Sonuşmaz (Asimptot)

Sonuşmaz

Matematikte sonuşmaz veya asimptot (İngilizcesi: Asymptote), belirli bir A eğrisine istenildiği kadar yaklaşabilen ikinci bir B eğrisine verilen addır. Bir başka deyişle, A üzerinde ilerledikçe, A ve B arasındaki mesafe azalır ve sıfıra yaklaşır. Asimptot kelimesi, Yunanca "beraber düşmek" anlamındaki simpiptein fiilinin olumsuz halinden türemiştir.

Fonksiyon grafikleri ve sonuşmazlar

Sonuşmazlar limit kavramıyla tanımlanabilir. Herhangi bir fonksiyonu için,

önermelerinden biri doğruysa, y = a doğrusu, f fonksiyonu için bir yatay sonuşmazdır. Birinci önermenin doğru olduğunu varsayalım. Bu durumda, x değerini yeterince büyük seçersek, f(x) değerini a değerine istediğimiz kadar yaklaştırabiliriz. Bir başka deyişle, x ekseni üzerinde sonsuza doğru ilerledikçe, fonksiyon grafiği y = a çizgisine yaklaşacaktır. İkinci önerme doğruysa da, x ekseni üzerinde eksi sonsuza doğru ilerlemek aynı sonucu verecektir.
Örneğin, y = 0 çizgisi (ya da x ekseni), f(x) = 1/x fonksiyonu için bir yatay sonuşmazdır.
Benzer şekilde,

önermelerinden biri doğruysa, x = b doğrusu, f fonksiyonu için bir düşey sonuşmazdır. Bu durumda, x değeri b,ye yaklaştıkça, f(x) değeri artı veya eksi sonsuza doğru ilerler. Bir başka deyişle, x ekseni üzerinde adım adım b,ye yaklaşırsak, fonksiyon grafiği artı veya eksi sonsuz yönünde büyüyecektir (ki buna matematikte "patlama" denir).
Örneğin, x = 0 çizgisi (ya da y ekseni), f(x) = 1/x fonksiyonu için bir düşey sonuşmazdır.


Sonuşmazlar yatay ya da düşey olmak zorunda değildir. Herhangi bir doğrusu, aşağıdaki şartlardan birini sağlıyorsa, f fonksiyonu için bir eğik sonuşmazdır:

Örneğin, y = x doğrusu, f(x) = x + 1/x fonksiyonu için bir eğik sonuşmazdır. Aynı fonksiyonun bir de düşey sonuşmazı vardır: x = 0. Kimi kaynaklarda, yukarıdaki iki şarttan birini sağlayan her p(x) fonksiyonuna (doğru olmasa da) eğik sonuşmaz denir. Bu tanıma göre, örneğin y = x2 parabolü, f(x) = x2 + 1/x fonksiyonu için bir eğik sonuşmazdır.

AsimptotBir fonksiyonun grafik eğrisine sonsuzda teğet olan doğru ya da eğri.

Sponsorlu Bağlantılar

Doğru asimptot, koordinat eksenlerine paralelse düşey ya da yatay, değilse eğik asimptot adını alır. Bir f (x) fonksiyonu, f(x)= g(x) + h(x) biçiminde yazılabiliyorsa ve x sonsuza yanaşırken [f(x)-g(x)] farkı sıfıra yaklaşıyorsa (limiti sıfırsa) g(x) fonksiyonu f(x)'in asimptotudur. Örneğin f(x)= 1/x fonksiyonu f(x)= o+(1/x) biçiminde yazılabilir ve [f(x) - o] farkının x sonsuza yanaşırken limiti sıfır olduğundan g(x)=o fonksiyonu asimptottur; bu da yatay eksenin kendisidir. Doğru asimptotun genel denklemi y=mx+n olduğundan, bu asimptot, analitik geometrinin verdiği m=lim f(x)/x; n=lim [f(x) - mx] x formüllerinden m ve n'nin hesaplanmasıyla da bulunabilir. Düşey asimptot için değişik bir yol izlenir; eğer x sabit bir sayıya yaklaşırken f(x) sonsuza yanaşırsa, sabit sayı f(x)'in düşey asimptotu olur. Örneğin x sıfıra yaklaşırken f(x) = 1/x sonsuza yanaşır; o hâlde x=o doğrusu, yani düşey eksen f(x)'in asimptotudur. Genel bir kural olarak, rasyonel fonksiyonlarda paydayı sıfır yapan x değerleri düşey asimptotu verirler. Öte yandan P(x) / Q(x) biçimindeki bir fonksiyon h(x) + [K(x) / Q(x)] biçiminde yazılabilir ve K(x)'in derecesi Q(x)'inkinden küçükse, h(x) fonksiyonu f(x)'in doğru ya da eğri asimptotu olur. Analitik geometride asimptot en çok hiperbolde konu edilir. Standart denklemi (x2 /a2 ) - (y2 /b2 )= 1 olan hiperbolün asimptotları y= ± (b/a) x denklemiyle verilir.