Fonksiyon
VIP Never Say Never Agaın
. Matematikte, örneğin A kümesinden B kümesine tanımlanan bir bağıntı, A'nın her elemanını B'nin "bir ve yalnız bir" elemanıyla eşleştiriyorsa bir fonksiyondur. Bu tanım gereğince, aşağıdaki eşleme bir fonksiyonu belirtir:
Bu örnekte A'nın her elemanı B'nin yalnız bir elemanıyla eşleşmiştir. Bağıntı A kümesinden B kümesine tanımlandığı için, B'nin elemanlarından a'nın hem x, hem y ile eşleşmiş olmasının da, b elemanının eşleşme dışı kalmasının da hiçbir önemi yoktur.
Buna karşılık, aşağıdaki bağıntıların ikisi de birer fonksiyonu belirtmez. Çünkü ilk örnekte A'nın z elemanı B'nin hiçbir elemanıyla eşleşmemiş, ikinci örnekte ise hem b, hem c elemanlarıyla eşleşmişti
Fonksiyon tanımına uyan ilk örneğimize dönersek, böyle bir bağıntı "A kümesinden B kümesine tanımlanmış" ya da kısaca "A'dan B'ye" bir fonksiyon olarak adlandırılır ve /: A —» B biçiminde gösterilir. A bu / fonksiyonunun tanım kümesi, B ise değer kümesindir. Bunlar da
biçiminde yazılır. A'nın elemanlarının B'deki görüntü kümesi denir. Örneğimizdeki / fonksiyonunda jc'in ve v'nin görüntüleri a, z'nin görüntüsü de c'dir. Demek ki bu fonksiyon
biçiminde yazdabilir. A'nın/altındaki görüntüsü ya da görüntü kümesi de
Ne var ki, fonksiyonun tanım ve değer kümeleri çok sayıda elemanı içerdiğinde bu küme gösterimlerinin pek kullanışlı olmayacağı açıktır. Nitekim matematikte kullanılan fonksiyonların çoğu gerçel sayılar kümesinde tanımlanmıştır; yani sonsuz elemanlı bir kümeden gene kendi içine tanımlanmış fonksiyonlardır. Dolayısıyla bu fonksiyonların anlatımında küme gösteriminden yararlanmak olanaksızdır. Bu güçlüğün üstesinden gelmek için değişkenler kullanılır. Değişkenlerin nasıl kullanıldığını açıklamak üzere, her tamsayıyı kendisinin iki katıyla eşleştiren bir fonksiyonu ele alalım. Tamsayılar kümesinin bütün elemanlarını x harfiyle gösterirsek, bu sayıların iki katlarını da topluca 2x biçiminde yazabiliriz. Bu durumda, her tamsayıyı iki katıyla eşleştiren fonksiyon
biçiminde gösterilebilir. Bu gösterimde x ba ğımsız değişkendir ve tanım kümesinin bütün elemanlarını temsil eder; 2x ise bu elemanların görüntülerini belirtir. Bu fonksiyonun bir başka yazılış biçimi de
Buradaki y'ye bağımlı değişken denir; çünkü ancak x,in değişmesine bağlı olarak değişikliğe uğrayabilir. Bu nedenle matematikte fonksiyon, biri (bağımsız değişken) değiştiği zaman öbürü (bağımlı değişken) de değişen iki nicelik arasında kurulmuş bir bağıntı olarak tanımlanır.
Sözgelimi her sayıya 1 ekleneceğini belirten bir fonksiyon bu gösterimle
biçiminde yazılabilir. Bu iki fonksiyonu birlikte kullanırsak, önce her sayının iki katının alınacağını, sonra her sayıya 1 ekleneceğini belirten başka bir fonksiyon elde ederiz. Bu da
Şimdi bu fonksiyonu {0,1,2,3} kümesinden tamsayılar kümesine tanımladığımızı varsayalım. Bu durumda
0->2x0+l = l
1^2x1+1=3
2^2x2+1=5
3-^2x3+1=7
eşlemelerini elde ederiz. Başka bir deyişle, {0,1,2,3} kümesinin bu fonksiyon altındaki görüntüsü olan {1,3,5,7} kümesine ulaşırız. İki katını alma ve 1 ekleme fonksiyonlarını işlemlerin sırasını değiştirerek birlikte kullanırsak, bu kez de
biçiminde gösterebileceğimiz başka bir fonksiyon ortaya çıkar. Bu fonksiyonun yapacağı eşlemeler
0-+ 2(0 + 1) = 21-> 2(1 + 1) = 42-> 2(2 + 1) = 6
biçiminde olacak, dolayısıyla {0,1,2,3} kümesinin bu fonksiyon altındaki görüntüsü {2,4,6,8} kümesini verecektir. Ünlü Fransız düşünür ve bilim adamı Rene Descartes'ın analitik geometrisinden yararlanarak fonksiyonların grafiği çizilebilir. Yukarıda incelediğimiz dört fonksiyonun grafikleri şöyle olacaktır:
Sponsorlu Bağlantılar
Buna karşılık, aşağıdaki bağıntıların ikisi de birer fonksiyonu belirtmez. Çünkü ilk örnekte A'nın z elemanı B'nin hiçbir elemanıyla eşleşmemiş, ikinci örnekte ise hem b, hem c elemanlarıyla eşleşmişti
Fonksiyon tanımına uyan ilk örneğimize dönersek, böyle bir bağıntı "A kümesinden B kümesine tanımlanmış" ya da kısaca "A'dan B'ye" bir fonksiyon olarak adlandırılır ve /: A —» B biçiminde gösterilir. A bu / fonksiyonunun tanım kümesi, B ise değer kümesindir. Bunlar da
A={x,y,z} ve B={a,b,c}
biçiminde yazılır. A'nın elemanlarının B'deki görüntü kümesi denir. Örneğimizdeki / fonksiyonunda jc'in ve v'nin görüntüleri a, z'nin görüntüsü de c'dir. Demek ki bu fonksiyon
f={(x,a), (y,a), (z,c)}
/ ( A ) = {a,c}
olur.
/: x -> 2x
biçiminde gösterilebilir. Bu gösterimde x ba ğımsız değişkendir ve tanım kümesinin bütün elemanlarını temsil eder; 2x ise bu elemanların görüntülerini belirtir. Bu fonksiyonun bir başka yazılış biçimi de
_y = 2x,tir.
Buradaki y'ye bağımlı değişken denir; çünkü ancak x,in değişmesine bağlı olarak değişikliğe uğrayabilir. Bu nedenle matematikte fonksiyon, biri (bağımsız değişken) değiştiği zaman öbürü (bağımlı değişken) de değişen iki nicelik arasında kurulmuş bir bağıntı olarak tanımlanır.
Sözgelimi her sayıya 1 ekleneceğini belirten bir fonksiyon bu gösterimle
f:x—> x+1 ya da y = x+1
/: x —* 2x+l ya da y = 2jc+1
olarak gösterilebilir.
0->2x0+l = l
1^2x1+1=3
2^2x2+1=5
3-^2x3+1=7
eşlemelerini elde ederiz. Başka bir deyişle, {0,1,2,3} kümesinin bu fonksiyon altındaki görüntüsü olan {1,3,5,7} kümesine ulaşırız. İki katını alma ve 1 ekleme fonksiyonlarını işlemlerin sırasını değiştirerek birlikte kullanırsak, bu kez de
/: *-» 2(x+l) ya da y = 2(x+l)
0-+ 2(0 + 1) = 21-> 2(1 + 1) = 42-> 2(2 + 1) = 6
3-> 2(3 + 1) = 8
Görüldüğü gibi bu grafiklerin hepsi birer doğrudur. Grafiği bir doğru olan fonksiyonlara doğrusal fonksiyon denir. Sayıların karesini alma örneğinde olduğu gibi x2 değişkenini içeren fonksiyonlara ise ikinci dereceden fonksiyon adı verilir.
Daha önce incelediğimiz iki katını alma fonksiyonunu tersine çevirirsek yarısını alma fonksiyonunu elde ederiz. Bu fonksiyon
biçiminde gösterilebilir. Sayıların değerini iki katına yükselten /: x —> 2x fonksiyonu ile değerlerini yarıya düşüren f:x^> Vıx fonksiyonu birbirlerine göre ters fonksiyonlar''dır.
En çok kullanılan fonksiyonlardan biri, değişkenlerin kendi değerleriyle nasıl katlanarak büyüdüğünü gösteren üstel fonksiyonlaradır. Örneğin 23 yazdığımızda, 3 rakamı 2'nin "kuvveti" ya da "üssü"dür ve 2'nin kendisiyle kaç kez çarpılacağını gösterir. Üstel fonksiyonların ne işe yaradığını görmek için ARİTMETİK maddesinde anlatılan "satranç tahtasındaki pirinç taneleri" problemini anımsatmakta yarar vardır. Çinli bir matematikçi imparatorundan, satranç tahtasının her karesine bir önceki karedekinin iki katı kadar pirinç tanesi konulmasını ve kendisine ödül olarak bu pirinçlerin verilmesini ister. Satranç tahtasındaki herhangi bir karenin kaçıncı kare olduğunu gösteren sayıya x dersek, o kareye konması gereken pirinç tanelerinin sayısını veren fonksiyon
Belli bir zaman aralığında iki katına çıkan herhangi bir niceliği tanımlamak için de gene üstel fonksiyonlardan yararlanılır. Bileşik faizle yatırılan paranın artışını hesaplamak için bu fonksiyona başvurursak, "100 TL % 10 bileşik faizle x yıl sonra ne kadar olur?" sorusunun yanıtı
Daha önce incelediğimiz iki katını alma fonksiyonunu tersine çevirirsek yarısını alma fonksiyonunu elde ederiz. Bu fonksiyon
/: x —* Vıx
biçiminde gösterilebilir. Sayıların değerini iki katına yükselten /: x —> 2x fonksiyonu ile değerlerini yarıya düşüren f:x^> Vıx fonksiyonu birbirlerine göre ters fonksiyonlar''dır.
En çok kullanılan fonksiyonlardan biri, değişkenlerin kendi değerleriyle nasıl katlanarak büyüdüğünü gösteren üstel fonksiyonlaradır. Örneğin 23 yazdığımızda, 3 rakamı 2'nin "kuvveti" ya da "üssü"dür ve 2'nin kendisiyle kaç kez çarpılacağını gösterir. Üstel fonksiyonların ne işe yaradığını görmek için ARİTMETİK maddesinde anlatılan "satranç tahtasındaki pirinç taneleri" problemini anımsatmakta yarar vardır. Çinli bir matematikçi imparatorundan, satranç tahtasının her karesine bir önceki karedekinin iki katı kadar pirinç tanesi konulmasını ve kendisine ödül olarak bu pirinçlerin verilmesini ister. Satranç tahtasındaki herhangi bir karenin kaçıncı kare olduğunu gösteren sayıya x dersek, o kareye konması gereken pirinç tanelerinin sayısını veren fonksiyon
/: x -+ 2* '
biçiminde yazılır.
/: x -» 100(1 + l(/ıo())A
fonksiyonudur .
MsxLabs & TemelBritannica
Şeytan Yaşamak İçin Her Şeyi Yapar....
