KUANTUM KURAMI
Kuantum Kuramı, 20. yy'ın büyük kuramlarından biridir. Kuantum ne demektir? Kuantum kuramı, nedensellik kavramını,yani determinizmi nasıl etkilemiştir? Elektron nedir,bir parçacık mı,bir dalga mıdır?Yoksa her ikisi midir? Işık nedir? Bir parçacık (foton) sağanağı mıdır,elektromanyetik bir dalga yayılması mıdır?Einstein, kuantum kuramının kurucuları arasında bulunduğu halde,sonradan neden ve nasıl bu kurama karşı çıkmıştır? Einstein, 1930 konferansına nasıl bir düşünce deneyi ile geldi? Ona "Einstein,senin adına utanıyorum.Çünkü yeni kuantum kuramına senin karşıtlarının görelilik kuramına karşı ortaya koydukları kanıtlarla karşı çıkıyorsun" diyen dostu kimdir? Yine kuantum kuramının kurucularından Schrödinger, "Schrödinger'in Kedisi" diye ünlenen düşünce deneyi ile bu kurama neden ve nasıl karşı çıkmıştır? Kuantum kuramı,deneylerle test edilmiş midir? Karadeliklerin gönülsüz babası kimdir? Belirsizlik ilkesi nedir? Bu ilke araçlarımızın yetersizliğinin bir sonucu mudur?Her şeyi bilebilir miyiz?
Sizleri, bir kısmını buraya sıraladığım soruların yanıtı için atom ve moleküller dünyasında bir gezintiye çağırıyorum. Bu atomaltı dünya (mikrodünya),makrokosmos kadar çeşitli,ilginç,renkli,neşeli,kafa karıştırıcı ve heyecan verici..Aşağıdaki açıklamaları yazarken kaynaklar bölümünde belirttiğim eserlerden neredeyse tümüyle alıntılar yaptım. Benim yaptığım, zaman zaman araya girerek yazarlığı hepten kaynakların yazarlarına kaptırma endişemi gidermek oldu!. Örneğin Belirsizlik ilkesini Hawking'e, olasılık ve belirsizlik açısından doğayı Feynman'a anlattıracağım. Bohr ile Einstein'nin Solvay Konferanslarındaki tartışmalarını ve o yılların iklimini W. Heisenberg bize sunacak.Yani kuramı, ustalarından dinleyeceğiz.
Kimya derslerinden biliyor misiniz? Tüm maddeler atomlardan ve her bir atom da pozitif elektirkle yüklü bir çekirdek ve negatif yüklü elektronlardan oluşur. O halde, çok küçük atomik ölçekte kütle, atomik kütlelere karşılık gelen kesikli niceliklerden oluşur. Yani modern fizik dilinde kütlenin kuantumlanmış olduğu söylenir. Enerji içeren pek çok nicelik de kuantumlanmıştır. Enerjinin kuantumlu tabiatı özellikle atom ve atomaltı dünyada ortaya çıkar.s
1900 yılında Max Planck,siyah cisim ışımasını açıklamak için ışığın kuantumlu olabileceğini ileri sürdü. O zamana dek,ışığın şiddetiyle enerjisinin doğru orantılı olduğu sanılıyordu. Oysa ışığın frekansıyla enerjisi doğru orantılıydı...1905'te Einstein bu kurama dayanarak fotoelektrik olayı açıkladı.Işık,dalga özelliği yanında foton denen kuantum (enerji paketleri) özelliği de gösteriyordu. 1924'te Fransız fizikçi Louis de Broglie,çok çarpıcı bir düşünce üretti. Basit bir matematikle,hareketli her parçacığın aynı zamanda dalga özelliği göstermesi gerektiğini ileri sürdü. 1927'de Amerikalı bilimciler C.Davisson ve L.Germer,elektronların tıpkı bir ışık gibi,kristallerde kırınım gösterdiğini buldular. Yine aynı yıl W.Heisenberg,ünlü belirsizlik ilkesini ortaya koydu . Fizikçiler arasındak görüş ayrılıkları 1927 Solvay konferansında dışa vurdu. Tartışmaların başını N.Bohr ile A.Enstein çekiyordu. 1930'da yine büyük bir tartışma yaşandı. Einstein,yavaş yavaş arka sıralarda oturmaya başladı. Gelin öyküyü baştan alalım.

" Olabilir desinler, ama olur demesinler."
Cicero
"Olmaz olmaz deme, olmaz olmaz.."
Atasözü

Niels Bohr şöyle dedi: " Bir süre önce yine burada Kopenhag' da özellikle olguculuk yanlılarının katılmış olduğu bir felsefe konferansı vardı. Bunda Viyana Okulu' nun üyeleri büyük rol oynadılar. Bu filozofların önünde kuantum teorisinin yorumunu yapmaya çalıştım. Konferansımı verdikten sonra karşıt hiçbir düşünceyle ve zor herhangi bir soruyla karşılaşmadım. Ama bunun benim için çok korkunç olduğunu itiraf etmeliyim. Çünkü bir insan kuantum teorisinden ürkmezse, onu anlaması da olanaksızdır. Belki de o kadar kötü bir konferans verdim ki, kimse neden söz ettiğimi anlamadı."
Klasik Fiziğin Çözemedikleri
Kuantum kuramının doğuşunu kavrayabilmek için biraz gerilere gitmemiz gerekiyor. 19. yy sonlarına.Gazların kinetik kuramı, klasik fiziğin çok önemli zaferlerinden biriydi. Bu kurama göre, hiç bir molekülü dışarı kaçırmayacak ideal bir gaz kabındaki N molekülün toplam enerjisi E olsun. Bu toplam ernerji(E), enerjinin eşit dağılımı yasası diye bilinen temel bir istatistiksel teoreme göre ortalama olarak moleküllere eşit olarak dağılmıştır. Ortalama diyoruz, çünkü istatistiksel açıdan kesin veriler değil, ancak ortalama değerler elde edilebilir. Lord Rayleigh ve Sir James Jeans, gazların kinetik kuramına başarıyla uygulanan istatistiksel modeli, iç duvarları kusursuz ayna olan kutuda hapsedilmiş "ışık" dalgalarına uygulamaya çalıştılar. Ama burada temel bir zorlukla karşılaştılar. Bir gaz kabındaki molekül sayısı çoktu; ama "sonlu"ydu,oysa ışığın hapsolduğu ideal bir ayna cidarlı kutuda farklı titreşim tiplerinin sayısı "sonsuz"du. İşi basitleştirmek için “Jean Küpü”nün yalnızca sağ ve sol iç duvarları arasında gidip gelen dalgaları düşünelim. Bu dalgalar, duvarlarda zamanla genliğin kaybolacağını söyleyen sınır koşullarına uymalıdır.... Bunu üç boyutta düşündüğümüzde "sonsuzluk" sayısının daha da artacağı açıktır. Titreşim modu (düğüm noktası) sayısı sonsuz, ama enerji sonlu. Yani titreşim modu başına düşen enerji = E/ sonsuz = tanımsız. Bu, kuşkusuz saçma bir sonuçtur. Yani açıkça, klasik kuram, artık cisimlerin doğasına ilişkin bilgilerimizle çelişmekteydi. Atomik ölçekte,maddenin davranışını açıklamak için klasik fizğin uygulama denemeleri tamamen başarısız oldu. Siyah cisim ışıması,fotoelektrik olay ve bir gaz deşarjında atomların yaydığı keskin çizgiler klasik fizik çerçevesinde anlaşılamadı.George Gamow 'un dediği gibi:" Bir kuram, cisimlerin doğası ile ilgili bilgilerimizle çeliştiği zaman, cisimlerin yapısı değil kuram yanlış olmalıdır".Doğaya yeni bir bakış açısıyla bakmak gerekiyordu. Bu devrim, 1900 ile 1930 arasında gerçekleşti. Kuantum Mekaniği denen bu yeni yaklaşım atom,molekül ve çekirdeklerin davranışını başarıyla açıkladı.
Kuantum Kuramının Keşfinin Öyküsü
Kuantum kuramının temel fikirlerini önce1900 yılında Max Planck ortaya attı;ama sonraki açıklama ve matematik formülasyonlarda Einstein,Bohr, Schrödinger,Louis de Broglie, Heisenberg,Born ve Dirac'ın da aralarında bulunduğu çok sayıda bilim adamı rol oynadı. Kuantum kuramının keşfinin öyküsü, 1900 yılında ilk adım olarak Max Planck (1858-1947)'ın siyah cisim ışıma yasasını bulmasıyla başladı. Cisimler,bazen termik ışıma denen bir ışıma yayar. Bu ışımanın özellikleri, cismin sıcaklığına ve özelliklerine bağlıdır. Düşük sıcaklıklarda termik ışımanın dalga boyları,esas olarak kızılötesi bölgededir ve bu nedenle gözle görülmez. Cismin sıcaklığı yükseltilince,kızarmaya başlar. Sıcaklık daha da yükseltilirse,bir ampulün içindeki tungsten telin parlaması gibi, cisim beyazlaşır. Termik ışımanın ayrıntılı bir incelemesi, tayfın(spektrumun),kızıl ötesi, görünür bölge ve morötesi dalga boylarının sürekli bir dağılımından oluştuğunu gösterir.19. yy sonlarına doğru,termik ışımayı açaklamakta sorunlar görüldü. Temel sorun da bir siyah cisimden yayınlanan termik ışımanın dalga boylarının gözlenen dağılımının açıklanmasıydı.Tanım olarak siyah cisim,üzerine düşen tüm ışımayı(radyasyonu) soğuran ideal bir sestemdir. Bu da örneğin oyuk bir cismin içi ya da kovuğudur. Işıma,bu kovuğun duvarlarından yayılır. Klasik fiziğe göre,kovuğun duvarlarındaki atomlar,tüm dalga boylarında elektromanyetik dalgalar yayan bir titreşimler topluluğu olarak düşünülür.Belli bir sıcaklıkta dalga boyu ile ışık şiddeti ilişkisi büyük dalga boylarında kuramsal ve deneysel öngörülere uyduğu halde, dalga boyu kısaldıkça,ışık şiddetinin sonsuza doğru gitmesi gibi bir sonuçla karşılaşılıyordu.Hesaplar, çok uzak morötesinde aşırı derecede ışınım salınımı olması gerektiğini gösteriyordu. Bu çelişkiye mor ötesi felaket adı verilmişti. Kuşkusuz olup biten bu değildi,şu oluyordu: Işınım şiddeti belirli tipik bir dalga boyunda daha büyük ve daha küçük değerlerde sıfıra doğru yaklaşıyordu.
Bir de klasik kurama göre tüm dalga boyları olanaklı olduğu için sonsuz bir toplam enerji yoğunluğu öngörülüyordu. Elbette, elektromanyetik alanda sonsuz bir enerji,fiziksel olarak olanaklı değildir. Fizikçiler,önceleri Planck’ın kuantum fikrini- doğanın kesintili bir özelliği olduğu fikrini- klasik Newton fiziği içine yerleştirme çabası güttüler. Max Planck,kara cisim ışıması üzerine çalışmasında fiziğe atomik süreçlerde kesintililik miktarının bir ölçüsü olan ‘h’ olarak simgelenen yeni bir değişmez(sabit) getirdi. 1900'de, Planck çalışmasını yaptığında fizikçiler atomların toplam enerji olarak bir değere sahip olabileceğini düşünüyorlardı-enerji sürekli olarak değişkendi. Fakat Planck’ın kuantum önermesi enerji değişiminin kuantlaşmış olduğu (niceliği olduğu ) anlamına geliyordu. Bir kuantum enerjisinin getirilişi klasik fizikte hiçbir temele sahip değildiyse de, henüz, yeni kuramın klasik kavramlardan köklü bir kopmayı gerektirdiği açık değildi. Belirttiğim gibi kuramsal fizikçiler,bu kavramı klasik fizikle uzlaştırmaya çalışıyorlardı
Max Planck, o zaman "morötesi felaket" denen bir zorluğa çözüm yolu olarak bir öneri getirdi. Planck, enerjinin eş dağılım yasasısında öngörülen tek bir titreşim modunun alabileceği enerji miktarının belli bir değerden az olamayacağını kabul ederek çelişkinin önlenebileceğini önerdi. Işınımın belli büyüklükteki paketler halinde yayıldığını ileri sürdü.Planck, siyah cisim ışınımı için,tüm dalga boylarında deneyle tam bir uyuşma halinde olan bir formül buldu.Enerji dağılım eğrilerinin, sıcak cisimlerin denel emisyon eğrisine uydurulabilmesi için bu en küçük ışınım enejisinin
E= hn (Planck sabiti çarpı ışığın frekansı)
kabul edilmesi gerektiğini kanıtladı. Burada E, bir paketin (fotonun) enerjisini;n, ışığın frekansını;h ise Doğa'nın yeni ve temel bir sabitini (Planc sabitini) gösteriyor. Kuantum sabiti de denen Planck sabiti(h) nin sayısal değeri pek küçüktür(santimetre-gram- saniye birimlerinde on üzeri eksi yirmi yedi veya Joule.saniye birimiyle 6626x10 üzeri -34). 60 Watt' lık bir elektrik ampülü, saniyede on üzeri yirmi iki(10e 22) adet ışık fotonu yayar. Buna göre ışınım yayan,titreşen moleküller kesikli birimlere sahip olabilir.Planck'ın kuramındaki ana unsur,kuantlaşmış enerji düzeyleri gibi köklü bir varsyımdır. Moleküller,foton denen ışık enerjisinin kesikli birimleri cinsinden enerji yayar ya da soğurur.Onlar bunu,bir kuantum dzeyinden diğerine sıçrayarak yapar. Ardışık iki kuantum düzeyi arasında enerji farkı bir fotonun enerjisine karşılıktır.
Planck'ın çalışmasının,matematiksel işlemlerden daha fazlasını içerdiğini vurgulamalıyız. Gerçekten Planck,siyah cisim dağılım eğrisini çıkarmak için altı yıldan fazla uğraş verdi. Yayınlama problemi ile ilgili çalışmaları için"mutlak bir şeyler gösterir ve tüm bilimsel çalışmalarımın en yüce amacı olarak daima mutlağı aramaya çalıştığım için büyük bir şevkle çalışmaya koyuldum" demiştir. Bu çalışma,formülün fiziksel bir açıklamasını araştırmak ve kuantum kavramını klasik kuram ile uzlaştırmak için yaşamının büyük bir kısmını aldı. Bilim adamlarının önemli bir kesimi, tutucu devrimcilerdir. Deneysel kanıt ya da mantıksal ve kavramsal sorunlar onları yeni, bazen devrimci bir görüş açısına zorlayana kadar, denenip test edilmiş ilkelerden vazgeçmezler. Bu türlü tutuculuk, sorgulamanın kritik yapısının çekirdeğinde bulunur. Kuantum kuramının öncülerinden Werner Heisenberg “Modern kuram, doğrusunu söylemek gerekirse, gerçek bilimlere dışarıdan getirilen devrimci fikirlerden çıkmamıştır. Tersine, devrimci fikirler, klasik fiziğin programını tutarlı şekilde yürütmeye çalışan araştırmaya zorla girmişlerdir- onun doğasından çıkmışlardır.” demiştir. Yani eski kuantum kuramı, kuantumu klasik fizikle uzlaştıracak bir programı temsil etmiştir.
Fotoelekrik Olay ve Einstein
Kuantum kuramıyla ilgili ikinci adımı 1905'te Einstein attı. Einstein, fotoelektruk olayı, kuantum düşünücesini kullanarak açıkladı. Fotoelektrik olay,kısaca, ışığın metal yüzeyinden elekron koparmasıdır. Bu olayı,Maxwell in öngördüğü elektromanyetik dalgaları da ilk kez üreten Hertz keşfetmişti. Fotoelektrik olayın pek çok özelliği klasik fizik ya da ışığın dalga modeli ile açıklanamaz. Örneğin klasik fiziğe göre ışık şiddetine bağlı olarak her frekansta metal yüzeyinden elektron sökülmesi gerekirken ancak belli bir eşik değerinin üzerinde elektron koparılabiliyordu. Işığın frekansı, bir eşik frekansını aşarsa fotoelektrik olay gözleniyordu. Öte yandan yayınlanan fotoelektronların sayısı ışık şiddetiyle orantılıydı ;ama fotoelektronların maksimum kinetik enerjisi,ışığın şiddetinden bağımsızdı. Fotoelekronların maksimum kinetik enerjsi,ışığın frekansı arttıkça artıyordu. Elektronlar yüzeyden,düşük ışık şiddetlerinde bile,hemen hemen anında (yüzeye ışık düştükten milyarda bir saniye ) yayınlanır. Oysa klasik kurama göre elektronların metalden çıkmak için gerekli kinetik enerjiyi kazanmadan önce,gelen ışınımı soğurmak için bir zamana gereksinim olduğu düşünülüyordu. Işığın foton kuramına göre ise gelen enerji,küçük paketler halinde görünür ve fotonlarla elektronlar arasında birebir etkileşme vardır. Bir foton,bir elektron koparır. Bu, ışığın geniş bir alana düzgün olarak dağılmış bir enerjiye sahip olması düşüncesiyle çelişir. Einstein, fotoelektrik konulu 1905 yılı yazısında Planck’ın fikrini ele almıştır. Planck, ışık kaynaklarının kuantlaşmış enerji değişimi yaptıklarını varsaymıştı. Einstein bir adım ileri giderek, ışığın kendisinin kuantlaşmış olduğunu- ışık foton denen parçacıklardan oluşmuştu- varsaymıştır. Bu devrimci fikir, o zaman yerleşik olan ışığın dalga kuramına karşı bir çıkıştı-bu durum, fizikçilerin onu reddetmeleri için yeterli nedendi. Diğer fizikçiler, Einstein’in önerisini, yalnızca foton için pek doğrudan bir kanıt sayılamayacak olan fotoelektirik etkiyi açıkladığı için reddettiler. Fakat Einstein ışık konusunda dalga-parçacık ikili yapı kavramına sıkı sarıldı ve ışığın bu görünüşte çelişkili özelliklerini uzlaştırmaya çalıştı; ama başaramadı.
Planck ve Einstein’in kuantum kuramını ilerleten teorik fikirleri, doğal fenomenlerin yepyeni bir alanını açan deneylere bir yanıttı. 19. yy’ın sonuna kadar, maddenin çok sayıda şaşırtıcı yeni özelliği keşfedilmişti; ilk kez olarak bilim adamları atomik süreçlerle doğrudan ilişki kuruyorlardı.
Albert Einstein, 1905'te, foton kabulünü kullanarak fotoelektrik olayı açıkladı.
Einstein bir ışığın ya da herhangibir elektromanyetik dalganın foonların bir paketi olarak düşünülebileciğini vasyadı. Einsteinin fotoelektirk olaya bakışı basitçe,bir fotonun tüm hf enerjisini metalin tek bir elektronuna verdiği şeklindedir.Buna göre kullanılan ışığa göre elektronun enerjisi hn,2 hn,3 hn... şeklinde,yani Planck enerji paketinin tam sayı katları şeklinde artıyordu. Einstein' in 1905 teki yazısı, Planck'ın kuantumlanma kavramını elektromanyetik dalgalara genişletti;ışık kuantumlarını tek tek gözlemleyebileceğimizi gösterdi. Çünkü yayılan her parçacık ( her elektron) metal atomuna çarpan bir ışık kuantumuna karşılık geliyordu.
Elementlerin Parmak İzi: Atomların Tayf Çizgileri
Bir ışımanın,içerdiği farklı frekanslı(farklı dalga boylu) bileşenlerine ayrılmasına tayf (spektrum) denir. Belirli bir sıcaklıktaki tüm cisimler, dalga boylarının sürekli bir dağılımı ile karakterize edilen termik ışınım yayınlar. Dağılımın şekli cismin özelliklerine ve sıcaklığa bağlıdır. Kızgın katıların yaydığı ışınlar bir pirizmadan geçirilirse,bütün frekansların yanyana bulunduğu kesiksiz (sürekli) tayf elde edilir. Yani arada karanlık çizgiler olmaksızın tüm renkler birbirini izler.Elektrik ampulü ve mum ışığı kesiksiz tayf oluşturur. Bir gaz ya da buharın yaydığı ışık ise iki tür olabilir: Gaz molekülleri (iki ya da daha çok atomlu moleküller) şeritli (bantlı) tayf verir; gaz atomları ve monoatomik iyonlar ise çizgili (hatlı) tayf verir. Elektrik deşarjına uğrayan düşük basınçlı gazlar ise sürekli spektrum değil, çizgi spektrumu yayınlar. Verilen bir çizgi spekturumunda dalga boyları,ışığı yayan elementin karakteristiğidir. Yani her element,tıpkı bir insandaki parmak izi gibi,kendine özgü bir spektrum oluşturur.En basit çizgi spektrumu,atom halindeki hidrojende gözlenmiştir. İki element aynı çizgi spektrumunu yayınlamadıkları için bu olay bize bir örnekteki elementleri tanımak için pratik ve duyarlı bir teknik sunar(spektral analiz). Helyum, talyum ve indiyum elementleri, bu yöntemle bulunmuştur.
Bilim adamları 1860'tan 1885'e kadar spektroskopik ölçümleri kullanarak önemli veriler topladılar. İsviçreli bir öğretmen olan Johann Jacob Balmer (1825-1898) 1885'te hidrojenin dört görünür yayınlama çizgisinin (kırmızı, yeşil,mavi ve mor) dalga boylarını doğru olarak öngören bir formül türetti. Balmer'in keşfinden sonra hidrojenin diğer tayf çizgileri de bulundu. Bu spektrumlara bulucularının onuruna Lyman, Paschen ve Brackett serileri denir. Atomların yaydığı ve soğurduğu karakteristik tayf çizgilerinin anlamı klasik fiziğin açıklayamadığı bir olaydı. Her element niçin belirli dalga boyunda tayf çizgileri yayınlıyordu? Ayrıca niçin her element yalnızcı yayınladığı dalga boylarını soğuruyordu?Bu soruların açıklamasını Bohr yaptı. Bohr, Planck'ın kuantum kuramını,Einstein'in ışığın foton kuramını ve Rutherford'un atom modelini birleştirdi.
1913'te Danimarkalı fizikçi Niels Bohr (1885-1962), hidrojen atomunun tayf çizgilerini kuantum kuramına dayanarak açıkladı. Buna göre çekirdek çevresindeki elektron, her enerjiyi değil, ancak belirli enerjileri alabiliyordu. En düşük enerjili durumdaki atoma temel durumdaki atom,enerji verilmiş atomlara da uyarılmış atom denir. Elektron yüksek enerjili durumdan daha düşük enerjili duruma sıçrayarak düşer,bu sırada ışık yayınlanır. Bohr modeli hidrojen atomunun yanısıra bir elektronlu helyum(+1 yüklü helyum iyonu) ve lityum iyonu (+2 yüklü lityum iyonu) tayf çizgilerine başarıyla uygulandı. Bununla birlikte,kuram çok elektronlu atom ve iyonların karmaşık tayf çizgilerini açıklamakta yetersiz kaldı.
Compton Olayı
Einstein, 1919'da, E enerjili bir fotonun tek bir yönde gittiği (bir küresel dalga gibi değil!) ve E/c ya da hf/c'ye eşit bir momentum taşıdığı sonucuna vardı. Onun sözleriyle " bir ışınım demeti, bir molekülün hf enerji paketi yayınlamasına ya da soğurmasına neden olursa,moleküle, soğurma için demetle aynı yönde,yayınlama için zıt yönde hf/c kadar bir momentum aktarılır." Işığın ya da fotonun momentumu?!
Arthur Holly Compton (1892-1962)(1927 Nobel fizik ödülü) ve Peter Debye(1884-1966, 1923'te, birbirinden bağımsız olarak,Einstein'in foton momentumu düşüncesini daha ileri götürdüler.Onlar, x-ışını fotonlarının elektronlardan
saçılmasının,fotonları hf enerjili ve hf/c mmentumlu noktasal parçacıklar olarak varsaydılar ve foton -elektron çiftinin çarpışmasında enerjinin ve momentumun korunduğuna dikkat ederek açıklanabileceğini gösterdiler. Compton ve çalışma
A.H. Compton
arkadaşları,1922'den önce,x-ışınlarının elektronlardan saçılmasını açıklamak için klasik dalga kuramının yetersiz kaldığını gösteren kantlar topladılar. Klasik dalga kuramına göre,gelen
Peter Debye
elektromanyetik dalgalar elektronları ivmelendirmeli,onları titreşmeye zorlayarak daha
düşük frekansta yeniden ışıma yaptırmalıdır. Dahası saçılan ışınım frekansı ya da dalga boyu,klasik kurama göre gelen ışınımların örneğe çarptıkları zamana olduğu kadar gelen ışınımın şiddetine de bağlıdır. Bu öngörülerin aksine,Compton'un denel sonuçları,verilen bir açıda saçılan x-ışınlarının dalgaboyu kaymasının yalnızca saçılma açısına bağlı olduğunu gösterdi."bunların,pek çok fizikçiyi kuantum kuramının temelli geçerliliğine inandırmak için ilk denel sonuçlar olduklarını söylemek ne güzel!"
Bu modelde foton,sıfır durgun kütleli "hf"enerjili bir parçacık olarak ele alınır(h,Planck sabiti; f, frekans).
Fotoelektrik olay ve Compton olayı gibi olgular, ışığın foton (ya da tanecik) kavramını destekleyen çok uygun ve açık denel gerçeklerdir. Peki ışık,elektromanyetik dalga değil de foton sağanağı mıdır? Hayır,foton özelliği,ışığın bir özelliğidir;ama ışığın elektromanyetik dalga özelliği de vardır.Şimdi çok ilginç birdüşünceyi inceleyeceğiz:Işık,tanecikli yapıdaysa acaba taneciklerin de bir dalga boyu var mıdır?
Broglie Dalgaları
Anımsayacağınız gibi, Einstein,1905 yılında ışığın bir parçacık olduğu kuramını geliştirmişti. Bu fikir, ışığın bir elektromanyetik dalga olduğu gerçeğinin karşısında yer almıştı. 1909 yılı gibi erken bir zamanda o, gelecekteki ışık kuramının,ışığın parçacık ve dalga kuramlarını kaynaştıracağını söylemişti;ama bu yönde çok az gelişme olmuştu. Göründüğü kadarıyla ışığın ya parçacık ya da dalga olması gerekiyordu. Bir sonraki adımı,entellektüelce ilgilerin kendisini fiziğin ön saflarına sürüklemiş olduğu bir Fransız prensi olan Louis de Broglie attı. O benzetmeler yaparak, o kadar acıkça bir dalga olduğu görülen ışık bazen bir parçacık gibi- foton- davranabiliyor ise, o zaman, açıkça bir parçacık olan elektron da bazen bir dalga gibi davranabilir diye düşündü. Bu önemli fikirler,Broglie’nin elektronun dalga boyunu çıkardığı 1923 yılında yayımlanan iki yazısında anlatılıyordu. Broglie,elektronlar da gerçek dalgalar gibi kırınım gösterebiliyorsa,kendi düşüncesinin denel olarak doğrulanabileciğini belirtti. Bir okyanus dalgasının kıyıya çarpması gibi,bir engel etrafında dalgaların kırınımı,keskin gölgeler veren bir parçacık ışınının tersine,bir engel arkasında bükülüşünü gösterir. Ses, bir dalgadır,bu nedenle köşelerden geçen sesleri işitiriz,ses köşeler etrafında ‘bükülür.’ Bu yazılar, Broglie’nin doktora tezleri oldu. Onları inceleyen Fransız bilimci Paul Langevin, bu tezlerin birer kopyasını Einstein’e gönderdi. Einstein, bu fikirlere çok önem verdi ve diğer fizikçilerin dikkatini Broglie’nin yeni fikirlerine çekmek için çok çalıştı.
Parçacıkların Dalga Özelliği
Einstein, ışığın dalga özelliğinin yanısıra,ışığın frekansına bağlı olarak parçacık(enerji paketçiği) özelliği gösterdiğini açıklamıştı. Buna göre fotonun bir momentumu da tanımlanabilirdi. Momentum, parçacğın kütlesi ile hızının çarpımına eşittir. Bu kavram,tanecik ya da parçacıklara ilişkindir.Fotonun momentumu, mc, ışığın dalga boyuyla ters orantılıdır: mc =h/dalga boyu. 1923'te Fransız bilim adamı Louis Victor de Broglie(1892-1987) devrimci bir düşünce ortaya attı: hareket eden her taneciğin aynı zamanda bir dalga boyuna sahip olacağını kuramsal olarak gösterdi. Onun kullandığı mtematik,son derece basitti. Planck eşitliği ile Einstein eşitliğini birleştirdi.dalga boyu=h/mv idi. Elektronların dalga doğasını keşfettiği için 1929'da Nobel ödülünü aldı."Kuantum kuramının temel düşüncesinin,ayrık bir enerji miktarını,ona belirli bir frekans bağlamadan düşünmenin olanaksız görülmesidir" demiştir. De Brogile'ye göre elektronlar hem tanecik hem de dalga olarak ikili bir doğaya sahiptiler. Her elektrona,ona uzayda yol gösteren veya "yörünge çizen",bir dalga (bir elektromanyetik dalga değil!) eşlik ediyordu. Bu savının kayanağını 1929 Nobel ödül alış konuşmasında şöyle açıkladı:
Louis de Broglie
"Bir yanda,bir ışık taneciğinin enerjisi f frekansını içeren E=hf eşitliğiyle belirlendiği için,ışığın kuantum kuramı tamin edici bir şekilde gözönüne alınamaz. Şimdi salt bir tanecik kuramı bir frekansı belirlemek için bize hiçbir olanak vermez. yalnız bir sebepten dolayı,ışık halinde,bir tanecik ve aynı anda periyodiklik düşüncesini işe sokmaya mecburuz. Diğer yanda,atomda elektronların kararlı hareketinin belirlenmesi tam sayıları işe sokar ve bu noktaya kadar fizikte tam sayıları işe sokan yalnız girişim ve titreşimin normal kipleri olaylarıdır. bu gerçek bana elektronların sadece tanecik olarak gözönüne alınamayacağını,fakat onlara periyodikliğin de eklenmesi gerektiği fikrini öne sürdürdü."
Elektronun Dalga Özelliği avisson-Germer Deneyi
1927'de ABD'den C.Davisson ve L.H. Germer ile İngiltere'den George Paget Thomson ( J.J. Thomson'un oğlu) elektronun,tıpkı x ışınları gibi,kristalde kırınıma uğradığını gösterdiler ve elektronların dalga boylarını ölçmeyi başardılar. Onların önemli buluşu, Louis de Broglie'nin önerdiği madde dalgalarının ilk denel doğrulanması oldu. Davisson-Germer deneyinin amacı, De Broglie'inin önerisini doğrulamak değildi. Bilimde çok sık görüldüğü gibi onların buluşu, tesadüfen(rastlantı sonucu) yapıldı. Deney, düşük enerjili (yaklaşık 54 eV)elektronların boşlukta, nikel(Ni) bir hedeften saçılmasıyla ilgiliydi. Bir deney süresince nikel yüzey, vakum sisteminde kaza ile meydana gelen bir kırık yüzünden oksitlendi. Oksit tabakasını yok etmek için nikel hedef bir hidrojen buharı içinde ısıtıldıktan sonra yapılan deneyler,saçılan elektronların belli özel açılarda yoğun olarak en büyük ve en küçük şiddet sergilediklerini gösterdi. Sonuçta deneyciler,ısıtma sonucu nikelin büyük kristal bölgeleri oluşturduğunu,bu kristalik bölgelerde düzgün aralıklı atom düzlemlerinin elektron madde dalgaları için,birer kırınım ağı gibi işlev yaptıklarını anladılar. Bundan kısa süre sonra Davisson ve Germer tek-kristal hedeflerden saçılan elektronlar üzerinde daha yoğun kırınım ölçümleri yaptılar Sonç olarak onların bulguları elektronların dalga doğasını ve De Broglie bağıntısını doğrulamış oldular.Aynı yıl içinde İskoçya'lı G.P.Thomson da çok ince altın plakadan elektronlar geçirerek elektron girişim desenleri gözledi. Girişim desenleri helyum atomları,hidrojen atomları ve nötronlar için de gözlendi. Böylece madde dalgalarının evrensel doğası değişik yollarla ortaya konmuş oldu.
Bir kere daha soralım: Işık bir parçacık akını mıdır yoksa bir dalga mıdır? Yanıt,her ikisidir. Hem böyle,hem öyle...
Maddenin dalga ve ışığın hem dalga hem parçacık özelliği göstermesi ,bu ikili doğayı anlama problemi kavram olarak çok zordur. Çünkü bu iki model birbirine tümüyle zıt görünür. Bu problem daha önce,ışığa uygulanırken tartışıldı. Niles Bohr, tamamlayıcılık ilkesiyle bu problemi çözmeye yardım etti. Bu ilkeye göre,madde ve ışınımın dalga yahut parçacık modelleri birbirini tamamlar hiçbir model ayrı ayrı madde ve ışınımı tam olarak tasvir etmek için kullanılamaz. Tam olarak anlama ancak,iki modelin birbirini tamamlayıcı bir biçimde birleştirilmesiyle sağlanır.
Peki tanecikler dalga özelliği gösterdiğine göre bunu gündelik yaşamda niçin gözlemlemiyoruz? Belki "benim dalgam nerede,onu görebilir miyim" diye soruyorsunuz. Bunun yanıtı maddelerdeki dalga boyunun çok çok büyük olmasıdır. Örneğin saniyede 27 m hızla giden bir beyzbol topununu (0.145 g) dalga boyu 10 üzeri 34 metredir.
Broglie’nin elektron dalgaları tezini duyan fizikçilerdenbiri Avustuyalı Ervin Schrödinger idi. Schrödinger, dalga fikirinin önemi üzerinde düşündü ve elektron bir hidrojen atomunun bir kısmı ise uyması gerekecek olan bir denklem geliştirdi. Bu denklemi kullanarak, hidrojenin ışık tayfını çıkardı-bu yıllarca önce Bohr’un bulduğu ile aynı idi. Elektronun bir dalga olduğu şeklindeki ilginç düşünce niceliksel olarak gösterilmişti. Schrodinger’in yazısı Ocak1926'da yayımlanmıştı. Bu yazı, atomun yeni mekaniğini formüle etmenin bir başka yoluydu, tümüyle genel bir yol olan dalga mekaniğinin temelini atmış oldu. “Schrödinger denklemi”, her tür kuantum problemine uygulandı. Bir dizi deney, Schrödinger’in ve Broglie’nin elektronların kırımın gösterdikleri öngörüsünü destekledi-söz konusu olan dalgaların gercek dalgalar olduğu konusunda hiç şüphe yoktu. Fakat ne dalgaları? Broglie-Schrödinger dalgalarının yorumu sorunu yeni dalga mekaniğinin merkezi sorunu oldu.
Elektron Mikroskobu
Elektronların dalga özelliklerine bağlı pratik bir alet, elektron mikroskopudur. Bu mikroskop, pek çok yönden normal bileşik mikroskoba benzer. İkisi arasında önemli bir fark, elektron mikroskopunun daha büyük bir ayırma gücünün olmasıdır. Çünkü elektronlar,çok yüksek kinetik enerjilere kadar hızlandırılabilir. Bu da onlara çok kısa dalga boyları kazandırır. Herhangibir mikroskop,cismi görüntülemek için kullanılan ışığın dalga boyunun büyüklüğü ile karşılaştırılabilen ayrıntıları belirleme yeteneğindedir. Tipik olarak,elektronların dalga boyları,optik mikroskopta kullanılan görünür ışığın dalga boylarından yaklaşık 100 kez daha kısadır. Bunun sonucu olarak elektron mikroskopları yaklaşık yüz kez daha küçük ayrıntıları ayırtedebilir.
Mikroskopun çalışmasında,bir elektron demeti incelenecek maddenin ince bir dilimi üzerine düşer. İncelenecek kesit,elektronların soğurulması veya saçılması gibi istenmeyen etkileri en aza indirmek için,çok ince, tipik olarak birkaç yüz angstrom( santimetrenin milyonda biri kadar) mertebesinde olmalıdır. Alman fizikçi Ernst Ruska (1906-1988)bu dalga özelliğini ilk elektron mikroskopu için kullandı ve 1986'da Nobel fizik ödülünü aldı.
Burada akla şöyle bir soru gelebilir:"Işık,dalga benzeri özellikler gösterdiği zaman bir foton olarak nasıl gözönüne alınabilir? Işığı bir yandan
Ernst Ruska
enerji ve momentuma sahip olan fotonlar yardımı ile tasvir ederiz,diğer yandan ışık,diğer elektromanyetik dalgalar gibi girişim ve kırınım olayları sergiler.
Bu girişim ve kırınım olayları sadece dalga yorumunda mevcuttur. Hangi model doğrudur? Işık bir dalga mıdır,yoksa bir parçacık mıdır? Bu soruya yanıt,gözlenmekte olan özel olaya bağlıdır.Bazı deneyler foton kavramı temeline dayalı olarak daha iyi açıklanabilir,bazıları ise dalga modeliyle daha iyi tasvir edilir: Sonuç olarak,her iki modeli de gözönüne almak ve ışığın gerçek doğasının tekil klasik görüntü içinde tasvir edilemediğini kabul etmek zorundayız. Bununla birlikte,bir metalden fotoelektronlar çıkarabilen aynı ışık demetinin bir ağ tarafından kırınıma uğratılabileceğini de anlamak zorundasınız. Başka bir deyişle,ışığın foton ve dalga kuramı birbirinin tamamlayıcısıdır.
Fotoelektrik ve Compton olaylarının açıklanmasında ışığın tanecik modelinin başarısı birçok başka soruyu da beraberinde getirdi. Eğer foton bir tanecik ise enerjisini ve momentumunu belirleyen taneciğin "frekansı" ve "dalga boyu" nun anlamı nedir? Işık aynı anda bir dalga ve bir tanecik midir? Fotonların durgun halde hiçbir kütlesi olmamasına karşın "hareketli" bir fotonun kütlesi için basit bir ifade var mıdır? Eğer bir "hareketli" fotonun kütlesi varsa,fotonlar kütle çekimi uygular mı? Bir fotonun uzayı nedir ve bir elektron bir fotonu nasıl soğurur veya saçar? Bu soruların bazılarına yanıt vermek mümkünse de bazıları gerçeğin ta kendisi olan atomik süreçlerin kavranmasına ihtiyaç gösterir. Dahası, bu soruların çoğuna çarpışan bilardo topları ve sahile vuran su dalgaları gibi klasik benzetmelerle yanıt verilebilir. Kuantum mekaniği,ışığın dalga ve tanecik modellerinin her ikisini de gerekli görür ve birbirinin tamamlayıcısı olarak alma suretiyle,ışığa çok daha akıcı ve esnek bir doğa verilmesini sağlar. Hiçbir model tek başına ışığın bütün özelliklerini belirlemede kullanılamaz. Ancak iki model birbirinin tamamlayıcısı olarak birleştirilirse gözlenen ışık davranışlarının tamamını anlamak mümkün olur.
Fotonların elektromanyetik dalgalarla nasıl uygunluk gösterdikleri belki aşağıdaki şekilde anlaşılabilir.Uzun dalgaboyu radyo dalgalarının tanecik özelliği göstermediklerinden kuşkulanabiliriz. Örenğin 2.5 MHz frkanslı radyo dalgalarını gözönüne alalım Bu frekansa sahip bir fotonun enerjisi sadece 10 üzeri eksi 8 eV dolayındadır. Pratik olarak bu enerji tek bir fotono gözleyemeyecek kadar küçüktür.Çok duyarlı bir radyo alıcısı,gözlenebilir bir işaret oluşturmak için bu fotonlardan 10 milyar tane kadar foton ister. Bu kadar çok sayıda foton ortalama olarak,sürekli bir dalga gibi görülecektir. her saniye sayaca ulaşan bu kadar çok sayıda fotonla sayaç sinyalinde herhangibir tanecikli yapının ortaya çıkması beklenemez. Yani antelere çarpan fotonlar tek tek gözlenemez.
Peki daha yüksek frekanslara yani kısa dalga boylarına gidildiğinde ne olup biter? Görünür bölgede ışığın hem foton,hem de dalga özelliklerini gözlemek olasıdır. Daha önce belirttiğimiz gibi ışık demeti girişim olayları gösterir ve aynı zamanda fotoelektronlar üretebilir. Fotoelektronlar,Einstein'in foton kavramını kullanarak en iyi şekilde anlaşılabilir. Daha yüksek frekanslarda ve onlara karşılık gelen daha kısa dalga boylarında fotonun enerjisi ve momentumu artar. Dolaysıyla ışığın foton(tanecik) doğası dalga doğasından daha açık olarak ortaya çıkar. Örneğin,bir x-ışını fotonunun soğurulması bir tek olay olarak kolayca gözlenebilir. Bununla birlikte,dalga boyu küçüldükçe girişim ve kırınım gibi dalga olaylarının gözlenmesi daha güç olur. Gama ışınlarında olduğu gibi çok yüksek frekanslı ışınımların dalga doğasını ortaya çıkarmak çok sayıda dolaylı yöntem gerektirir.
Elektromanyetik ışınımın tüm biçimleri iki görüş noktasından anlatılabilir. Bir uçta, elektromanyetik dalgalar çok sayıda fotonun oluşturduğu ayırntılı girişim desenleri tasvir ederler. Diğer uçta,çok kısa dalga boylu oldukça yüksek enerjili fotonlarla uğraşıldığı zaman foton tasviri doğal olmaktadır. O haldeIşık ikili bir doğaya sahiptir: ışık,hem foton hem de dalga özellikleri gösterir.
1952 yazında, Kopenhag' da atom fiziğinin eski dostları bir kongrede bir araya geldi.
Heisenberg, Niels Bohr ve Wolfgang Pauli ile aralarında geçen bir konuşmayı anlatır :
"Üçümüz, bir kış bahçesinde oturduk ve kuantum teorisinin tamamıyla analaşılıp anlaşılmadığı ve bizim ona burada 25 yıl önce vermiş olduğumuz yorumun fizikte genel geçer bir düşünce olarak kabul görmediği konularında konuştuk".Bohr şöyle dedi: "Bir süre önce yine burada,Kopenhag'da özellikle olguculuk yanlılarının katılmış olduğu bir felfe konferansı vardı.Burada Viyana okulunun üyeleri büyük rol oynadılar.Bu Genç Heisenberg filozofların önünde kuantum kuramının yorumunu yapmaya çalıştım. Konferansı verdikten sonra karşıt hiçbir düşünceyle ve zor herhangibir soruyla karşılaşmadım. Ama bunun benim için korkunç olduğunu itiraf etmeliyim.Çünkü bir insan kuantum kuramından ürkmezse,onu anlaması da olanaksızdır. Belki de o kadar kötü bir konferans verdim ki kimse neden söz ettiğimi anlamadı."
Aşağıdaki bölümü Heinz R. Pagels'in Kozmik Kod'undan aktarıyorum:
Heisenberg Helgoland’da
Max Born şöyle demiştir:“Eğer Tanrı dünyayı mükemel bir mekanizma yapmışsa, en azından, mükemmel olmayan zihnimize, onun küçük kısımları hakkında kestirimde bulunuabilmek için, sayısız diferansiyel denklem çözmemiz gerekmeyecek, zarı oldukça başarılı şekilde kullanabilecek kadar ihsanda bulunmuştur. “
Helgoland, Kuzey denizinde Kuzey Almanya’nın sanayi kenti Hamburg’tan uzak olmayan, yüksek kırımzı kayalıkları ve serin deniz rüzgarları olan küçük bir adadır. Werner Heisenberg matris mekaniğini-yeni kuantum kuramının ilk adımını- burada gelştirmiştir. Heisenberg, Birinci Dünya Savaş'nda eski nesle güvensizlik dahil olmak üzere farklı bir yapıyla çıkan yeni kuşak(nesil) fizkçilerdendi. Heisenberg,değerli bir şey, yakın geçmişin yıkamadığı bir şey bulmaya koyulan pak çok Alman öğrenciden biri idi. Bir klasikçi olan babası ona Yunan felsefesi ve edebiyatına karşı sevgi aşılamıştı.Genç Heisenberg, zeki bakışlı gözleri,gelişigüzel kesilmiş saçı, şortları ve şiddetli bir yarışma duygusu ile savaş sonrası Alman gençliğinin imajına sahipti. Heisenberg, klasiklere güçlü ilgi duymasına rağmen, bilime yöneldi. 1921'de kendisini, “Bohr Festvali” olarak bilinen festivalde Göttingen’de Neils Bohr’un konuşmasını dinlemek üzere davet eden Arnold Sommerfield ile birlikte Münih’te çalışmaya gitti. Heisenberg, saf matematikçi olmaya eğilimliydi;ama Bohr ile yaptığı uzun tartışmalardan sonra, atom kuramı sorunundan etkilendi ve bir kuramsal fizikçi olmaya karar verdi. Heisenberg soyut matematik alanın fizikteki zor yeni problemlerin çoğuna uygulanabileciğini kavradı-saf fikirler ile onu heyecanlandıran gerçek dünya arası bir bağlantı. Bunun üzerinde düşünen Heisenberg daha sonraları “Belki daha da önemli bir şey de öğrendim; bilimde neyin doğru neyin yanlış olduğu konusunda bir karar her zaman verilebilir. Bu bir inanç sorunu, dünya bakışı veya önerme değildir; belli bir ifade basitce doğru ve başka bir ifade yanlış olabilir. Ne kökten ne de soy bu sorunu çözemez; buna doğa, ya da tercih ederseniz Tanrı karar verir diyelim;ama hiçbir durumda insan karar vermez.” dedi.. kendinden bir nesil nceki Einstein gibi, Heisenberg kozmik yasayla, evrenin iç mantığıyla karşılaşmıştı. Fizik kanalıyla, evrenin ta ruhunu tanıyabılırdi, bu son zamanlarda insanların o karar fazla acı çekmesine yol açan politiki olayların çok ötesinde bi bilgiydi. Hesisanbarg, 1924'te Sommerfield ile doktora çalışmasını tamamladıktan sonra Kopenhag’ta Bohr’a katılmaya ve yeni atomik teori üzerinde çalışamya gitti.
Bohr her zaman ziyaret etmiş olduğu Manchester’deki Rutherfod’un laboratuvarı gibi fizikçilerin resmi öğrenci-profesör ilişkisinin karışmadığı bir ortamda problemlerni tartışışabileceği bir yer istemişti.1920'de Carlysberg bira işletmeleri dahil olmak üzere Danimarkalı işadamlarının yardımıyla Kopenhag’da ‘Niels Bohr Enstitüsü’ olarak tanınan bir enstitü kurmuştu.Bohr, atomların problemleri züzerinde çalışmak üzere Avrupa, Amerika ve Sovyetlerd Birliğinden genç ve parlak öğrencileri çevresine toplardı. Heisenberg burada yaratıcı gücünü harekete geçiren entellektüel bir ortam buldu-bu yakında yeni bilimsel kuruluş haline gelecek olan bir dahiler topluluğu idi.Bu öğrenciler parlak zekalı, küstah ve parasızdılar. Genel kamuoyu onların çalışmalarıyla pek ilgilenmiyordu ve pek anlamıyordu,fakat bu ilgi eksikliği onların cesaretini kırmadı. Onlar, gerçeklik anlayışını dönüştürecek bir bilimsel devrim yaratmakta olduklarına inanıyorlardı.
Heisenberg, Bohr ile bir yıl çalıştı; sonra, Almanya’da Göttingen Ünvirsitesi'nde fizik enstitüsü müdürü Max Born’a asistanlık etmek üzere oradan ayrıldı. Pek çok fizikçi gibi Heisenberg de atomik tayf çizgileri bilmecesi ile boğuşuyordu. Heisenberg aynı zamanda,Göttingen’de bir saman nezlesi nöbeti ile boğuşuyordu ve dinlenmek için Helgoland’a gitmeye karar verdi. Burada şimşek çaktı ve Heisenberg birgün bir gece içinde yeni bir mekanik keşfetti. Yazısı Temmuz 1925'te tamamlanmıştı.1900'deki Planck’ın daha önceki fikrine benzer şekilde W.Heisenberg’in fikrinin tarihi olarak öncesi yoktu,şimşek çakmış ve tek bir kaya sallanmıştı. Bunu bir çığ izledi.
Heisenberg, Yunan felsefesine, özellikle atomları parçaları olan şeyler olarak değil,kavramsal olarak düşünen Platon (Eflatun) ve atomistlere ilgi duyuyordu. Fizikçilerin çoğu atomların fiziksel resimlerini yapmayı denediler,fakat Heisenberg,Yunanıllar gibi, atomların Güneş sistemine benzeyen,elektronların belirli yanrıçaplarda çekirdeğin etrafında döndüğünü gösteren resimlerinden uzak durmak gerektiği görüşünde idi. O atomların ne olduklarını değil, ne yaptıklarını-enerji geçişlerini-düşünüyordu. Matematiksel olarak ilerleyerek, atomların geçişlerini sayıların bir dizisi olarak tanımladı. Dikkate değer matematiksel becerilerini kullanaratak, bu sayı dizilerinin uyduğu kuralları buldu ve bu kuralları atomik süreçleri hesaplamakta kullanndı. Yeniden kopenhag’a gitmek üzere ayrılmadan önce, çalışmasını Max Born’a gösterdi. Born, Heisenberg’in sayı dizisinde matrisler matematiğini kavradı. bir matris, basit bir sayı fikrini sayıların kare ya da dikdörtgen şeklindeki dizisine doğru genelleştermektir. Matematikçiler tarafından böyle matrislerin çarpımı ve bölümü için tutarlı cebirsel kuralllar geliştirilmeşti. Born, öğrencisi Pascual Jordan’ın yardımını istedi ve ayrıntılar üzerinde birlikte çalıştılar. Born ve Jordan, Heisenberg’in fikirlerini genişleten,atomik enerji geçişleri için matris cebirinin önemine işaret eden bir yazı yazdılar. Bir şekilde basit sayılar yerine matrisler atomun tanımlanması için doğru dili sağlıyordu.