Bölme
MsXLabs.org & Temel Britannica
Bir doğal sayıyı başka bir doğal sayıya bölerek çözülebilen değişik problem türleri vardır. Bir paylaştırma sonucundaki payları bulmak için bölme işlemi kullanılabilir. Eğer 20 elmanız varsa ve bunları 4 kişi arasında paylaştırmak istiyorsanız her birinin payına 5 elma düşer.
Bunu şöyle yazabiliriz: 20 elma / 4 = 5 elma
Öte yandan, eğer 20 elmanız varsa ve elinizdeki kutulardan her birine 4 elma koymak isterseniz, o zaman içlerinde 4'er elma bulunan 5 kutunuz olur.
Burada sorulan soru şudur:
20 elmadan 4 elmalık kaç küme elde edebilirim?
Bunu şöyle yazabiliriz:20 elma / 4 elma = 5
İlk örnekte, gerçekte 20'nin dörtte birini buluyor, bir başka deyişle 20'yi 4'e bölüyorduk. İkinci örnekte ise, 20'de kaç tane 4'lü küme olduğunu ya da 20'den 4'ü kaç kez çıkarabileceğimizi soruyoruz. Bu iki durumda farklı şeyler yaptığımız görülüyor. Ama yalnızca rakamlarla gösterdiğimiz zaman her iki durumda da 20 / 4 = 5
yazıyoruz. Yaptığımız işi şekillerle gösterirsek aralarındaki fark açıkça görülecektir.İlk örnekte 20 elemanlı bir kümeyi 4 kümeye bölüyor ya da paylaştırıyoruz ve her kümede kaç eleman bulunduğunu soruyoruz.
Oysa ikinci örnekte, 20 elemanlı bir kümeyi 4 elemanlı kümelere bölüyor ve kaç tane 4 elemanlı küme elde edeceğimizi soruyoruz.
Birinci örnekte bulduğumuz 5 sayısı bir kümedeki eleman sayısını gösterirken, ikinci örnekte bulunan 5 sayısı kaç tane küme olduğunu gösteriyor.
Konuyu başka bir örnekle inceleyebiliriz. Eğer 20 cm uzunluğunda bir kurdelemiz varsa, bunu 4 eşit parçaya ayırdığımızda hangi uzunlukta parçalar elde edeceğimizi sorabiliriz: ------------------------ 20 cm ----------------------------- ► 5 cm
Şekilde gösterilen işlemi
20 cm / 4 = 5 cm
biçiminde yazabiliriz. ------------------------ - 20cm ---------------------------- ► 4 cm
Bu şekilde gösterilen işlemi de 20 cm / 4 cm = 5
biçiminde yazabiliriz. 20 / 4 = 5
Bölme, çarpmanın tersi olarak da ele alınabilir. Eğer biz, 4 x 5 = 20
ya da (aynı sonucu veren) 5x 4 = 20
olduğunu biliyorsak,20 / 4 = 5
20 / 5 = 4
olduğunu da biliriz.
Eğer 4'le çarpmayı bir şeyi 4 katma çıkarmak ya da bir şeyi 4 kez büyütmek olarak düşünürsek, bölmenin çarpmanın "tersi" olduğu daha açıkça görülebilir. Öyleyse, bir şeyi 4 kez küçültmek için 4'e böleriz diye düşünebiliriz.
4'ü beş kez büyütürsek 20 elde ederiz: x 5
4 ------------------------- * 20
H- 5
4 *-------------------------- 20
Bölenler
Eğer bir doğal sayı başka bir doğal sayıya tam olarak bölünüyorsa yanıt her zaman bir doğal sayıdır. Bir doğal sayıyı tam olarak bölen doğal sayılara o sayının bölenleri denir. Örneğin, 6'nın bölenleri 1, 2, 3 ve 6'dır. Doğal sayıların her biri için o sayının bölenlerinin oluşturduğu kümeleri yazabiliriz:
ve bu böylece sürüp gider. Bazı sayıların çok sayıda böleni vardır: 24'ün bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
Birçok sayının ise yalnızca iki böleni bulunur: 37'nin bölenleri: 1, 37.
Yalnızca iki böleni olan doğal sayılara asal sayılar denir.
Bölenleri arasında 2'nin de bulunduğu doğal sayılara çift sayılar denir. Çift sayıların dışında kalan doğal sayılar ise tek sayılardır. Öyleyse çift sayılar, 2'nin katlan olan ve 2, 4, 6, 8, 10, 12 diye sürüp giden sayıları kapsar.
Kalanlar
Bölmenin sonucu bir tam sayı değilse yanıtı yazmanın çeşitli yolları vardır. Eğer 21 elmayı 4 kişi arasında paylaştırmak isterseniz onların her birine 5 elma verebilirsiniz, ama kalan 1 elmayı kesmeden paylaştıramazsınız. Elinizde kalan bir elmaya kalan denir.
Bu genellikle aşağıdaki gibi yazılır: 21 + 4 = 5, kalan 1.
Eğer 21 cm uzunluğundaki bir kurdeleyi 4 eşit parçaya ayırmak istiyorsanız durum bu kez farklıdır. Çünkü geriye 1 cm kurdele bırakmanın hiçbir anlamı yoktur: --------------------- 21cm --------------------------------- ►
5cm......... 5cm.......... 5cm......... 5cm......... 1cm
Artakalan 1 santimetrelik kurdele de 4 eşit parçaya ayrılarak ötekilere eklenebilir ya da kurdele daha başlangıçta 4 eşit parçaya bölünebilir: ■«----------------------- 21 cm ----------------------------- -
Böylece her biri 5 lA santimetrelik kurdele parçaları elde edilebilir: 21 + 4 = 5 lA
Ondalık sayıları kullanarak bunu şöyle yazarız: 21 -i- 4 = 5,25.
21 santimetrelik kurdeleden kaç tane 4 santimetrelik parça kesebiliriz?
5 parça keseriz, geriye de 1 cm uzunluğunda bir parça kalır. Kalan bu 1 cm fazlalık istenen uzunluktaki parçanın dörtte birine eşittir. Bu durumda elimizde 5 Va parça kurdele olacaktır:------------------------- 21cm ------------------------------- »
ı------------ 1----------- 1----------- 1----------- 1----------- n t-1-!
Çarpanlar
Bölmeyle ilgili bir başka işlem de çarpanlara ayırma'du; yani bir sayıyı çarpanlara cinsinden yazmaktır. İşte iki örnek: 6 = 2x3 12 = 2 x 2 x 3 Daha büyük sayıları çarpanlarına ayırmak için işlemin aşamalarını gösteren bir şekil kullanabiliriz. Örneğin 24'ü çarpanlarına ayıralım. Önce iki çarpanına ayırabiliriz:
3'ü ne yapabiliriz? Bütün yapabileceğimiz 3 = 3x1
demektir; çünkü 3 asal sayıdır. Aynı biçimde, yeni bulduğumuz 3'ü de çarpanlarına ayırırsak 3 = 3x1x1
buluruz. Yeni bulunan 3'ü de çarpanlarına ayırarak 3 = 3x1x1x1
bulunur ve bu sürüp gittikçe l'lerin sayısı artar. Pek anlamlı olmayan bu 1 çarpanlarını dikkate almazsak sonuç değişmez. Bu nedenle, çarpanlara ayırma işlemi sırasında asal sayılarla karşılaşınca artık o asal sayıyı çarpanlarına ayırmayız.
Ama 4'ü çarpanlarına ayırarak şekli aşağıda görüldüğü gibi tamamlayabiliriz:
Elde ettiğimiz sayıların hiçbiri artık yeniden çarpanlarına ayrılamaz. Bu "dalların" ucundaki bütün sayıları bir araya getirirsek
24 = 2x2x2x3
elde ederiz.
8x3 yerine 6x4 olarak ayırsaydık ne olurdu?
O zaman aşağıdaki şekli elde ederdik:
Bu durumda,
24 = 3x2x2x2
yazabiliriz. Sonucun öncekinin aynı olduğu, yalnızca çarpanların sırasının değiştiği açıkça görülüyor. Gerçekten de bir sayıyı çarpanlarına nasıl ayırırsanız ayırın, sonunda her zaman aynı asal çarpanlar kümesi ortaya çıkar.
60 = 2x2x3x5
61 = 61
