Bildiğimiz anlamda limit, türev, integral Öklid uzayında incelenir. Bize de bu şekilde öğretilmiştir. Ama Öklid uzayı dışında uzaylar da vardır. Riemann uzayı, Banach uzayı, Sorgenfery uzayı.vs. Genel anlamda bildiğimiz limit, türev, integral bu uzaylarda nasıl tanımlı olacak sorusuna cevap aranır. Tabii bunların yanında geometrik şekillerde de değişiklikler olur. Öklid uzayında bildiğimiz doğru parçası Riemann uzayında farklı bir şekilde olur. İşte bu tür sorulara cevap arayan bilim dalı "TOPOLOJİ" dir. Tabii bunun yanında topolojiyi sadece teorik bir dal, uygulaması yoktur diye algılamamak gerekir. Çünkü "Fuzzy Mathematics" diye bir alan var. Bu alanla topoloji ile uğraşanlar çok ilgileniyor. Türkçe karşılığı (tam olmasa da) “Bulanık Mantıktır” veya “Bulanık Matematik” tir. Şöyle açıklayabilirim bunu: Bildiğimiz gibi önermeler mantığında 1 doğru ve 0 yanlış kabul edilir. ancak 1-0 arasında sonsuz tane sayı vardır. İşin içine bu sayıları da kattığımız zaman ne olacak? Yani doğrular ne kadar doğru, yanlışlar ne kadar yanlış olacak? İşte bulanık mantıkta bununla ilgilenir. Daha da ileriye yönelik düşündüğümüzde, düşünen makineler yapmamıza olanak sağlayan (tabii şimdilik teoride) bir temeldir adeta. Şimdiki makinelerde bu 1-0 mantığı ile çalışıyor çünkü. Aslında bunun örnekleri karşımıza şimdiden çıkıyor bile diyebiliriz. Bazı beyaz eşya firmalarının çamaşır makinesi reklamlarında "Fuzzy Logic sistemi ile çalışıyor" deniliyor.
Ayrıca siz bilgisayarcıları ilgilendiren bir şey daha ekleyeyim. Bilindiği gibi algoritma yazarken girişler "input" çıktılar ise "output" ile gösteriliyor. İşte burada Fuzzy Logic sayesinde bazı değişiklikler var. Yani deyimler değişecek. Ne olacağını bilmiyorum ama hala şu an çalışmalar devam ediyor bu konuda.
Ben bu topoloji dalını biraz da kuantum fiziğine benzetiyorum. Orada bir kedi var, yanlış hatırlamıyorsam SCHRÖDİNGERİN KEDİSİ diye adlandırılıyordu problem. Burada bu kedi aynı anda hem ölüydü hem de canlıydı. Nasıl oluyor o kadar detayını bilmiyorum ama aslında oldukça ilginç bir fikir. İşte topolojide de böyle. Öklid uzayında bir doğru parçası başka bir uzayda farklı şekilde ifade ediliyor. Bunun yanında limit,türev,integral...vs de her bir uzayda farklı farklı tanımlanıyor.
Size somut bir örnek vereyim arkadaşlar. Bilindiği gibi Öklid uzayında dizilerin yakınsaklığı limit dediğimiz bir kavram ile açıklanır. Ancak bu olay uzay değiştikçe değişir. Mesela trivial topoloji dediğimiz en dar topolojide her dizi yakınsaktır. Ayrık topoloji ve bütünleyeni sayılabilir kümelerin oluşturduğu topolojide ise belli bir sayısından sonra terimleri aynı olan diziler yakınsaktır. Bu son dediğime bir örnek vereyim:
xn={1,1/2,2,3,4,4,4,4....} şeklindeki dizi diskret topoloji ve bütünleyenleri sayılabilir olan kümelerin ürettiği topoloji de yakınsaktır.
Topoloji yardımı ile şekilleri birbirine dönüştürebiliriz. Tabii teorik olarak. Hani çizgi filmlerde olur ya adamların elleri kolları uzar... Ben bunu oradaki olaylara benzetiyorum aslında.
Arkadaşlar şimdiye kadar topoloji ile ilgili kesin örnekler verdim. Buna biraz da (haddimi aşarak) kendi yorumları katmak istiyorum. Matematik bölümü okuyan arkadaşlarımız bilirler. Bizlere ilk sene tek değişkenli fonksiyonlar ile ilgili bilgi verildi. Bu bilgileri analiz (calculus) dersinde gördük. Sonra ikinci sene bu tek değişkenli fonksiyonlarla ilgili olan bilgileri iki, üç, dört... değişkenli fonksiyonlar üzerinde gördük. Tabii bunu yaparken aslında hep Öklid uzayı üzerinde gördük. Biz biliyoruz ki Öklid uzayı dışında uzaylarda vardır. Şimdi topolojinin katkısı burada başlıyor işte. Bizim limit olarak gördüğümüz kavram aslında topolojide verilen "yakınsaklık" kavramının özel bir halidir, bence. Aynı şekilde süreklilik öyle, aynı şekilde adına uzaklık dediğimiz mutlak değer topolojide "metrik" dediğimiz bir kavram ile genişletiliyor. Tabiiki amaç bu "makinelerin" (limit, türev, integral, süreklilik, uzaklık…) başka uzaylarda nasıl çalıştığını görmek.
Ben topolojiye "tüm analizlerin analizi" veya "analizlerin babası" diye hitap ederim. Çünkü dediğim gibi ilk sene ve ikinci sene adına "analiz" dediğimiz derste gördüklerimizi topoloji sayesinde başka başka uzaylara da aktarabiliyoruz.
Son bir şey daha: aslında hepimiz Öklid uzayı içerisindeyiz. Çünkü doğada adına doğru, çember, elips dediğimiz geometrik şekillerle Öklid uzayındaki bu şekiller bir biri ile örtüşüyor.
Erdem Altuntaç
Kaynak:
netmatematik.com
