Cevap Yaz Yazdır
Güncelleme: 7 Haziran 2012  Gösterim: 33.762  Cevap: 1

Benzerlik (Geometride Benzerlik)

Mystic@L
25 Şubat 2007 20:22       Mesaj #1
Mystic@L - avatarı
Ziyaretçi
1. Benzer Üçgenler
Karşılıklı açıları eş ve karşılıklı kenarları orantılı olan üçgenlere benzer üçgenler denir.
geo 758
Sponsorlu Bağlantılar

geo758

ABC ve DEF üçgenleri için;

geo759oranı yazılır
Buradan ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzerdir denir ve ABC ~ DEF biçiminde gösterilir.
geo760eşitliğinde verilen k sayısına, benzerlik oranı yada benzerlik
katsayısı denir.

  • k = 1 olan benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar eşit olduğundan, bu üçgenlere eş üçgenler denir.
ABC ~ DEF benzerliği yazılırken eş açıların sıralanmasına dikkat edilir.

geo761

2. Açı - Açı Benzerlik Teoremi
Karşılıklı ikişer açıları eş olan üçgenler benzerdir.
geo 762
geo762


şekilde verilen üçgenlerde

geoka0701

İkişer açıları eş olduğundan, üçüncü açıları da eş olmak zorundadır. Dolayısıyla bu iki üçgen benzer üçgenlerdir.

m( C )=m( F )

geo763

3. Kenar - Açı - Kenar Benzerlik Teoremi
İki üçgenin karşılıklı ikişer kenarı orantılı ve bu kenarların oluşturduğu karşılıklı açılar eş ise, üçgenler benzerdir.
geo 764geo764

geo765
geo 765



ABC üçgeni ile DEF üçgeninin BAC ve EDF açıları eş, bu açıların kenarları da orantılı ise, bu iki üçgen benzerdir.
BAC açısının kısa kenarının EDF açısının kısa kenarına oranı, BAC açısının uzun kenarının EDF açısının uzun kenarına oranına eşittir.

4. Kenar - Kenar - Kenar Benzerlik Teoremi
İki üçgenin karşılıklı bütün kenarları orantılı ise bu iki üçgen benzerdir.
geo 766


geo766

geo767

Kenarları orantılı olan ABC ve DEF benzer üçgenlerinde orantılı kenarları gören açılar eştir.
m( A ) = m( D ),
m( B ) = m( E ),
m( C ) = m( F )

5. Temel Benzerlik Teoremi
ABC üçgeninde [DE] // [BC] ise yöndeş açılar eş
olacağından ADE ~ ABC dir.
geo768

geo769

geoka0702
  • Ağırlık merkezinden çizilen paralel doğru kenarları 1birime 2 birim oranında böler. ABC üçgeninde G ağırlık merkezi ve [KL] // [BC]
    |AK|=2|KB|
    |AL|=2|LC|
geo770

6. Tales Teoremi
Paralel doğrular kendilerini kesen doğruları aynı oranda
bölerler. d1 // d2 // d3 doğruları için
geo771

Buradan geo772de elde edilir

geo773
  • [AB] // [DE] ise oluşan içters açıların eşitliğinden, ABC ~ EDC olur. Buradan,

  • geo774
  • eşitliği elde edilir. Buna kelebek benzerliği de denir.
geo775

7. Benzerlik Özellikleri
Benzer üçgenlerin açıları karşılıklı olarak eş, diğer bütün elemanları orantılıdır.
geo 776
geo776

ABC ~ DEF Û geo777 Burada k ya benzerlik oranı denir.
a. Benzer üçgenlerde orantılı kenarlara ait yüksekliklerin oranı benzerlik oranına eşittir.
geo778
b. Benzer üçgenlerde orantılı kenarlara ait kenar-ortay uzunluklarının oranı benzerlik oranına eşittir.
geo779
c. Benzer üçgenlerde eş açılara ait açıortay uzunluklarının oranı benzerlik oranına eşittir.
geo780
d. Benzer üçgenlerin çevrelerinin oranı benzerlik oranına eşittir.
geo781
e. ABC üçgeninde içteğet çemberin yarıçapı rABC ve çevrel çemberin yarıçapı RABC , DEF üçgeninde içteğet çemberin yarıçapı rDEF ve çevrel çemberin yarıçapı RDEF olsun.
geo782

f. Alanlar oranı
Benzer üçgenlerin alanlarının oranı benzerlik oranının karesine eşittir.

geo783

geo784
g. Benzerlik oranı k = 1 olan üçgenler eş üçgenlerdir.
  • Kenarları eşit aralıklı paralellerle bölünmüş olan üçgenlerde alanlar 1, 3, 5, 7 … gibi tek sayılarla orantılı olarak artar.
geo785
  • [AB] // [EF] // [DC] benzerlik özelliklerinden,
geo786

|AB|.|FC|=|DC|.|BF|
geo787

8. Özel Teoremler
a. Menelaüs
ABC üçgeni KM doğru parçası ile şekildeki gibi kesiliyor ise

geo788

geo789

b. Seva
ABC üçgeni içerisinde alınan bir P noktası için,

geo790

geo791



Son düzenleyen asla_asla_deme; 7 Haziran 2012 12:53 Sebep: Resim Linkleri Yenilendi

4 Mayıs 2009 23:29       Mesaj #2
asla_asla_deme - avatarı
VIP Never Say Never Agaın
Karşılıklı açıları eş ve karşılıklı kenarları orantılı olan üçgenlere benzer üçgenler denir.

geo 758
Sponsorlu Bağlantılar

ABC ve DEF üçgenleri için;
geo 759 oranı yazılır Buradan ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzerdir denir ve
ABC ~ DEF biçiminde gösterilir.
geo 760 eşitliğinde verilen k sayısına, benzerlik oranı yada benzerlik

katsayısı denir.
k = 1 olan benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar eşit olduğundan, bu üçgenlere eş üçgenler denir.
ABC ~ DEF benzerliği yazılırken eş açıların sıralanmasına dikkat edilir.

geo 761
2. Açı - Açı Benzerlik Teoremi
Karşılıklı ikişer açıları eş olan üçgenler benzerdir.

geo 762

şekilde verilen üçgenlerde
geoka0701
İkişer açıları eş olduğundan, üçüncü açıları da eş olmak zorundadır. Dolayısıyla bu iki üçgen benzer üçgenlerdir.
m c =m f
geo 763

3. Kenar - Açı - Kenar Benzerlik Teoremi
İki üçgenin karşılıklı ikişer kenarı orantılı ve bu kenarların oluşturduğu karşılıklı açılar eş ise, üçgenler benzerdir.

geo 764

geo 765

ABC üçgeni ile DEF üçgeninin BAC ve EDF açıları eş, bu açıların kenarları da orantılı ise, bu iki üçgen benzerdir.
BAC açısının kısa kenarının EDF açısının kısa kenarına oranı, BAC açısının uzun kenarının EDF açısının uzun kenarına oranına eşittir.

4. Kenar - Kenar - Kenar Benzerlik Teoremi
İki üçgenin karşılıklı bütün kenarları orantılı ise bu iki üçgen benzerdir.

geo 766
geo 767 Kenarları orantılı olan ABC ve DEF benzer üçgenlerinde orantılı kenarları gören açılar eştir.
m a = m( d ),
m( b ) = m( e ),
m c = m f

5. Temel Benzerlik Teoremi

ABC üçgeninde [DE] // [BC] ise yöndeş açılar eş
olacağından ADE ~ ABC dir.

geo 768

geoka0702 geo 769

Ağırlık merkezinden çizilen paralel doğru kenarları 1birime 2 birim oranında böler. ABC üçgeninde G ağırlık merkezi ve [KL] // [BC]
|AK|=2|KB|
|AL|=2|LC|

geo 770

6. Tales Teoremi

Paralel doğrular kendilerini kesen doğruları aynı oranda
bölerler. d1 // d2 // d3 doğruları için

geo 771Buradan geo 772 de elde edilir geo 773

[AB] // [DE] ise oluşan içters açıların eşitliğinden, ABC ~ EDC olur. Buradan,geo 774 eşitliği elde edilir. Buna kelebek benzerliği de denir.

geo 775

7. Benzerlik Özellikleri

Benzer üçgenlerin açıları karşılıklı olarak eş, diğer bütün elemanları orantılıdır.

geo 776

ABC ~ DEF Û geo 777 Burada k ya benzerlik oranı denir.

a. Benzer üçgenlerde orantılı kenarlara ait yüksekliklerin oranı benzerlik oranına eşittir.

geo 778

b. Benzer üçgenlerde orantılı kenarlara ait kenar-ortay uzunluklarının oranı benzerlik oranına eşittir

geo 779

c. Benzer üçgenlerde eş açılara ait açıortay uzunluklarının oranı benzerlik oranına eşittir.

geo 780

d. Benzer üçgenlerin çevrelerinin oranı benzerlik oranına eşittir.

geo 781

e. ABC üçgeninde içteğet çemberin yarıçapı rABC ve çevrel çemberin yarıçapı RABC , DEF üçgeninde içteğet çemberin yarıçapı rDEF ve çevrel çemberin yarıçapı RDEF olsun.

geo 782

f. Alanlar oranı
Benzer üçgenlerin alanlarının oranı benzerlik oranının karesine eşittir.

geo 783geo 784

g. Benzerlik oranı k = 1 olan üçgenler eş üçgenlerdir.
Kenarları eşit aralıklı paralellerle bölünmüş olan üçgenlerde alanlar 1, 3, 5, 7 gibi tek sayılarla orantılı olarak artar.

geo 785

[AB] // [EF] // [DC] benzerlik özelliklerinden,

geo 786
|AB|.|FC|=|DC|.|BF|

geo 787

8. Özel Teoremler

a. Menelaüs
ABC üçgeni KM doğru parçası ile şekildeki gibi kesiliyor ise

geo 788 geo 789

b. Seva
ABC üçgeni içerisinde alınan bir P noktası için,

geo 790 geo 791


Son düzenleyen asla_asla_deme; 7 Haziran 2012 12:33
Hızlı Cevap
Mesaj:


Kaynak:

paneli aç