ÇARPANLARA AYIRMA
Msxlabs.org
ÖZDEŞLİKLER
İçerisinde bir ya da daha çok bilinmeyen bulunan ve bilinmeyenlerin her değeri için daima doğru olan eşitliklere özdeşlik denir.
n doğal sayı ve n ≥ 2 olmak uzere:
a2 – b2 = (a – b) (a + b)
a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)
a4– b4 = (a – b) (a3 + a2 b + a b2 + b3)
an– bn = (a – b) (an–1 + an–2 b + an–3 b2 + … +abn–2 + bn–1)
a3+b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)
a4+ b4 = (a +b) (a3 – a2 b + a b2 – b3)
an+ bn = (a – b) (an–1 - an–2 b + an–3 b2 … -abn–2 + bn–1)
İki terim toplamı kuvvetleri:
(a + b)0 = 1 (a + b ≠ 0)
(a + b)1 = a + b
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (Tam kare)
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
İki terim toplamı kuvvetleri:
(a – b)0 = 1 (a – b ≠ 0)
(a – b)1 = a – b
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2 (Tam kare)
(a – b)3 = a3 – 3a2 b + 3ab2 – b3
açılımlarda b yerine –b yazılırsa, b nin tek kuvvetlerini içeren terimleri işaretleri negatif ( –) olur.
a) a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab
b) a2 + b2 = (a – b)2 + 2ab
c) (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab
d) (a – b)2 = (a + b)2 – 4ab
e) a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)
f) a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)
Üç terim toplamının karesi:
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
ÇARPANLARA AYIRMA Ortak Çarpan Parantezine Alma:
Verilen ifadenin her teriminden ortak çarpanlar bulunup bu ortak terim parantez dışına alınır.
ax + ba = a(x + b)
ÖRNEK:
(a + 1)(b – 1) – (b + 1)(a – 1) ifadesinin en sade şeklini bulalım.
ÇÖZÜM:
(a + 1)(b – 1) – (b + 1)(a – 1) = ab – a + b – 1 – (ab – b + a – 1)
= ab – a + b – 1 – ab + b – a + 1 = 2(b – a)
Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma:
ÖRNEK:
x3 – 3x2 – x + 3 ifadesini gruplandırarak çarpanları cinsinde yazalım.
ÇÖZÜM:
x3 – 3x2 – x + 3
= x2(x – 3) – (x – 3)
= (x – 3)(x2 –1)
= (x – 3)(x – 1) (x + 1)
ÖRNEK:
a2 + 4b2 +9c2 = 73
a + 2b + 3c = 13
olduğuna göre, (2ab + 3ac +6bc) toplamının değeri kaçtır?
ÇÖZÜM:
a + 2b + 3c = 13 eşitliğinde her iki tarafın karesinialalım.
(a + 2b + 3c)2 = a2+4b2+9c2+2(2ab + 3ac + 6bc)
132 = 73 + 2(2ab + 3ac + 6bc)
169 – 73 = 2(2ab + 3ac + 6bc)
96 = 2 • (2ab + 3ac + 6bc)
2ab + 3ac + 6bc = 48 bulunur.
ÖRNEK:
a2 + b2 = 47
a • b = 11
olduğuna göre, (a – b) farkının pozitif değeri kaçtır?
ÇÖZÜM:
a2 + b2 = (a – b)2 + 2ab
47 = (a – b)2 + 2 • 11
47 – 22 = (a – b)2
25 = (a – b)2
(5)2 = (a – b)2 ⇒ a – b = 5 bulunur.
kaynak 
