olarak görülebilir.
Bir küre yüzeyinin kesik ikozahedron ile kaplanması.
Ad:  601px-Uniform_tiling_532-t012.png
Gösterim: 570
Boyut:  139.5 KB

Bir simit, tekrarlıyan bir izogonal dörtgen matrisi ile kaplanabilir.
Ad:  Torus_cycles.png
Gösterim: 577
Boyut:  26.4 KB

M.C.Escher, Circle Limit III (1959)
Ad:  Escher_Circle_Limit_III.jpg
Gösterim: 412
Boyut:  74.6 KB
Tanrı varsa eğer, ruhumu kutsasın... Ruhum varsa eğer!