KÜMELER
Msxlabs.org

• Küme, iyi tanımlanmış nesneler topluluğudur.
• Kümeyi oluşturan nesnelerin her birine kümenin elemanı denir.
• Kümeler genellikle A, B, C,… gibi büyük harflerle gösterilir.
• x elemanı, A kümesine ait bir eleman ise bunu x ∈ A şeklinde yazar ve
• x, A kümesinin elemanıdır diye okuruz.
• y elemanı, B kümesine ait bir eleman değilse bunu, y ∉ B şeklinde yazar ve y, B kümesinin bir elemanı değildir diye okuruz
• Kümede, aynı eleman bir kez yazılır.
• Kümenin elemanlarının yer değiştirmesi kümeyi değiştirmez.
• Herhangi bir A kümesinin eleman sayısı “s( A )” veya “n( A )” şeklinde gösterilir.

KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR

Kümelerin Gösterimi
Kümeler üç farklı bicimde gösterilir.

Liste Yöntemi
Kümenin elemanları küme parantezi dediğimiz { } işaretleri arasına ve aralarına virgül konularak yazılır. Bu yazılış şekline kümenin liste yöntemi ile gösterilişi denir.

Örnek : A = {2, 4, 6, 8},

Ortak Özelik Yöntemi
Kümenin elemanları aynı özeliği sağlıyorsa bu özelik kullanılarak küme belirtilir.

A = {x: “x in tanımı”} şeklindeki gösterimdir. Bu gösterimde kümeyi oluşturan bütün elemanlar aynı ortak özelliği sağlamalı, kümenin dışında bu özeliği sağlayan başka bir eleman bulunmamalıdır.

Örnek:

Bir basamaklı çift doğal sayılar ortak özelik yöntemi ile

A = {x: x < 10, x çift doğal sayı} şeklinde gösterilir.

Venn Şeması Yöntemi
Kümenin elemanlarının kapalı bir düzlemsel şekil içerisine, yanlarına (.) konularak yazılmasına kümenin Venn şeması yöntemi ile gösterimi denir.



Boş Küme
Elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme; Ø ya da { } sembolü ile gösterilir. Boş kümenin eleman sayısı sıfırdır.

Yani s(Ø) = 0 dır.

Sonlu ve Sonsuz Kümeler
Elemanları sayılabilen sonlu çoklukta olan kümelere sonlu kümeler, elemanları sayılamayacak çoklukta olan kümelere de sonsuz kümeler denir.

Eşit Kümeler
Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir. A ve B gibi iki küme eşit ise bu eşitlik A = B şeklinde gösterilir. A ve B kümeleri eşit kümeler değilse bunu A ≠ B şeklinde gösteririz.

Denk Kümeler
Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir. A ve B kümelerinin denkliği A ≡ B şeklinde gösterilir.

Alt Küme
A ve B herhangi iki küme olsun. A kümesinin her elemanı B kümesinin de bir elemanı ise A kümesine B kümesinin alt kümesi denir.

A ⊂ B şeklinde gösterilir.

A ⊂ B ifadesi, “A kümesi B kümesinin alt kümesidir.” şeklinde okunur.

A kümesi B kümesinin alt kümesi değilse A ⊄ B ya da B A şeklinde gösterilir.

Alt Kümenin Özelikleri

1. Her küme kendisinin alt kümesidir. Her A kümesi için A ⊂ A dır.

2. Boş küme her kümenin alt kümesidir. Her A kümesi için Ø ⊂ A dır.

3. A, B ve C kümeleri için (A ⊂ B ve B ⊂ C) ⇒ A ⊂ C dir.

4. A ve B kümeleri için (A ⊂ B ve B ⊂ A) ⇔A = B dir.

Alt Küme Sayıları

1. n elemanlı bir kümenin tüm alt kümelerinin sayısı 2n tanedir.

2. Bir kümenin kendisi dışındaki alt kümelerine o kümenin öz alt kümesileri denir Özalt küme sayısı 2n -1 tanedir.

r, n ∈ N, r ≤ n olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin sayısı; n nin r li kombinasyonlarının sayısı kadardır.



n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin sayısı (n-r) elemanlı alt küme sayısına eşittir.



Kuvvet Kümesi
Bir kümenin tüm alt kümelerinin kümesine, bu kümenin kuvvet kümesi denir.

A = {1, 2} kümesinin kuvvet kümesi P( A ) = {O, {1}, {2}, {1, 2}} dir.

Evrensel Küme
Üzerinde işlem yapılan tüm kümeleri kapsayan boş kümeden farklı kümeye evrensel küme denir ve genellikle E harfi ile gösterilir.



Kümelerin Birleşimi
A ve B iki küme olsun. A veya B kümesine ait olan elemanlardan oluşan kümeye, A ile B kümelerinin birleşimi denir ve
A ∪ B şeklinde gösterilir.

A ∪B = {x: x ∈ A veya x ∈ B} dir.

[İMG]http://imgub.com/photos/20130410136557587134390.png[/IMG]

Birleşim İşleminin Özellikleri

A ∪ A = A

A ∪ B = B ∪ A

A ∪ Ø = A

A ∪ B = B ise A ⊂ B

A ∪ E = E ∪ A = E

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C

Kümelerin Kesişimi
A ve B iki küme olsun. A ve B kümelerine ait olan ortak elemanlardan oluşan

kümeye A ile B kümelerinin kesişimi (ara kesiti) denir ve A ∩ B şeklinde gösterilir.
A ∩ B = {x: x ∈ A ve x ∈ B} dir.



Keşişim İşleminin Özellikleri

A ∩ A = A

A ∩ B = B ∩ A

A ∩ Ø = Ø

A ∩ B = A ise A ⊂ B

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

A ∩ E = E ∩ A = A

Dağılma Özeliği

Birleşim işleminin kesişim işlemi üzerine dağılma özeliği

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

(B ∩ C) ∪ A = (B ∪ A) ∩ (C ∪ A)

Kesişim işleminin birleşim işlemi üzerine dağılma özeliği

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

(B ∪ C) ∩ A = (B ∩ A) ∪ (C ∩ A)

Birleşim Kümesinin Eleman Sayısı

1. A ve B kümeleri için, A ∩ B ≠ Ø ise

s(A ∪ B) = s( A ) + s( B ) – s(A ∩ B) dir.

A ∩ B = Ø ise, s(A ∪ B) = s( A ) + s ( B) dir.

2. A, B, C kümeleri için

s(A ∪ B ∪ C) = s( A) + s( B ) + s( C ) – s(A ∩ B) – s(A ∩ C) – s(B ∩ C) + s(A ∩ B ∩ C) dir

Ayrık Kümeler

A ∩ B = Ø ise A ve B kümelerine ayrık kümeler denir.



kaynak