TOPOLOJİ a. (fr. topologıe)
1. Başlangıçta analysis situs (konum çözümlemesi) denen, Riemann'a göre sürekli karşılıklı birebir dönüşümlerin etkisinde değişmez özellikleri inceleyen, daha sonra tümüyle özerk olan matematik dalı
2. Bir E kümesinin parçalarından oluşmuş bu parçalara Tnin açıkları denir- aşağıdaki üç özelliği bulanan T? kümesi:1.0 e T) ve E e G;2. £ nin sonlu sayıdaki elemanlarının kesişimi yine £ nin bir elemanıdır;
3. V nin herhangi sayıdaki elemanlarının birleşimi yine '6 nin bir elemanıdır. (Herhangi bir E kümesi için besbelli daima iki topoloji vardır; biricik açıkları 0 ve E olan kaba topoloji ile, açıklar kümesi E nintF parçalar kümesi olan ince ya da ayrışmış topoloji).
4. Bir topolojinin bir f uygulamasıyla elde edilen görüntüsü, I no varış uzayının en ince topolojisi: (E,G)-> F, f yı sürekli duruma getirir (fCG)biçiminde gösterilen bu topolojiye, £ nin f ile elde edilen görüntü topolojisi denir.)

—ANSİKL. Çok geniş bir anlamda alınan topoloji, geometrik şekillerin, dolayları dolaylara dönüştürüp, karşılıklı birebir eşlemeyle, yani eşyapı uygulamasıyla değişmeyen özelliklerini inceler, ilkönce sezgisel olan, dolay kavramı ile limit ve süreklilik bağımlı kavramlarını kesin matematiksel bir temele oturtmak genel topoloji’nin konusudur. Bu kavramlar, Abel, Cauchy ve Bolzano'nun, bir serinin limitini ve bir fonksiyonun sürekliliğini tanımlamak gerekliliğinin bilincine vardıkları XIX. yy. başına kadar kavram haline getirilmeden kullanıldı. O zamandan beri, limit kavramının tarihini kapayan süzgeçlerin, 1940’ ta H. Cartan tarafından tanımına kadar bu kavramların genelleştirilmeleri sürdürüldü. Bu gelişmeler topolojiyi ayırt eden bir soyutlama eğilimine tanık oldular. XIX. yy. ortasında B. Riemann, Geometriye temel oluşturan varsayımlar adlı ünlü muhtırasında, fonksiyon kümelerini, örneğin bir Eukleides uzayının noktaları kümesiyle aynı nitelikte uzaylar olarak göz önüne almanın olanaklı oluşunu sezdi. Ama Riemannın “görüş’’ü ancak, gerçek doğrunun (daha sonra düzlemin ve uzayın) altkümele- rin özelliklerinin incelenmesinden sonra (G. Cantor tarafından) gerçekleşmeye ilk adımı atabildi. Riemann’ın çalışmalarında Cantor'unkilerde olduğu gibi, topolojik düşünceler, temelde çözümlemenin, özellikle gerçek değişkenli fonksiyonlar kuramının koymuş olduğu problemlere verilen yanıtlardan oluşmuştur, ilk önemli genelleştirmeyi Maurice Frechet’ye borçluyuz. Uzaklık kavramı üzerinde düşünerek metrik’ uzaylar kavramını o getirdi Bu uzaylar içinde, örneğin Eukleides düzleminde, bir P noktasının dolayları kendi limit ve süreklilik kavramlarını belitleme girişiminde D. Hılbert tarafından getirilmiş kavram- P ye s dan daha küçük bir uzaklıkta bulunan bütün noktalar göz önüne alınarak, ama aynı zamanda kimi nokta altküme- leri (metrikten yararlanmadan) özellikle belirtilerek tanımlanabilmiştir. Bu durumda o uzayların topolojik yapıyla donatıldığından söz edilir. Felix Hausdorff (1914) bunları, hemen hemen bugün kullanılanlara özdeş belitlerle tanımladı. O tarihten sonra genel topolo|inin konusu açık, kapalı, tıkız vb. temel kavramlarını tanımlamak ve topolojik uzaylar, metriklenebilir uzaylar vb. arasındaki bağları incelemek olacaktır.
Geometrik şekilleri en küçük eleman katıçmaçları olarak göz önüne alan (cebirsel) devşirim topolojisi’nin kökeninin, Leibnız (1679) tarafından pek belirsiz dille ifade edilmiş, analysis situs’ta bulunduğuna ilişkin bir düşünce vardır: "Bize cebirin, magmtudınemi (büyüklüğü) ifade ettiği gibi doğrudan situm'u (konumu) ifade eden, tümüyle geometrik ya da doğrusal olan bir başka çözümleme de gerekli olduğuna, inanıyorum.” Şimdi, Grassman'ın (1846'da) gösterdiği gibi, Leibniz' in düşünceleri topolojiden çok vektör hesabına varmaktadır. Euler, tasarıyı daha bilinçli bir biçimde ele alıyor ve (1735'te Petersburg'da Königsberg köprüleri problemi'ni bir konum geometrisi (geometrinin, yalnızca konum belirlemekle ve bu konumdan çıkan özellikleri araştırmakla uğraşan bölümü) örneği olarak ortaya atı yor. Görünüm şekildeki gibi olduğuna göre, sorulan soçu şöyleydi: bir kişi her köprüden bir kez, ama yalnızca bir kez geçebilir mi? Euler, problemlemin çözümü olmadığını gösteriyor. 1750'de Berlin Bilimler akademisi ne Euler, ifadesi belirsiz olmakla birlikte konum çözümlemesi’ ne varan bir teorem sunuyor; bu ünlü K+Y=A+2 bağıntısıdır, burada K bir çok yüzlünün köşe açılarının sayısını, A ayrıtların sayısını, F de yüzlerin sayısını göstermektedir, Euler çokyüzlüleri sınıflamak için bu sayılardan yararlanmıştır. XIX. yy. ortasına kadar topolojinin tarihi, pratik bakımdan Euler teoreminin tarihiyle, onun art arda yaptığı açıklamalarıyla ve çok sayıda tanıtlamalarıyla iç içe girer. İlk kez "topoloji" sözcüğüne J. B. Listing”de rastlanır (1836). O topoloji "geometrik yer bağıntılarının nitel yasalarının incelenmesi" olarak göstermiştir. F. Möbius şekilleri oluşturan elemanlar arasında bir eşleme kurarak onları karşılaştırır. O tarihten sonra topoloji, birbiri içinde biçim değiştirebilmesi (fizik bakımından) zorunlu olmayan soyut kümelere uygulanabiliyor. Möbius "temel bağımlama” adıyla eşyapı uygulaması getirdi ve çizgiler ile yüzeylerin (iki yanlı) bundan çıkan sınıflamasını inceledi.
XIX. yy.’ın ortasına doğru, yakın zamana kadar matematikçilerin uğraşmayı bırakmadıkları bir problem ortaya çıktı; bu Francis Guthrie’nin De Morgan’a sorduğu dört renk problemidir: bunda, düzlem üzerinde (ya da küre üzerinde) çizilmiş gelişigüzel alınan bir haritayı, iki komşu ülke aynı renkten olmama koşuluyla boyamak için, dört rengin yeterli olduğunu tanıtlamak sözkonusudur (1976’da amerikalı iki araştırıcı, bilgisayar kullanarak bu sanıyı ortaya koymayı başardılar. ( RENK LENDİRME.]) Riemann’ın çalışmaları, XIX. yy.’ın topolojideki araştırmalarına kuvvetli bir itme verdi. Bir yüzeyi iki farklı parçaya ayırmak için gerekli kapalı eğri sayısı 2p+1 olduğuna göre, yüzeyin p türünden yararlanarak o, kapalı yüzeyleri sınıfladı. Riemann için, topolojik bakımdan eşdeğer iki yüzeyin (kapalı) türleri besbelli aynıdır. E. Betti, bağlantılılığı bütün genelliğiyle ayırt etmeye çalışarak, her boyut için, Betti sayısı denen (boyut olarak 2p+1 e eşit) bir bağlantılılık sayısı getirdi. XIX. yy. sonuna doğru, gerçekten incelenen yüzeyler, yalnızca kapalı yüzeyler idi. Genel ve sistemli bir ilk kuramın yazarı Henri Poincare, atılımını XX. yy. başlarında yapan, o tarihten beri gelişmesi etkin olarak sona ermemiş cebirsel topolojinin gerçek kurucusu olarak düşünülebilir. Topolojinin bugünkü başlıca uzantıları (denklemler kuramında çok sayıda uygulamaları bulunan cebirsel ya da devşirim- sel topoloji) ve diferansiyel topolojidir.