Pascal Üçgeninin Sırları

Pascal’ın Mekanik Hesap Makinesi

Pascal’ın icat ettiği hesap makinesi 17. yüzyıl boyunca, çalışan ilk ve tek mekanik hesap makinesiydi. Dünyada ilk kez Sümerler, abaküsün atası sayılan hesap yapma yöntemini buldu. Boncuklardan oluşan abaküs daha sonra keşfedildi. Mekanik saatlerin icadı, dişli çarklarla hesap yapma fikrini doğursa da Pascal’dan önceki denemeler başarısız olmuştu. Pascal 19 yaşında başladığı üretim çalışması boyunca 50 civarında prototip makine üretti. Üç yıl süren bu çalışma sonunda yaptığı makinesini 1645’te tanıttı ve daha sonra 20 makine daha üretti. Bu makinelerin bir kısmı günümüze ulaştı ve müzelerde sergileniyor. Pascal’ın bu başarısı, Fransa Kralı 14. Louis tarafından da takdir edildi ve kralın imzaladığı bir belge ile Fransa’da hesap makinesi geliştirme ve üretme hakkı Pascal’a verildi.

Pascal Üçgeni Şans Oyunları İçin Kullanıldı

Pascal, matematik çalışmalarına yoğunlaştığı zamanlarda sağlığını ihmal ettiği için doktorun önerisiyle çalışmalara ara verdi ve şans oyunları ile vakit geçirmeye başladı. Bu oyunlarda kazanma şansını hesaplamasını isteyen arkadaşının önerisiyle, konuyu matematiksel açıdan inceledi. Pascal Üçgeni olarak bilinen üçgen yardımıyla şans oyunlarında kazanma olasılıklarını hesapladı. Aslında bu üçgen, Pascal’dan yüzlerce yıl önce Hindistan’da ortaya çıktı, ardından Çin ve İran’da kullanıldı. Hindistan’da M.S. 10. yüzyılda bu üçgen yazılı kaynaklarda yer almıştı. Daha sonra tanınmış İranlı şair ve matematikçi Ömer Hayyam, üçgenin kullanımını eserlerinde açıkladı. Bu nedenle üçgene Hayyam Üçgeni denilmekteydi. Üçgen M.S. 1200’lerin sonunda Çin’de Yang Hui Üçgeni olarak tanındı. Avrupalılar üçgen hakkında 1500’lerin ortasında bilgi sahibi oldu. Avrupa’da üçgenin çeşitli amaçlarla kullanılabileceğini gösteren ve kullanım alanlarının tümünü bir arada yayınlayan Pascal oldu. Pascal, üçgen hakkındaki bilgileri derledi ve olasılık hesaplarında nasıl kullanılacağını açıkladı. Üçgeni, 1730’da Avrupalı bir matematikçi “Pascal’ın Aritmetik Üçgeni” diye adlandırınca Pascal Üçgeni adı kalıcı oldu.

Pascal Üçgeni Nedir?

Pascal Üçgeni, sayılardan oluşur ve genel görünümü üçgen şeklindedir. En üst köşede 1 sayısı olur. Alt sırada yan yana iki adet 1 yazılır ve üçüncü sırada en solda 1 sayısı, ortada 2 ve sağda yine 1 sayısı vardır. Ortadaki 2 sayısı, üst sıradaki iki adet 1’in toplamıdır. Dördüncü sıranın en solunda 1 sayısı ve onun yanında yan yana iki tane 3 sayısı ile en sağda 1 sayısı bulunur. Bu sıradaki 3 sayıları bir üst sırada yan yana duran 1 ve 2 sayılarının toplamıdır. Üçgenin beşinci sırasında sıra ile 1, 4, 6, 4, 1 sayıları vardır. Bu sıradaki 4 sayıları bir üstteki sırada yer alan 1 ve 3’ün toplamıdır. Alt sıralara inildikçe sıranın en solunda ve en sağında 1 sayıları yer alırken aralardaki sayılar bir üst sırada yan yana bulunan iki sayının toplamından oluşur. Buna göre altıncı sıradaki sayılar 1, 5, 10, 10, 5, 1 olacaktır. Çünkü 1+4 eşittir 5 ve 6+4 eşittir 10’dur. İlk bakışta son derece basit ve ne işe yarayacağını anlamanın zor olduğu bu üçgen ile olasılık hesapları kolayca yapılır. Örneğin bir metal para ile yazı tura atarken para dört kez havaya atıldığında kesinlikle iki kez yazı gelme olasılığının %37,5 olduğu bu üçgen yardımıyla hesaplanabilir. Tüm olasılıklar yazıldığında üçgendeki 1, 4, 6, 4, 1 sıralamasına ulaşılır. Bu sayıların toplamı 16 farklı olasılığı gösterir. Olasılıklardan sadece 6’sında kesinlikle iki kez yazı geleceği için oran 6/16 yani %37,5 olur. Benzer şekilde oyun kağıdı veya zar atarak oynanan şans oyunlarındaki olasılıklar da hesaplanabilir. Bu üçgenden yararlanarak doğadaki bazı çiçeklerin oluşturduğu şekillerin yapısı da açıklanabilir. Matematik çalışmalarında, seri açılımları ve binom açılımı bu yöntemle bulunur.
Pascal’ın hesap makinesi, bilgisayarların atası olan elektromekanik makinelerin önünü açtı. Onun dehası olasılık hesaplama tekniklerinin gelişmesini hızlandırdı.

Binom Açılımı ve Pascal Üçgeni!

Matematiksel işlemlerde çok sık karşılaşılan ifadelerden biri (x+y)n. Genellikle bu ifadedeki x ve y herhangi iki sayı, n ise bir tam sayıdır. Bu ifadenin eşitini bulmanın en basit yolu n tane (x+y) terimini birbiriyle çarpmaktır. Fakat n'nin büyük olduğu durumlarda bu işlemi yapmak çok uzun sürer. Binom açılımı olarak bilinen bir yöntem ile bu ifadenin eşiti çok daha kolay bir şekilde bulunabilir.

İfadenin eşiti açık olarak yazıldığı zaman bütün terimler a+b=n olmak üzere, x(a)y(b) şeklinde olacaktır. Bu terimlerin katsayılarına binom katsayıları denir. Genel olarak binom açılımı şu şekilde ifade edilebilir:

Bu ifadedeki katsayıların değeri (!) faktöriyel işlemi olmak üzere, şöyle bulunabilir:
Örneğin n=2 olduğu zaman binom açılımı katsayıları 1, 2 ve 1 olur. Bu (x+y)2 = x2 + 2xy + y2 anlamına gelir. n küçük olduğu zaman ifadenin eşitini bulmak için terimleri birbiriyle çarpmak da pratik bir yol olabilir, fakat n büyük olduğu zaman binom açılımını kullanmak çok daha kolaydır. Üstelik binom katsayılarını hesaplamak için yukarıdaki formülü kullanmaktan çok daha pratik bir yol var. Öncelikle birinci ve sonuncu katsayıların her zaman 1 olduğuna dikkat edin. Şimdi, yan kenarları alt alta yazılmış 1'lerden oluşan bir üçgen yapın. Daha sonra her satırda yan yana bulunan iki sayının altındaki satıra ve sayıların ortasına bu sayıların toplamını yazın.

Örneğin ikinci satırda iki tane 1 yan yana durduğu ve iki tane 1'in toplamı 2 olduğu için üçüncü satırın ortasına 2 yazın. Benzer şekilde, yukarıdan aşağıya doğru giderek üçgenin içini doldurmaya devam edin. Bu üçgenin her bir satırındaki sayıları incelediğiniz zaman sırasıyla belirli bir n değerine karşılık gelen tüm binom sayılarını bulacaksınız. Örneğin ikinci satırdaki 1, 1 sayıları n=1'e karşılık gelen katsayılar, dördüncü satırdaki 1, 3, 3, 1 sayıları ise n=3'e karşılık gelen katsayılardır. Pascal üçgeni olarak adlandırılan bu üçgeni kullanarak tüm binom katsayıları hesaplanabilir. Böylece binom açılımı yapmak çok kolaylaşır.

Pascal üçgeninin pek çok ilginç özelliği var. Bunlardan biri Pascal üçgeninin simetrik olmasıdır. Üçgenin ortasına dikey bir simetri ekseni çizerseniz, bu simetriyi kolayca görebilirsiniz. Örneğin beşinci satırdaki 4'ler, altıncı satırdaki 10'lar ve yedinci satırdaki 15'ler bu eksene göre simetriktir.

Ayrıca satırlardaki sayıları yan yana tek bir sayı gibi okursanız 11'in kuvvetlerini bulursunuz. Bunun doğruluğu ise binom açılımında x=1, y=10 yazılarak görülebilir. Örneğin üçüncü satırdaki 1, 2, 1 sayıları bir araya getirildiğinde 11'in ikinci kuvveti olan 121 sayısını verir. Dördüncü satırdaki sayıların bir araya getirilmesi ile elde edilen 1331 sayısı ise 11'in üçüncü kuvvetidir. Katsayıların tek basamaklı olmadığı durumlar ise biraz daha karmaşıktır, fakat bu durumlarda da ufak bir çaba ile 11'in kuvvetleri bulunabilir.

Pascal üçgenini kullanarak Fibonacci sayıları da bulunabilir. Fibonacci serisi ilk iki terimi 1 olan bir seridir. Bu serinin elemanları olan Fibonacci sayıları ise kendinden önceki iki sayının toplamına eşittir. Örneğin bu serinin ilk birkaç elemanı şunlardır: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. Bu serideki 8 sayısı kendinden önceki iki sayının (3 ve 5) toplamıdır. Aynı şekilde 34 sayısı da 13'ün ve 21'in toplamıdır. Pascal üçgeninden diyagonal parçalar alırsanız, her parçadaki sayıların toplamının Fibonacci sayılarını verdiğini göreceksiniz.

Pascal üçgeninde bulunabilecek diğer sayılar üçgen sayılarıdır. Sadece noktalar kullanarak üçgen şekilleri yapmaya çalıştığınızı düşünün. Önce üçgenin tepesi için bir nokta, sonra bu noktanın altına üçgen oluşturacak şekilde iki nokta, daha sonra bu noktaların altına üç nokta, ... Her bir üçgeni yapmak için kullandığınız noktaların sayısı üçgen büyüdükçe 1, 3, 6, 10,... olarak devam eder. Bu sayıları Pascal üçgeninin ikinci iç diyagonalinde bulabilirsiniz.

Bir başka özellik Mersenne sayıları ile ilgilidir. 1'den ve kendisinden başka böleni olmayan sayılara asal sayılar denir. Mersenne sayıları ise n bir tam sayı olmak üzere, 2n-1'e eşit olan sayılardır ve n bir asal sayı olduğu zaman bu sayılar da birer asal sayı olur. Örneğin bir asal sayı olan 3'e karşılık gelen Mersenne sayısı 2(3)-1=7'dir. Benzer şekilde 5'e karşılık gelen Mersenne sayısı 2(5)-1=31'dir. Pascal üçgenini herhangi bir satırdan böler ve yukarıda kalan üçgendeki tüm sayıları toplarsanız Mersenne sayılarını verdiğini göreceksiniz.

Pascal üçgeninin tüm özellikleri ve daha başkaları binom katsayılarının değerleri kullanılarak ispatlanabilir. Pascal üçgeninin diğer bir özelliği satırlarındaki sayıların toplamının 2'nin kuvvetlerini vermesidir. Bunun doğruluğunu binom açılımında x ve y yerine 1 koyarak görebilirsiniz.

Kaynak: Bilimgenç / TÜBİTAK / PHYS