SONSUZ sıt.
1. Başlangıcı ve sonu olmayan, zamanda ve uzamda sınırlı olmayan bırşey için kullanılır; sınırsız: Sayılann sonsuz dizisi. Evren sonsuzdur. (Bk. an- sikl. böl. Fels)
2. ölçülemeyecek kadar büyük, çok olan bir şey, bir nicelik ya da yoğunluk için kullanılır: Gökyüzünün sonsuz maviliği. Başkaldırabilmek için sonsuz bir cesaret gerekiyor.

—Elektroakust. Sonsuz şerit, uçları, sonsuz bir bant oluşturacak biçimde birleştirilmiş manyetik şerit. (Böylece, aynı akustik işaret sonsuz kez yinelenebilir.)

—Geom. Sonsuz küçükler geometrisi, analitik geometrinin, sonsuz küçükler hesabından yararlanan kolu.

—Küm. kur. Sonsuz küme, kendi ûz altkümelerinden biriyle bijeksiyon haline getirilebilen küme. (N doğal tamsayılar kümesi sonsuzdur, çünkü <p ile, sıkı olarak M içinde bulunan (2, 3, 4,...) kümesi arasında bir bijeksiyon kurulabilir: bunun için bijeksiyonu, M nın her x i için y>(x)= n +2 olarak tanımlamak yetişir.)

—Mak. san. ve Aktar. Sonsuz kablo, zincir, kayış uçlan, esnek bir kapalı eğri oluşturacak biçimde birleştirilmiş kablo, zincir, kayış (transmisyon kayışları, taşıyıcı bant ya da zincirler).

—Mat. çözlm. Sonsuz küçükler hesabında incelenen kimi kavramlar için kullanılır. || Sonsuz büyük (aynı biçimde küçük) fonksiyon, kimi koşullarda sonsuza (aynı biçimde sıfıra) yaklaşan fonksiyon. (SONSUZ BÜYÜK [aynı biçimde KÜÇÜK] de denir.) || Sonsuz küçükler çözümlemesi ya da sonsuz küçükler hesabı, çözümlemenin, sonsuz küçüklerin ve limitlerin incelenmesi üzerine kumlu, diferansiyel hesaptan ve integral hesabından oluşmuş kolu. (Bk. ansikl. böl.) || Asal sonsuz büyük (aynı biçimde küçük), kendisiyle birlikte verilen başka sonsuz büyüğün ya da büyüklerin (aynı biçimde sonsuz küçüğün ya da küçüklerin) asal parçasını ifade etmek için seçilmiş sonsuz büyük (aynı biçimde küçük). || Birlikte verilen sonsuz büyükler (aynı biçimde küçüklet), aynı değişkenin, aynı koşullardaki sonsuz büyükleri (aynı biçimde sonsuz küçükleri).

♦ a. Sonu, sınırı olmayan dizi, zaman ya da uzam: Artı sonsuzdan eksi sonsuza. Onu sonsuza dek hatırlayacağım.

—Geom. (n +1) inci homojen koordinatı sıfır olan, n boyutlu Desargues uzayının ya da izdüşümsel uzayın noktası. (Her türlü karışıklığı Önlemek için daha çok SONSUZDAKİ NOKTA deyimi kullanılır.) [Bk. ansikl. böl.] || Sonsuzun aşırıdüzlemi (ya da sonsuzdaki aşırıdüzlem), n boyutlu E„ afin uzayının sonsuzdaki bütün noktalarının kümesi. || Sonsuzun doğrusu (ya da sonsuzdaki doğru), n= 2 halinde sonsuzun aşırıdüzlemi. || Sonsuzun düzlemi (ya da sonsuzdaki düzlem), n=3 olması halinde sonsuzun aşırıdüzlemi.

—Küm. kur. Sonsuzun (ya da sonsuzluk) beliti, kümeler kuramının, boş kümeyi içerince ve bir y elemanını içerince onun ardılını da içeren bir kümenin var olduğunu ifade eden temel beliti.

—Opt. ve Foto. Bir optik sistemi sonsuza ayarlama, bu sistemi, çok uzaktaki bir nesnenin görüntüsü net olarak görülebilecek ya da duyarlı yüzey üzerine düşürülebilecek biçimde ayarlama.

—ANSİKL Fels Aristoteles'e göre, iki sonsuz vardır: sonsuz sayıda bölümden oluşan bir büyüklükteki (nicelikteki) edimsel sonsuz ve düz bir çizgiyi durmadan böldüğümüzde karşımıza çıkan türden, yani bölünmeden kaynaklanan gizil sonsuz. Bu iki tanım matematiğe ve geometriye dayanır.
Descartes, sonsuz kavramını, Tanrı'nın ayırtedici özelliği olarak özgülleştirdi ve sonsuz ile belirsiz arasında bir ayrım yaptı Belirsiz kavramını da şöyle saptadı: "sanal uzayların uzamı, sayıların çokluğu, niceliğin parçalarının bölünebilirliğı ve buna benzer şeyler gibi, ancak bazı bakımlardan sonu olmayan şeyler için bu kavramı kullanıyorum ve onlara sonsuz değil de belirsiz diyorum" (Premieres Râponses [ilk yanıtlar]).
Çünkü Descartes'a göre, sınırsız olduğu ölçüde, ancak Tanrı sonsuz olabilir: “Yalnızca Tanrı sonsuzdur [...], hem yetkinliklerinde hiçbir sınır görmediğimiz için, hem de herhangi bir sır olamayacağından emin olduğumuz için (Felsefenin ilkeleri [Principes de la philosophie], 27)
Spinoza ile birlikte sonsuz öğretisi zenginleşti. Spinoza, öğretisini Sonsuz üzerine mektupta (Lodevııijk Meyer'e 20 nisan 1663'te yazdığı “12. mektup") açıkladı ve iki tür sonsuz belirledi:
1) töz gibi, öz'ü gereği sonsuz olan (töz, öz'ü gereği, zorunlukla vardır, çünkü sonsuz olmaktan başka türlü düşünelemez”);
2) kip gibi, nedeni gereği sonsuz olan. Kipin özü, varoluşu zorunlukla kapsamaz (kipin var olmadığı, bir çelişkiye düşmeden düşünülebilir), ama o gene de sonsuzdur; çünkü nedeni olan Tanrı'nın her şeyi yaratmasını sağlayan öncesiz sonrasız edimden o da pay almıştır.
Spinoza'nın getirdiği yenilik şu fikre dayanır: "bir sonsuzun bir başka sonsuzdan daha büyük olduğu kolayca düşünülebilir. "Lodevvijk Meyer'e yazdığı mektupta Spinoza, bu sava yöneltilen şu eleştiriyi çürütmeye çalışır: bir B sonsuzundan daha büyük bir A sonsuzunun, B'den daha çok bölüm kapsaması gerekir; oysa olanaksız bir şeydir bu, çünkü A'nın bölümlerinin sayısı B'nin bölümlerinin sayısıyla aynı olmalıdır; yani verilebilecek her sayıdan daha büyük bir sayı, yani bütün sayıların en büyüğü olmalıdır. Spinoza önce, "sonsuzun, bölümlerin çokluğundan kaynaklandığı" görüşünü yadsır: bölünmez olan töz, sonsuzdur ve çizgi noktalardan oluşmadığı gibi, töz de bölümlerden oluşmaz: "Filozofların genellikle uzamlı tözün sonlu olduğunu göstermek için yararlandıkları bütün bu kanıt yığını, kendiliğinden yıkılıp gider, çünkü bu tür yaklaşımlar, bölümlerden oluşmuş cisim- sel bir tözü varsayar."
Spinoza bir de, sayının her türlü büyüklüğü ifade etmeye elverişli olduğu inancından kaynaklanan bir yanlış anlamaya parmak basar. Spinoza'ya göre sayılar, akıl varlıkları 'ndan başka bir şey değildirler ve imgelemin yardımcılarıdırlar; “düşünme kiplerinden çok, imgeleme kipleri”dirler. Doğayı sayılarla ifade etmeye yönelen görüşün, tözü parçaladığı ve özce bölünmez olan bir süreyi en küçük parçalara böldüğü için eleştirilmesi, spinozacı öğretinin en temel kısmıdır; (sayıları sonlu bütünlerin göstergelerinden farklı şeyler olarak düşünmek için, XIX. yy.'ın sonunda keşfedilen sonluötesi kardinal sayılara ilişkin can- torcu kuramı beklemek gerekecektir).
Gerçekten de bu buluş, matematiksel sonsuzun tarihinde bir gelişmedir: XIX. yy.'a kadar, matematik "büyüklüklerin bilimi" olarak kabul edildiği için sonsuz fikrr^Pythagoras'ın orandışı sayıları bulmasıyla ortaya çıkan limit kavramıyla birlikte düşünülüyordu. Dolayısıyla sonsuz fikri, bir matematik kavramından çok bir olasılığı "bir geçiş işlemi"ni belirtiyordu. Bundan ötürü Gauss şöyle diyordu: "sonsuz, bazı fenomenlerin, limit adı verilen bir niceliğe keyfi olarak yaklaştırılabileceğıni, ama bazı fenomenlerin de sürekli olarak kesiştiklerini belirtmek için kullanılan bir deyiştir". Gizil sonsuz, düşünülebilir olmasına rağmen, yüklemlenebilir limit diye bir şeyin varolmadığını belirtir.
Cantor'un sonluötesi kümesiyle herhangi bir gizillik değil, büyüklük kavramının yer almadığı bir somut gerçeklik ortaya çıktı. Buna göre sonsuz, bir kümenin kuvvetiyle temsil edilir; verilmiş ve edimsel olduğu için de limit kavramından bağımsız olarak vardır Böylece, sayılabilir sonsuz kümelerden daha yüksek kuvvette (süreklinin kuvvetinde) kümelere geçildiğinde, herhangi bir nicel artışa değil, bir özelliğe; yani sayılabilir olmama özelliğine gönderme yapılmış olur. Kümeler kuramı, nicel bir kavramın yerine nitel bir kavram koyarak bin yıllık matematiksel sonsuz fikrini kökünden değiştirmiştir.

—Geom. P düzleminin bir doğrusunun sonsuzdaki noktasından söz etmek de olanaklıdır, bu kapalı olarak Desargues düzleminin bir doğrusuna, ancak sonsuzdaki bir noktanın karşılık geldiği anlamını taşır. 1 boyutlu Desargues uzayı olarak göz önüne alınabilen her doğrunun sonsuzda bir noktası olduğu doğalsa, yine de P nin noktaları ile onun sonsuzdaki doğrusunun noktaları arasındaki karşılığın nasıl kurulacağını belirtmek uygun olur.
Bir D doğrusunun, belirli bir modülo koşutluk bağıntısı eşdeğerlik sınıfına girdiği bilinmektedir, bu sınıfa doğrunun doğrultusu denir. Bu doğrultu, karşılaştırma sisteminin O başlangıcından geçen temsil- cisirıce tümüyle ayırt edilir. Oysa, (u, v, 0) koordinatlı P nin sonsuzdaki her noktasına, O dan ve M(u, v) noktasından geçen doğru karşılık getirilebilir. Kuşkusuz göz önüne alınan sonsuzdaki noktasının homojen koordinat üçlüsü bir tane değildir; ama daima (ku, kv, 0) biçimindedir ve yine (Olyl) doğrusuk ne olursa olsun My(ku, kv) noktası (OM) doğrusunun da elemanıdır- ve dolayısıyla aynı doğrultu bulunacaktır, (u, v, 0) koordinatlı sonsuzdaki noktanın, (u, v) İkilisiyle ayırt edilebilen bütün doğruların noktası olduğu söylenecektir. Denklemi, alışılagelen gösterilişlerle T = 0 olan sonsuzdaki doğru öyleyse, koşutluk bağıntısıyla elde edilen P doğrularının kümesinin bölüm uzayıyla, yani P nin doğrultular kümesiyle eşkuv- vettedir; böylece P nin bir D doğrusunun sonsuzdaki noktası, bu doğrunun doğrultusuna karşılık olan nokta durumunda bulunur.
3 boyutlu Desargues uzayında bulunulduğunda verilen bir düzlemin (dolayısıyla da kendi doğrultusundaki bütün düzlemlerin) sonsuzdaki doğrusunun hangisi olduğu aynı biçimde belirlenebilir.

—Mat. çözlm. Sonsuz küçükler hesabı, orandışı sayılardaki çelişkide ortaya çıkan, süreklilik ve sonsuz kavramlarından işlemsel biçimde kaygılanmaya ilk kalkışmayla birlikte doğmuştur. Antik Yunan'daya atılan, daha sonra da Arkhimedes tarafından geliştirilen ve eğriler ve eğri yüzeylerle sınırlanmış alanları ya da hacimleri hesaplamaya olanak sağlayan tüketim yöntemi, sonsuz küçükler hesabının, integral hesabı yönünden, başlıca kaynaklarından biridir. Bu yöntem, Eukleidesin V. kitabında kurduğu gibi büyüklüklerin ölçüsü üzerine ve karşılaştırılabilir büyüklükleri saptayan bir ölçülebilirlik beliti üzerine dayanmaktadır. Bövlece. birinin sonlu hiçbir katının, öbürünü aşmayacak biçimde küçük olan (Arkhimedes beliti) iki niceliğin oranını oluşturmak uygun düşmez. Tüketim yöntemi (eğriyle sınırlı) bir yüzeyin A alanının, bilinen (doğrusal sınırlı) bir S yüzeyinin alanıyla karşılaştırmayı olanaklı kılar, bu karşılaştırma A ve S yüzeylerinden her ikisini birden iki U ve V yüzeyiyle kuşatarak yapılır, öyleki U-V farkı istenildiği kadar küçük olsun. A ve S yi aynı U ve V yüzeyleriyle kuşatmakla eğri, doğruya sonsuz yakın olarak ortaya çıkar, ama ona asla özdeş olmaz. Eskiler A nın S ye eşit olduğunu ortaya koymak için çifte olmaza indirgeme yapmışlardır. Ortaçağda, Yunanlılar'ın geometrik yöntemlerinin yayılmasından sonra matematikçiler, ilkönce Arkhimedes modelini uygulamaya koyuluyorlar, daha sonra bu çifte olmaza indirgemeyi kaldırarak onu hafifletmeyi deniyorlar (özellikle S. Stevin ve L. Vale- rio). İlkin, J Kepler (1571-1630), klasik yöntemleri bırakıyor ve örneğin çemberi, sonsuz kenarlı, düzgün bir çokgene benzetmede duraksama göstermiyor. B. Cava- lieri, E. Torricelli, G. R de Roberval ve B. Pascal, n, -1 den farklı oransal bir sayı olmak üzere
a n +1
x" dx
n +1
in eşdeğerini elde etmeye olanak sağlayan bölünümezler yöntemini geliştiriyorlar. Eski tüketim yönteminden esinlenen ve sonsuz sayıda dikdörtgenin sonlu geometrik dizisi halindeki alanları toplayan P de Fermat (1601-1665), koordinatlar geometrisinin yeni görüşünden sistemli biçimde yararlanıyor, bu durum ona daha fazla bir genelleme sağlıyor.
XVII. yy.'da, sonsuz küçükler yöntemlerinin bol bol uygulanması, doğmakta olan fiziğin incelenmesinden ayrılmaz duruma gelmiştir. Devinimin incelenmesi teğet ve anlık hız kavramlarını gerekli kılıyor. Gök mekaniğinde gezegenlerin yörüngelerinin uzunluğunu hesaplamak önemlidir. Oysa bütün bu kavramlar, sonsuz küçükler hesabına, diferansiyel ve integral hesabına gelip dayanır.
Sonunda türev alma yöntemlerine varan teğetler problemi, Arkhimedes sarmalına teğet çizme ve Apollonios koniklerine teğetler çizme yöntemi gibi tek tek uygulanan yöntemler dışında, ancak XVII yy.'da incelenmiştir. Eskilerin statik tanımına bir eğriye ancak bir noktada değen doğru daha genel erimi olan çok sayıda başkaları eklenmiştir. Fermat, teğeti, bir kesenin, eğriyle kesişme noktaları birbirine yaklaştığında bir kesenin limit konumu olarak betimledi.
Daha bir eğrinin uzunluğunun bir doğru parçasının uzunluğuna tam tamına eşit olabileceği sanıldığı yüzyılın sonuna doğru, W. Neil yarı kübik (denklemi >=x3) olan parabolün bir yayının uzunluğunu hesaplamayı başardı. Bütün bu problemler gittikçe artan bir ustalıkla incelenmiştir, ama bu inceleme her biri için ayrı ayrı yapılmıştır. Bunların birleştirilmesi ve elde edilen sonuçların sıraya konması isaac Nevvton ile Gottfried Wilhelm Leibniz'in yapıtıdır. Birbirinden bağımsız olarak her biri bir algoritma icat etmiş, bu algoritma Nevvton'da akışkanlar yöntemi biçiminde, Leibniz'de farklar hesabı biçimindedir. Nevırton kareleştirme yöntemleriyle "türev alma" yöntemleri arasındaki bağın farkına vardı, çünkü o, denklemi y=f(x) olan bir eğri ile koordinat eksenlerine koşutlemlerini tersine götürerek, yani f nin ilkelini hesaplayarak kareleştirdi. Leibniz hesabını diferansiyel kavramı üzerine kuruyor. Bunu tanımlamak için sonlu bir üçgenle bir eğrinin ayırtedicisi olarak göz önüne aldığı sonsuz küçük üçgenin benzerliğinden yararlanıyor. Yönteminin güçlü yanı yalınlığında, zarif gösteriş biçimi (bugün onu hâlâ kullanmaktayız), hemen hemen otomatik olarak hesapları yapmaya olanak veren işlemsel biçimciliğinde bulunmaktadır Sonsuz küçükler hesabında iki görüş -Leibniz ve Nevvton görüşü- zıtlaşacak ve matematikçileri iki rakip okula bölecek. İngiltere Nevvton'ın tutumuna sadık kaldığı halde Avrupa kıtası daha çok burada çabucak yayılan yöntemleri kabul edecek.
XVIII. yy.'da, sonsuz küçükler hesabı uygulamaların çeşitlenmesiyle genişledi, oysa sonsuz küçüklerin doğası daima sorun yaratmıştır. L. Euler, XVII. yy.'ın varlığını yasallaştırmaya çalıştığı metafizik görüşleri atıyor. Simgeciliğe güvenerek, üzerinde işlem yaptığı nesnelerin doğasını açıklamaktan çok, kuralları berraklaştırmayı deniyordu.
Fonksiyon kavramı, Euler'in çalışmalarından, özellikle de Lagrange'ın çalışmalarından sonra merkezsel konum alıyor. Kendisi de biçimci olan Lagrange. verilmiş (“ilkel” denilen bir fonksiyona dayanarak, sırf cebirsel bir biçimde ("türevler" denen) başka fonksiyonlar kurmak için, fonksiyonların seriye açılımından yararlanıyor.
Temel olarak gözüken limit kavramını açıklamış olma hakkı esas olarak Cauchy’ye aittir: sonsuz küçük, türev ve integral kavramları limit diliyle tanımlanmış olacaktır. Cauchy, parça parça sürekli fonksiyonlara uygulanan integral almanın birinci kuramını ortaya koyuyor. Daha sonra, Riemann, sayılabilir sonsuz sayıda süreksizlikleri olan fonksiyonlara uzanan daha genel bir kuram geliştirecektir. Çözümlemeyi aritmetik üzerine kurmaktan kaygılanan çözümlemeci Kari VVeierstrass, Cauchy'nin tanımlarını aritmetik eşitsizliklere yansıtarak bu tanımları niceleyecek- tir. Diferansiyel ve integral hesabı öğrencilerine sergileyerek VVeierstrass, aritmetiğin mantıksal temelden yoksunluğunu fark ediyor ve oransal sayılara dayanarak orandışı sayıların bir ilk kuruluşunu ortaya koyuyor.

• Birlikte verilmiş sonsuz küçükler ya da birlikte verilmiş sonsuz büyükler arasında eşdeğerlik.
1. Birlikte verilmiş iki sonsuz küçük, ancak ve ancak farkları ikisinin birinden daha yüksek basamaktansa bunlar eşdeğerdirler.
2. Birlikte verilmiş iki sonsuz büyük, ancak ve ancak farkları, ya ikisinin birinden daha küçük basamaktan bir sonsuz büyük ya da göz önüne alınan koşullarda sonlu kalan bir fonksiyonsa bunlar eşdeğerdirler.

• Sonsuz küçükler üzerinde hesap kuralları.
1. Toplam, a) Birlikte verilmiş sonlu sayıdaki bir sonsuz küçükler toplamında terimlerden biri öbürlerinin hepsinden daha küçük basamaktansa, bu terim toplama eşdeğerdir, b) Toplamı S' olan asal parçalar kabul eden, aynı p basamaklı sonlu sayıda sonsuz küçüklerin bir S toplamı verildiğine göre, SVO ise, S nin basamağı p ve asal parçası S' dür; S'=0 ise, S nin basamağı p den büyüktür.
2. Çarpım. Sonlu sayıda, birlikte verilmiş birçok sonsuz küçüğün asal parçaları aynı ise, bunların çarpımlarının asal parçası, asal parçaları çarpımıdır.
3. Bölüm. Asal parçaları fdfi ve Bx« olan iki y ve z sonsuz küçüğü göz önüne alınırsa, p>q iseX, asal parçası Atf’-'i
olan bir sonsuz küçüktür; p = q iseX, zz_ye yaklaşır; p<q ise i,-Li asal sonsuz B z x büyük almakla, asal parçası A|J_yı-p olan bir sonsuz büyüktür.

• Sonsuz büyükler üzerine hesap kuralları.
1. Toplam,
a) Birlikte verilmiş sonlu sayıdaki bir toplamda, terimlerden biri öbürlerinin hepsinden büyük basamaklı ise, bu terim toplama eşdeğerdir
b) Avnı p basamağından, S' toplamlı asal parçalar kabul eden, birlikte varilmiş sonlu sayıda sonsuz büyüklerden oluşan bir S toplamı verildiğine göre, S' *0 ise S, p basamaklıdır ve S' ü asal parça olarak kabul eder, S'-O ise S, p den küçük basamaklı bir sonsuz büyüktür ya da sonlu kalır.
2. Çarpım. Birlikte verilmiş sonlu sayıdaki sonsuz büyüğün asal parçalan aynı ise, bunların çarpımının asal parçası, asal parçalarının çarpımıdır.
3. Bölüm. Asal parçaları kxP ve Bx« olan iki y ve z sonsuz büyüğü göz önüne alınırsa, p>q ise X, asal parçası Axo-« olan bir sonsuz büyüktür; p- g ise X,
A ye yaklaşır; p<q ise X, _L asal sonsuz küçük alınırsa, asal parçası A olan bir sonsuz küçüktür.